数据降维
数据降维方法
数据降维方法数据降维是指通过保留数据集的主要特征，减少数据集维度的过程。
在实际应用中，数据往往具有高维度和复杂性，这给数据分析和处理带来了挑战。
因此，数据降维方法成为了数据处理中的重要环节。
本文将介绍几种常见的数据降维方法，包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）和t-SNE算法。
主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维方法，它通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得数据在新坐标系下的方差最大化。
这样可以保留数据的主要信息，同时减少数据的维度。
PCA的核心思想是找到数据中的主成分，即数据中方差最大的方向。
通过保留主成分，可以实现数据降维的目的。
另一种常见的数据降维方法是线性判别分析（LDA）。
与PCA不同，LDA是一种有监督学习方法，它考虑了数据的类别信息。
LDA的目标是将数据投影到一个新的空间中，使得不同类别的数据点尽可能远离，同一类别的数据点尽可能接近。
通过这种方式，LDA可以在降维的同时保留数据的类别信息，有助于分类和识别任务的进行。
除了PCA和LDA，t-SNE算法也是一种常用的非线性数据降维方法。
t-SNE算法通过在高维空间中保持相似的数据点在低维空间中仍然保持相似的方式进行降维。
它能够有效地发现数据中的局部结构，并在可视化任务中表现出色。
t-SNE算法在图像、文本和生物信息学等领域得到了广泛的应用。
总的来说，数据降维是数据处理中非常重要的一环。
通过合适的数据降维方法，可以在保留数据主要特征的同时减少数据的维度，提高数据处理和分析的效率。
在实际应用中，需要根据数据的特点和任务的要求选择合适的数据降维方法。
希望本文介绍的主成分分析、线性判别分析和t-SNE算法能够为读者在实际应用中提供帮助。
数据降维
数据降维随着信息获取与处理技术的飞速发展，人们获取信息和数据的能力越来越强，高维数据频繁地出现于科学研究以及产业界等相关领域。
为了对客观事物进行细致的描述，人们往往需要利用到这些高维数据，如在图像处理中，数据通常为m*n大小的图像，若将单幅图像看成图像空间中的一个点，则该点的维数为m*n 维，其对应的维数是相当高的，在如此高维的空间中做数据处理无疑会给人们带来很大的困难，同时所取得的效果也是极其有限的；再如网页检索领域一个中等程度的文档集表示文档的特征词向量通常高达几万维甚至几十万维；而在遗传学中所采集的每个基因片段往往是成千上万维的。
另外，若直接处理高维数据，会遇到所谓的“维数灾难”（Curse of dimensionality）问题：即在缺乏简化数据的前提下,要在给定的精度下准确地对某些变量的函数进行估计，我们所需要的样本数量会随着样本维数的增加而呈指数形式增长[1]。
因此，人们通常会对原始数据进行“数据降维”。
数据降维是指通过线性或者非线性映射将高维空间中的原始数据投影到低维空间，且这种低维表示是对原始数据紧致而有意义的表示，通过寻求低维表示，能够尽可能地发现隐藏在高维数据后的规律[2]。
对高维数据进行降维处理的优势体现在如下几个方面：1)对原始数据进行有效压缩以节省存储空间；2)可以消除原始数据中存在的噪声；3)便于提取特征以完成分类或者识别任务；4)将原始数据投影到2维或3维空间，实现数据可视化。
主流的数据降维算法主要有七种，其名称和对比如图1所示，接下来会进行详细地介绍其中的五种：线性的PCA、MDS、LDA以及非线性的Isomap、LLE。
图1 七种不同降维算法及其对比1.PCA（Principal Component Analysis, 主成成分分析法）1.1 基本原理PCA 是通过对原始变量的相关矩阵或协方差矩阵内部结构的研究，将多个变量转换为少数几个综合变量即主成分，从而达到降维目的的一种线性降维方法。
高维数据分析的降维技术
高维数据分析的降维技术高维数据分析是指数据集中包含大量特征或维度的数据，这种数据具有复杂性和高度抽象性，给数据分析和挖掘带来了挑战。
在实际应用中，高维数据分析往往会导致维度灾难和计算复杂度增加的问题，因此在处理高维数据时，降维技术成为了一种必不可少的方法。
一、PCA（Principal Component Analysis）主成分分析主成分分析是一种常用的降维技术，其基本思想是通过线性变换将原始数据映射到一组互相正交的主成分上，实现数据的降维。
主成分分析能够保留大部分数据的信息，同时去除特征之间的相关性，简化模型的训练和预测过程。
二、LDA（Linear Discriminant Analysis）线性判别分析与主成分分析类似，线性判别分析也是一种经典的降维技术。
其主要思想是将数据投影到一个低维空间中，使得同类样本尽可能接近，不同类样本尽可能远离。
线性判别分析在分类和模式识别领域得到了广泛应用。
三、t-SNE（t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding）随机邻域嵌入t-SNE是一种非线性降维技术，能够有效地可视化高维数据集。
通过在高维空间中计算数据点间的相似度，并在低维空间中保持相似性关系，t-SNE能够呈现出数据集的结构和聚类特征，有助于数据的理解和分析。
四、Autoencoder自编码器自编码器是一种通过无监督学习实现数据降维和特征提取的神经网络模型。
通过训练自编码器，可以学习到数据的低维表示，并还原原始数据，实现高维数据到低维表征的映射。
自编码器在图像、文本和信号处理领域有着广泛的应用。
五、特征选择和特征抽取除了上述经典的降维技术外，特征选择和特征抽取也是重要的降维手段。
特征选择是指从原始特征中选择最具代表性的子集，保留有用信息并减少噪声。
特征抽取是通过数学变换将原始特征转换为新特征，保持数据的主要结构和关系。
这两种方法在实际应用中都能够有效地提高模型的性能和泛化能力。
数据降维的常用方法
数据降维的常用方法
以下是 7 条关于数据降维的常用方法：
1. 主成分分析啊！这就像把一堆杂乱的拼图碎片整理出最关键的几块。
比如说，在分析一堆人的各种身体数据时，通过主成分分析，就能找出最能代表这些人特征的那几个关键指标，是不是超厉害！
2. 因子分析也不错呀！可以把复杂的关系变得简单明了。
就好比整理一个杂乱无章的房间，通过因子分析找到几个重要的类别，让房间瞬间清爽起来。
比如分析各种商品的销售数据，找出主要的影响因子。
3. 奇异值分解可别小瞧！它就像是在一座大宝藏中找到最闪亮的那些宝贝。
想象一下在大量的文档数据中，用奇异值分解提取出最核心的主题信息，哇，太酷了！
4. t-SNE 也值得一提呢！这就如同在茫茫人海中精准找到那些和你最
相似的人。
比如在分析图像特征时，t-SNE 能让相似的图像聚集在一起，多神奇！
5. 局部线性嵌入也很牛呀！它就像为数据开辟了一条捷径。
就好比在迷宫中找到最快到达终点的那条路一样。
像处理复杂的地理数据时，局部线性嵌入能发现隐藏的结构呢。
6. 拉普拉斯特征映射也好用呢！像是给数据穿上了一件合适的衣服，让它更合身。
比如在处理声音信号时，通过它来找到关键的特征。
7. 等距特征映射也不能忘啊！这简直就是给数据开了一道魔法之门。
想象一下在海量的交易数据中，它能迅速找到关键的模式，是不是很惊人！
总之，这些方法都各有各的神奇之处，掌握了它们，就能在数据的海洋中畅游啦！。
统计师如何使用因子分析进行数据降维
统计师如何使用因子分析进行数据降维对于统计师来说，处理大量数据是一项常见的任务。
然而，面对庞大的数据集时，如何能够有效地提取出关键信息则是一个挑战。
因子分析是一种常用的数据降维方法，可以帮助统计师在处理复杂数据时更加高效地分析和理解数据。
一、什么是因子分析因子分析是一种统计方法，用于确定一组观测变量中潜在因子之间的关系。
通过将多个相关的观测变量聚合成少数几个不相关的因子，从而实现数据降维的目的。
这些因子可以解释原始数据中观测变量之间的共同方差，提取出数据的主要特征。
因此，因子分析在统计学、心理学、市场研究等领域都得到了广泛的应用。
二、因子分析的步骤1. 收集数据：首先需要收集观测变量的数据，确保数据的可靠性和有效性。
2. 制定假设：在进行因子分析之前，需要明确假设的内容，例如假设观测变量之间存在共同的潜在因子。
3. 确定因子的个数：在因子分析中，需要确定要提取的因子个数。
常用的方法有Kaiser准则和Scree图。
4. 选择因子提取方法：选择合适的因子提取方法，例如主成分分析、极大似然估计法等。
5. 旋转因子：通过对因子进行旋转，使得每个因子负荷最大且尽量互不相关，从而清晰地解释数据。
6. 解释因子：根据因子的负荷矩阵和因子旋转后的结果，理解每个因子所代表的含义。
7. 结果解读：根据因子分析结果，解读数据中观测变量之间的关系，并运用于具体的统计分析中。
三、因子分析的优势1. 数据降维：因子分析可以将大量观测变量聚合成相对较少的因子，从而减少了数据的复杂性。
2. 提取主要特征：因子分析能够从原始数据中提取出主要的特征，并清晰地解释各个因子的意义。
3. 检验假设：因子分析可以验证观测变量之间是否存在共同的潜在因子，帮助统计师进行假设检验。
4. 减少数据相关性：通过因子旋转，可以使得因子之间互不相关，减少数据中的相关性问题。
四、因子分析的应用1. 市场研究：在市场研究中，因子分析可以用于确定顾客的偏好因子，从而帮助企业进行精准的市场推广。
数据降维的方法
数据降维的方法
数据降维的方法
数据降维是指将原有维数的数据，通过某种算法，转换到更低维数的数据，以达到某种目的。
数据降维的方法有多种，下面简要介绍一下几种常用的降维方法。
1. 主成分分析法：
主成分分析法是一种不改变原始数据分布的有效数据降维方法，是一种无监督学习方法。
它的基本思想是，在维数很高的时候，将原始的高维的数据映射到一个低维的空间中，使得原始数据尽可能的保留其内在的结构，同时又降低维数。
2. 降维投影：
降维投影是把原始数据集的更高维（比如三维）映射到更低维（比如二维）的过程，在映射过程中，尽可能地保留原始数据的结构。
这种方法主要是从空间上考虑，把原始数据从多维空间映射到低维空间，使得数据之间的相关性、结构等能尽可能的保留。
3. 局部线性嵌入：
局部线性嵌入是一种有监督的特征提取算法，它有效地将原有维数较高的数据映射到低维空间中，同时又能保留原有的关联结构，主要用于非线性问题。
4. 降维编码：
降维编码是指将原始数据投影到一个更低维空间中，使用某种编码规则对原始数据进行编码，以达到降维的目的。
总之，数据降维是一种常用的方法，用来简化复杂数据的处理。
它节省了计算量和存储空间，同时又能保留原来数据的结构，十分有用。
基于聚类的数据降维算法
基于聚类的数据降维算法在大数据时代，数据的维度和数量呈指数级增长，这给数据分析和处理带来了巨大的挑战。
降维是解决这一问题的有效方法之一。
基于聚类的数据降维算法作为一种重要的降维技术，近年来备受关注。
一、数据降维概述数据降维是指将高维数据投影到低维空间中，同时保留原数据的重要特征。
数据降维可以大大减少处理时间和存储空间，同时可以提高分析和建模的效率和准确性。
常用的数据降维方法主要包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）和局部线性嵌入（LLE）等。
这些方法在保留数据中重要信息方面都有很好的效果，但是也存在一些缺点。
例如，PCA只能对线性相关的数据降维，对非线性数据的处理效果不佳；LDA需要数据点之间存在标签差异；LLE算法对噪声数据敏感，且对高维数据处理效率低下。
二、基于聚类的数据降维算法基于聚类的数据降维算法是一种无监督的降维方法，通常包括以下两个步骤：1. 聚类：将数据集划分成若干个簇，同一簇内的数据点相似度较高，不同簇之间相似度较低。
2. 降维：对每个簇进行降维操作，将每个簇中的数据点投影到低维空间中。
通常采用PCA等方法进行降维。
降维后，每个簇对应的低维特征被作为该簇的代表，将代表点作为原始数据点，重复1和2两个步骤，直到满足降维终止条件。
基于聚类的数据降维算法的优点在于不需要事先对数据进行预处理，也不需要对数据进行标记。
同时，该方法在处理非线性数据方面的效果也比较好。
三、基于聚类的数据降维算法的实现基于聚类的数据降维算法实现的关键在于聚类算法。
常用的聚类算法有k-means、DBSCAN、层次聚类等。
下面以k-means算法为例进行阐述。
1. k-means聚类算法k-means算法是一种基于距离的聚类算法。
其具体实现过程如下：1. 随机生成k个初始聚类中心。
2. 将所有的数据点分配给最近的聚类中心。
3. 计算每个聚类的平均值并将其作为新的聚类中心。
4. 重复2和3两个步骤，直到聚类中心不再发生变化或达到迭代次数。
《数据降维技术》课件
1）对原始数据进行中心化处理；2）计算协方差矩阵；3 ）对协方差矩阵进行特征值分解，得到主成分；4）将原 始数据投影到主成分构成的新空间中。
原理
PCA通过计算数据集的协方差矩阵，找到数据集的主成分 ，这些主成分能够最大程度地保留数据集中的信息。
应用场景
PCA广泛应用于数据预处理、特征提取、数据可视化等领 域。
降维技术的分类
根据降维的目的和降维后的数据性质，可以将数据降维技术 分为特征选择和特征提取两类。特征选择是从原始特征中选 取最重要的特征，而特征提取则是通过某种映射关系将原始 特征转换为新的特征。
数据降维技术的应用场景
数据可视化
通过将高维度的数据降维为二维或三 维，可以更好地观察数据的分布和规 律，有助于发现数据中的模式和异常 。
鲁棒性评估
评估降维算法对噪声和异常值 的鲁棒性，以确保算法在实际 应用中的稳定性。
可视化效果评估
评估降维后数据的可视化效果 ，以确保降维后的数据能够直 观地展示出数据的结构和特征
。
优化策略
选择合适的降维算法
根据实际应用场景和数据特点，选择 适合的降维算法，以提高降维效果和 计算效率。
参数优化
对降维算法的参数进行优化，以获得 更好的降维效果和计算效率。
PCA通过构建数据的主成分，将高维图像数据投影到低维空间，从而降低数据的复杂性。在图像处理中，PCA可 以用于特征提取、图像压缩和识别等任务。通过保留主要特征，PCA能够减少计算量和存储空间，同时提高图像 处理的效率和准确性。
LDA在人脸识别中的应用
总结词
LDA是一种有监督的降维技术，通过最大化类间差异和最小化类内差异，将高维人脸数据投影到低维 空间，以提高人脸识别的准确率。
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流形（Manifold）-LLE 最小化重构误差
1. 计算每一个点 Xi的近邻点, 一般采用K 近邻或者 邻域.
2 .计算权值 Wij，使得把 x ( i ) 用它的K个近邻点线性表示的误
差最小, 即通过最小化 x(i) Wijx(j) 来求出 Wij. 3 .保持权值 Wij 不变, 求 x(i)在低维空间的映射 y ( i,) 使得低
•••••••••••••••••••••••••••••••••• •
x1
✓主成份分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下，去除数据的相关性，对 高维空间的数据降维处理。
PCA 的计算
假设我们所讨论的实际问题中，X是p维变量，记为X1， X2，…，Xp，PCA就是要把这p个变量的问题，转变为讨论p 个变量的线性组合的问题
个新变量分别命名为总收入f1、总收入变化率f2和经济发展 或衰退的趋势f3。
PCA 的直观解释
利用3维向量能够保持原始17维向量，97.4%的方差信息
(是在低维空间能够尽可能多保持原始空间数据的方差)
我们所讨论的问题中都有一个近似的假设，假定数据满足高
斯分布或者近似满足高斯分布 y 问题：高斯分布需要什么参数刻画？
重复此过程得到特征集合
监督特征选择
例子
提纲
特征选择 PCA方法 流形
PCA
主成份分析（Principal Component Analysis, PCA ）是一种 利用线性映射来进行数据降维的方法，并去除数据的相关性; 且最大限度保持原始数据的方差信息。
PCA
一项著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关 于国民经济的研究。他曾利用美国1929一1938年各年的数据， 得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、 消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息 外贸平衡等等。 在进行主成份分析后，以97.4％的精度，用三新变量就取 代了原17个变量的方差信息。根据经济学知识，斯通给这三
压缩（k维)
PCA：用于人脸降维
按照其所相应的特征值的大小对特征向量排序 选择头k个对应最大特征值的特征向量构成变换矩阵Upxk
从p维空间到k维空间的投影
(k < p) !
原始数据(p维)
压缩（k维)
y UTx
PCA 给人脸数据降维
特征人脸
原始数据的维数为64x64=4096 数据降维到8个主成份的可视化表示
（k≤p）代替原来的P维向量。
PCA 给人脸数据降维
PCA 给人脸数据降维
计算过程为：
计算样本 均值 m
中心平 移每个 训练样 本 xi
计算训练集合的样 本协方差矩阵
对协方差矩阵进 行特征值分解
取协方差矩阵的K 个特征向量形成变 换矩阵，进行降维
从p维空间到k维空间的投影
(k < p) !
原始数据(p维)
第9节 数据降维
提纲
特征选择 PCA方法 流形
为什么进行数据降维
有些特征具有相关性，因而在进行学习建模时具 有冗余
可视化高维数据
监督特征选择
问题描述
假设学习 f: X->Y，其中X=<x1,x2,…,xd>, 其中并非每一维 都有相关性
降维
是从X中选择一个子集，或者给每一个被选特征一个权重 找到一个能够表达问题的最好的子集
这些新的分量f1，f2，…，fk(k≤p），按照保留主要信息
量的原则充分反映原变量的信息，并且相互独立。
f1 u11x1 u21x2 L up1xp f2 u12 x1 u22 x2 L up2 xp
LL fk u1k x1 u2k x2 L u pk xp
PCA 的计算
两个线性代数的结论
空间为过样本均值, 以最大特征值所对应的特征向量为方向 的子空间.
Principal component
线性方法的不足
数据特征并不具备简单性
例如: PCA 不能发现螺旋型数据，适合高斯分布 KPCA或许能解决主曲线问题，但曲面，立体？
20
15
10
5
0 1
0.5
0 -0.5
-1 -1
0 -0.5
1 0.5
提纲
特征选择 PCA方法 流形
流形（Manifold）
所谓流形（manifold）就是一般的几何对象的总称。流形 包括各种维数的曲线曲面等。和一般的降维分析一样，流形 学习把一组在高维空间中的数据在低维空间中重新表示。和 以往方法不同的是，在流形学习中有一个假设，就是所处理 的数据采样于一个潜在的流形上，或是说对于这组数据存在 一个潜在的流形。
监督特征选择-选择特征集合
一般做法
Forward selection: 选择分类测试中得分最高的d个特征
选择单个分值最高的特征Xk, 在已选的特征的基础上，给剩余特征打分
• E.g., 评估（Xi | Xk）= E(Xi, Y | Xk) • E.g., 评估（ Xi | Xk ）= Accuracy( Predicting Y from Xi and Xk)
流形（Manifold）
1 许多高维采样数据都是由少数几个隐含变量所决定的, 如人脸采样由光线亮度, 人离相机的距离, 人的头部姿势, 人的脸部肌肉等因素决定. 2 从认知心理学的角度, 心理学家认为人的认知过程是基 于认知流形和拓扑连续性的.
R
流形（Manifold）-几种方法
➢ 局部线性嵌入(LLE).
LL fk u1k x1 u 2k x2 L u pk x p
LL f p u1 p x1 u 2 p x2 L u pp x p
平移、旋转坐标轴
x 2
f1
主 成
份 分 析 的 几 何 解 释
f2
•• • • •
•• • •
•• •
•
• •
•••
•
•
•
• •••
• •• •
•• •
流形（Manifold）
降维
特征选择:依据某一标准选择性质最突出的特征 特征变换:经已有特征的某种变换获取约简特征
数据可视化和数据挖掘分析也需要降维
通常降到2维或3维 流形降维来观测数据的内在形状
线性方法: (PCA)
PCA的目的：寻找能够表示采样数据的最好的投影子空间. PCA的求解：对样本的协方差矩阵进行特征值分解, 所求子
➢ 拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmap).
M. Belkin, P. Niyogi, Laplacian Eigenmaps for Dimensionality Reduction and Data Representation. Neural Computation, Vol. 15, Issue 6, pp. 1373 –1396, 2003 .
1、若A是p阶正定或者半正定实阵，则可以找到正交阵U，使
1 0
UT
AU
0
2
0
0
0
0
p
p
p
其中 i ,i 1.2. p 是A的特征根。
PCA 的计算
2、若上述矩阵的特征根所对应的单位特征向量为
u1, ,up
u11 u12
令
U
(u1 ,
,up )
u21
u22
u p1 u p2
u1p
x 2
y
1
e 2 2
2
均值，方差（离散程度）
μ+2σ
μ
μ+2σ
x
平移、旋转坐标轴
x
f1
2
主
f2
成
•• • • •
份
分 析 的 几 何
•• • •
•• •
•
• •
•••
•
•
•
• •••
• •• •
•• •
• ••
x1
解
••
释
设有n个样本，每个样本有二维即xl和x2，在由xl和x2 所确定的 二维平面中，n个样本点所散布的情况如椭圆状。
LL fk u1k x1 u2k x2 L u pk xp
注：计算k个主成份之前。将原始数据的中心化值:
x(i) x(i) x
PCA 的计算的例子
x2
x1 2D data
1D data
3个点(1,1)(2,2)(3,3)，特征向量？特征值？
PCA 的中主成分个数的选择
p
1）贡献率：第i个主成份的方差在率 ，反映了原来i个特征向量的信息，有多大的提取信息能力 。
2）累积贡献率：前k个主成份共有多大的综合能力，用这k个主成份的
方差和在全部方差中所占比重
k
p
i i
i 1
i 1
来描述，称为累积贡献率。
进 行 主 成 份 分 析 的 目 的 之 一 是 希 望 用 尽 可 能 少 的 主 成 分 f1 ， f2 ， … ， fk
S. T. Roweis and L. K. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, vol. 290, pp. 2323--2326, 2000.
➢ 等距映射(Isomap).
J.B. Tenenbaum, V. de Silva, and J. C. Langford. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, vol. 290, pp. 2319--2323, 2000.