第三章量子力学中的对称性和角动量
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量子力学中的对称性和角动量
§3.1 引言
从经典物理知道,自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样?
从形式上看,守恒定律是运动方程的结果,因为它可以从运动方程导出。但是,从本质上看,守恒定律也许比运动方程更为基本,因为它表达了自然界的一些普遍法则,支配着自然界的所有过程。反过来,也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。
为什么会有守恒定律?守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。 运动过程的所有特征,实际上都已经隐含在运动方程之中,对称与守恒的研究,只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来,但它并不能给出超出运动方程的结果。 经典力学中,Hamiltonian 决定了体系的运动规律,看H 是否对于某一种变换不变,则体系在变换前后的运动规律也保持不变。----守恒量。 {}
{}0
,H u ,=+∂∂=H u H u t
u dt du 不显含时间,则
和如--表示u 是一个运动常数。
量子力学中, 运动方程为[]H F dt
dF i ,=
,其中力学量为算符[]0,=H F --二者具有共同的本征函数。
Wigner-Weyl 实现:态的对称性直接反映了H 的对称性。
§3.2 转动态的定义和转动算符 §3.2A 转动态的定义
在经典物理中,转动后坐标的变化为 ()()p R p r R r ϕθϕθ,',,'==
如果n 为z 轴,转动角为θ,则
z z y x y y x x p p z z p p p y x y p p p y x x ==+=+=-=-=',',cos sin ',cos sin ',
sin cos ',sin cos 'θθθθθθθθ-------⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z y x 10
0cos sin 0sin cos '''θθ
θθ 在量子力学中,一自旋为0的标量粒子波函数()r ψ,将它绕空间n 轴(z 轴)转动一个角度θ,此操作为作用在波函数上的算符()θ,n R ,则()()()r r n R ',ψψθ=。 转动态的定义:
.
''
,ψψψψψ
R r right R r r R left ====所以,---转动态。
物理上对转动态的要求:如果转动前后中所测得的物理量的关系和经典物理中一致(在下面举几个例子说明),则可称之为转动态。
在坐标系中,()r ψ为标量函数,存在()()r r ψψ=''
和()()r R r Rr r 1','-==ψψ。 现在,证明上式满足转动态的要求。
转动前,平均位置()()r x r dr x x ψψ
ψψ⎰==*
转动后,平均位置
()()()()
()()()θ
θψθθ
ψψψ
ψψψψsin cos sin cos ''''''''ˆ''*
*
*
y x r y x r dr r x r dr r x r dr x x -=-=
=
==⎰⎰⎰
3.2B 算符的转动
令()θ,n R 为转动算符。()()()()r R r r n R 1',-==ψψψθ, 转动前后,物理上要求几率守恒,即保持态归一化:
ψψψψψψψψR R R R
+====ˆˆ''1,则1ˆˆ=+R R
。 即转动算符R 为幺正算符,转动变换是一个幺正变换。
物理过程:转动前后平均值不变。 任一算符F 的平均值为:
.ˆ'ˆ''ˆ''ˆ'ˆˆˆ+++++======R F R F
F R F
R R R F R R R R F
R R F
F 转动后,新算符
ψψψψψψψψψψ
量子力学中,可观察量的转动。
θθsin ˆcos ˆ'ˆy x x
+=即变换使坐标转过角度θ,同时使体系的可观察量转过角度为θ-。
3.2C 态的无限小转动---求转动算符的具体形式 态的无限小转动,绕z 周的转角δθ为无限小,则
y x y y x x +=-=δθδθ','
(1)自旋为0的粒子波函数,
()()()()()()()⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂-∂∂+=-+==-y x x
y i L z y x L i z y x y x x y i i z y x y x
x
y
z y x z x y y x r R r z z ˆz ,,ˆ1,,1,,,,,,'1
,方向的轨道角动量算符
定义ψδθψδθψδθψδθδθψψψ
推广到任意轴n 的微小转动,有
()()().ˆ1,ˆˆ1'n L i n R
r n L
i r ⋅-=⎪⎭
⎫
⎝
⎛⋅-
=δθθψδθψ
无穷小转动算符为,
2009-10-14上课内容
(2)自旋为1/2的粒子的波函数。此时,波函数为二分量,记⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=-10,012121χχ,则体
系波函数为,()()()()()()()2
1221121211001-+=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψχψχψψψψψr r r r r r r 。 绕z 轴转动,证明波函数为()()r R i r z 1
2
1'-ψ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
=ψδθσ。
物理过程:在转动态下自旋、位置、动量与原来态满足经典关系,即
ψψ-ψψ=ψψy x x
δθ'ˆ' ()()()2
122
11'
''''-
+=ψχψχψr r r ,
当转动角度无限小时,把自旋的变化等同于位置的变化规律,则自旋的三个方向的分量为
χ
δθχδθχχδθδθ
χχχχδθ
δθ
χχχχ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= z z y x z y x S i i i 100
001
01000
0000010
00101
''''
此处,定义⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=00
00000i
i S z 从上面的讨论可知,轨道部分波函数变为,()()r n L
i r ψδθψ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⋅-
= ˆ1', 则总波函数为
()()()()
()()丢掉二阶项。
---ψ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=ψ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=+=ψ-
r S L i r S i L i r r r z z z z δθδθδθχψχψ111'
''''2
122
11
则任意轴无限小角度转动算符,()()
n
S L i n R ⋅+-=δθδθ1,,
其中粒子的总角动量算符可以写为S L J +=
3.2D 态的有限角度转动
绕n 轴无限小角度转动算符为()
n J i n R ⋅-
=δθδθ1,,