初三数学圆的性质定理

初三数学圆的性质定理

1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

4、垂径定理的应用：

①用直尺和圆规平分一条弧. 作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；

②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这

个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.

例1、如图，已知以点 O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦 AD交小圆于 B、C.

(1)求证： AB=CD

(2)如果 AD=6cm， BC=4cm，求圆环的面积 .

1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半 .

3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等 . ②半圆（或直径）

所对圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径 .

③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

4．圆的内接四边形：

①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，

这个圆叫做这个多边形的外接圆.

②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.

例2、如图， AB是⊙ O的直径， BC是弦， OD⊥BC于 E，交 BC于 D.若 BC=8， ED=2，求⊙O的半径 .

解：

1、如图，已知 AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥AB于点 P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙ O的半径是（

）

2、圆的半径为

A． 7cm 13cm，两弦 AB∥CD， AB=24cm， CD=10cm，则两弦

B ．17cm

C ．12cm

AB、CD的距离是

（

D．7cm或

17cm

）

3、如下图所示， AB是⊙ O的一条固定直径，它把⊙ O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点CD⊥AB，∠ OCD的平分线交⊙ O于点 P，当点 C 在上半圆（不包括A、B 两点）移动时，点P（

A．到 CD的距离保持不变 B．位置不变 C．平分D．随点 C的移动而移动C 作弦

）

4、如上中图， BD是⊙ O的直径，弦 AC、BD相交于点 E，则下列结论不成立的是（）

A．∠ ABD=∠ACD B．C．∠ BAE=∠BDC D．∠ ABD=∠BDC

5、如上右图，⊙ O的直径 CD过弦 EF 的中点 G，∠ EOD=40°，则∠ DCF等于

（

A． 80° B ．50° C． 40°D． 20°

）

6、如下图，A、B、C 是⊙ O上三点，∠ACB=40°，则∠ ABO等于 __________度．

7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．

8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P 是经过 O（0， 0）， A（0，2）， B（2，0）的圆上的一个动点（ P 与 O、A、B 不重合），则∠ OAB=，∠OPB=．

9、如右上图，△ABC内接于⊙ O，∠ B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．

10、如图，△ABC内接于⊙ O，∠ BAC=120°， AB=AC，BD为⊙ O的直径， AD=6，

则

BC=．

11、如图，⊙ O中的弦 AB、 CD互相垂直于 E，AE=5cm，BE=13cm，O到 AB的距离为．求⊙ O 的

半径及 O到 CD的距离．

12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为 7.2m，拱顶高出水面 2.4m，现有一艘宽 3m，船舱顶部为正方形并高出水面 2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．

13、如图， AB为⊙ O的直径， BD是⊙ O的弦，延长到 C，使 BD＝DC，连接 AC交⊙ O于点 F，点 F 不与

点A 重合．

（1） AB与 AC的大小有什么关系？为什么？

（2）按角的大小分类，请你判断△ ABC属于哪一类三角形，并说明理由．

一、确定圆的条件

(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点 A 作圆，只要圆心确定下来，半径就随之

确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为半径就可以作一个

圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图 (1) ．

(2)已知点 A、 B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则

圆心应在线段 AB的垂直平分线上．在 AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到 A、B 两点的距离

相等，所以在 AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到 A 的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2) ．

(3)要作一个圆经过 A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为

到A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB的垂直平分线，到 B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C 三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．

过不在同一条直线上的三点确定一个圆

2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，

这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．

3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法

作法图示

1．连结 AB、 BC

2．分别作 AB、BC的垂直

平分线 DE和 FG，DE和

FG相交于点 O

3．以 O为圆心， OA为半径作

圆

⊙O 就是所要求作的圆

例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎

样的特点？

（1）（2）（3）

例3、如图，点 A、B、C 表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输

水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．