沪教版-九年级(初三)数学-圆与正多边形讲义-圆的概念及性质复习讲义教案

板块 考试要求 A 级要求
B 级要求
C 级要求
圆的有关概
念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题
圆的性质 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系
能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题 能运用圆的性质解决有关问题
圆周角 了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角
会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题
能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题
一、圆的相关概念
1. 圆的定义
（1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转
所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． （3） 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”
圆O “． （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同
心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧
（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
（4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． （5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
3. 圆心角和圆周角
（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我
们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
二、圆的对称性
1. 旋转对称性
中考要求
知识点睛
圆的概念及性质
（1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自
身重合． （2） 圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性
（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性⇒垂径定理．
三、圆的性质定理
1. 圆周角定理
（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
注意：
①前提条件是在同圆或等圆中；
②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．
3. 垂径定理
D
（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：
①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．
注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．
注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与
勾股定理有：222()2
a
r d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第
三个量．
r a 2
d O C
B
A
一、圆的相关概念及性质
【例1】 判断题：
（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )
【巩固】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）
A ．''A
B A B = B ．''AB A B >
C ．AB 的度数=''A B 的度数
D ．AB 的长度=''A B 的长度
B 'A 'B
A
O
【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，
NH c =则下列格式中正确的是( )
A ．a b c >>
B ．a b c ==
C ．c a b >>
D ．b c a >>
O
N M
H
G F
E D
C B A
例题精讲
【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．
【例3】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直
线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．
分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1
图2
二、圆的性质定理
1. 圆周角定理
【例4】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）
A ．40︒
B ．45
︒ C ．50︒ D ．80︒
【巩固】如图，O ⊙
是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．
【例5】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径
为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．
P
O B
A。