沪教版-九年级(初三)数学-圆与正多边形讲义-圆的概念及性质复习讲义教案

一、圆的相关概念

1. 圆的定义

（1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转

所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． （3） 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”

圆O “． （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同

心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧

（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．

（4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． （5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

3. 圆心角和圆周角

（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我

们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

二、圆的对称性

1. 旋转对称性

中考要求

知识点睛

圆的概念及性质

（1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自

身重合． （2） 圆的旋转对称性?圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性

（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性?垂径定理．

三、圆的性质定理

1. 圆周角定理

（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，

注意：

①前提条件是在同圆或等圆中；

②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．

3. 垂径定理

D

（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：

①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．

注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．

注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与

勾股定理有：222()2

a

r d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第

三个量．

一、圆的相关概念及性质

【例1】 判断题：

（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )

【巩固】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=?，则（ ）

A ．''A

B A B = B ．''AB A B >

C ．AB 的度数=''A B 的度数

D ．AB 的长度=''A B 的长度

【例2】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，

NH c =则下列格式中正确的是( )

A ．a b c >>

B ．a b c ==

C ．c a b >>

D ．b c a >>

O

N M

H

G F

E D

C B A

例题精讲

【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．

【例3】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直

线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．

分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1

图2

二、圆的性质定理

1. 圆周角定理

【例4】 如图，80AOB ∠=?，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）

A ．40?

B ．45

? C ．50? D ．80?

【巩固】如图，O ⊙

是ABC ?的外接圆，已知50ABO ∠=?，则ACB ∠的大小为__________．

【例5】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径

为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．

P

O B

A