第4章 动态规划

4.3．动态规划的基本模式
二、动态规划法的基本思想
将原问题转化为若干个子问题来解决。但 是每个子问题只计算一次。因此，一般需要将 子问题的解保存起来以避免重复计算。 对所考虑的每个子问题都求出最优解，然 后由子问题的最优解递推地构造原问题的最优 解。但是，在求解过程中由于需要将子问题的 解保存下来以备将来使用，所以该方法往往需 要较多的附加空间。
用动态规划法求最优解
void MatrixChain(int *p，int n，int **m，int **s)
{ for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0; for (int r = 2; r <= n; r++) for (int i = 1; i <= n - r+1; i++) { int j=i+r-1;
4.2 矩阵链乘
一、问题
求对n个矩阵进行连乘积M1M2…Mn的最小 乘法次数。
二、穷举法
1.算法思路 穷举所有的计算次序，且对每一计算次序确 定其乘法次数。由此可找出n个矩阵进行连乘积 M1M2…Mn的最小乘法次数。 n 1/ 2 2.时间复杂度：(4 / n )
4.2 矩阵链乘
三、动态规划算法 1.递推计算公式 设C(i,j)表示求Mi Mi+1 … Mj的最少乘 法次数。则
具体执行过程请看fibona3.swf文件

算法复杂度：
时间复杂度：Θ(n)；附加空间：Θ(１)。
4.1. 引言
四、思考

k Cn 设计计算二项式系数
的递归算法和动态规划
算法，并分析各算法的复杂。

解答：
算法1——直接递归计算 k k k 1 递归公式：Cn Cn 1 Cn 1 算法特点：有大量的重复计算 时间复杂度： (2 n
M1：5×10 , M2: 10×4 , M3: 4×6 ,M4: 6×10, M5: 10×2.
4.2 矩阵链乘
上面三角形表中每一项C[i,j]标以计算矩阵链 乘Mi×Mi+1×..Mj(1<=i<=5)所需元素乘法的最 小次数。最终解是C[1,5]=348. 具体执行过程参见matchain.swf文件
第4章 动态规划
内容提要
一、引言
二、矩阵链乘问题
三、动态规划的基本模式
四、最长公共子序列问题 五、0-1背包问题 六、所有点对间的最短路问题
知识要点


动态规划法的基本模式 基本思想 适用范围 基本步骤 应用举例 掌握每一个动态规划算法的基本思想。
学习要求

掌握使用动态规划法设计算法的基本思路、适用范 围等
i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重 循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界 int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; 为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。
if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;}
一、适用范围
2. 最优性原理
当问题的最优解包含有子问题的最优解时， 称该问题满足最优性原理。 因此，问题的最优解可在其子问题的最优 解中寻找。这就决定了计算过程是：首先将问 题分解为子问题，求得子问题的最优解，由此 再构造得到原问题的最优解。
4.3．动态规划的基本模式
一、适用范围
3.子问题重叠性
原问题的子问题中由于可能有大量重复的 子问题，而相同的子问题只求解一次，因而其 效率往往高于枚举法。且子问题重复的越多， 其效率越高。
}
} }
4.3．动态规划的基本模式
一、适用范围
1．多阶段决策的最优化问题
问题的求解过程分阶段来完成，在每阶段 需要做出一个决策，形成一个决策序列。每个 决策序列对应一个目标函数值。要求求出目标 值最优（最大或最小）的决策序列，即最优决 策序列（最优解），所对应的目标值为最优值。
4.3．动态规划的基本模式
按自下而上的方式计算最优解的值，再由计 算的结果构造出一个最优解
4.4 最长公共子序列问题
一、问题 给定某字母表S上的两个长度分别为n和m的串 A 和 B,要求确定 A 和 B的最长公共子序列的长度。 说明： 一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素 后得到的序列。确切的说是，若给定序列 X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的 子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使 得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。 例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D， A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
A1
A2
A3
A4
A5
A6
3035 3515 155 510 1020 2025
m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j]; 算法复杂度分析： 算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r， s[i][j] = i; for (int k = i+1; k < j; k++) {
/ n1 / 2 )
4.1. 引言
四、思考
算法2——动态规划算法 算法特点：用帕斯卡三角从下到上来计算，每个子问题 只算一次。 2 时间复杂度：(n )
4.1. 引言
算法总体思想

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求 解问题分解成若干个子问题
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
4.3．动态规划的基本模式
三、设计一个动态规划算法的基本步骤
1. 证明满足最优性原理 实际上即是说明大问题的最优解可从子问题 的最优解答中找。这就决定了计算是从下而上 地进行根据子问题的最优解逐步构造出整个问 题的最优解的过程。
4.规划算法的基本步骤
2.递归定义最优解的值 即找出如何由子问题的最优解得到原问题的 最优解的关系式。 3.自下而上的方式求最优解的值
T(n/2)
4.1. 引言
算法总体思想

但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同 子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解 时，有些子问题被重复计算了许多次。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
4.4 最长公共子序列问题
定理: LCS的最优子结构性质
设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …,yn>的一 个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, zk>，则： 若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公 共子序列； 若xm≠yn、且zk≠xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子 序列； 若xm≠yn、且zk≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子 序列。 其中Xm-1=<x1,x2,…,xm-1>，Yn-1=<y1,y2,…,yn-1>， Zk-1=<z1, z2, …, zk-1>。
Input:A array r[1..n+1] of positive integers corresponding to the dimensions of a chain of n matrics,where r[1..n] are the number of rows in the n matrices and r[n+1] is the number of columns in Mn Output: The least number of scalar multiplications required to multiply the n matrices
4.4 最长公共子序列问题
给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X 的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X 和Y的公共子序列。 给定2个序列 X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，

找出X和Y的最长公共子序列。 字符串的相似性问题可以通过求解两个串间 的最长公共子序列(LCS)来得到。
4.1. 引言
算法总体思想

如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再 找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而 得到多项式时间算法。
T(n)
n/2
T(n/4) T(n/4) T(n/4)
=
n
n/2 n/2 n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4) T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)
4.4 最长公共子序列问题
二、穷举法
穷举A的所有2 个子串；且对每一个子串， 验证是否是B的子串。由此可找出A 和 B的最长 公共子序列的长度。 时间复杂度： (m2 n )
n
4.4 最长公共子序列问题
三、动态规划算法
1.递推计算公式 设L(i,j)表示A=a1a2 … ai和B=b1b2 … bj 的最长公共子序列的长度。则 L(i,0)=0 L(0,j)=0 if ai=bj, L(i,j)=L(i-1,j-1)+1 if aibj，L(i,j)=max{L(i-1,j),L(i,j-1)} 其中1in, 1jn.
C[i,j]←min(C[i,j],C[i,k-1]+C[k,j]+r[i]r[k]r[j+1]}