第四章 数学规划模型

第四章 数学规划模型

【教学目的】：深刻理解线性规划，非线性规划，动态规划方法建模的基本特点，并能熟练建立一些实际问题的数学规划模型；熟练掌握用数学软件（Matlab ，Lindo ，Lingo 等）求解优化问题的方法。 【教学重点难点】：

教学重点：线性规划和非线性规划的基本概念和算法，解决数学规划问题的一般思路和

方法，线性规划模型、整数规划模型、非线性规划模型的构建及其Matlab 与Lingo 实现。

教学难点：区分线性规划模型和非线性模型适用的实际问题，以及何时采用线性模型，

何时采用非线性模型，线性模型与非线性模型的转化。

【课时安排】：10学时

【教学方法】：采用多媒体教学手段，配合实例教学法，通过对典型例题的讲解启发学生思维，并给与学生适当的课后思考讨论的时间，加深知识掌握的程度。安排一定课时的上机操作。 【教学内容】：

在众多实际问题中，常常要求决策（确定）一些可控制量的值，使得相关的量（目标）达到最佳（最大或最小）。这些问题就叫优化问题，通常需要建立规划模型进行求解。称这些可控制量为决策变量，相关的目标量为目标函数；一般情况下，决策变量x 的取值是受限制的，不妨记为x ∈Ω，Ω称为可行域，优化问题的数学模型可表示为

Max(或Min)f(x), x ∈Ω

一般情况下，x 是一个多元变量，f(x)为多元函数，可行域比较复杂，一般可用一组不等式组来表示，这样规划问题的一般形式为

()

x

Min f x .

()0,1,2,,i st g x i m

≤=

虽然，该问题属于多元函数极值问题，但变量个数和约束条件比较多，一般不能用微分法进行解决，而通过规划方法来求解；这里讨论的不是规划问题的具体算法，主要是讨论如何将一个实际问题建立优化模型，并利用优化软件包进行求解。

根据目标函数和约束函数是否为线性，将规划模型分为线性规划和非线性规划。 4.1线性规划

线性规划(LP)研究的实际问题多种多样的，它在工农业生产、经济管理、优化设计与控

制等领域都有广泛应用。如资源分配问题、生产计划问题、物资运输问题、合理下料问题、库存问题、劳动力安排问题、最优设计问题等等。线性规划模型的求解方法目前仍以单纯形法为主要方法，该方法于1947年由美国数学家丹茨格（G .B.Dantzig ）提出，经过60多年的发展完善，已经形成比较成熟的算法，同时配合计算机技术的广泛应用使得该方法得到空前的普及应用。目前，大多数数学软件都可以求解一般线性规划模型，这一节主要采用Matlab 和Lindo 软件。 4.1.1奶制品的生产与销售 例1 加工奶制品的生产计划

【问题描述】一奶制品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A ．根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制．试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：

1)若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元? 3)由于市场需求变化，每公斤1A 的获利增加到30元，应否改变生产计划?

【问题分析】这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A (也可以是每天生产多少公斤1A ，多少公斤2A )，决策受到3个条件的限制：原料(牛奶)供应、劳动时间、设备甲的加工能力。

【模型假设】1) 1A ，2A 两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们各自的产量无关的常数；

2) 1A ，2A 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；

3)加工1A ，2A 的牛奶的桶数可以是任意实数．

【模型建立】设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A ． 设每天获利为z 元．1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利 24⨯31x ，2x 桶牛奶可生产42x 公斤2A ，获利16⨯42x ，故目标函数为：z=721x +642x ．

由题目可以得到如下约束条件：

原料供应： 生产1A ，2A 的原料(牛奶)总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50桶； 劳动时间： 生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x +82x ≤480小时；

设备能力： 1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100； 非负约束： 1x +2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0． 综上可得该问题的数学模型为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤+≤++0

x 0,x 1003x 4808x 12x 50

x x s.t.64x 72x max 21121

2121 由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划(LinearProgramming ，简记作LP)。

【模型求解】(图解法)：这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单，又便于直观地把握线性规划的基本性质．将约束条件中的不等号改为等号，可知它们是1Ox ，2x 平面上的5条直线，依次记为1L ～5L ，如图1．其中4L ，5L 分别是工2x 轴和1x 轴，并且不难判断，(2)～(5)式界定的可行域是5条直线上的线段所围成的5边形OABCD ．容易算出，5个顶点的坐标为：O(0，0)，A(0，50)，B(20，30)，C(100/3，10)，D(100/3，0)．

目标函数中的z 取不同数值时，在图1中表示一组平行直线(虚线)，称等值线族．如z=0是过O 点的直线，z=2400是过D 点的直线，z=3040是过C 点的直线，…．可以看出，当这族平行线向右上方移动到过B 点时，z=3360，达到最大值，所1,5[B 点的坐标(20，30)即为最优解：1x =20，2x =30．

图1 图解法示意图

我们直观地看到，由于目标函数和约束条件都是线性函数，在2维情形，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，于是最优解一定在凸多边形的某个顶点取得．推广到n 维情形，可以猜想，最优解会在约束条件所界定的一个凸多面体 (可行域)的某个顶点取得．

(软件求解)在LINDO 软件中输入如下程序：

max 72x1+64x2 st

2）x1+x2<50