目标规划的数学模型

在一次决策中，实际值不可能既超过目标值又未达到目标值，故有 d＋× d－＝0,
并规定d＋≥0, d－≥0 实际操作中，当目标值确定时，所做的决策只可能出现以下三种情况（即由d+和d- 所构成的3种不同组合表示的含义）：当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－＝0 成立。
5、满意解（具有层次意义的解）对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。
分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题．设若只考虑花钱最少，则 x1 ,x2分别为采购甲级、乙级原材料的数量显然属于线性规划问题，若只考虑采购数量最（单位：kg）
由（1），（3）至（6）多，则也属于线性规构成它的数学模型划问题，由（2），（3）至（6）构成它 y2为所购原料总量．则：的数学模型
资源限制 3600 2000 3000
钢1 , X2 一般有：同时： maxZ1=70 x1 + 120x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
表示Pk比Pk+1具有绝对的优先权．
因此，不同的优先因子代表着不同的优先等级．
若要进一步区别具有相同优先级的多个目标，
则可分别赋予它们不同的权系数ωj
(ωj 可取一确定的非负实数)，
根据目标的重要程度而给它们赋值，
重要的目标，赋值较大，
反之ωj 值就小．
4、达成函数（即目标规划中的目标函数）通过引入目标值和偏差变量，使原规划问题中的目标函数变成了目标约束，那么现在问题的目标是什么呢？目标规划的目标函数(准则函数) 是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。
矩阵表示为：
MaxY CX , AX B 约束条件 : X 0 (GP1)
其他情况：如目标函数为 min y , 约束条件
为“≥”，都可作适当的变换，调整为上面的形
式.
对于多目标问题中大多的情况是：
由于多目标之间存在相互矛盾，
最优解往往不可能存在，这就要求我们退而求其次，根据目标之间的相对重要程度，分等级和权重，求出相对最优解——有效解（满意解），为此引入以下概念，
•缺点是：这个最优解若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为代价。 •线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待，这也不符合实际情况。
•求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但实际中出现矛盾时，生产还得继续进行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。
（2）绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
①将原目标函数转化为目标约束：（需引入目标值和正、负偏差变量）例如：在下例中，规定Z1 的目标值为 50000, 正、负偏差为d＋、d－ ,则目标函数可以转换为目标约 maxZ1=70 x1 + 120x2 束，即70 x1 + 120 x2＋ d1 d1 maxZ2= x1 ＝50000，同样，若规定产品甲期望值是maxZ3= x2 200件，产品乙期望 9 x1 +4 x2 ≤3600 值是 250件,则有： 4 x1 +5 x2 ≤ 2000
y1 为花掉的资金，
Min y 1 2x1 x 2 目标函数为： Max y 2 x1 x 2
2 x1 x2 20 约束条件有： x x 100 1 2 x1 50 x1 , x2 0
1 2
3 4 5 6
目标规划正是在线性规划的基础上为适应这种复杂的多目标最优决策的需要，而发展起来的．它对众多的目标分别确定一个希望实现的目标值然后按目标的重要程度（级别）依次进行考虑与计算，以求得最接近各目标预定数值的方案．如果某些目标由于种种约束不能完全实现，它也能指出目标值不能实现的程度以及原因，以供决策者参考．
因此目标规划的目标函数只能是一个使总偏差量为最小的目标函数，
记为 minZ = f（d＋、d－）。
一般说来，对于达成函数有以下三种情况，但只能出现其中之一： ⑴.要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽可能小，则minZ = f（d＋＋ d－）。 ⑵.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正偏差变量尽可能小，则minZ = f（d＋）。 ⑶.要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值，也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f（d－）。这样根据各个目标的不同要求，可确定出总的目标函数
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法很难找到最优解。
对于多目标问题，线性规划很难为其找到
最优方案．极有可能出现：第一个方案使第一目标的结果优于第二方案，而对于第二目标，第二方案优于第一方案．就是说很难找到一个方案使所有目标同时达到最优，特别当约束条件中有矛
从线性规划问题可看出：线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取得最优解. 而在企业管理中，经常遇到多目标决策问题，如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考虑利润，产品质量和设备利用率等。这些指标之间的重要程度（即优先顺序）也不相同，有些目标之间往往相互发生矛盾。 •线性规划致力于某个目标函数的最优解，
一、问题的提出
引例1：某生物药厂需在市场上采购某种原料，现市场上有甲、乙两个等级，
单价分别为 2 千元/kg和 1 千元/kg，
要求采购的总费用不得超过 20 万元，
购得原料的总重量不少于 100 kg，
而甲级原料又不得少于 50 kg，问如何确定最好的采购方案? （即用最少的钱、采购最多数量的原料）．
2 1
maxZ3= x2 若规定3600的钢材必须用完， 9 x1 +4 x2 ≤3600 原式9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 , d 则变为 9 x1 4 x2 d 4 d 4 3600 d 4 ≤3000 0 4 x1 ， x2 ≥0
引例2:
某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润最大？同时，根据市场预测: 甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产，在此基础上使产量达到最大。试建立此问题的数学模型。
单位产品资源消耗
甲 9 4 3 70
乙 4 5 10 120
盾方程时，线性规划方法是无法解决的．实践中，
人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略，
在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方
法——目标规划．
二目标规划概述目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。（一）目标规划与线性规划的比较 1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。 2、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。
3、优先因子（优先等级）与优先权系数一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或轻重缓急的不同。优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表示出来。
要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定Pk>>Pk+1，表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的；依此类推。即不管Pk+1乘以一个多大的正数M，总成立Pk>MPk+1,
s.t
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x c x c x b k2 2 kn n k k1 1 x1 , x2 , , xn 0
2、目标约束和绝对约束
（1）目标约束是目标规划中所特有的，可把约束条件的右端项看作要追求的目标值；也可以对目标函数规定一个目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此可在这些约束或目标函数中加入正、负偏差变量；引入目标值和正、负偏差变量后，把原目标函数和原约束条件转化成约束方程，都并入到约束条件中，我们称这类具有机动余地的约束为目标约束。也称为软约束。
3、线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束；而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权是软约束。
4、线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花去大量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中，只要求得满意解，就能满足需要（或更能满足需要）。
因此，目前，目标规划已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。
(二)、目标规划的基本概念多目标规划问题的一般形式如下(简记为：GP1)
Max y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn C1 X Max y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn C 2 X Max y c x c x c x C X m m1 1 m2 2 mn n m

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数学建模目标规划方法

30
x1
2x1

12x2 x2

d1 d2

d1 d2

2500 140

x1

d
3

d3

60

a x (,)b
ij j
i
j 1
(i 1,2, , m)
绝对约束
x 0 ( j 1,2, , n) j
d , d 0 (l 1,2, , L) ll
非负约束
K
L
min Z
pk
(kl
d
l

kl
dl
)
k 1
l 1
n
c(l) x d d g ( l 1,2, , L)
三目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。
这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法——单纯形方法。
34
4
所以目标规划模型为：
min Z p d p (7d 12d ) p (d d )
11
2
2
3
34
4
70x 120x d d 50000
1
2
1
1
x 1
d d 200
2
2

x d d 250
生产甲、乙两种产品，

目标规划

12
3.目标规划的一般数学模型
第k级优先因子
m in
z Pk ( w d w dl ) l kl kl k 1 l 1
K
L
第l个目标约束的正偏差变量的权系数
系统约束
n a ij x j ( , )bi ( i 1, , m ) 目标约束 n j 1 s .t . clj x j d l d l g l ( l 1, , L) j 1 ( j 1, , n) xj 0 d, d 0 ( l 1, , L) l l
要求不超过目标值要求超过目标值
min z f (d ) min z f (d )
8
4. 优先因子(优先等级)与权系数
不同层次优先级
优先因子Pk>> Pk+1
同一层次优先级
权系数
目标规划解决问题的思路：刚性约束必须严格满足; 目标约束允许出现偏差. 按问题要求从高层到低层逐层优化，在不加大求解过程：高层偏差值的情况下，使该层的加权值偏差达到最小。 5. 满意解目标规划的求解是在不破坏上一级目标的前提下，实现下一级目标的最优，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解，我们称它们为满意解。
min{ d } 2 x 3 x d d 15 2 1 min{ d } 5 x d d 15 2 min{ d d } 4 x d d 16 1
11
min z P1 d 1 P2 (d 2 d 2 ) 3 P3 (d 3 d 3 ) P3 d 4 2 x1 2 x 2 12 2 x 3 x d d 15 1 2 1 1 2 x x d d 1 2 2 2 0 s.t . 4 x d d 1 3 3 16 5 x 2 d 4 d 4 15 x , x , d , d 1 2 i i 0( i 1,2,3,4)

第9章目标规划

d
2

400 560
(1) (2)

2x1

2x2

d
3

d
3
120
(3)

x1

2.5x2

d
4

d
4
100
(4)

x1、x2
,
d
j 、d
j

0,
j
1,,4
满意解是线段 BC 上任意点，端点的
解是 B(100/3，80/3)，C(60，0)．决策者根据实际情形进行二次选择．
原材料供应严格限制 2x1+x2≤11
考虑级别：第一级： (1)产品乙的产量不低于产品甲的产量
∵ x1≤x2
∴ x1－ x2 ≤0
∴ x1－x2+ d1－－ d1+=0
第二级：(2)充分利用设备有效台时，不加班 x1+2x2+ d2－－ d2+=10
第三级： (3充)分利利润用不设小于56元
(6)

x1, x2 di , di 0 (i 1, , 4)
C
(3) d1
d1 2
A
min d3 d3
满意解 C(3,3)
min d1
x1
o
2
4
6
图2－1
满意解X＝(3,3)
问题1：最后的利润是多少？
20x1+40x2+d1—d1+=80 x1=3, x2=3 得到d1+=100 利润=180
目标约束： ①在绝对约束中加入正负偏差量就变为目
标约束； ②线性规划问题的目标函数，在给定目标

第一节目标规划的数学模型

kl , kl 为分别赋予第l个目式中：Pk为第k级优先因子，k=1,…,K；标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标的预期目标值， l=1,…L。

建立目标规划数学模型的步骤
（1）按照实际问题所提出的各个目标与条件，列出目标的优先级。（2）写出绝对约束和目标约束（3）给各个目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级中各偏差变量，按不同的重要程度赋予不同的权系数。（4）对要求恰好达到目标值的目标，则取正负偏差变量之和，即 min(d d ) ；对要求超过目标值的，只取负偏差变量， min d 即；对要求不超过目标值的，只取正偏差变量，即 min d ，构造一个极小化的关于偏差变量的目标函数。
又包含偏差变量；
6. 目标规划模型中的优先级 pi 较之 pi 1的重
要性一般为数倍至数十倍之间； 7. 目标规划模型中的目标函数按照问题的性质要求可表示为求min或max； 8. 下列表达式能否表达目标规划模型中的目标函数：
(1)max z p1d1 p2 d 2 (2)min z p1d1 p2 d 2 (3)min z p1d1 p2 ( d 2 d 2 )
6.1.2关于目标规划的几个概念
1.偏差变量
用d＋表示超过目标值的差值，称为正偏差变量；
d－表示未达到目标值的差值，称为负偏差变量．
第一目标:尽量完成本周期的利润指标24000元如果实际利润是23500元,则 d 0, d 500 如果实际利润是24080元,则 d 80, d 0
min d1 300 x1 120 x2 d1 d1 24000 x d d 60 , x d d 100 min( d d 2 2 3 3 1 2 3 ) 2 20 x 10 x d d 1400 4 min d 1 2 4 4

数学建模四大模型总结

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP 问题是VRP 问题的特例。

● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

目标规划和线性规划的区别]

目标规划
(Goal programming)
目标规划概述目标规划的数学模型
目标规划的图解法目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求得更切合实际的解。
（二）、目标规划的基本概念
例题4—1
线性规划模型为：
maxZ = 8x1 + 10 x2 2x1 + x2 ≤11 ①
x1 +2x2 ≤10 ②
x1, x2≥0 X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出，约束条件是必须严格满足的等式或不等式，是绝对化的“硬约束”，此种问题若要求太多时，很容易相互矛盾，得不到可行解。如根据市场情况再加以下要求：
目标值之间的差异,记为 d 。正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d
＋。负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到目标值，故有 d＋× d－＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－＝0 成立。
后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。
权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的重要性差别，决策者可视具体情况而定。（优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验，可用专家评定法给以量化。）

数学建模-数学规划模型

建立数学模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标，需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通过建立数学模型描述和解决优化问题。
分类

运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法

x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1

《运筹学》教案-目标规划数学模型

《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。