第四章动态规划及其应用
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
动态规划算法的实现及其应用
动态规划算法的实现及其应用动态规划，英文缩写为 DP，是一种算法设计技术，通常用于求解最优化问题。
动态规划是解决一类特殊问题的有效方法。
它通过将原问题转化为若干个子问题的方式，逐个求解这些子问题，最终得到原问题的解。
这种方式具有很强的适用性，能够解决很多实际问题。
动态规划的实现动态规划算法的实现基本上可以分为以下两个步骤：1. 确定状态：将原问题转化为若干个子问题，定义合适的状态量来表示子问题。
状态的定义应该满足无后效性，即状态一旦确定，之后的状态转移不会再受之前的状态影响。
2. 确定状态转移方程：定义状态转移方程，通过状态之间的转移来逐步求解原问题。
状态转移方程可以通过一些简单的规律得到，也可以通过数学方法进行求解。
动态规划的应用动态规划算法有很多应用，下面列举一些常见的应用场景。
1. 最长公共子序列问题：给定两个字符串，求出它们的最长公共子序列，即在两个字符串中都出现的、长度最长的子序列。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为在两个字符串的某段位置上的最长公共子序列的长度，状态转移方程比较简单。
2. 背包问题：有一个容量为 V 的背包和 n 种物品，每种物品的重量为 wi，价值为 vi，现在要用这些物品装满背包，使得背包中所装物品的总价值最大。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为在前 i 件物品中，体积为 j 的情况下能获得的最大价值，状态转移方程也比较简单。
3. 最短路问题：给定一个带权图，求出其中从起点到终点的最短路径。
这个问题可以用动态规划算法求解，状态可以定义为从起点到某个点的最短路径，状态转移方程可以通过分阶段来进行求解。
4. 求解最大子段和问题：给定一个序列，求出其中连续子段的和的最大值。
这个问题也可以用动态规划算法求解，状态可以定义为以某个位置为结尾的最大子段和，状态转移方程与之前的问题类似。
动态规划算法虽然能够解决很多问题，但是它也存在一些限制。
动态规划算法的计算复杂度较高，需要占用大量的内存空间。
动态规划的原理及应用
动态规划的原理及应用1. 什么是动态规划动态规划（Dynamic Programming）是解决多阶段决策问题的一种优化方法。
它通过把原问题分解为相互重叠的子问题，并保存子问题的解，以避免重复计算，从而实现对问题的高效求解。
2. 动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以归纳为以下几步：•确定问题的状态：将原问题分解为若干子问题，确定子问题的状态。
•定义状态转移方程：根据子问题的状态，确定子问题之间的关联关系，建立状态转移方程。
•确定初始条件和边界条件：确定子问题的初始状态和界限条件。
•计算最优解：采用递推或迭代的方式计算子问题的最优解。
•构造最优解：根据最优解的状态转移路径，构造原问题的最优解。
3. 动态规划的应用场景动态规划广泛应用于以下领域：3.1 图论在图论中，动态规划可以用来解决最短路径问题、最小生成树问题等。
通过保存子问题的最优解，可以避免重复计算，提高求解效率。
3.2 数值计算在数值计算中，动态规划可以用来解决线性规划、整数规划等问题。
通过将原问题分解为子问题，并利用子问题的最优解求解原问题，可以快速求解复杂的数值计算问题。
3.3 操作研究在操作研究中，动态规划可以用来解决最优调度问题、最优分配问题等。
通过将原问题拆分为若干子问题，并保存子问题的最优解，可以找到全局最优解。
3.4 自然语言处理在自然语言处理中，动态规划可以用来解决句法分析、语义理解等问题。
通过构建动态规划表，可以有效地解析复杂的自然语言结构。
3.5 人工智能在人工智能领域，动态规划可以用来解决机器学习、强化学习等问题。
通过利用动态规划的状态转移特性，可以训练出更加高效和智能的机器学习模型。
4. 动态规划的优势和限制动态规划的优势在于可以高效地解决复杂的多阶段决策问题，通过保存子问题的最优解，避免了重复计算，提高了求解效率。
同时，动态规划提供了一种清晰的问题分解和解决思路，可以帮助人们理解和解决复杂的问题。
然而，动态规划也有其应用的限制。
动态规划算法及其应用
动态规划算法及其应用动态规划算法是一种常用的解决最优化问题的方法，它将问题划分为若干子问题，并通过求解子问题的最优解，逐步推导出原问题的最优解。
本文将介绍动态规划算法的基本原理、应用场景以及一些经典的动态规划问题。
一、动态规划算法的基本原理动态规划算法的基本思想是将问题划分为若干子问题，并记录子问题的最优解，再通过递推关系式计算出原问题的最优解。
它通常包括以下几个步骤：1. 定义状态：确定问题的状态，即需要求解的子问题。
2. 设置初始状态：找到最简单的子问题，并确定其最优解。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，构建递推公式，以确定问题的最优解与子问题最优解之间的关系。
4. 计算最优解：利用递推公式，按照一定的顺序计算各个子问题的最优解，并记录下来。
5. 利用最优解构造原问题的解：根据记录的最优解，逐步构造出原问题的最优解。
动态规划算法的核心是状态转移方程的构建，它描述了子问题之间的关系，并且决定了问题的最优解与子问题最优解的联系。
二、动态规划算法的应用场景动态规划算法在许多领域都有广泛的应用，特别是那些具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。
1. 最短路径问题：例如在图的最短路径算法中，可以利用动态规划算法求解顶点i到顶点j之间的最短路径。
2. 背包问题：背包问题是指在给定背包容量和一组物品的重量和价值的情况下，如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
动态规划算法可以求解该问题。
3. 编辑距离问题：编辑距离是指将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少操作次数，包括插入、删除和替换操作。
动态规划算法可以求解编辑距离。
4. 股票买卖问题：给定一组股票的价格序列，可以进行多次交易，但每次只能进行一次买入和一次卖出，求解如何获取最大利润。
动态规划算法可以求解该问题。
5. 最长上升子序列问题：给定一个序列，求解其中最长的上升子序列的长度。
动态规划算法可以求解该问题。
三、经典的动态规划问题1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的动态规划问题，其递推关系式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
动态规划(应用)
第 四 章 动态规划动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R ．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。
他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。
动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。
由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
第 一 节 动态规划的基本方法多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型及其求解方法。
例1：最短路线问题某工厂需要把一批货物从城市A 运到城市E ，中间可经过B 1 、B 2、B 3、C 1、C 2、C 3、D 1、D 2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A 到E 的距离最短？63 84 55 6 4 9 87 2 6 36 7 1 8 37下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。
(1)阶段(Stage)把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n 表示，用字母k 表示阶段变量。
如例l 中 (最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。
(2)状态(State)状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。
描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母s k 表示第k 阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用S k 表示。
动态规划在应用数学中的应用有哪些
动态规划在应用数学中的应用有哪些在应用数学的广袤领域中，动态规划是一种强大而富有成效的解题策略。
它为解决许多复杂的优化问题提供了高效且精确的方法。
那么，动态规划究竟在应用数学中有哪些具体的应用呢？让我们一起来探索。
首先，动态规划在资源分配问题中发挥着重要作用。
想象一下，一个企业有有限的资金、人力和时间等资源，需要将这些资源分配到不同的项目或业务部门，以实现最大的利润或效益。
这时候，动态规划就可以登场了。
通过建立合适的模型，将资源分配过程分解为一系列的阶段，并确定每个阶段的决策和状态，动态规划能够计算出最优的资源分配方案。
例如，一家制造企业要决定在不同的产品线之间分配生产资源，以满足市场需求并最大化总利润。
通过考虑每个产品线的生产成本、市场需求预测、生产能力等因素，利用动态规划可以找到最优的生产计划。
其次，动态规划在路径规划问题中也有广泛的应用。
比如说，在物流配送中，如何找到从起点到终点的最短路径或最优路径，使得运输成本最低、时间最短。
动态规划可以将整个路径空间分解为多个子问题，并通过逐步求解这些子问题来找到最优路径。
这在交通规划、网络路由等领域都具有重要意义。
比如，在城市交通中，为救护车规划最优的行驶路线，以最快的速度到达目的地，挽救生命。
再者，动态规划在库存管理中也能大显身手。
企业需要合理地控制库存水平，以平衡库存成本和满足客户需求。
通过动态规划，可以根据历史销售数据、市场需求预测、订货成本、存储成本等因素，确定最佳的订货策略和库存水平。
例如，一家零售商要决定何时补货、补多少货，以最小化库存成本并避免缺货现象。
动态规划能够帮助其做出明智的决策。
另外，动态规划在投资决策中也具有重要价值。
投资者常常面临着在不同的投资项目中分配资金，以实现最大的回报和最小的风险。
通过建立动态规划模型，可以考虑不同投资项目的预期收益、风险水平、投资期限等因素，找到最优的投资组合。
比如说，一个投资者有一定的资金，要在股票、债券、基金等多种投资工具中进行选择和分配，动态规划可以帮助他制定最优的投资策略。
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
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动态规划及其应用ppt课件
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例题
• 例1、数字三角形
•
（图2－１）示出了一个数字三角形。 请编一个程序计算从顶至底的某
处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大。
• ●每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
• ●1＜三角形行数≤100；
• ●三角形中的数字为整数0，1，…99；
• 输入数据：
• 由INPUT.TXT文件中首先读到的是三角形的行数。
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每一个花瓶的形状和颜色也不相同，因此，当各个花瓶 中放入不同的花束时会产生不同的美学效果，并以美 学值(一个整数)来表示，空置花瓶的美学值为0。在 上述例子中，花瓶与花束的不同搭配所具有的美学值， 可以用如下表格表示。比如杜鹃花放在花瓶2中，会 显得非常好看，但若放在花瓶4中则显得很难看。
End; {for}
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7
例题
• 有一个体积为V背包，现在有n个物品，他 们格子有自己的体积vi，和各自的价值wi。 现在需要选出一些物品装进背包，你的任 务是使装进物品的价值最大。
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• 状态：f[I,j](i表示处理第几个物品，j表示已 用了多大空间)
• 转移：f[I,j]=max(f[i-1,j-v[i]]+c[i],f[i-1,j]) • 边界：f[0,0]=0;
我们采用动态规划中的顺推解法。按三角形的 行划分阶段。若行数为n, 则可把问题看作一个n-1 个阶段的决策问题。从始点出发，依顺序求出第 一阶段、第二阶段，……，第n-1阶段中各决策点 至始点的最佳路径，最终求出始点到终点的最佳 路径。
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• 状态：f[I,j]表示，走到第i行第j列最大得分
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二、动态规划的基本概念
• 动态规划数学模型由阶段、状态、决策与策略、 状态转移方程及指标函数等5个要素组成。 • 为了理解动态规划的解题思路，
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1.动态规划决策过程划分
根据多阶段决策过程的时间参量是离散的还是连 续的，动态规划过程可分为：离散决策过程与连 续决策过程； 根据决策过程的演变是确定性的还是随机性的， 可分为：确定性、随机性的决策过程。 这样组合起来就有离散确定性、离散随机性、连 续确定性、连续随机性 四种决策过程模型。 有些决策过程的阶段数是固定的，称为定期的决 策过程， 有些决策过程的阶段数是不固定的或可以有无限 多阶段数，分别称为不定期或无期的决策过程。
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• 动态规划解决问题的基本思路：把整体比较复杂的大问 题划分成一系列较易于解决的小问题，通过逐个求解， 最终取得整体最优解。 • 这种“分而治之，逐步调整”的方法，在一些比较难以 解决的复杂问题中已经显示出优越性。 • 在经济管理决策中，有些管理决策问题可以按时序或空 间演变划分成多个阶段 ，呈现出明显的阶段性； • 于是可把这类决策问题分解成几个相互联系的阶段，每 个阶段即为一个子问题； • 原有问题的求解就化为逐个求解几个简单的阶段子问题； • 每个阶段的决策一旦确定，整个决策过程也随之确定， 此类问题称为多阶段决策问题。
• • •
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• 动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。 • 该方法在工程技术、企业管理、物流规划与管理以及军事等部门都 有广泛的应用，并取得了显著的效果。 • 在物流管理中，动态规划可以解决最优路径问题、生产计划与库存、 资源分配问题、装载排序、投资及生产过程的最优控制等问题。 • 它的独特解题思路，在处理某些优化问题时，比线性规划或非线性 规划方法更有效。 • 动态规划的优点是可把一个N维优化问题化成N个一维优化问题求 解；求得最优解以后，可得所有子问题的最优解。 • 动态规划的缺点是没有统一的处理方法，不同的问题具有不同的模 型，采用不同的求解方法，而且求解技巧要求比较高；状态变量维 数不能太高，一般情况下变量维数小于10。
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第四章 动态规划及其应用
• 【学习目标】 • 知识目标 1.了解动态规划的作用与意义以及在实际中的应用 2.掌握动态规划的基本方法以及动态规划的建模 3.掌握动态规划是规划论的一个重要分支，理解它与 传统的解题不同方法； 4.掌握动态规划的顺序及逆序解法。
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X1＝0， X2 ＝6 F＝max f(X1， X2) ＝ 54。
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目标函数最优值为：
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运用动态规划的方法来处理这个问题
从形式上我们把问题分解为两个子问题，每次只考虑一 个变量。 第一阶段，从形式上考虑X1，由约束条件（3.2）知,第一 阶段的X1的取值范围应为：0≤4X1≤12， 其对目标函数的贡献为R1＝8X1。 当第一阶段 X1形式取值确定后，在下一阶段X2的变化范 围是： 0≤2 X2 ≤12－4X1 在此基础上，在形式上考虑X2 ，它对目标函数的贡献为 R2＝9X2。
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任务一：动态规划问题概述
动态规划是把多阶段决策问题作为研究对象。 所谓多阶段决策是指可将问题求解的全过程划分 为若干个互相联系的阶段 (即将问题划分为许多个 互相联系的子问题)，在它的每一阶段都需要作出 决策，并且在一个阶段的决策确定以后再转移到 下一个阶段。 在决策过程中，往往前一个阶段的决策要影响到 后一阶段的决策，从而影响整个过程。 这类把一个问题划分成若干个相互联系的阶段并 选取其最优策略的问题就是多阶段决策问题。
• 能力目标 • 1. 能够结合实际情况建立动态规划模型 ，把一个复杂的 问题，划分为一系列小问题，以便通过解这些小问题来 求得全部问题的解决 • 2. 能够应用顺序及逆序解法求解简单的投资分配问题、 货物配装问题、最短路径问题以及生产与存储问题
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【项目导入】
• • • • 机械挖掘金矿问题 两个金矿A,B分别有存储量x，y，现有一部开矿机器。 如果开采金矿A，则以概率P1得储量x的r1倍（0< r1<1），并且 机器没有损坏，可以继续再去开采金矿A或B。同时又以概率1- P1 宣告失败，机器报废，也得不到金子； 如果把这部开矿机器用以开采金矿B，则以概率P2得到储量y的 r2倍（0<r2<1），并且机器没有损坏，可以继续再去开采金矿 A或 B，同时又以概率1- P2宣告失败，机器报废，也得不到金子。 把机器用于开采金矿A或者B，如果机器没有损坏，将继续把机 器用于开采金矿A或者B，直到机器损坏，问应该如何选择开矿的 序列使获得金子的期望值最大。 讨论题： 1. 运筹学的产生是不是属于偶然现象？ 2. 运筹学与物流的结合应用中间有什么必然联系？
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一、动态规划问题提出
• 1951年，美国数学家贝尔曼（R· Bellman，1920—1984） 研究了一类多阶段决策问题的特征，提出了解决这类问 题的基本原理。在研究、解决了某些实际问题的基础上， 他于1957年出版了《动态规划》这一名著。本章将简要 介绍动态规划的思想方法及其应用。 • 由于动态规划与“时间”关系很密切，随着时间过程的 发展而决定各阶段的决策，产生一个决策序列，这就是 “动态”的意思。 • 然而它也可以处理与时间无关的静态问题，只要在问题 中人为地引入“时间”因素，将问题看成多阶段的决策 过程即可。
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[例4.1] 线性规划问题
• max f (X1,X2)＝8 X1 ＋9 X2
s.t
4X1＋2X2 ≤12 X1≥0，X2≥0
3.13.2Fra bibliotek 这个问题的求解很简单，直观处理便可以找出最这个
问题的求解很简单，直观处理便可以找出最优解，因为目 标函数为X1， X2的线性函数，且系数均为正值， X2的系 数比X1的系数大，所以最优解中的X2 的取值要尽量大， X1 取值要相对较小，再分析约束条件，得：