高中数学必修四北师大版 2.2.5 从力做的功到向量的数量积作业3 含答案

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高中数学北师大版必修4一课三测：2.5 从力做功到向量的数量积

§5从力做功到向量的数量积填一填1.(1)夹角：①定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则________叫作向量a与b的夹角；②范围：________；③大小与向量共线、垂直的关系：θ＝⎩⎪⎨⎪⎧0°⇔a与b，180°⇔a与b，90°⇔a b.(2)投影：①定义：如图所示：OA→＝a，OB→＝b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝________.________叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)．夹角0°锐角90°钝角180°射影________________________________________(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把________ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作________，即a·b＝________.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影________的乘积，或b的长度________与a在b方向上投影________的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s 的数量积________.(4)性质：①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝________；②a⊥b⇔________(其中a，b为非零向量)；③|a|＝a·a；④cosθ＝________(|a||b|≠0)；⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|________|a||b|.(5)运算律：交换律：a·b＝________.结合律：(λa)·b＝________＝________.分配律：a·(b＋c)＝________.判一判1.向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．()2．设向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0.()3．零向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．() 4．两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．()5．由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()6．(a·b)c＝a(b·c)．()7．两个向量的数量积与实数乘法一致，a·b也可以写成ab或a×b.()8．当两个非零向量互相垂直时，其夹角的正弦值为0.()想一想1.提示：(1)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中cos θ有可能为0.(2)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c.但是a·b＝b·c推不出a ＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.2．如何正确理解“投影”的概念？提示：(1)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．(2)夹角与投影的联系．向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ，向量b 在a 的方向上θ的取值0 π ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，ππ2 投影的值 |b | －|b |正值负值零图示练一练1.若|m |＝4，|·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12 2．若a ·b >0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．4．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．知识点一数量积的运算 1.在△ABC 中，|AB |＝1，|BC |＝3，|CA |＝2，则AB ·AC＝( ) A.12 B ．1 C.3 D ．－12．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2. (2)(2a －b )·(a ＋3b )．知识点二,投影问题3.已知向量a ，b ，若a 在b 方向上的投影为3，|b |＝2，则a ·b ＝________.4．已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝3，则向量2a ＋3b 在向量知识点三向量的模与夹角5.已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．56．已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．综合知识数量积的应用7.在△ABC 中，若AB 2＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB，则△ABC 是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形8．在△ABC中，∠C＝90°，|AB|＝6，点P满足|CP|＝2，则P A→·PB→的最大值为()A．9 B．16C．18 D．25基础达标一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为32，则a·b＝()A．3 B.92C．2 D.122．给出以下结论：①0·a＝0②a·b＝b·a③a2＝|a|2④(a·b)·c＝a·(b·c)⑤|a·b|≤a·b. 其中正确结论的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．设向量|a＋b|＝23，|a－b|＝2，则a·b＝()A. 2B. 3C．2 D．34．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b 在a方向上的投影相等，则|a－b|＝()A．1 B. 3C. 5 D．35．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()A. 2B. 3C. 5D.76．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.5π67．设P 为△ABC 所在平面内一点，且满足P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心8．在平面上，四边形ABCD 满足AB →＝DC →，AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．正方形C ．菱形D ．矩形二、填空题9．若|a |＝3，|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________. 10．已知|a |＝4，e 为单位向量，a 在e 方向上的投影为－2，则a 与e 的夹角为________．11．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．12．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC→＝8，则△ABC 的形状是________．三、解答题13．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝ 5. (1)求|2a －3b |；(2)求3a －b 与a －2b 的夹角θ.14．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°. (1)求|a ＋b |的值；(2)当实数x 为何值时，x a －b 与a ＋3b 垂直？能力提升15.已知|a|＝4，|b|(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．16．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－k a＋t b垂直，试求k的最小值．§5 从力做功到向量的数量积一测基础过关填一填1．(1)∠AOB ＝θ 0°≤θ≤180° 同向反向 ⊥ (2)|b |cos θ |b |cos θ |b | 正值 0 负值－|b | 2．(1)|a ||b |cos θ a ·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |b | |a |cos θ (3)F ·s(4)|a |cos θ a ·b ＝0 a ·b|a ||b |≤(5)b ·a λ(a ·b ) a ·(λb ) a ·b ＋a ·c 判一判1．× 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.× 7.× 8.× 练一练1．B 2.A 3.π3 4.32 二测考点落实1．解析：在△ABC 中，已知|AB →|＝1，|BC →|＝3，|CA →|＝2，可知△ABC为直角三角形，且∠A ＝π3，则AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝1×2×12＝1.答案：B2．解析：(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7. (2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60.3．解析：投影也是一个数量，不是向量；当向量夹角θ 为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0°时投影为|a |；当θ＝180°时投影为－|a |.由题意可得|a |cos 〈a ，b 〉＝3，所以a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝6.答案：64．解析：投影为(2a ＋3b )·(2a ＋b )|2a ＋b |＝4a 2＋8a ·b ＋3b 24a 2＋4a ·b ＋b2＝1913＝191313.答案：1913135．解析：根据条件，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝9－3|b |＋|b |2＝13，所以解得|b |＝4或－1(舍去)．答案：C6．解析：由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0，所以2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，所以|a |＝|b |，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2|b |2＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.7．解析：∵在△ABC 中，AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →， ∴AB 2→＝AB →·AC →－AB →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB→， ∴AB 2→＝AB 2→＋CA →·CB →， ∴CA →·CB →＝0，∴∠C ＝90°， ∴△ABC 为直角三角形．答案：D8．解析：取AB 的中点D ，连接CD . P A →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →) ＝PC 2→＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB → ＝PC 2→＋PC →·(CA →＋CB →) ＝22＋PC →·2CD→ ＝4＋2PC →·CD→ ＝4＋2|PC →|·|CD→|cos α ＝4＋2×2×3cos α＝4＋12cos α，其中α为PC→与CD →的夹角，所以当α＝0°时，P A →·PB →的最大值为16. 答案：B 三测学业达标1．解析：设a 与b 的夹角为θ，因为|a |cos θ＝32，|b |＝3，所以a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.答案：B2．解析：①②③显然正确；(a ·b )·c 与c 共线，而a ·(b ·c )与a 共线，故④错误；a ·b 是一个实数，应该有|a ·b |≥a ·b ，故⑤错误．答案：C3．解析：由|a ＋b |＝23两边平方得a 2＋2a ·b ＋b 2＝12，由|a －b |＝2两边平方得a 2－2a ·b ＋b 2＝4.两式相减得4a ·b ＝8，所以a ·b ＝2.答案：C4．解析：由于投影相等，故有|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉，因为|a |＝1，|b |＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5. 答案：C5．解析：|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1－2＋4＝ 3. 答案：B6．解析：因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，所以2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，因为|b |＝4|a |，所以2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝23π. 答案：C7．解析：由P A →·PB →＝PB →·PC→，得PB →·(P A →－PC →)＝PB →·CA→＝0，即PB ⊥CA ，同理P A ⊥BC ，PC ⊥BA ，所以P 是△ABC 的垂心，故选B.答案：B8．解析：∵AB→＝DC →， ∴|AB→|＝|DC →|，且AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC →·BD→＝0， ∴AC→⊥BD →，∴AC ⊥BD ， ∴四边形ABCD 是菱形，故选C.答案：C 9．解析：∵|a |＝3，|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.答案：710．解析：因为a 在e 方向上的投影为－2，即|a |cos 〈a ，e 〉＝－2，所以cos 〈a ，e 〉＝－2|a |＝－12，〈a ，e 〉＝120°. 答案：120°11．解析：易知|AB→|2＝|BC →|2＋|CA →|2， ∴C ＝90°，∴cos B ＝513.又〈AB →，BC →〉＝180°－B ，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－B )＝13×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－25. 答案：－2512．解析：AB →·AC→＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝60°.又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形13．解析：(1)∵|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4a ·b ＋1＝5，∴a ·b＝0，∴|2a －3b |＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝13.(2)∵cos θ＝(3a －b )·(a －2b )|3a －b ||a －2b |＝3a 2＋2b 29a 2＋b 2×a 2＋4b2 ＝510×5＝22，又θ∈[0，π]，∴θ＝π4.14．解析：(1)由已知得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝3，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝19.(2)因为x a －b 与a ＋3b 垂直，所以(x a －b )·(a ＋3b )＝0，即x a 2＋(3x －1)a ·b －3b 2＝13x －30＝0，所以x ＝3013.15．解析：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6，∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10，∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313. 16．解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.又由已知得[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0，∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0，∴k ＝14()t 2－3t ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－916. 故当t ＝32时，k 取最小值－916.由Ruize收集整理。

数学北师大版必修4 2.5从力做的功到向量的数量积含解

备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;(2)c垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.图8向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则a×b=0.向量的向量积服从以下运算律:(1)a×b=-b×a;(2)a×(b+c)=a×b+a×c;(3)(m a)×b=m(a×b).二、备用习题1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|=|a||b⇔|a∥b②a与b反向⇔a·b=-|a||b|③a⊥b⇔|a+b|=|a-b| ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|A..1B.2C.3D.42.有下列四个命题:①在△ABC中,若AB·BC＞0,则△ABC是锐角三角形;②在△ABC中,若AB·＞0,则△ABC为钝角三角形;③△ABC为直角三角形的充要条件是·=0;④△ABC为斜三角形的充要条件是·BC≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( )3 A..43 B.4 C.42 D.8+24.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④5.在△A.BC 中,设AB =b ,=c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( )A..0B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________.7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求:(1)(a -3b )·(2a +b );(2)|3a -4b |. 9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+.9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos 3π=1.∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21.又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12.∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |c osθ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23c osθ,∴c osθ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147. (设计者：陆萍)。

高中数学第二章平面向量 2.5 从力做的功到向量的数

2.5 从力做的功到向量的数量积典题精讲例1若|a |=1，|b |=2，(a -b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（）A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析：设a 与b 的夹角为θ，∵（a -b ）·a =0.∴|a |2-b ·a =0.∴b ·a =1.∴cos θ=||||b a b a ∙=22. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案：B绿色通道：求向量a 与b 的夹角的步骤：（1）计算b ·a ，|a |，|b |；（2）计算cos 〈a ，b 〉；（3）根据范围确定夹角的大小.变式训练1已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.思路分析：求a 与b 的夹角余弦值，只要求出a ·b 与|a |、|b |即可.解：∵（a +3b ）⊥（7a －5b ）,∴（a +3b ）·（7a －5b ）=0.∴7a 2+16a ·b －15b 2=0.①又∵（a －4b ）⊥（7a －2b ）,∴（a －4b ）·（7a －2b ）=0.∴7a 2－30a ·b +8b 2=0.②①－②得46a ·b =23b 2，即有a ·b =21b 2=21|b |2. 代入①式，得7|a |2+8|b |2－15|b |2=0，故有|a |2=|b |2，即|a |=|b |.∴cos〈a ，b 〉=21||||||21||||2==∙b b b b a b a . 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉=60°，即a 与b 的夹角为60°.变式训练2已知△ABC 中，a =5，b =8，·=-20，试求C.有个同学求解如下：解：如图2-5-4，∵||=a =5，||=b =8，图2-5-4 218520||||-=⨯-=CA BC . 又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC 与CA 两向量的起点并不同，故∠C≠〈BC ，CA 〉,而是∠C＋〈BC ,CA 〉=180°，则cos 〈, 〉218520-=⨯-=. 又∵0°≤〈BC ,CA 〉≤180°，∴〈BC ,CA 〉=120°.∴∠C=60°.所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.例2已知向量a 、b 不共线，且|2a +b |=|a +2b |，求证：（a +b ）⊥（a －b ）.思路分析：可以证明（a +b ）与（a －b ）垂直，转化为证明（a +b ）与（a －b ）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一：∵|2a +b |=|a +2b |，∴（2a +b )2=（a +2b )2.∴4a 2+4a ·b +b 2=a 2+4a ·b +4b 2.∴a 2=b 2.∴（a +b ）·（a －b ）=a 2－b 2=0.又a 与b 不共线，a +b ≠0，a －b ≠0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED 中，设=a ，=b ,A 、B 、N 、M 分别是OC 、OD 、DE 、EC 的中点.图2-5-5则有2a +b =OC +OB =OC +CM =OM ，a +2b =+=+=ON ,a +b =21,a -b =BA =NM . ∵|2a +b |=|a +2b |，∴|OM |=|ON |.∴△OMN 是等腰三角形.可证F 是MN 的中点. ∴OE ⊥BA . ∴⊥. ∴21⊥BA . ∴（a +b ）⊥（a －b ）.绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练向量a 、b 均为非零向量，且|a |=|b |，求证：(a -b )⊥(a ＋b ）.思路分析：转化为证明向量(a -b )和(a ＋b )的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB 中,图2-5-6 设OA =a ,OB =b ,则a -b =，a+b =OC ， ∴|OA |=|OB |.∴四边形OA ＣB 是菱形.∴OC ⊥BA .∴⊥OC ，即(a -b )⊥(a ＋b ）.证法二：∵|a |=|b |，∴(a -b )·(a ＋b ）=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0.∵a 、b 均为非零向量,∴a -b ≠0，a ＋b ≠0.∴(a -b )⊥(a ＋b ）.问题探究问题（1）在Rt△ABC 中，∠BA C=90°，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（2）在等边△ABC 中，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（3）由（1）和（2）你发现了什么结论，并加以证明.导思:归纳、猜想、证明是人类认识世界和发现世界的主要手段，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.探究：（1）∵∠BA C=90°，∴cos〈AB ,AC 〉=0. ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+||2=||2. (2)∵||2=||2=||2,〈,〉=60°， ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+|AC |2-||2=||2=|BC |2.(3)可发现如下结论：在△ABC 中，有 ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2； ||2+|BC |2-2|||BC |cos 〈,BC 〉=|AC |2； |CA |2+|CB |2-2|CA ||CB |cos 〈CA ,CB 〉=|AB |2. 可以用语言叙述：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.此结论称为余弦定理.证明：如图2-5-7，在△ABC 中，有-=,图2-5-7 ∴(-AB )2=2BC . ∴2AB +2AC -2·=2BC ,即|AB |2+|AC |2-2|AB ||AC |cos 〈AB ,AC 〉=|BC |2. 同理可证：||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2; ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2.。

【步步高】高中数学北师大版必修4练习：2.5 从力做的功到向量的数量积(含答案解析)

§5 从力做的功到向量的数量积课时目标 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3．掌握向量数量积的运算律．1．两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是__________．②当θ＝0°时，a 与b________．③当θ＝180°时，a 与b________．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作________．2．射影的概念____________叫作向量b 在a 方向上的射影．____________叫作向量a 在b 方向上的射影．3．向量的数量积的定义已知两个向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把__________________叫作a 与b 的__________(或________)，记作________，即____________________________________．4．数量积的基本性质设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝__________，当a 与b 反向时，a·b ＝____________；(3)a·a ＝__________或|a|＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________________(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤__________(当且仅当a ∥b 时等号成立)．5．平面向量数量积的运算律(1)a·b ＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b ＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c ．一、选择题1．|a|＝2，|b|＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的射影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a|＝2，|b|＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A ．32B ．－32C ．±32D ．1 3．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a －b|等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．84．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0C ．32D ．3 5．若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，(2a ＋b)·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．若向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a ＋b)的值为________．8．给出下列结论：①若a≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b)c ＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0．其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________．10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b)＝0，则|b|的取值范围是________．三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a|＝|b|＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b|，|a －b|．能力提升13．已知|a|＝1，|b|＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影．14．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§5 从力做的功到向量的数量积答案知识梳理1．(1)非零向量 ∠AOB ①[0，π] ②同向 ③反向 (2)90° a ⊥b2．|b|cos θ |a|cos θ3．|a||b|cos θ 数量积内积 a·ba·b ＝|a||b|·cos θ4．(1)a·b ＝0 (2)|a||b| －|a||b|(3)|a|2 (4)a·b |a||b|(5)|a||b| 作业设计1．D [a 在b 方向上的射影是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1．]2．A [∵(3a ＋2b)·(λa －b)＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0．∴λ＝32．] 3．B [|2a －b|2＝(2a －b)2＝4|a|2－4a·b ＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b|＝22．]4．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12．同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32．] 5．C [由(2a ＋b)·b ＝0，得2a·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－|b|22|a||b|＝－|b|22|b|2＝－12，∴θ＝120°．] 6．C [∵a·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，∴(a ＋2b)·(a －3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72．∴|a|＝6．]7．0解析 b·(2a ＋b)＝2a·b ＋|b|2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0．8．④解析因为两个非零向量a 、b 垂直时，a·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a·b)c 与c 共线，a(b·c)与a 共线，故③不正确；④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0．9．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c|2＝|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2．又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b ＝－b 2，即2|a||b|cos 〈a ，b 〉＝－|b|2．∴cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°．10．[0,1]解析 b·(a －b)＝a·b －|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1．11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a·b ＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12．若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a·b ＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12．(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0．(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b|cos 60°＝4×3×12＝6． 12．解 a·b ＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝252． |a ＋b|＝＋2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2 ＝25＋2×252＋25＝53．|a －b|＝－2＝|a|2－2a·b ＋|b|2 ＝25－2×252＋25＝5． 13．解 (2a －b)·(a ＋b)＝2a 2＋2a·b －a·b －b 2＝2a 2＋a·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12． |a ＋b|＝a ＋b 2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1．∴|2a －b|cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b|·－＋|2a －b|·|a ＋b|＝－＋|a ＋b|＝12． ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影为12． 14．解 ∵|n|＝|m|＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n|cos 60°＝1×1×12＝12． |a|＝|2m ＋n|＝＋2 ＝4×1＋1＋4m·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b|＝|2n －3m|＝－2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n)·(2n －3m)＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72．设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a·b |a||b|＝－727×7＝－12．又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3．。

(北师大版)高中数学-必修四-同步习题-第二章平面向量 2.§5 从力做的功到向量的数量积

§5从力做的功到向量的数量积课时过关·能力提升1.设a·b=40,|b|=10,则向量a在b方向上的射影为()A.4B.43C.42D.8+3 2解析:设a,b的夹角为θ,向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=a·b=4010=4.答案:A2.已知O是△ABC所在平面内的一点,且满足(OB−OC)·(OB+OC−2OA)=0,则△ABC的形状一定为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.斜三角形解析:由(OB−OC)·(OB+OC−2OA)=0,得CB·(AB+AC)=0,所以CB⊥(AB+AC).又因为AB+AC与BC边上的中线共线,所以BC边上的中线也与BC垂直,所以AB=AC,故选C.答案:C3.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:p1:|a+b|>1⇔θ∈0,2π3;p2:|a+b|>1⇔θ∈2π3,π ;p3:|a-b|>1⇔θ∈0,π3;p4:|a-b|>1⇔θ∈π3,π .其中的真命题是()A.p1,p4B.p1,p3C.p2,p3D.p2,p4解析:因为|a+b|>1⇔|a|2+2a·b+|b|2>1⇔a·b>−12⇔|a||b|cosθ=cos θ>−12⇔θ∈0,2π3,所以p1为真命题,p2为假命题;因为|a-b|>1⇔|a|2-2a·b+|b|2>1⇔a·b<12⇔|a||b|cosθ=cos θ<12⇔θ∈π3,π ,所以p4为真命题,p3为假命题.答案:A4.在边长为1的等边三角形ABC中,AB=a,BC=b,则|a+3b|=()A.7B.10C.13D.4解析:∵|a+3b|2=|a|2+6a·b+9|b|2=1+6×1×1×cos 120°+9=7,∴|a+3b|=7.答案:A5.已知P是△ABC所在平面上一点,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则点P是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由PA·PB=PB·PC,得PA·PB−PB·PC=0,即PB·(PA−PC)=0,即PB·CA= 0,则PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥AB.所以P为△ABC的垂心.答案:D6.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0,则OC·AB的值为()A.−15B.15C.−65D.65解析:因为3OA+4OB+5OC=0,所以5OC=−3OA−4OB,因此(5OC)2=(−3OA−4OB)2,即25=9+24OA·OB+16,所以OA·OB=0.又向量AB=OB−OA,所以OC·AB=OC·(OB−OA)=(-3OA-4OB)·(OB-OA)5=-1+OA·OB5=−15,故选A.答案:A7.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(2a+b)的值为.解析:由题意,得a·b=|a||b|cos 120°=16×-12=−8,则b·(2a+b)=2a·b+b2=-16+16=0.答案:08.两个非零向量a,b互相垂直,给出下列结论:①a·b=0;②a+b=a-b;③|a+b|=|a-b|;④|a|2+|b|2=(a+b)2;⑤(a+b)·(a-b)=0.以上结论正确的是(写出所有正确结论的序号).解析:∵a⊥b,∴a·b=0,故①正确;由向量加减法的几何意义,知②不正确,③正确;(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=|a|2+|b|2,故④正确;(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2,而|a|与|b|不一定相等,故⑤不正确.答案:①③④9.如图,在四边形ABCD中,|AB|+|BD|+|DC|=4,|AB||BD|+|BD|·|DC|=4,AB·BD=BD·DC=0,则(AB+DC)·AC=.解析:设|AB|=a,|BD|=b,|DC|=c.由题意得a+b+c=4,且ab+bc=b(a+c)=4,解得b=2,a+c=2.∵AB·BD=BD·DC=0,∴(AB+DC)·AC=(AB+DC)·(AB+BD+DC)=|AB|2+2|AB||DC|+|DC|2=(|AB|+|DC|)2=(a+c)2=4.答案:410.已知|a|=1,|b|=2,设a与b的夹角为θ.(1)若θ=π3,求|a+b|;(2)若a与a-b垂直,求θ.解(1)|a+b|=(a+b)2= a2+2a·b+b2=1+2×1×2cosπ3+2=3+ 2.(2)由a·(a-b)=0,得a2=a·b=|a||b|cosθ,∴cos θ=a2=11×2=22.∴θ=π4 .11.已知{e1,e2}是平面上的一组基底,a=e1+λe2,b=-2λe1-e2.(1)若a与b共线,求λ的值;(2)若e1,e2是夹角为60°的单位向量,当λ≥0时,求a·b的最大值.解(1)∵a与b共线,∴存在实数μ,使得b=μa.∴-2λ=μ,-1=λμ,∴λ=±22.(2)∵e1·e2=1 2 ,∴a·b=(e1+λe2)·(-2λe1-e2)=-λ2-3λ−12=− λ+322+74,且a·b在λ∈[0,+∞)上是减少的.∴当λ=0时,a·b取得最大值−1 2 .★12.已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为60°,m=2x a+7b,n=a+x b,x∈R.(1)若m,n的夹角为钝角,求x的取值范围;(2)设函数f(x)=m·n,求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.解(1)a·b=|a||b|cos 60°=2×1×cos 60°=1.若m,n的夹角为钝角,则m·n<0,m·n=(2x a+7b)·(a+x b)=2x a2+7a·b+2x2a·b+7x b2=8x+7+2x2+7x=2x2+15x+7<0,解得-7<x<−12.当m∥n时,有2x2-7=0,解得x=±142.又x<0,因此x的取值范围是-7,-142∪-142,-12.(2)由(1)得f(x)=2x2+15x+7=2 x+1542−1698,所以f(x)在[-1,1]上是增加的,所以f(x)min=f(-1)=2-15+7=-6,f(x)max=f(1)=2+15+7=24.。

【精讲优练】高中数学北师大必修四练习：2.5从力做的功到向量的数量积(含答案解析)

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课时提高作业 (二十 )从力做的功到向量的数目积(25 分钟60分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 25 分 )1.设向量 a,b,知足 |a|=|b|=1,a·b=- ,则 |a+2b|= ()A. B.C. D.【分析】选 B. 因为 |a+2b|2=|a|2+4a· b+4|b|2=1-2+4=3, 因此 |a+2b|=.2.(2015 ·陕西高考 )对随意愿量 a,b,以下关系式中不恒建立的是()A.|a · b|≤ |a||b|B.|a-b|≤ ||a|-|b||C.(a+b) 2=|a+b|2D.(a+b) · (a-b)=a2 -b2【解题指南】由向量的线性运算性质及几何意义对各个选择项作出判断.【分析】选 B. 由=,因为 -1≤ cosθ ≤1,因此 |a· b|≤ |a||b|恒建立 ;由向量减法的几何意义联合三角形的三边关系可得,故B 选项不建立 ;依据向量数目积的运算律C,D 选项恒建立 .【赔偿训练】 (2015·宿州高一检测 )已知两个非零向量a,b 知足 |a+b|=|a-b|,则下边结论正确的是 ()A.a ∥ bB.a⊥ bC.|a|=|b|D.a+b=a-b【分析】选 B. 因为 |a+b|=|a-b|,因此 (a+b)2=(a-b) 2,即 a· b=0,故 a⊥ b.3.(2015 ·汉中高一检测 )|a|=1,|b|=2,c=a+b 且 c⊥a,则 a 与 b 的夹角为()A.30 °B.60°C.120°D.150 °【分析】选 C.c⊥a,设 a 与 b 的夹角为θ ,2因此 a2+|a||b|cosθ =0, 则 1+2cosθ =0,因此 cosθ =- ,因为 0°≤ θ ≤ 180° ,因此θ =120° .4.(2015 ·榆林高一检测)已知 |b|=3,a 在 b 方向上的射影是,则 a· b 的值为() A.3 B.C.2D.【分析】选 B. 设 a 与 b 的夹角为θ ,由题意知 |a|cosθ= .因此 a·b=|a||b|cosθ = × 3= .【赔偿训练】 (2015 ·西安高一检测)已知 |a|=3,|b|=5,且 a·b=12,则向量 a 在 b 方向上的射影为()A. B.3 C.4D.5【分析】选 A. 设向量 a 与 b 的夹角为θ ,则向量 a 在 b 方向上的射影为5.(2015 ·亳州高一检测)若 a,b,c 均为单位向量 ,且 a·b=0,(a-c) ·(b-c) ≤ 0,则 |a+b-c|的最大值为()A.-1B.1C. D.2【分析】选 B. 由已知条件向量a,b,c 均为单位向量可知,a2=1,b2=1,c2=1, 由 a·b=0 及 (a-c)·(b-c)≤ 0可知,(a+b)· c≥ 1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c,所以有2|a+b-c| =3-2(a· c+b·c)=3-2c · (a+b)≤ 1,故 |a+b-c|≤ 1.二、填空题 (每题 5 分 ,共 15 分 )6.(2015 ·湖北高考 )已知向量⊥,||=3,则·=__________.【分析】因为向量⊥,因此·=0,即·(-)=0,因此·-=0,即·==9.答案 :9【赔偿训练】 1.(2015·南昌高一检测)已知 a,b,c 是单位向量 ,且 a·b=0, 则 (a-c)· (b-c) 的最小值为 ________.【分析】设a+b 与 c 的夹角为θ ,则2(a-c)· (b-c)=a· b-a· c-c· b+c=0-(a+b) · c+1=1-(a+b) · c=1-|a+b|· |c|cosθ=1-cosθ因为θ ∈ [0,π ], 因此 cosθ ∈[-1,1],因此 1-cosθ ∈ [1-,1+].因此 (a-c)·(b-c) 最小值为1-,即 a+b 与 c 同向共线时获得最小值.答案 :1-2.(2015 ·赣州高一检测 )已知 |a|=2|b|≠ 0,且对于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根 ,则向量 a 与 b 夹角的取值范围是 ____________.【分析】因为对于x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根 ,因此 |a|2-4a· b≥ 0,因此设 a 与 b 的夹角为θ ,因为 |a|=2|b|≠ 0,因此 |b|= |a|,又θ ∈ [0,π ], 因此θ ∈ [,π ].答案 :[,π ]7.已知 a⊥ b,(3a+2b)⊥ (ka-b), 若 |a|=2,|b|=3,则实数 k 的值为 ________.【分析】由已知a· b=0,a2=4,b2=9,(3a+2b) · (ka-b)=0 ? 3ka2+(2k-3)a · b-2b2 =0.因此12k-18=0, 因此 k= .答案 :【赔偿训练】已知 e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke 1+e2 .若a·b=0,则实数k 的值为 ________.【解析】由题意知 :a · b=(e 1-2e2) · (ke1 +e2)=0, 即k+e1· e2-2ke1· e2-2=0, 即k+cos-2kcos-2=0, 化简可求得k= .答案 :8.(2015 ·宝鸡高一检测 )已知非零向量 a 与 b 的夹角为 120° ,若向量 c=a+b,且 c⊥ a,则的值为 ________.【分析】因为c=a+b,又 c⊥ a,因此 c· a=0,即 (a+b) · a=0,因此 a2+a·b=0,|a|2 +|a||b|cos120° =0,因此 |a|- |b|=0,因此= .答案 :三、解答题 (每题 10 分 ,共 20 分 )9.已知非零向量a,b 知足 |a|=1,且 (a-b)· (a+b)=.(1) 求 |b|.(2)当 a·b=- 时 ,求向量 a 与 a+2b 的夹角θ的值 .【分析】 (1)因为 (a-b) · (a+b)=,即 a2-b2= .因此 |b|2=|a|2- = ,因此 |b|= .(2) 因为 |a+2b|2=(a+2b) 222=|a| +4a· b+|2b|=1-1+1=1.因此 |a+2b|=1.又因为 a· (a+2b)=|a|2 +2a· b=1- = ,又 0°≤ θ≤ 180°,因此θ =60° .10.(2015 ·赣州高一检测)已知 a⊥b,且 |a|=2,|b|=1,若对两个不一样时为零的实数k,t,使得 a+(t-3)b 与 -ka+tb 垂直 ,试求 k 的最小值 .【分析】因为a⊥ b,因此 a· b=0,又由已知得 [a+(t-3)b] · (-ka+tb)=0,因此 -ka2+t(t-3)b 2=0,因为 |a|=2,|b|=1,因此 -4k+t(t-3)=0,因此 k= (t2-3t)=- (t ≠ 0).故当 t= 时 ,k 取最小值 - .【赔偿训练】对于两个非零向量a,b,求使 |a+tb|最小时的 t 的值 ,并求此时 b 与 a+tb 的夹角 .【分析】 |a+tb|2=a2+2(a· b)t+t 2b2=|a|2+2(a· b)t+t 2|b|2又因为 b≠0,(a+tb) ≠ 0,因此 b⊥(a+tb).因此 b 与 a+tb 的夹角为 90° .(20 分钟40分)一、选择题 (每题 5 分 ,共 10 分 )1.(2015 ·四川高考) 设四边形ABCD为平行四边形 ,||=6,||=4. 若点M,N 知足=3,=2,则·=()A.20B.15C.9D.6【解题指南】联合平面几何知识,利用向量加法法例,用,把,表示出来,再求其数目积 .【分析】选 C.在平行四边形ABCD 内 ,易得 ,=+,=-因此·== ()2- ()2= × 36-× 16=12-3=9.【赔偿训练】如下图,在 Rt △ ABC 中 ,A=90 ° ,AB=1, 则·的值是()A.1B. 1 或-1C.-1D. 不确立 ,与 B 的大小 ,BC 的长度相关【分析】选 C.依据数目积的定义 ,得·=-·=-||| |cosB.又 cosB=,故·=-|2| =-1.【一题多解】选 C.从投影的角度来考虑,事实上 ,因为 A=90 °,·=-·=-||||cosB,而 ||cosB=||,因此·=-||2=-1.2.(2014 ·安徽高考 )设 a,b 为非零向量 ,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和 y1,y2,y3,y4均由 2 个 a 和2 个 b 摆列而成 ,若 x1·y1+x 2·y2+x 3·y3+x 4·y4全部可能取值中的最小值为4|a|2,则 a 与 b 的夹角为 ()A. πB.C. D.0【解题指南】对x1· y1+x 2·y2+x 3· y3+x 4· y4的可能结果进行议论,依据各选项分别判断.【分析】选 B. 设 a 与 b 的夹角为θ ,x1· y1+x 2· y2+x 3· y3+x 4· y4有以下 3 种可能(1)2a2+2b 2=2|a|2+2|b|2=10|a|2.(2)4a2·b=4|a|· 2|a|cosθ =8|a| cosθ .(3)2a·b+a2+b2=5|a|2+4|a|2· cosθ .易知(2)最小 ,则22 8|a|·cosθ=4|a| ,解得 cosθ = ?θ = .二、填空题 (每题 5 分,共 10 分)3.设 e1 ,e2为单位向量 ,且 e1,e2的夹角为,若:a=e1+3e2,b=2e1 ,则向量a 在 b 方向上的射影为________.【分析】设a,b 夹角为θ ,由已知 |a|=,|b|=2,a· b=5.答案 :【赔偿训练】(2014 ·新课标全国卷Ⅱ)设向量 a,b 知足 |a+b|=10,|a-b|=6,则 a· b=() A.1 B.2 C.3D.5【分析】选 A. 因为 |a+b|=,|a-b|=,因此 a2+b2+2a· b=10,a2+b2-2a· b=6.联立方程解得a· b=1.4.在直角△ ABC中 ,CD 是斜边 AB 上的高 ,则以下等式建立的是________(填序号 ).① |2·2·; | =;②||=③ ||2=·;④||2=【分析】①正确.因为 AC ⊥ BC,因此 ||cosA=||,因此·=||·||cosA=||2;②正确 .因为 AC ⊥ BC, 因此 ||cosB= ||,因此·= ||||cosB= ||2;③错误 .·=||||cos(π -∠ ACD)=-||||cos∠ ACD=-||2;④正确 .因为 AC ⊥ BC,CD ⊥AB,因此 ||||=||||,又因为·=||2,·=||2,因此=2==||.答案 :①②④与的夹角错以为是∠ACD, 致使判断③建立.【误区警告】解答此题简单将向量三、解答题 (每题 10 分 ,共 20 分 )5.(2015 ·临沂高一检测)已知 |a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,c=3a+5b, d=ma-3b.(1)当 m 为什么值时 ,c 与 d 垂直 ?(2)当 m 为什么值时 ,c 与 d 共线 ?【分析】 (1)假定向量 c 与向量 d 垂直 ,得 c· d=0,而 c· d=(3a+5b) ·(ma-3b)22=3ma +(5m-9)a · b-15b=27m+3(5m-9)-60,因此42m-87=0, 即m=,即当 m=时,c与d垂直.(2)假定 c 与 d 共线 ,则存在实数λ ,使得 c=λ d,因此 3a+5b=λ (ma-3b),即 3a+5b=λ ma-3λ b.又 a 与 b 不共线 ,因此解得即当 m=- 时 ,c 与 d 共线 .6.(2015 ·吉安高一检测)已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为1,它们互相之间的夹角为120°.(1)求证 :(a-b)⊥ c.(2)若 |ka+b+c|>1(k ∈ R),求 k 的取值范围 .【分析】 (1)因为 |a|=|b|=|c|=1,且 a,b,c 之间夹角均为 120° ,因此 (a-b)· c=a· c-b· c=|a||c|cos120° -|b||c|· cos120°=0,因此 (a-b)⊥ c.(2) 因为 |ka+b+c|>1,因此 (ka+b+c) · (ka+b+c)>1,即 k2a2 +b2+c 2+2ka· b+2ka ·c+2b· c>1.因为 a· b=a· c=b· c=cos120° =- ,因此 k2-2k>0, 解得 k<0 或 k>2,即 k 的取值范围是{k|k<0 或 k>2}.封闭 Word 文档返回原板块。

新高一数学北师大版必修4试题：第2章§5 从力做的功到向量的数量积

一、选择题1．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 (2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a |·|b |·cos 60°－b 2.又|a |＝1，|b |＝1，故(2a －b )·b ＝1－1＝0.【答案】 B2．已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )A ．1B ．32C ．2D ．3【解析】因为(a －m b )⊥a ，所以(a －m b )·a ＝a 2－m b ·a ＝32－m ×2×3×cos 60°＝9－3m ＝0. 所以m ＝3.【答案】 D3．已知a ，b 方向相反，且|a |＝3，|b |＝7，则|2a －b |＝( )A ．1B ．13C ．2D ．3【解析】因为|2a －b |2＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4×32－4×3×7×cos 180°＋72＝169，所以|2a －b |＝13.【答案】 B4．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6【解析】如图所示，由题设知：AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →， ∴AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋34AD →·⎝⎛⎭⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD → ＝13×36－316×16＝9. 【答案】 C5．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【解析】由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝223|b|，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴83|b|2－223|b|2·cos θ－2|b|2＝0，∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. 【答案】 A二、填空题6．已知|a |＝1，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝ .【解析】因为|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2a ·b ＋9＝16.所以2a ·b ＝－6，又|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－6＋9＝4，即|a ＋b |＝2.【答案】 27．已知a ⊥b ，c 与a ，b 的夹角均为60°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a －2b －c )2＝ .【解析】 (a －2b －c )2＝|a |2＋4|b |2＋|c |2－4a ·b －2a ·c ＋4b ·C ．∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.a ·c ＝|a ||c |cos 60°＝1×3×12＝32， b ·c ＝|b ||c |cos 60°＝2×3×12＝3， ∴原式＝1＋4×4＋9－2×32＋4×3＝35. 【答案】 358．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝ .【解析】由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa·b ，而a ，b ，c为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 【答案】－8或5三、解答题9．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，求a 与b 的夹角θ的范围．【解】由(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2－2b 2＋3a·b ＝2×32－2×42＋3a·b ≥4，得a·b ≥6，∴cos θ＝a·b |a||b|＝a·b 3×4≥63×4＝12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 10．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．【解】 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·[－k a ＋t b ]＝0，∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0，∴k ＝14(t 2－3t )＝14⎝⎛⎭⎫t －322－916(t ≠0)．故当t ＝32时，k 取最小值－916. [能力提升]1．已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )A ．－25B ．－20C ．－15D ．－10【解析】 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴|AB →＋BC →＋CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CA →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2AB →·CA →＝9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋AB →·CA →)＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.【答案】 A2．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1B ．12C ．34D ．32【解析】 ∵c 与a ＋b 共线，∴c ＝λ(a ＋b )，∴|a ＋c |2＝|a ＋λ(a ＋b )|2＝|(λ＋1)a ＋λb |2＝(λ＋1)2＋λ2＋2λ(λ＋1)a·b＝2λ2＋2λ＋1＋2λ(λ＋1)×cos 120°＝λ2＋λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ＋122＋34. 当λ＝－12时，|a ＋c |min ＝32. 【答案】 D3．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是．【解析】由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b |a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a ＋b )|a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·(a ＋b )|a ＋b | ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ·(a ＋b )|a ＋b |＋b ·(a ＋b )|a ＋b | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a ＋b )·(a ＋b )|a ＋b |＝|a ＋b |. ∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6，∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6.∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6，∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12. 【答案】 124．已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |＞1(k ∈R )，求k 的取值范围．【解】(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c －b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥C．(2)因为|k a＋b＋c|＞1，所以(k a＋b＋c)2＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2k a·b＋2k a·c＋2b·c＞1，所以k2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°＞1，所以k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.所以实数k的取值范围为{k|k＜0或k＞2}．。

北师大版数学高一必修4试题 2.5从力做的功到向量的数量积

课后巩固作业（二十）(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2011·宝鸡高二检测)已知a=(a,1),b=(1,b),若a b⊥,则a,b符合的关系为( )(A)a-b=0 (B)a+b=0 (C)ab-1=0 (D)ab+1=02.(2011·广东高考)若向量a,b,c满足a∥b且a c⊥,则+)=( )c·(a2b(A)4 (B)3 (C)2 (D)03.已知向量+则|b|等于a与b的夹角为120°,|a|=3,|a b( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)14.设a,b是非零向量,若函数()＋的图像是一条直线,f x(xa b)(a xb)=-则必有( ) (A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)|a|≠|b|二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2011·安徽高考)已知向量a、b满足(a2b-)=-6,且+)·(a b|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为_________.6.(2011·新课标全国高考)已知向量a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a b-垂直,则k=_______.+与向量ka b三、解答题(每小题8分,共16分)7.(2011·南通模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a b-|=2.(1)求a·b的值；(2)求|a+b|的值.8.已知：|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c a2b=+ ,=-(m∈R).d ma6b(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)若c d∥,求|c+d|.【挑战能力】(10分)对于任意向量a、b,定义新运算“※”：a※b=|a|·|b|·sin θ(其中θ为a与b所成的角).利用这个新知识解决：若|a|=1,|b|=5,且a·b=4,求a※b的值.答案解析1.【解析】选B.由题意可知a ·b =0,即a+b=0.2.【解析】选D.∵a ∥b 且a c ⊥,∴b c ⊥,从而c b c a 0==,∴()c a 2b c a 2c b 0+=+=.故选D.3.【解析】选B.∵|a |=3,|a b +∴222|a b |(a b)a 2a b b 13+=+=++=, 即2|b |2a b 40+-=,又3a b |a ||b |cos120|b |2=︒=-,∴2|b |3|b |40--=,∴|b |=4.4.独具【解题提示】()f x (xa b)(a xb)=-＋的图像是一条直线,则f(x)是一次函数.【解析】选B.∵()222f x a bx (a b )x a b =--＋＋为直线方程,∴必有a ·b =0.由于a 、b 为非零向量,因此有a ⊥b .5.独具【解题提示】(a 2b +)·(a b -)=-6可以求出a ·b ,再利用夹角公式可求夹角.【解析】(a 2b +)·(a b -)=-6,即12+a ·b -2×22=-6, 则a ·b =1,所以a b 1cos a,b 2|a ||b |==〈〉, 所以〈a ,b 〉=60°.答案：60°6.【解析】由题意可知(a b +)·(ka b -)=0,即()22+--=.ka k1a b b0又|a||b|1==,∴(k-1)+(k-1)a·b=0,∴k=1.答案：17.【解析】(1)由|a-b|=2,得22-+=,a2a b b4∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.2(2)222+=++=,|a b|a2a b b6∴|a b|6+=.8.【解析】a b|a||b|cos a,b32cos603〈〉,==⨯⨯︒=(1)22=+-=+--c d(a2b)(ma6b)ma(2m6)a b12b =9m+3(2m-6)-48=15m-66=0,解得22=.m5(2)∵c d∥,∴1×(-6)-2×m=0,解得m=-3,∴d3a6b=--,+=--,c d2a4b∴222+=--=++|c d|(2a4b)4a16a b16b===【挑战能力】【解析】a·b=1×5×cos〈a,b〉=4,∴cos〈a,b〉4=，5∴sin〈a,b〉3=,5a※b3=⨯⨯==.1535独具【方法技巧】数学中“信息迁移题”问题解题技巧：所谓“信息迁移题”是指：设计一个陌生的数学情景(即：定义一个概念,约定一种运算,提供一串数据等)在阅读理解的基础上运用所学的数学知识和方法进行求解的一类问题.这是因为它不仅具有知识性、心理性测试的功能,还具有背景公平、有利于竞争的特点.解答此类问题的技巧有：①紧扣定义：由定义导致了“陌生情景”,显然定义是关键.解题时紧扣定义,深入分析定义的特点、认真领会定义的实质,尤其是定义中隐含的或特殊的情形.通过对定义的仔细推敲和概念的全面认识使问题获解.②借助图像：面对信息迁移题的众多数据及这些数据间错综复杂的制约关系,倘若能通过变量将它们联系起来,再在直角坐标系中画出图像,借助图像问题会渐趋明朗.③逐一验证：涉及多个方案选取最优方案问题,往往可以对各方案单独进行求解.在每个方案结果产生以后进行比较,结论不宣自明.④解析法：涉及确定曲线的信息迁移题,往往需要建立直角坐标系,利用二次曲线的有关知识进行求解.⑤构建模型：很多信息迁移题实际上也是应用题,求解思路：首先分析题意,然后建立数学模型,通过数学模型使问题获解.信息迁移题由于来源广、范围大,又加上新概念、新信息的引入及长长的文字叙述等,都给求解增添了很多困难.面对一个新的问题,往往不是某一种策略可以解决的,可能要综合运用多种策略构建模型方能奏效.。

2019-2020学年高一数学北师大版必修4同步单元卷：(14)从力做的功到向量的数量积

同步单元卷（14）从力做的功到向量的数量积1、下列四个命题: ①若0a b -=,则a b =; ②若0a b ⋅=,则0a =或0b =; ③若R λ∈且0a λ=,则0λ=或0a =; ④对任意两个单位向量12,e e ,都有121e e ⋅≤. 其中正确的命题是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④2、已知非零向量a 、b ,若2a b +与2a b -互相垂直,则ab等于( ) A.14 B. 4 C.12D. 23、如图,非零向量OA a =,OB b =,且BC OA ⊥,点C 为垂足,设向量OC a λ=,则λ= ( )A.2a b a⋅B.a b a b ⋅⋅C. 2a b b⋅D.a b a b⋅⋅4、已知四边形ABCD 中, 0AB CD +=且()()0AB AD AB AD +⋅-=,则这个四边形是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形5、在ABC ∆中, AB a =,BC b =,CA c =,则a b b c ⋅+⋅的值一定为( ) A.负数 B.正数 C.0 D.符号不确定6、已知6a =,4b =,a 与b 的夹角为60,则()()23a b a b +⋅-= ( )A.-72B.72C.-36D.367、已知2a =,3b =,a ,b 的夹角为60,则()2a a b ⋅-等于( ) A.-2 B.2 C.-10 D.108、在矩形中ABCD ,3AB =4BC =,点E 为BC 的中点,点F 在CD 上,若3AB AF ⋅=,则AE BF ⋅的值是( ) A. 53- B. 53+C. 43+ D. 539、在△ABC 中,已知90BAC ∠=°, 6AB =,,若D 点在斜边BC 上,且2CD DB =,则AB AD ⋅uu u r uuu r的值为( )A.48B.24C.12D.610、在△ABC 中, 6AB =,O 为△ABC 的外心,则AO AB ⋅等于( )A.B.6C.12D.1811、如图,在边长为1的正三角形ABC 中, BD xBA =,CE yCA =,0x >,0y >,且1x y +=,则CD BE ⋅的最大值为( )A. 58-B. 34-C. 32-D. 38-12、已知向量,a b 满足1,2,2a b a b ==-=,则a b +=__________. 13、已知2==a b ,2a b ⋅=-,且()()a b a tb +⊥+,则实数t 的值为__________. 15、在Rt ABC ∆中, 90?C ∠=,3AC =,4CB =,设AC b =,CB a =,BA c =,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅的值为__________.16、i ,j 为互相垂直的单位向量,若2a b i j +=+,23a b i j -=-+,则a b ⋅=__________. 17、向量a ,b 满足a b a b +=-,则a b ⋅=__________.18、若向量a 与b 的夹角为60,4b =,(2)(3)72a b a b +⋅-=-,则a =__________. 19、平面上三个向量OA ,OB ,OC ,满足1OA =,3OB =,1OC =,0OA OB ⋅=,则CA CB ⋅的最大值是__________.20、如图,在△ABC 中, 2AB =,ABC θ∠=,AD 是边BC 上的高,当,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, AD AC ⋅的最大值与最小值之和为__________.14在中,为中线上的一个动点,若,则的最小值是 .答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：①是正确的;因为cos 0a b a b θ⋅=⋅=0a ⇒=或0b =或cos 00a θ=⇒=或0b =或90θ=︒,故②是错误的;③是正确的;④中, 1212cos cos 1e e e e θθ⋅=⋅=≤,故④是正确的.2答案及解析：答案：D解析：由2a b +与2a b -互相垂直, 得(2)(2)0a b a b +⋅-=, 所以2240a b -=, 即224a b =, 所以2a b =,所以2ab=.3答案及解析：答案：A解析：BC OC OB a b λ=-=-. 由2()0a b BC OA a b a aλλ⋅⊥⇒-⋅=⇒=.4答案及解析：答案：C解析：由0AB CD +=,可得AB CD =-.故四边形ABCD 为平行四边形,由()()0AB AD AB AD +⋅-=, 可知其对角线互相垂直,故为菱形,选C.5答案及解析：答案：A解析：AB a =,BC b =,CA c =,则a b b c ⋅+⋅()20b a c BC CB b =⋅+=⋅=-<.6答案及解析：答案：A解析：()()23a b a b +⋅-=226a a b b -⋅-236cos 6472a b θ=--⨯=-.7答案及解析：答案：A解析：∵()222a a b a a b ⋅-=-⋅22cos602a a b =-⋅⋅︒=-,∴选A.8答案及解析：答案：B解析：如图所示,过点F 作//FG AD 交AB 于点G , 易知所以cos ,AB AF AB AF AB AF ⋅=⋅⋅〈〉3AB AG =⋅=故31AG AB==,所以()()AE BF AB BE BC CF ⋅=+⋅+AB BC AB CF BE BC BE CF =⋅+⋅+⋅+⋅0331)24053=-+⨯+=+故选B.9答案及解析：答案：B解析：由题意知23AD AC CD AC CB =+=+uuu r uuu r uu u r uuu r uu r221()333AC AB AC AB AC =+-=+uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,∴21()33AB AD AB AB AC ⋅=⋅+uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ,∵90BAC ∠=o ,∴0AB AC ⋅=uu u r uuu r,因此222362433AB AD AB ⋅==⨯=uu u r uuu r uu u r ,故选B.10答案及解析：答案：D解析：如图,过点O 作OD AB ⊥于D , 易知132AD AB ==, 则()AO AB AD DO AB ⋅=+⋅AD AB DO AB =⋅+⋅36018⨯+=故选D.11答案及解析：答案：D解析：由题设得1cos32AB AC AB AC π⋅=⋅=, CD CB BD AB AC xBA =+=-+(1)x AB AC =--,BE BC CE AC AB yCA =+=-+(1)y AC AB =--xAC AB =-,所以(1)()CD BE x AB AC xAC AB ⎡⎤⋅=--⋅-⎣⎦22(1)(1)x x AB AC AB AC x AB x AC =-⋅+⋅---2111222x x =-+-2113()228x =---,因为0x >,0y >,且1x y +=, 所以01x <<, 所以当12x =时, CD BE ⋅取最大值38-.12答案及解析：解析：∵22224a b a a b b -=-⋅+=,∴12a b ⋅=,∴22226a b a a b b +=+⋅+=,∴6a b +=.13答案及解析：答案：-1解析：∵()()a b a tb +⊥+, ∴()()0a b a tb +⋅+=,∴220a ta b a b tb +⋅+⋅+=,∴42240t t --+=,∴1t =-.14答案及解析：答案： -2解析：由向量加法的平行四边形法则,,所以.当时,取最大值.15答案及解析：答案：-25解析：由勾股定理得5BA =,4cos 5B =,3cos 5A =, 故a b b c c a ⋅+⋅+⋅34035542555⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯-+⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16答案及解析：答案：-2解析： 2a b i j +=+,23a b i j -=-+,可得25a i j =-+,23b i j =-,所以()()4538a b i j i j ⋅=-+-=-,所以2a b ⋅=-.17答案及解析：答案：0解析：220a b a b a b +=-⇒⋅=.18答案及解析：答案：6解析：由22(2)(3)6a b a b a a b b +⋅-=-⋅-24cos6061672a a =-⋅⋅︒-⋅=-,得6a = (4a =-舍去).19答案及解析：答案：3解析：()()CA CB OA OC OB OC ⋅=-⋅-()2OC OA OB OC =-+⋅1cos OA OB OC θ=-+⋅12cos θ=-,其中θ为向量OA OB +与OC 的夹角,当θπ=时,CA CB ⋅取得最大值3.20答案及解析：答案：4解析：由题意得sin AD AB θ=⋅, 则()AD AC AD AB BC ⋅=⋅+cos()2AD AB AD AB πθ=⋅=⋅⋅-222sin 4sin AB θθ=⋅=因为,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以AD AC ⋅的最大值为3,最小值为1, 故最大值与最小值的和为4.。

数学北师大版必修4练习：2.5从力做的功到向量的数量积

[A 基础达标]1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，是真命题的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选D.因为(a ·b )c 是与c 共线的向量，(c ·a )b 是与b 共线的向量，所以(a ·b )c 与(c ·a )b 不一定相等，排除①.因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，所以(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直，所以排除③，故选D.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C.因为a ·b ＝|a ||b |cos θ，所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝12.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－32B.32 C ．±32D ．1解析：选B.因为3a ＋2b 与λa －b 垂直，所以(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λ|a |2＋(2λ－3)a ·b －2|b |2＝0. 因为a ⊥b ， |a |＝2，|b |＝3，所以a ·b ＝0，|a |2＝4，|b |2＝9，所以12λ－18＝0，即λ＝32.4．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 3解析：选D.设|BD →|＝x ，则|BC →|＝3x ， AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD → ＝|BC →|·|AD →|cos ∠ADB ＝3x ·1·1x＝ 3.5．若向量a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，则|a －b －c |的最小值为( ) A.2－1B ．1C.2＋1D. 2解析：选A.因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以|a －b |＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，所以|a －b －c |≥|a －b |－|c | ＝2－1.6．已知单位向量e 1，e 2的夹角为120°，则|2e 1－e 2|＝________．解析：|2e 1－e 2|＝（2e 1－e 2）2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝5－4×1×1×cos 120°＝7.答案：77．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，则向量AB →在向量AC →上的投影等于________．解析：因为等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，B ＝30°，所以∠BAC ＝120°，因此向量AB →在向量AC →上的投影为|AB →|cos 120°＝－12.答案：－128．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 答案：－8或59．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求(1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |.解：由已知得a·b ＝4×2×cos 120°＝－4， a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a ＋b |＝2 3.(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2 ＝9a 2－24a·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a －4b |＝419.10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5. (1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a ·b ＋b 2＝5. 因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，所以9－6a ·b ＋1＝5，所以a ·b ＝56.所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15.所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a ·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203.所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439.因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫4392＝339.所以3a －b 与a ＋3b夹角的正弦值为339. [B 能力提升]1.如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC .若|AB →|＝a ，|AD →|＝b ，则AC →·BD →＝( ) A ．a 2－b 2B ．b 2－a 2C ．a 2＋b 2D ．a ·b解析：选B.因为AD →⊥DC →，所以AC →在AD →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAD ＝|AD →|，又AB →⊥BC →，所以AC →在AB →方向上的投影为|AC →|·cos ∠CAB ＝|AB →|.所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AD →||AD →|－|AB →||AB →|＝b 2－a 2.2．设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝xe 1＋ye 2，x ，y ∈R.若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：根据题意，得⎝⎛⎭⎫|x ||b |2＝x 2（xe 1＋ye 2）2＝x 2（xe 1）2＋（ye 2）2＋2xye 1·e 2 ＝x 2x 2＋y 2＋2xy cosπ6＝x 2x 2＋y 2＋3xy＝11＋⎝⎛⎭⎫y x 2＋3y x ＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14.因为⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≥14，所以0<⎝⎛⎭⎫|x ||b |2≤4，所以0<|x ||b |≤2.故|x ||b |的最大值为2. 答案：23．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|ka ＋b |＝3|a －kb |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 的夹角为60°，求k 的值．解：(1)因为|ka ＋b |＝3|a －kb |，所以(ka ＋b )2＝3(a －kb )2，且|a |＝|b |＝1，即k 2＋1＋2ka ·b ＝3(1＋k 2－2ka ·b )，所以a ·b ＝k 2＋14k .因为k 2＋1≠0，所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)因为a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.所以k 2＋14k ＝12.所以k ＝1.4．(选做题)在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →.(1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0，由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝()AD →＋DP →·()BC →＋CP→ ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC →＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.。

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双基达标 (限时20分钟)
1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )．
A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0
C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b
D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c
解析 A 中若a ⊥b ，则有a·b ＝0，不一定有a ＝0，b ＝0.
C 中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b .
D 中当a ＝0时，a·b ＝a·c ，不一定有b ＝c .
答案 B
2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝( )． A.12 B.32 C ．1＋32 D ．2
解析 a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos 60°
＝1＋1×1×12＝32.
答案 B
3．设e 1，e 2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是( )．
A ．e 1·e 2＝1
B ．e 1·e 2＝－1
C ．|e 1·e 2|＝1
D ．|e 1·e 2|<1
解析 ∵e 1，e 2平行，∴e 1与e 2的夹角θ＝0°或θ＝180°，若θ＝0°，则e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝1×1×cos 0°＝1；
若θ＝180°，则e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝1×1×cos 180°＝－1；
综上得|e 1·e 2|＝1.
答案 C
4．已知|a |＝5，|b |＝6，若a ∥b ，则a ·b ＝________.
解析由a ∥b ，可知a 与b 的夹角为0或π，故a ·b ＝±30.
答案 ±30
5．已知a ⊥b ，(3a ＋2b )⊥(k a －b )，若|a |＝2，|b |＝3，则实数k 的值为________．
解析由已知a·b ＝0，a 2＝4，b 2＝9，(3a ＋2b )·(k a －b )＝0⇒3k a 2＋(2k －3)a ·b －
2b 2＝0.∴12k －18＝0，∴k ＝32.
答案 32
6．已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．
解 ∵a ＋3b 与7a －5b 垂直，∴(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，
∵a －4b 与7a －2b 垂直，∴(a －4b )·(7a －2b )＝0.
于是有⎩⎨⎧
7a 2＋16a·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0. ② ①－②得2a ·b ＝b 2. ③
将③代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.
∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|b |22|b |2＝12.
∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.
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7．如图所示，在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →
的值是( )．
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．不确定，与B 的大小，BC 的长度有关
解析法一根据数量积的定义，得AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →
|cos B ．又cos
B ＝|BA →||B
C →|
，故AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1，故选B. 法二从投影的角度来考虑，事实上，由于A ＝90°，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC
→
|cos B ，而|BC →|cos B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →
|2＝－1.故选B.
答案 B
8．已知|a |＝3，|b |＝2， a ，b ＝60°，如果(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为
( )．
A.3223
B.2343
C.2942
D.2116
解析由已知可得(3a ＋5b )·(m a －b )＝0，即3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0⇒3m ·32
＋(5m －3)·3×2·cos 60°－5×22＝0，解之得m ＝2942.
答案 C
9．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2
解析由已知条件向量a ，b ，c 均为单位向量可知，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a·b ＝0及(a －c )·(b －c )≤0可知，(a ＋b )·c ≥1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )＝3－2c ·(a ＋b )≤1，故|a ＋b －c |≤1. 答案 B
10．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，
则实数k 的值为________．
解析由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1·e 2－2k e 1·e 2－2e 22＝0，
即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.
答案 54
答案－2
11．对于两个非零向量a ，b ，求使|a ＋t b |最小时的t 的值，并求此时b 与a ＋t b 的夹角．
解 |a ＋t b |2＝a 2＋2(a·b )t ＋t 2b 2
＝|a |2＋2(a·b )t ＋t 2|b |2
＝|b |2⎝ ⎛
⎭⎪⎫t ＋a·b |b |22＋|a |2－(a·b )2|b |2. 当t ＝－a·b |b |2时，|a ＋t b |2取得最小值，
即|a ＋t b |取得最小值．。