一次函数12
初中一次函数涉及的12个易错点剖析
初中一次函数涉及的12个易错点剖析【知识点1】一、函数的概念在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
二、函数的三种表示法:（1）图像法(“形”）；（2）列表法（“数”）；（3）公式法（“式”）.【易错点1】对函数概念理解不清例题1 下列等式：y=|x|，|y|=x,5x2-y=0,x2-y2=0,其中表示y是x的函数的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.4个【错解】D【错因】一个等式是不是函数，必须同时满足两个要求。
一是有两个变量；二是在两个变量x与y的对应关系中，x每确定一个值，y必须只有唯一的值与之对应.本题错解中没有正确地理解函数的概念，错误地认为|y|=x和x2-y2=0也是函数。
事实上，这两个等式中，对于x每取一个值，y并不与之唯一对应，所以在|y|=x和x2-y2=0中，y不是x的函数。
【正解】C巩固1 下列各选项中，不是函数的是（）【错解】A或B或D【正解】C.巩固2 有下列关系：①长方形的长一定时，其面积y 与宽x ；②高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y 与行驶的时间x ；③y 2=x ；④y =x 2.其中，y 是x 的函数关系的有 （填序号）.【错解】①②③④ 【正解】①②④【小结】由函数的概念可知，判断y 是x 的函数的关键是对于自变量x 取的每一个值，都有唯一的y 值与之对应。
【易错点2】考虑问题不全面，求自变量的取值范围时出错例题2 求函数y =【错解】依题意，得10210x x -≥⎧⎨->⎩ ，解之得x ≥1,所以自变量的取值范围是x ≥1【错因】错解中思考问题不全面，被开方数1021x x -≥-时有两种情况，即10210x x -≥⎧⎨->⎩或10210x x -≤⎧⎨-<⎩，错解漏掉了第二种情况。
【正解】依题意，得1021x x -≥-，∴（I ）10210x x -≥⎧⎨->⎩或（II ）10210x x -≤⎧⎨-<⎩解不等式组（I ），得x ≥1 等式组（I ），得12x <∴解不自变量的取值范围是x ≥1或12x <巩固3 函数y =x 的取值范围为 . 【错解】x ≥-1。
第12讲 一次函数
【即时应用】
若直线y=x+3与直线y=2x-1的交点坐标为(4，7)，
x 4， x y 3， 则方程组 的解为______ y 7. 2x y 1
【核心点拨】
1.理解一次函数的定义应注意以下三个方面：
(1)形式：y=kx+b;(2)条件：k≠0;(3)实质：函数y是自变量x 的一次式. 2.正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 3.一次函数的增减性由k的符号决定，与b的符号无关.
2
3.①y=x2+5x；②y=2π r；③y=
②⑤⑥ ⑤y=( 2 3 )x+1；⑥s=30t.其中是一次函数的是_______，是 ②⑥ 正比例函数的是_____.(只填序号)
10 ；④y=kx+b； x
二、一次函数的图象和性质
1.一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的图象和性质
k,b符号
4.(2012·怀化中考)如果点P1(3,y1),P2(2,y2)在一次函数y=2x-
1的图象上，则y1_______y2(填“>”“<”或“=”).
【解析】∵一次函数关系式为y=2x-1，∴y随x的增大而增大， 又∵3>2,∴y1>y2. 答案：>
5.如图，直线y=- 3 x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，则△AOB
【即时应用】 0 1.一次函数y=-2x+b的图象过原点，则b=__.
2.在直线y=2x+1上有两个点(x1,y1)和(x2,y2)，且x1＞x2，则 ＞ y1___y2. 3.将直线y=-x+1向下平移两个单位后，所得直线的解析式为 y=-x-1 _______. ＞ ＞ 4.直线y=(k-2)x+b+1经过第一、二、三象限，则k___2,b___-1.
人教版数学九年级上册第12讲 一次函数-课件
－2
解析：∵若正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴符合要求的k的值是－2， 故答案为：－2.
【思路点拨】据正比例函数的性质；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象经过第二、四 象限，可确定k的取值范围，再根据k的范围选出答案即可．
＜ 解析：∵一次项系数2＞0，又∵－1＜2，∴y1＜y2.故答案是：＜.
(0，6) 解析：根据题意令x＝0，解得：y＝6，∴一次函数y＝－3x＋6的图象与y轴的交点坐标是(0，6)．
【思路点拨】根据一次项系数的符号，以及一次函数的性质即可直接判断；根据题意令x＝0， 解得y值即可得图象与y轴的交点坐标．
(2，0)
(0，4)
4
解析：令y＝0得一次函数的图象与x轴交点坐标为(2，0)，令x＝0得一次函数的图象与y轴交 点坐标为(0，4)，易求面积为4.
解：一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0，2)和N(1，3)两点，可用待定系数法求得k＝1， b＝2.∴y＝x＋2.
B
解析：把点(1，m)代入y＝3x，可得：m＝3，故选B. －1
第12讲 一次函数
B
B
D 解析：由两直线l1与l2的方程联立求解可得答案．
A 解析：由图象平移规律“左加右减，上加下减”，可知选A.
－1
1
解析：因函数y＝(k＋1)x＋k2－1是一次函数，所以k＋1≠0，即k≠－1；又函数y＝(k＋1)x ＋k2－1是正比例函数，所以k＋1≠0且k2－1＝0，所以k＝1.
C
解析：∵k＜0，∴－k＞0，∴一次函数y＝kx－k的图象经过第一、二、四象限．故选C.
第12章一次函数期末复习一次函数的交点问题PPT课件(沪科版)
则方程组
x－y－3=0 2x－y＋2=0
的解是_x_=__－__5 y=－8
.
7.直线y=x＋2和直线y=x－3的位置关系是 平行 ， 由此可知方程组 x－y=－2解的情况为_无__解___.
x－y=3
8. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线
l1:y=
1 4
x＋
1 2
与直线l2:
y=kx＋3的图象相交
6.把方程x＋1=4y＋
x 3
化为y=kx＋b的情势，
正确的是( C ).
A．
1 3
1 4
B．
1 6
C．
1 6
1 4
D．
1 3
7.已知函数y=－x ＋m与y= mx－4的图象的交点
在x轴的负半轴上那么m的值为( D ).
A．±2
B．±4 C．2 D．－2
∵图象的交点在x轴上
∴ y=0 ∴ －x ＋m=0 ∴ x= m
( 2)两个一次函数的图象的交点
3.求一次函数的图象与坐标轴的交点的方法
(1)求一次函数的图象的与x轴交点坐标 设y=0， 变为求方程kx＋b=0的解
(2)求一次函数的图象的与y轴交点坐标
设x=0， 变为求代数式kx＋b的值
(3)一次函数y=kx＋b的图象的与x轴交点
坐标为(
－
b k
，0
)
；
与y轴的交点坐标
C．( －1，－1) D．( －1，5)
12.如果直线y =kx＋b平行于直线 y=5x－m， y= kx＋b
则方程组 y= 5x－ m 的解的情况是( B ).
A．有无数解
B．无解
C．一组解
D．两组解
填空题 1.已知关于x的方程ax－5=7的解为x=1，则一次
第12讲一次函数复习PPT课件
当b=0 时,y=kx+b 即为 y=kx,
所以正比例函数，是一次函数的特例.
（1）若y=5x3m-2是正比例函数，m= 1 。 （2）若 y (m 2)xm23 是正比例函数，m= -2 。
考点2、正比例函数与一次函数的图象与性质
正比例函数y=kx的图象与性质
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常 数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线， 我们称它为直线y= kx 。
1、通过近三年潍坊中考考点的展示及连接中考环节，体验潍坊中考对一次函 数的考查。 2、通过一次函数知识网络的整理，整体把握本讲的知识构成。 3、通过考点精讲及例习题，进一步加深以下知识点的认知及应用：
（1）一次函数及正比例函数的概念。 （2）一次函数的图象及性质。 （3）用待定系数法求一次函数的解析式。 （4）一次函数的实际应用。 4、通过检测过关环节反馈本讲知识的达标情况，及时查缺补漏。
4.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位 置正确的是 （ C）
A
B
C
D
5.(202X·安徽第20题)如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= a x
的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.
(1)求函数y=kx+b和y= a 的表达式; x
【答案】 (1)由图象可知,当x=4 h时,y=380 km,故从小刚家到该景区乘车一共用了 4小时. (2)设直线AB的函数关系式为y=kx+b, 由题意可知:A(1,80),B(3,320),
∴
∴线段AB的解析式为y=120x-40(1≤x≤3). (3)小刚一家出发2.5小时时处于AB段,把x=2.5代入y=120x-40,得y=120×2.540=260(km), 380-260=120(km). 所以小刚一家出发2.5小时时离目的地120 km.
第12讲一次函数
考点知识精讲
考点三 一次函数图象的性质
一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，y随x的增大而 增大 ，图象一定经 过第 一、三 象限；当k＜0时，y随x的 增大 而减小，图象一定经过第 二、四 __________象限． 考点四 一次函数的应用
用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的变量 ；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解 决问题；⑤答．
第12讲 一次函数
考点知识精讲
考点一 一次函数的定义
一般地,如果y=kx+b(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数．
特别地，当b＝ 0 时，一次函数y＝kx＋b就成为 y＝kx(k是常数，
正比例函数． k≠0)，这时，y叫做x的______________. 1．由定义知：y是x的一次函数⇔它的解析式是 y＝kx＋b ，其中k 、b是常数，且k≠0. 2．一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)的结构特征： (1)k ≠ 0；(2)x的次数是1；(3)常数项b可为任意实数． 3．正比例函数解析式y＝kx(k≠0)的结构特征： (1)k ≠ 0；(2)x的次数是 1 ；(3)没有常数项或者说常数项为 0 .
6．如右图所示，直线l过A、B两点，A(0，－1)，
B(1,0)，则直线l的解析式为
y＝x－1 .
举
一
反
三
7．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山 顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路
长的2倍．小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车，缆车的平均速度为180
b ＝5 ， 2 解得 k＝1， 4
1 5 所以 y 乙＝ x＋ . 4 2
八年级数学上册第12章一次函数知识点总结沪科版
八年级数学上册第12章一次函数知识点总结新版沪科版第十二章一次函数一、确定函数自变量的取值范围1、自变量以整式形式出现，自变量的取值范围是全体实数；2、自变量以分式形式出现,自变量的取值范围是使分母不为0的数；3、自变量以偶次方根形式出现，自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0（即被开方数≥0)的数;自变量以奇次方根形式出现,自变量的取值范围是全体实数。
4、自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范围是使底数不为0的数。
（说明：（1)当一个函数解析式含有几种代数式时，自变量的取值范围是各个代数式中自变量取值范围的公共部分；（2）当函数解析式表示具有实际意义的函数时,自变量取值范围除应使函数解析式有意义外,还必须符合实际意义.）二、一次函数1、一般形式：y=k x＋b（k、b为常数，k≠0），当b=0时，y=k x （k≠0），此时y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像与性质3、确定一次函数图像与坐标轴的交点（1）与x 轴交点:)0,(kb，求法：令y=0,求x ；(2)与y 轴交点：（0，b ），求法：令x=04、确定一次函数解析式—-—待定系数法确定一次函数解析式，只需x 和y 的两对对应值即可求解。
具体求法为：（1）设函数关系式为：y=k x ＋b ；(2）代入x 和y 的两对对应值，得关于k 、b 的方程组； （3)解方程组，求出k 和b.5、k 和b 的意义（1）∣k ∣决定直线的“平陡”。
∣k ∣越大,直线越陡（或越靠近y 轴)；∣k ∣越小,直线越平（或越远离y 轴）；（2）b 表示在y 轴上的截距。
（截距与正负之分）6、由一次函数图像确定k 、b 的符号 （1）直线上升，k>0;直线下降，k 〈0；（2）直线与y 轴正半轴相交，b 〉0；直线与y 轴负半轴相交，b<07、两条直线的位置关系222111b x k y l b x k y l +=+=：和直线：直线{{有无数交点）与重合（与）（没有交点）与平行（与）（有且只有一个交点）与相交（与）（2121212121212121212121321l l l l l l l l l l l l k k k k b b k k b b ⇔⇔⇔≠===≠8、x=a 和y=b 的图象x=a 的图象是经过点(a,0）且垂直于x 轴的一条直线； y=b 的图象是经过点（0 ,b ）且垂直于y 轴的一条直线。
第12章一次函数复习课件(2)
例2. 直线ｌ１的解析式y=-3x+3，且ｌ１与ｘ轴交于点D. 直线ｌ２经过点Ａ（-3，0），Ｂ（0，1）， 直线ｌ１ 与ｌ２交于点Ｃ． （１）求点Ｄ的坐标； （２）求直线ｌ２的解析式； （３）求三角形ＡＤＣ的面积；
三、巩固新知，当堂训练 1：已知关于x的一次函数y=(3a-10)+a-2的图象y轴的交点在x 轴的上方，且y随x的增大而减小： （1）求出x的取值范围； （2）请你写出一个符合条件的a的值，并画出该函数的图象。
三.课堂小结 （5分钟左右）
通过本节课学习， 谈谈自己有哪些收获？
作业 ⑴必做题
Ｐ６２ ８ Ｐ６４ ２ B1
⑵选做题 P63
基础训练Ｐ30―45
（2）对应一次函数y=kx+b，当y>0,y<0时会分别得到哪两个不 等式？它们对应的图象分别是哪一部分？
(3)怎样应图象法解二元一次方程组？ （4）平面直角坐标系中，两个一次函数的图象有哪几种位置关 系？这几种位置关系与由这两个一次函数构成的方程组的解有 什么关系。
例1.画出一次函数y=0.4x+2的图象，并根 据图象解决下列问题： ①当x取何值时y=0? ②当图象在x轴下方时，求x的取值范围； ③求不等式组-1≤0.4x+2≤2的解集。
第十二章 一次函数第二课时一.学习目标：（2分钟）
1．利用函数的图象能求出二元一 次方程组的解 2．一次函数与一次方程一次不等 式在实际问题中的应用。 3．掌握函数知识在实际问题中的 综合运用。
二、学生自学，质疑问难（8--10分钟左右）
1、出示自学提纲： （1）一次函数的一般形式是什么？当y=0时，能得出关于X的方 程是什么？
2在同一坐标系中，画出函数y1=x+3与y2=3x-1的图 象，并利用图象求：
专题12 一次函数(归纳与讲解)(解析版)
专题12 一次函数【专题目录】技巧1：一次函数常见的四类易错题技巧2：一次函数的两种常见应用技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用【题型】一、正比例函数的定义【题型】二、正比例函数的图像与性质【题型】三、一次函数的定义求参数【题型】四、一次函数的图像【题型】五、一次函数的性质【题型】六、求一次函数解析式【题型】七、一次函数与一元一次方程【题型】八、一次函数与一元一次不等式【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）【题型】十、一次函数的实际应用【考纲要求】1、理解一次函数的概念，会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．2、会求一次函数解析式，并能用一次函数解决实际问题.【考点总结】一、一次函数和正比例函数的定义【考点总结】二、一次函数的图象与性质【注意】1、确定一次函数表达式用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:（1）由题意设出函数的关系式;（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.2、y＝kx＋b与kx＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x 轴交点的横坐标．3、y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x的取值范围．4、一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点． 【技巧归纳】技巧1：一次函数常见的四类易错题【类型】一、忽视函数定义中的隐含条件而致错1．已知关于x 的函数y ＝(m ＋3)x |m ＋2|是正比例函数，求m 的值． 2．已知关于x 的函数y ＝kx－2k ＋3－x ＋5是一次函数，求k 的值．【类型】二、忽视分类或分类不全而致错3．已知一次函数y ＝kx ＋4的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为16，求这个一次函数的表达式． 4．一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x≤1时，对应的函数值的取值范围为1≤y≤9，求k ＋b 的值． 5．在平面直角坐标系中，点P(2，a)到x 轴的距离为4，且点P 在直线y ＝－x ＋m 上，求m 的值． 【类型】三、忽视自变量的取值范围而致错6．若等腰三角形的周长是80 cm ，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm )与底边长x(cm )的函数关系的图像是( )7．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋6（x≤3），5x （x>3），则当y ＝20时，自变量x 的值是( )A ．±14B ．4C ．±14或4D ．4或－148．现有450本图书供给学生阅读，每人9本，求余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式，并求自变量x 的取值范围． 【类型】四、忽视一次函数的性质而致错9．若正比例函数y ＝(2－m)x 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m>0C ．m<2D ．m>210．下列各图中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx(m ，n 是常数，且mn≠0)的大致图像的是( )11．若一次函数y ＝kx ＋b 的图像不经过第三象限，则k ，b 的取值范围分别为k________0，b________0. 参考答案1．解：因为关于x 的函数y ＝(m ＋3)x |m ＋2|是正比例函数，所以m ＋3≠0且|m ＋2|＝1， 解得m ＝－1.2．解：若关于x 的函数y ＝kx－2k ＋3－x ＋5是一次函数，则有以下三种情况：①－2k ＋3＝1，解得k ＝1， 当k ＝1时，函数y ＝kx －2k ＋3－x ＋5可化简为y ＝5，不是一次函数．②x－2k ＋3的系数为0，即k ＝0，则原函数化简为y ＝－x ＋5，是一次函数，所以k ＝0.③－2k ＋3＝0，解得k ＝32，原函数化简为y ＝－x ＋132，是一次函数，所以k ＝32.综上可知，k 的值为0或32.3．解：设函数y ＝kx ＋4的图像与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，坐标原点为O.当x ＝0时，y ＝4，所以点B 的坐标为(0，4)．所以OB ＝4.因为S △AOB ＝12OA·OB ＝16，所以OA ＝8.所以点A 的坐标为(8，0)或(－8，0)．把(8，0)代入y ＝kx ＋4，得0＝8k ＋4，解得k ＝－12.把(－8，0)代入y ＝kx ＋4，得0＝－8k ＋4，解得k ＝12.所以这个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋4或y ＝12x ＋4.4．解：①若k>0，则y 随x 的增大而增大，则当x ＝1时y ＝9，即k ＋b ＝9. ②若k<0，则y 随x 的增大而减小， 则当x ＝1时y ＝1，即k ＋b ＝1. 综上可知，k ＋b 的值为9或1. 5．解：因为点P 到x 轴的距离为4，所以|a|＝4，所以a ＝±4，当a ＝4时，P(2，4)， 此时4＝－2＋m ，解得m ＝6. 当a ＝－4时，同理可得m ＝－2. 综上可知，m 的值为－2或6.6．D 7.D8．解：余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式为y ＝450－9x ，自变量x 的取值范围是0≤x≤50，且x 为整数． 9．D 10.A 11.<；≥技巧2：一次函数的两种常见应用 【类型】一、利用一次函数解决实际问题 题型1：行程问题1．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y(km )与甲车行驶的时间t(h )之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A ，B 两城相距300 km ；②乙车比甲车晚出发1 h ，却早到1 h ； ③乙车出发后2.5 h 追上甲车；④当甲、乙两车相距50 km 时，t ＝54或154.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．甲、乙两地相距300 km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y(km )与时间x(h )之间的函数关系，折线BCDE 表示轿车离甲地的距离y(km )与时间x(h )之间的函数关系，根据图像，解答下列问题：(1)线段CD 表示轿车在途中停留了________h ； (2)求线段DE 对应的函数表达式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．题型2：工程问题3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h )之间的函数图像如图所示．(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式．(2)求乙组加工零件总量a的值．(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？题型3：实际问题中的分段函数4．某种铂金饰品在甲、乙两个商场销售．甲标价为477元/g，按标价出售，不优惠；乙标价为530元/g，但若买的铂金饰品质量超过3 g，则超出部分可打八折．(1)分别写出到甲、乙两个商场购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的函数表达式；(2)李阿姨要买一个质量不少于4 g且不超过10 g的此种铂金饰品，到哪个商场购买合算？5.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式．【类型】二、利用一次函数解决几何问题题型4：利用图像解几何问题6．如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D 运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图像如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，△APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数表达式； (3)当t 为何值时，△APD 的面积为10 cm 2?题型5：利用分段函数解几何问题(分类讨论思想、数形结合思想)7．在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点A 开始按A→B→C→D 的方向运动到点D.如图，设动点P 所经过的路程为x ，△APD 的面积为y.(当点P 与点A 或D 重合时，y ＝0)(1)写出y 与x 之间的函数表达式； (2)画出此函数的图像．参考答案 1．B 2．解：(1)0.5(2)设线段DE 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b(2.5≤x≤4.5)．将D(2.5，80)，E(4.5，300)的坐标分别代入y ＝kx ＋b 可得⎩⎪⎨⎪⎧80＝2.5k ＋b ，300＝4.5k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝110，b ＝－195.所以y ＝110x －195(2.5≤x≤4.5)．(3)设线段OA 对应的函数表达式为y ＝k 1x(0≤x≤5)． 将A(5，300)的坐标代入y ＝k 1x 可得300＝5k 1， 解得k 1＝60.所以y ＝60x(0≤x≤5)． 令60x ＝110x －195，解得x ＝3.9.故轿车从甲地出发后经过3.9－1＝2.9(h )追上货车．3．解：(1)设甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数表达式为y ＝kx ，因为当x ＝6时，y ＝360，所以k ＝60，即甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数表达式为y ＝60x(0≤x≤6)． (2)a ＝100＋100÷2×2×(4.8－2.8)＝300.(3)当工作2.8 h 时共加工零件100＋60×2.8＝268(件)， 所以装满第1箱的时刻在2.8 h 后． 设经过x 1 h 恰好装满第1箱．则60x 1＋100÷2×2(x 1－2.8)＋100＝300，解得x 1＝3.从x ＝3到x ＝4.8这一时间段内，甲、乙两组共加工零件(4.8－3)×(100＋60)＝288(件)， 所以x>4.8时，才能装满第2箱，此时只有甲组继续加工． 设装满第1箱后再经过x 2 h 装满第2箱． 则60x 2＋(4.8－3)×100÷2×2＝300，解得x 2＝2.故经过3 h 恰好装满第1箱，再经过2 h 恰好装满第2箱． 4．解：(1)y 甲＝477x ，y 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧530x （0≤x≤3），424x ＋318（x ＞3）.(2)当477x ＝424x ＋318时， 解得x ＝6，即当x ＝6时，到甲、乙两个商场购买所需费用相同； 当477x<424x ＋318时，解得x<6，又x≥4，于是当4≤x ＜6时，到甲商场购买合算； 当477x>424x ＋318时，解得x>6，又x≤10，于是当6＜x≤10时，到乙商场购买合算．5．解：(1)当x≤10时，由题意知y ＝ax.将x ＝10，y ＝15代入，得15＝10a ，所以a ＝1.5.故当x≤10时，y ＝1.5x.当x ＝8时，y ＝1.5×8＝12. 故应交水费12元．(2)当x ＞10时，由题意知y ＝b(x －10)＋15.将x ＝20，y ＝35代入，得35＝10b ＋15，所以b ＝2.故当x ＞10时，y 与x 之间的函数表达式为y ＝2x －5.点拨：本题解题的关键是从图像中找出有用的信息，用待定系数法求出表达式，再解决问题． 6．解：(1)6；2；18(2)PD ＝6－2(t －12)＝30－2t ，S ＝12AD·PD ＝12×6×(30－2t)＝90－6t ，即点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数表达式为S ＝90－6t(12≤t≤15)．(3)当0≤t≤6时易求得S ＝3t ，将S ＝10代入，得3t ＝10，解得t ＝103；当12≤t≤15时，S ＝90－6t ，将S ＝10代入，得90－6t ＝10，解得t ＝403.所以当t 为103或403时，△APD 的面积为10 cm 2.7．解：(1)点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．①当点P 在边AB 上运动，即0≤x ＜3时， y ＝12×4x ＝2x ； ②当点P 在边BC 上运动，即3≤x ＜7时， y ＝12×4×3＝6； ③当点P 在边CD 上运动，即7≤x≤10时， y ＝12×4(10－x)＝－2x ＋20. 所以y 与x 之间的函数表达式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ＜3），6 （3≤x ＜7），－2x ＋20 （7≤x≤10）. (2)函数图像如图所示．点拨：本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和数形结合思想．根据点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图像．技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用 【类型】一、利用两直线的交点坐标确定方程组的解1．已知直线y ＝－x ＋4与y ＝x ＋2如图所示，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y ＝x ＋2的解为( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝4D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝02．已知直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点坐标为(1，a)，试确定方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －b ＝0的解和a ，b 的值．3．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－x ＋4的图像如图所示．(1)在同一坐标系中，作出一次函数y ＝2x －5的图像；(2)用作图像的方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2x －y ＝5；(3)求一次函数y ＝－x ＋4与y ＝2x －5的图像与x 轴所围成的三角形的面积．【类型】二、利用方程(组)的解求两直线的交点坐标4．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧－mx ＋y ＝n ，ex ＋y ＝f 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，则直线y ＝mx ＋n 与y ＝－ex ＋f 的交点坐标为( ) A ．(4，6) B ．(－4，6) C ．(4，－6) D ．(－4，－6)5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程ax ＋by ＝－3的两组解，则一次函数y ＝a x ＋b 的图像与y轴的交点坐标是( )A ．(0，－7)B ．(0，4)C .⎝⎛⎭⎫0，－37D .⎝⎛⎭⎫－37，0 【类型】三、方程组的解与两个一次函数图像位置的关系6．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x ＋2y ＝3没有解，则一次函数y ＝2－x 与y ＝32－x 的图像必定( )A ．重合B ．平行C ．相交D ．无法确定7．直线y ＝－a 1x ＋b 1与直线y ＝a 2x ＋b 2有唯一交点，则二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋y ＝b 1，a 2x －y ＝－b 2的解的情况是( )A ．无解B ．有唯一解C ．有两个解D ．有无数解 【类型】四、利用二元一次方程组求一次函数的表达式8．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(1，－1)和B(－1，3)，求这个一次函数的表达式． 9．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(3，－3)，且与直线y ＝4x －3的交点B 在x 轴上．(1)求直线AB 对应的函数表达式；(2)求直线AB 与坐标轴所围成的△BOC(O 为坐标原点，C 为直线AB 与y 轴的交点)的面积．参考答案 1．B2．解：将(1，a)代入y ＝2x ，得a ＝2.所以直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点坐标为(1，2)，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －b ＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.将(1，2)代入y ＝－x ＋b ，得2＝－1＋b ，解得b ＝3. 3．解：(1)画函数y ＝2x －5的图像如图所示．(2)由图像看出两直线的交点坐标为(3，1)，所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.(3)直线y ＝－x ＋4与x 轴的交点坐标为(4，0)，直线y ＝2x －5与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫52，0，又由(2)知，两直线的交点坐标为(3，1)，所以三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎫4－52×1＝34. 4．A5.C6.B7.B8．解：依题意将A(1，－1)与B(－1，3)的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－1，－k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.所以这个一次函数的表达式为y ＝－2x ＋1.9．解：(1)因为一次函数y ＝kx ＋b 的图像与直线y ＝4x －3的交点B 在x 轴上，所以将y ＝0代入y ＝4x －3中，得x ＝34，所以B ⎝⎛⎭⎫34，0， 把A(3，－3)，B ⎝⎛⎭⎫34，0的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝－3，34k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝1. 则直线AB 对应的函数表达式为y ＝－43x ＋1.(2)由(1)知直线AB 对应的函数表达式为y ＝－43x ＋1，所以直线AB 与y 轴的交点C 的坐标为(0，1)， 所以OC ＝1，又B ⎝⎛⎭⎫34，0，所以OB ＝34.所以S △BOC ＝12OB·OC ＝12×34×1＝38.即直线AB 与坐标轴所围成的△BOC 的面积为38.【题型讲解】【题型】一、正比例函数的定义例1、若一次函数y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数，则m 的值为_______． 【答案】m=﹣3 【解析】∵y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数， ∵29030m m -⎧⎨-≠⎩＝解得m=-3． 故答案是：-3.【题型】二、正比例函数的图像与性质 例2、若正比例函数12y x =经过两点（1，1y ）和（2，2y ），则1y 和2y 的大小关系为（ ） A ．12y y < B ．12y y >C ．12y y =D ．无法确定【答案】A【分析】分别把点（1，1y ），点（2，2y ）代入函数12y x =，求出点1y ，2y 的值，并比较出其大小即可．【详解】∵点（1，1y ），点（2，2y ）是函数12y x =图象上的点， ∵112y =，21y =， ∵112<， ∵12y y <． 故选：A ．【题型】三、一次函数的定义求参数例3、已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可． 【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小， ∵k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意， 故选：B ．【题型】四、一次函数的图像例4、若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵m ＜﹣2， ∵m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限， 故选：D ．【题型】五、一次函数的性质例5、设k 0<，关于x 的一次函数2y kx =+，当12x ≤≤时的最大值是（ ） A ．2k + B ．22k +C ．22k -D ．2k -【答案】A【分析】利用一次函数的性质可得当x=1时，y 最大，然后可得答案． 【详解】∵一次函数2y kx =+中0k <， ∵y 随x 的增大而减小， ∵12x ≤≤，∵当1x =时，122y k k =⨯+=+最大， 故选：A ．【题型】六、求一次函数解析式例6、直线y kx b =+在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式2kx b +≤的解集是（ ）A ．2x -≤B ．4x ≤-C ．2x ≥-D ．4x ≥-【答案】C【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集． 【详解】解：根据图像得出直线y kx b =+经过（0，1），（2，0）两点，将这两点代入y kx b =+得120b k b =⎧⎨+=⎩，解得112b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∵直线解析式为：112y x =-+， 将y=2代入得1212x =-+，解得x=-2，∵不等式2kx b +≤的解集是2x ≥-， 故选：C ．【题型】七、一次函数与一元一次方程例7、一次函数3y kx =+（k 为常数且0k ≠）的图像经过点（－2，0），则关于x 的方程()530k x -+=的解为（ ） A ．5x =- B ．3x =-C ．3x =D ．5x =【答案】C【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．【详解】解：∵()53y k x =-+是由3y kx =+的图像向右平移5个单位得到的，∵将一次函数3y kx =+的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0） ∵当y=0时，方程()530k x -+=的解为x=3， 故选：C ．【题型】八、一次函数与一元一次不等式例8、如图，直线(0)y kx b k =+<经过点(1,1)P ，当kx b x +≥时，则x 的取值范围为（ ）A ．1x ≤B ．1≥xC ．1x <D ．1x >【答案】A【分析】将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<，可得1k b -=-,再将kx b x +≥变形整理，得0bx b -+≥，求解即可．【详解】解：由题意将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<，可得1k b +=，即1k b -=-， 整理kx b x +≥得，()10k x b -+≥， ∵0bx b -+≥， 由图像可知0b >， ∵10x -≤， ∵1x ≤， 故选：A ．【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）例9、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线y ＝x +3分别与x 轴、直线y ＝﹣2x 交于点A 、B ，则∵AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解32y xy x=+⎧⎨=-⎩得，12xy=-⎧⎨=⎩，∵A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，∵∵AOB的面积＝12⨯3×2＝3，故选：B．【题型】十、一次函数的实际应用例10、A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时【分析】（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式；（2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可．【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y ＝kx+b ，得 0 1.680 2.6k bk b =+⎧⎨=+⎩，解得： 80128k b =⎧⎨=-⎩，∵y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128（1.6≤x≤3.1）； （2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h ） ∵货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时）， 18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时）， 当y ＝200﹣80＝120 时， 120＝80x ﹣128， 解得x ＝3.1，5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时， ∵1.6v≥120， 解得v≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时．一次函数（达标训练）一、单选题1．已知一次函数4y kx =+经过()11,y ，()22,y ，且12y y <，它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据一次函数的增减性，可知它的图象可能为B 、C 选项，结合一次函数y=kx +4的图象经过点(0，4)，即可得到答案．【详解】∵一次函数y=kx +4经过(1,y 1)，(2,y 2)且y 1<y 2， ∵y 随x 的增大而增大，又∵一次函数y =kx +4的图象经过点(0，4)， ∵它的图象可能是B 选项， 故选B ．【点睛】本题主要考查一次函数的系数与函数图象之间的关系，掌握一次函数系数的几何意义，是解题的关键．2．已知一次函数1y kx =-经过()11,A y -，()22,B y 两点，且12y y >，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k = C ．0k < D ．不能确定【答案】C【分析】根据一次函数的增减性可得出结论． 【详解】∵1212,y y -<>， ∵函数y 随x 的增大而减小． ∵k ＜0， 故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 3．一次函数2y x m =-+的图象经过第一、二、四象限，则m 可能的取值为（ ） A．-1 B ．34C ．0D ．1【答案】B【分析】根据一次函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵一次函数2y x m =-+的图象经过第一、二、四象限， ∵0m >，∵m 可能的取值为34．故选：B【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数()0y kx b k =+≠，当0,0k b >>时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当0,0k b ><时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当0,0k b <>时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当0,0k b <<时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．4．一次函数31y x =-+的图象经过（ ）A ．一、二、四象限B ．一、三、四象限C ．一、二、三象限D ．二、三、四象限【答案】A【分析】根据一次函数关系中系数符号k ＜0，b ＞0解答即可． 【详解】解：∵31y x =-+中0k <， ∵一次函数图象经过第二、四象， ∵ 0b >，∵ 一次函数图象经过一、二、四象限． 故选：A ．【点睛】此题考查了一次函数的图象，根据k 和b 的符号进行判断是解题的关键． 5．若23y x b =+-，y 是x 的正比例函数，则b 的值是（ ） A ．0 B ．23-C ．23D ．32【答案】C【分析】根据y 是x 的正比例函数，可知23=0b -，即可求得b 值． 【详解】解：∵y 是x 的正比例函数， ∵23=0b -， 解得：23b =， 故选：C ．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．二、填空题6．请写出一个图象经过点()2,0A 的函数的解析式：______． 【答案】24y x =-（答案不唯一）【分析】写出一个经过点（2，0）的一次函数即可．【详解】解：经过点()2,0A 的函数的解析式可以为24y x =-， 故答案为：24y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足其函数解析式是解题的关键．7．将直线y ＝2x －1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________． 【答案】24y x =-【分析】根据一次函数平移的规律解答．【详解】解：直线y ＝2x －1向下平移3个单位后得到的直线表达式为y ＝2x －1－3=2x －4， 即y =2x －4， 故答案为y =2x －4．【点睛】此题考查了一次函数平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键．三、解答题8．某中学积极响应“双减”政策，为了丰富学生的课外活动，激发学生参加体育活动的兴趣，准备购买一批新的羽毛球拍．已知甲、乙两商店销售同一种羽毛球拍，但两个商店的原价和销售方式均不同．在甲商店，无论一次性购买多少支羽毛球拍，一律按原价出售；在乙商店，一次性购买羽毛球拍的数量不超过20支，按原价销售，若一次性购买球拍数量超过20支，超出的部分打八折．设该学校购买了x 支羽毛球拍，在甲商店购买所需的费用为1y 元，在乙商店购买所需的费用为2y 元，1y ，2y 关于x 的函数图像如图所示．(1)分别求出1y ，2y 关于x 的函数解析式． (2)请求出m 的值，并说明m 的实际意义．(3)若该学校一次性购买羽毛球拍的数量超过80支，但不超过120支，到哪家商店购买更优惠？ 【答案】(1)142y x =；()()2500204020020x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(2)m =100，m 的实际意义是当一次性购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元(3)当80<x <100时，选择甲商店更合算；当x =100时，两家商店所需费用相同；当100<x ≤120时，选择乙商店更合算【分析】（1）根据函数图像设出表达式，利用待定系数法解得即可；（2）根据图像交点，当x >20时，令12y y =，解得x ，y 的值即可；（3）由m 的意义，结合图像，谁的图像靠下谁更合算．（1）由题意，甲商店设11y k x =， ∵184020k =， ∵142k =， ∵1142y x =；乙商店：当0<x≤20时，设22y k x =， ∵2100020k =， ∵250k =， ∵250y x =，当x >20时，()2100020500.84020y x x =+-⨯⨯=+， ∵()()2500204020020x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩；（2）当x>20时，令12y y =，即4020042x x +=， ∵x =100，y =4200， ∵m =100，∵m 的实际意义是当一次购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元； （3）由m 的意义，结合图像可知，谁的图像在下谁更合算，当80<x <100时，选择甲商店更合算；当x =100时，两家商店所需费用相同；当100<x ≤120时，选择乙商店更合算．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是掌握一次函数图像的性质．一次函数（提升测评）一、单选题1．一次函数()32y k x k =++-的图象如图所示，()01k -有意义的k 的值可能为（ ）A ．－3B ．－1C ．－2D ．2【答案】B【分析】通过一次函数图象可以得出：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义的条件为：1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且0k ≠．将两个关于k 的解集综合，得到k 的范围是：12k -≤<且0k ≠．根据所求范围即可得出答案选B ．【详解】解：由图象得：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义，则1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且1k ≠∴综上所述，k 的取值范围是：12k -≤<且0k ≠．A 、-3不在k 的取值范围内，不符合题意；B 、-1在k 的取值范围内，符合题意；C 、-2不在k 的取值范围内，不符合题意；D 、2不在k 的取值范围内，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底数的范围．熟练掌握以上知识点，是解决此题的关键．2．已知直线1:24l y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，若将直线1l 向右平移m （m >0）个单位得到直线2l ，直线2l 与x 轴交于C 点，若∵ABC 的面积为6，则m 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先求出点B （0，4），可得OB =4，再根据平移的性质，可得AC =m ，再根据∵ABC 的面积为6，即可求解．【详解】解：∵直线1:24l y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点， 当x =0时，y =4， ∵点B （0，4）， ∵OB =4，∵将直线1l 向右平移m （m >0）个单位得到直线2l ，直线2l 与x 轴交于C 点， ∵AC =m ，∵∵ABC 的面积为6， ∵1462m ， 解得：m =3． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的平移问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．3．已知一次函数y =-kx +k ，y 随x 的增大而减小，则在直角坐标系内大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由于一次函数y =-kx +k （k ≠0），y 随x 的增大而减小，可得-k ＜0，然后，判断一次函数y =-kx +k 的图象经过的象限即可．【详解】解：∵一次函数y =-kx +k （k ≠0），y 随x 的增大而减小， ∵-k ＜0，即k >0，∵一次函数y =-kx +k 的图象经过一、二、四象限． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y =kx +b 的图象性质： ∵当k ＞0，b ＞0时，图象过一、二、三象限； ∵当k ＞0，b ＜0时，图象过一、三、四象限； ∵当k ＜0，b ＞0时，图象过一、二、四象限； ∵当k ＜0，b ＜0时，图象过二、三、四象限．4．在平而直角坐标系中，一次函数32y x m =-+的图像关于直线1y =对称后经过坐标原点，则m 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】由题意一次函数32y x m =-+与y 轴的交点为（0，2m ），根据点（0，2m ）与原点关于直线1y =对称，即可求出答案．【详解】解：根据题意，在一次函数32y x m =-+中， 令0x =，则2y m =，∵一次函数32y x m =-+与y 轴的交点为（0，2m ）， ∵点（0，2m ）与原点关于直线1y =对称， ∵22m =， ∵1m =； 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题． 5．甲、乙两自行车运动爱好者从A 地出发前往B 地，匀速骑行．甲、乙两人离A 地的距离y （单位：km ）与乙骑行时间x （单位：h ）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）A ．乙骑行1h 时两人相遇B ．甲的速度比乙的速度慢C ．3h 时，甲、乙两人相距15kmD ．2h 时，甲离A 地的距离为40km 【答案】C【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，甲乙骑行1.5h 时两人相遇，故选项A 不合题意； 甲的速度比乙的速度快，故选项B 不合题意；甲的速度为：30÷（1.5-1）=30（km/h ），乙的速度为：30÷1.5=20（km/h ）， 3h 时，甲、乙两人相距：30×（3-0.5）-20×3=15（km ），故选项C 符合题意；。
八年级数学上册课件(沪科版)：第12章一次函数复习课件
y=k xn +b为一次函数的条件是什么? 一. 指数n=1
二. 系数 k ≠0
1.下列函数中,哪些是一次函数?
(1) y 2x
(2) y
1 (3) y x 1(4) y x
x2
答: (1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是
2m2 :函数y=(m +2)x+(m² -4)为正比例
函数,则m为何值__m__=_2___
思考：下面２个图形中，哪个图象是y关于x的函数．
图１
图２
练习 1、一辆客车从杭州出发开往上海，设客 车出发t小时后与上海的距离为s千米， 下列图象能大致反应s与t之间的函数关 系的是（ A ）
A
B
C
D
2．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速 行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下 来修车。车修好后，因怕耽误上课，他比修车 前加快了骑车速度匀速行驶。下面是行驶路程 s(米)关于时间t(分)的函数图像，那么符合这个 同学行驶情况的图像大致是 （ C ）
0=-2k+b
①
-1=b
②
把 b= -1 代入①，得：
y
k= - 0.5
a
-2
o
x
所以,其函数解析式为y=
-
0.5
-1
x-1
点评：求一次函数y=kx+b的解析式，可由已知条件给出的两 对x、y的值，列出关于k、b的二元一次方程组。由此求出k、 b的值，就可以得到所求的一次函数的解析式。
2、已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6，写
(3) ∵图象与y轴的交点在轴的下方 ∴m-3﹤0 ∴m﹤3
怎样画一次函数y=kx+b的图象？
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【思路点拨】根据a+b+c=0且a<b<c判断出a<0，c>0，再根据一 次函数图象的性质可得. 【自主解答】选C.∵a+b+c=0且a<b<c，∴a<0，c>0.当c>0时， 图象经过一、三象限，当a<0时，图象与y轴的交点在x轴的下 方，故选C.
【规律方法】一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中k，b的取 值与函数图象的关系 1. 一 次 函 数 y=kx+b 中 ， k 的 符 号 决 定 的 是 函 数 的 增 减 性 ， (1)k>0，时直线y=kx+b由左至右上升. (2)k<0，时直线y=kx+b由左至右下降.
小明父亲出发
小时时，行进中的两车相距8km.
【解析】由题意得A(2，0)，B(3，36).设OB的解析式为y=k′x. 把B(3，36)代入，得36=3k′，∴k′=12，∴OB的解析式为 y=12x.设AB的解析式为y=kx+b.把A(2，0)，B(3，36)代入，
0 2k b， 解得 k 36， 得 36 3k b. b －72.
4.(2014· 汕尾中考 ) 已知直线 y=kx+b ，若 k+b=-5 ， kb=6 ，那么 该直线不经过 A.第一象限 C.第三象限 ( ) B.第二象限 D.第四象限
【解析】选A.∵k+b=-5，kb=6，∴k<0，b<0， ∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限.
【一题多解】选D.由k+b=-5，得k=-b-5，代入kb=6，得b(-b -5)=6，解得b1=-2，b2=-3，所以k1=-3，k2=-2.当b1=-2，k1=-3 时，该直线经过第二、三、四象限；当b1=-3，k1=-2时，该直 线经过第二、三、四象限，综上，选D.
【真题专练】 1.(2014·宜宾中考)如图，过点A的一 次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交 于点B，则这个一次函数的解析式是 A.y=2x+3 C.y=2x-3 ( )
B.y=x-3 D.y=-x+3
【思路点拨】
【自主解答】选 D.∵B点在正比例函数 y=2x 的图象上，横坐标
为 1，
∴y=2×1=2，∴B(1，2)，
设一次函数解析式为y=kx+b， ∵过点 A 的一次函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 B(1，2)，
b 3， ∴可得出方程组 k b 2， b 3， 解得 1， k －
则这个一次函数的解析式为y=-x+3.
P39-2-3-4
热点考向一 一次函数的图象和性质【例1】
• y=mx+n, m+n=6 mn=8,图像经过第（） 象限 • A.二三四 B 一二三 • C一三四 D一二四 解析：乘积为正，同号，为负，异号
(2013·眉山中考)若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a<b<c，则函 数y=cx+a的图象可能是 ( )
该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处
理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费 标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收
x 元，若某企业 20
2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的 用水量.
【思路点拨】(1)待定系数法确定解析式. (2)将y=620代入(1)中解析式求x值. (3)确定相等关系式，列出方程求解.
6.(2014·威海中考)一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示， 则kx+b>x+a的解集是 .
【解析】函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象的交点的横坐标为 -2 ， 则 kx+b>x+a 对应的解集是函数 y1=kx+b 的图象在函数 y2=x+a 图 象上方对应的自变量的取值范围，从图中看出，对应的自变量 的取值范围是x<-2. 答案：x<-2
• 2若一直线经过（-1,1） (1,5),，则直线与x 轴交点 （ ）
3.y=3x-1向上平移3个单位 得y=
4. y=kx+b,当3≤x≤4, 3≥y≥ 6,则 b/k=
P39热点考向三
一次函数与方程(组)、不等式的关系
P39(2014· 孝感中考 ) 如图，直线 y=-x+m 与 y=nx+4n(n≠0) 的交 【例3】 点的横坐标为-2，则关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为 ( )
热点考向四 一次函数的应用
【例4】(2014·湖州中考)已知某市2013年企业用水量x(吨)与
该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图.
(1)当x≥50时，求y关于x的函数关系式.
(2)若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10
月份的用水量.
(3)为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，
B.m<0 D.m<2
【解析】选D.由图象知，一次函数y=(m-2)x-1经过二、三、四
象限，得m-2<0，解得m<2，故此题选D.
3题
• 一个正比例函数经过不同象限两点 A(2,m)B(n,3)那么一定有（） • A m>0 n>0 B m>0 n<0 • C m<0 n>0 D m<0 n<0
2.b 的符号决定直线 y=kx+b 与 y 轴交点的坐标 (0 ， b) 的位置， (1)b>0时，交点在原点上方. (2)b=0时，交点即原点. (3)当b<0时，交点在原点下方.
P38【真题专练】1
• y=-2x+1不经过第（）象限 • A一 B 二 • C三 D四
2.(2013·莆田中考)如图，一次函数 y=(m-2)x-1的图象经过二、三、四 象限，则m的取值范围是 A.m>0 C.m>2 ( )
• 一直线经过A（0,2）B(1,0), 向左平移后与X轴，Y轴交C,D, DB=DC,求直线CD解析式
【规律方法】用待定系数法确定一次函数解析式的步骤 1.设出函数解析式y=kx+b(k≠0). 2.将已知条件中该函数图象上的点的坐标代入解析式，确定解 析式中未知的系数，从而具体写出这个式子. 3. 用待定系数法求一次函数解析式，需要已知两个条件 ( 两个 点的坐标或两组对应值).
2.性质 k的符号 k>0 增减性 增大 y随x的增大而____ b的符号 b>0 b<0 所在象限 一、二、三 ___________
一、三、四 ___________ 一、二、四 ___________
二、三、四 ___________
b>0
k<0
减小 y随x的增大而____
b<0
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.y=4x-1和y=-3x2是正比例函数. (×)
a－ 1 x ， y x 1， 3 【解析】选D.根据题意得 解得 y －2x a， y a 2， 3 1 a－ ＞0， 因为交点在第一象限，所以 3 解得 a＞1， a＞ 2， a 2＞0， 3
第十二讲
一次函数
一次函数的图象和性质 1.图象
正比例函数y=kx
一次函数y=kx+b
是经过点(0，0)和点(1，k _)的一条直线
是经过点(0，b _)和点( b ,0)的一条 直线
k
一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数
图象关系
上 移动 y=kx的图象平移得到，b>0，向___ 下 移动___ -b 个单位 b个单位，b<0，向___
所以a>1，故选D.
5.如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx-3的图象交于点P，则不 等式kx-3>2x+b的解集是 .
【思路点拨】把P分别代入函数y=2x+b与函数y=kx-3 求出k，b的值，再求不等式kx-3>2x+b的解集.
【解析】∵函数y=2x+b与函数y=kx-3的图象的交点P的坐标为(4，-6)， 则kx-3>2x+b对应的解集是函数y=kx-3的图象在函数y=2x+b图象上方 对应的自变量的取值范围，从图中看出，对应的自变量的取值范围是 x<4. 答案：x<4
相应的自变量的值为不等式kx+b>0(或
kx+b<0)的解集
两直线的交点是两个一次函数解析式y=k1x+b1 一次函数与方 和y= k2x+b2所组成的方程组
程组
y k1x b1， 的解 y k x b 2 2
【真题专练】 1.(2013· 益阳中考 ) 已知一次函数 y=x-2 ，当函数值 y>0 时，自 变量x的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
甲、乙两种节能灯共1200只.这两种节能灯的进价、售价如下
∴AB的解析式为y=36x-72.
分两种情况：若36x-72-12x=8，
10 4 则 x＝10 ， －2＝ ；若12x-(36x-72)=8， 3 3 3 8 2 则 x＝8，－ 2＝ . 3 3 3
答案：4 或 2
3 3
2.(2014·德州中考)目前节能灯在城市已经基本普及，今年山 东省面向县级及农村地区推广.为响应号召，某商场计划购进
【解析】选 B. 当 y>0 时，即 x-2>0 ，解得 x>2. 数轴中表示解集
x>2的只有B.故选B.