2.2 二次函数的图象与性质(1).ppt
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二次函数的图像和性质PPT课件
问题：
你们喜欢篮球吗？：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点 时的高度？
今天让我们来研究一下二次函数的图像 和性质吧
开县德阳中学
教师
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函 数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 求此抛物线的函数解析式 （2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向
；
（3解）（判1断）点把（（-1，-2-，4）-8是）否代在入此抛y=物a线x2上,得； -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）对称轴：y轴，顶点坐标：（0,0），开口向下.
（3）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。
开县德阳中学
教师
1. 二次函数的图像都是什么图形？ 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
8
y=x2
7
6
5
坐标平面中描点(x,y),
4
再用平滑曲线顺次连
3 2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
开县德阳中学
教师
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
你们喜欢篮球吗？：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点 时的高度？
今天让我们来研究一下二次函数的图像 和性质吧
开县德阳中学
教师
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函 数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) 求此抛物线的函数解析式 （2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向
；
（3解）（判1断）点把（（-1，-2-，4）-8是）否代在入此抛y=物a线x2上,得； -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）对称轴：y轴，顶点坐标：（0,0），开口向下.
（3）因为 4 2(1)2 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。
开县德阳中学
教师
1. 二次函数的图像都是什么图形？ 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
8
y=x2
7
6
5
坐标平面中描点(x,y),
4
再用平滑曲线顺次连
3 2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
开县德阳中学
教师
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数的图象与性质(共46张PPT)
第12讲 二次函数的图象与性质
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 求二次函数的解析式
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点2
二次函数的图象与性质 C
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
A
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
A
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】 抛物线
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
减小
增大
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点3 抛物线的平移 A
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
D
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点4 二次函数的图象与a，b，c的关系
D
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
D
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
原点
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【知识树】
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
D
第Байду номын сангаас2讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一 求二次函数的最值
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
[中考点金]
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 求二次函数的解析式
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点2
二次函数的图象与性质 C
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
A
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
A
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】 抛物线
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
减小
增大
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点3 抛物线的平移 A
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
D
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点4 二次函数的图象与a，b，c的关系
D
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
D
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
原点
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【知识树】
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
D
第Байду номын сангаас2讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
┃考向互动探究与方法归纳┃ 探究一 求二次函数的最值
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
[中考点金]
2.2.2 二次函数的性质与图象1
结合单调性分类讨论
数形结合 2.需要注意： 分类是否简单有效 不重不漏
布置作业
练习单
5 3 x
故f(x)在[-2,3]上先减后增
f(x)min=f(1)=-4
值域为[-4,5]
f(x)max=f(-2)=5
问题3 你能求出函数f(x)=x2-2x-3，x∈[a-1,a] 的最小值吗？
解：f(x)对称轴为x=1， ∵a的值变化会导致 区间的单调性不同， ∴分三大类讨论： y 5
-2 -1
2.2.2 二次函数的性质与图象
——求闭区间上的最值
回顾 已知
1 2 4 f ( x) x x 1 3 3
，先配成顶点式，
再求的图象下列性质.
1 1 2 顶点式：f ( x ) ( x 2) 3 3 1 顶点： ( 2， ) 3
对称轴： x 2 单调递增区间： 2， ) [ 单调递减区间：( ,2]
分析：f(x)对称轴为x=a， ∵a的值变化会导致区间的单调性不同，
∴需要合理的2-2x-3，x∈[a-1,a] 的最大值吗？
y 5 分析： 开口向上时， 距离对称轴越远， 函数值越大a-1 a 1 3 x
距离对称轴越近， 函数值越小
课堂小结
1.求最值的基本方法：
-4
1
3
x
问题3 你能求出函数f(x)=x2-2x-3，x∈[a-1,a] 的最小值吗？
(1)当a<1时， 区间[a-1,a]在对称轴左侧， 故f(x)在上单调递减 f(x)min =f(a)=a2-2a-3 a-1 a 1 3 x y 5
问题3 你能求出函数f(x)=x2-2x-3，x∈[a-1,a] 的最小值吗？
北师大版数学九年级下册《二次函数的图象及性质》课件
象.
y
8
7 6 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
自学指导2（1分钟）
认真观察下图，思考二次函数 y ax2 ay 02x图2 象y 的性质
是什么？（从形状、开口方向、对称轴、顶点8、增减性、
最值、开口大小进行分析）
y x2
结论：
抛 物 线 y=ax2+c 的 图 象 相 当 于 把 抛 物 线
y=ax2的图象
（c＞0）或 10
y = 2x2＋
向上 8
1 y = 2x2－
向下 （c＜0）平
移 |c| 个单位. 6 1
4
2
－4 －2 －2
24
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长 度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向 下 平
当a＜0时，a越大开口越大
a 越大，开口越小
学生自学，教师巡视（4分钟）
自学检测2 (5分钟)
1.函数 y ax a 是二次函数，当a＝ 2 时，其图象开口 向上；这时候函数有最__小___值___0___
2.已知二次函数 y1 3x2, y2 象开口由小到大的顺序是(
C
1x
3)
2
,
y3
3 x2 2
易错点： 当点所在象限不明确时，要分类讨论
小结（2分钟） 1、二次函数 y ax2的图象及性质
2、二比次较函y数值大小y的方ax法2 a 0
y ax2 a 0
图象①形代状入法
抛物线
图②象利及用增减性y
开口③方图向象法
向上
y o
2.2二次函数的图象与性质第一课时
（1）列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）描点. （3）连线.
y
O
-5-4 -3-2-1 1 2 3 45
x
-2
-4
-6
-8
y=-x2
探索新知 思考：（1）二次函数y=-x2与y=x2的图象形状是否相同？
（2）寻找二次函数y=-x2与y=x2的图象之间的联系以及区别
提出、分析问题？
谢谢观看 XIE XIE GUAN KAN
（2）在直角坐标系中描点. （3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图象.
10 y y=x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
探究新知
观察y=x2的图象，回答下列问题： （1）你能描述图象的形状吗？ （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3）当x <0时，随着x的增大， y的值如何变化？ x >0呢？ （4）当x取什么值时， y的值最小？
应用提高
3 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和
B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取值范围是( D )
A．x<－1
B．x>2
C．－1<x<2
D．x<－1或x>2
4 已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3) 都在函数y＝x2的图象上，则( C )
练习提高
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象上的两点，当x1<x2<0时，y1 与y2的大小关系为_y_1＜__y_2__．
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
C、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向上，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故符合 题意； D、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误； 故选：C．
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
二次函数 的图象和性质 (课件)
（x>0）,y随x的增大而 增大。 抛物线与x轴的交点是（0,0）。 与y轴也交于此点，是图像的 最 低 点，也叫顶点。
2.若点A(2,m)在抛物线y=x2上, 则点A关于y轴对称点的坐标是？
解： 因为A(2,m)在抛物线y=x2上 所以m=4，即A(2,4)
则点A(2,4)关于y轴对称点的坐标 是（-2,4）
3.已知y=mxm2+1 的图像是不在第一、
二象限的抛物线,则m=_______.
解：由题意的： m2+1=2 且 m<0 解得m=-1
4.二次函数y=mxm2-1 的图像有最低点
则m是多少？
小结：二次函数y=± x2的性质
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
在y=-x2的图象中正好相反．
3.y=x2有最低点，y=-x2有最高点
即 y=x2有最小值而y=-x2有最大值
y=x2
x
y=－x2
二次函数y=x2 与 y=-x2 的异同点：
相同点：
1. 形状：图像都是抛物线 2.图象都与y轴交于点( 0,0 ) 3.图象都关于y轴对称．
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是ww0w.
探究二次函数y=-x2的图象
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出
它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行
交流。
y
y=x2
y 它与抛物线y=x2
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求 出这个最低点，
2.若点A(2,m)在抛物线y=x2上, 则点A关于y轴对称点的坐标是？
解： 因为A(2,m)在抛物线y=x2上 所以m=4，即A(2,4)
则点A(2,4)关于y轴对称点的坐标 是（-2,4）
3.已知y=mxm2+1 的图像是不在第一、
二象限的抛物线,则m=_______.
解：由题意的： m2+1=2 且 m<0 解得m=-1
4.二次函数y=mxm2-1 的图像有最低点
则m是多少？
小结：二次函数y=± x2的性质
在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
在y=-x2的图象中正好相反．
3.y=x2有最低点，y=-x2有最高点
即 y=x2有最小值而y=-x2有最大值
y=x2
x
y=－x2
二次函数y=x2 与 y=-x2 的异同点：
相同点：
1. 形状：图像都是抛物线 2.图象都与y轴交于点( 0,0 ) 3.图象都关于y轴对称．
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是ww0w.
探究二次函数y=-x2的图象
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出
它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行
交流。
y
y=x2
y 它与抛物线y=x2
（1）满足条件的m 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求 出这个最低点，
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
解：先列表：
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1
(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵- ＜0
∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=−
+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
12、二次函数的图象与性质PPT课件
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(3)当b＝0时，抛物线的对称轴为y轴；当b>0，a>0时，对称轴在y轴左侧，b>0，
a<0时，对称轴在y轴右侧；b<0，a>0时，对称轴在y轴右侧，b<0，a<0时，对称轴在
y轴左侧． (4)c＝0时，抛物线经过⑭_原__点____；c＞0时，抛物线与y轴交于⑮__正__半__轴___；c
别为0，也可同时为0；(3)自变量的取值范围是④_全__体__实__数__．
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2．二次函数的三种表达式 (1)一般式：y＝⑤__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)__．这种情势只能看出二次函数图象的开口 方向．当知道三点坐标求解析式时，设出一般式． (2)顶点式：y＝⑥___a_(_x_－__b_)2_＋__k_(_a_≠_0_)_．这种情势不但能看出二次函数图象的开 口方向，还能看出它的对称轴x＝h，顶点坐标(h，k)，最值k.当知道顶点坐标和另一 点坐标求解析式时，设出顶点式．
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二次函数解析式的确定
【例1】 (202X淄博)如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经 过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
b2－4ac的符号
b2－4ac② > 0
抛物线y＝ax2＋bx＋c与 x轴的交点的个数