2008年数学科中考24题质量分析报告

2008年数学科中考24题质量分析报告
一、试题分析
2008年数学科中考24题是一道代数几何综合探究题，以平面直角坐标系作为基
本载体，主要考查函数、三角形全等相似、勾股定理、等腰三角形等知识点，考查
数形结合、待定系数法等数学思想方法，考查学生的探究能力。
题目给予学生很大的思维空间去做答，解决问题的方法多、角度多。

二、本题学生答题得分情况分析
三、学生答题过程分析
（一）学生在做答过程中好的方面：
1、解题思路广，方法多样。例如：
（1）第1小题用待定系数法求二次函数的关系式。学生从一般式
cbxaxy
2

（bxaxy2）、两根式40xxay、顶点式khxay2三个角度去求，这涵盖
了二次函数最常用的三种关系式表达形式。这三种做法的同学都相当多，没有特别
偏向哪种做法。另外，将点的坐标代入关系式时，学生选择的点也是多种情况。说
明学生对以上知识点的掌握比较熟练，解题方法多。
（2）第2小题第2问中证明D是BE的中点。学生的方法更显得多样。
思路1：利用三角形全等。方法有：〈1〉分别过B、E两点作y轴的垂线，垂足
分别为F、G，论证BDF≌EDG，得到BD=ED，从而得证；〈2〉过点B作x轴的
垂线BF，过点D做DF⊥BF，过点E做EG⊥y轴，论证BDF≌DEG，得到BD=ED，
从而得证。
思路2：利用三角形相似。方法有：〈1〉分别过B、D两点作直线x=2的垂线，
垂足分别为F、G，论证EDG∽EBF，得到21BFDGEBED，从而得证；〈2〉求出D
（0，-1）直线BC与y轴的交点G（0，1.5），得到21ECDG，易得BDG∽BEC，故
21ECDGBE
BD
，从而得证。

思路3：利用等腰三角形的三线合一性质。方法有：〈1〉连结CD，通过计算BD、
CD、BC长度，通过勾股定理逆定理论证CD⊥BE，从而得证；〈2〉直线BE
12xy

与直线CD121xy的斜率的乘积1212，论证CD⊥BE，从而得证；〈3〉设BE
与x轴交于点G，通过论证OCD∽DCG来说明CD⊥BE，从而得证，当然这不是
一种好的方法。
思路4：直接计算BD、DE、BE的长度。〈1〉利用勾股定理计算BD=52、DE=52、
BE=54，从而得证；〈2〉利用两点距离公式计算BD=52、DE=52、BE=54，从
而得证；
思路5：利用三角形中位线。方法有：〈1〉设BC与y轴交于点G，则BG是
BCE

的中位线，从而得证；〈2〉分别过B、E两点作直线x=2的垂线，垂足分别为F、G，
则DG是是BEF的中位线，从而得证。
思路6：利用平面直角坐标系中线段中点距离公式。方法是：由线段BE两个端
点B（-2，3）、E（2，-5）代入公式可求得中点坐标为（0，-1），而直线BE与y轴
的交点D（0，-1），故D是BE的中点。
思路7：利用线段等分线段定理。方法有：〈1〉分别过B两点作直线x=2的垂线，
与y轴和直线x=2分别交于F、G，易得BF=2，BG=4，由y轴//直线x=2，得到

21BGBFBE
BD
，从而得证；〈2〉分别过B、D两点作直线x=2的垂线，垂足分别为F、

G，易得EF=8，EG=4，由DG//BF得到21EFEGEBED，从而得证；〈3〉求出直线BC
与y轴的交点G（0，1.5），计算得BG=2.5，由y轴//直线x=2，得到21BCBGBEBD，
从而得证。
（3）第3小题求P点坐标。
思路1：求直线CD与抛物线的交点坐标。方法有：〈1〉求出直线CD关系式
121xy，利用方程组1411212xyxy求解；〈2〉求出直线CD关系式121xy
，设P（x，
121x），把P点坐标代入二次函数关系式，利用方程xxx2411
2

1
求解；〈3〉求出

直线CD关系式121xy，设P（x，xx241），把P点坐标代入直线CD关系式，利
用方程xxx241121求解。
思路2：利用两点间距离公式求解。设P（x，xx241），由PB2=PE2得到


2222
2
2
54123412xxxxxx
，从而求解。

当然还有其它的解题思路和方法，这里不一一介绍。
2、用到课本之外的知识解答问题。例如：
（1）利用两点间距离公式求解。“A(x1，y1) 和B(x2，y2)两点距离是

2212

21
yyxxAB
”。在第2小题求BC、BE、BD、DE的长度以及第3小题求

P点坐标时，不少同学都用到了这个公式。（见上分析）
（2）利用线段中点坐标公式求解。“若A(x1，y1) 和B(x2，y2)，则线段AB的中
点P222121yyxx，”。在第2小题论证点D线段BE中点时，学生用到了这个公式。
（见上分析）
（3）利用平行线等分线段定理证明。在第2小题论证点D线段BE中点时，学
生用到了这个定理。（见上分析）
（4）利用斜率证明或求解。在第2小题论证CD⊥BE或者求直线CD的解析式
时，学生用到了“互相垂直的两直线斜率121kk”这个定理。（见上分析）
（5）利用二元二次方程组和一元高次方程求解。在第3小题求点P坐标时，学
生列出了二元二次方程组和一元高次方程求解。（见上分析）
这些知识和方法都是课本外的，可见学生的课外阅读量是很广的，学习能力也
比较强。

（二）学生在解答过程中存在的问题
通过学生的答题情况，我们发现了学生存在的突出问题。列举如下：
1、基本数学素养低。
（1）出现“122m”这种写法。这是非常普遍的现象。
（2）基本数学语言表述错漏百出。例如“连结BF⊥x轴”，在图中没有点F的
情况这么表述是错误的；“把12xy代入B（-2，m）”，应该是把点的坐标代入直
线解析式，即“把B（-2，m）代入12xy”；点、线、角、全等等表示不规范等
等。这也是普遍现象。
（3）同一幅图中出现相同的字母表示多个点。例如点E在原图中已确定，有学
生解答过程中写“过点B作BE⊥x轴于点E”等等。
（4）化简意识差。例如第1小题求解出函数关系式有这些写法“4041xxy”、
“xxy2246”、“01412xxy”等等。
（5）自我检验意识差。例如第2小题中，有部分学生求出BC=3，CE=5，仍下
结论BC=CE。
2、学生计算能力差。
（1）仅第1小题求m的值，计算122）（m出现错误的很多，也导致了后
边的解题出现错误。
（2）第1小题解方程123a得到4a的学生很多。
（2）第1小题列出方程组0416024baba，解答的结果各种各样，错误率很高。
（3）第3小题解一元二次方程xxx241121，由于结果是无理数，错误率更高。
3、解题过程不规范。
（1）解答过程有头无尾。例如第1小题求函数关系式，求出系数a、b、c后不
写关系式出来；第2小题求出BC=5，CE=5后，不下结论BC=CE；第3小题求出P
点的横、纵坐标后不写成坐标形式P（x，y）。
（2）解答过程缺胳膊少腿。例如第1小题在没有设出关系式的情况下直接得到
方程组；第2小题在没有说明点F位置的情况下直接写BF=3；或者解答过程中出现
的辅助线在图形中没有作出。
（3）没有解答过程直接写结论。例如第1小题求m的值，直接写m=3，直接写
出函数关系式xx241y；第2小题中，D坐标（0，-1）直接写出。
4、知识点有缺陷。
（1）对函数知识掌握不好。例如二次函数的关系式设成2axy（缺项），甚至设
为一次函数的关系式khxay或其他形式；
（2）对几何知识掌握不好。例如第2小题中，连结CD后直接就认为CD⊥BE；
在证明BDC≌EDC时，用（SSA）来证明，或者条件不够就下结论。
（3）对方程（组）知识掌握不好。例如方程组中未知数的个数与方程的个数不
相等，从而导致不能解；不会解一元二次方程或方程组。

综上所述，学生的思维活跃，课内外阅读量大，见识面广，解题方法多样，切
入点多。但是，学生暴露的问题也不少。通过得分情况分析，我们发现，两极分化
现象严重，并且是落后面更大，反映出学生的学习态度有很大的问题，连最简单的
小题也不做答或者答错；通过答题过程分析，我们发现，学生的基本功薄弱，动手
能力低，解题速度慢，计算能力下降，严谨的数学态度差，随意性强，没有自我检
验的意识。