(江苏专用)2020版高考数学二轮复习微专题五平面向量的数量积练习(无答案)苏教版
2020高二数学会考专题辅导 专题十三平面向量的数量积
专题十三 平面向量的数量积（一）知识梳理：1、平面向量的数量积及运算律（1）向量,的夹角的规定：__________________________________________ 向量,垂直（b a ⊥）的规定：__________________________________（2）平面向量的数量积定义：设b a ,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则a b ⋅=r r _______________，叫做a 和b 的数量积（数量积的计算结果为_______）(3) 平面向量的数量积的重要性质：①,_______a b a b ⋅=r r r r 与垂直时；②,_______a b a b ⋅=r r r r 与反向时；③,_______a b a b ⋅=r r r r 与同向时，特别地，2_____a a a =⋅=r r r ；（4）平面向量的数量积的运算律①交换律：_____________；②结合律：_______________________________； ③分配律：_____________________2、平面向量的数量积的坐标表示（1）设),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⋅=r r _______________，特别地2a =_________(2) 距离公式：若),(y x =，则||=__________；若设),(),,(2211y x B y x A ==，则||AB =____________________(3) 夹角公式：设θ是向量与的夹角，),(),,(2211y x b y x a ==，则cos θ=___________ (4)⊥的充要条件：设),(),,(2211y x y x ==，则⊥⇔_______________（二）例题讲解：考点1：平面向量的数量积运算例1（a 级）、下列命题：①a ρ·0r ＝0r ；②0·a ρ＝；③0r －AB u u u r ＝BA u u u r ；④｜a ρ·b ρ｜＝｜a ρ｜｜b ρ｜；⑤若a ρ≠0r ，则对任一非零b ρ有a ρ·b ρ≠０；⑥a ρ·b ρ＝０，则a ρ与b ρ中至少有一个为0r ；⑦对任意向量a ρ，b ρ，c r 都有（a ρ·b ρ）c r ＝a ρ（b ρ·c r ）；⑧a ρ与b ρ是两个单位向量，则a ρ２＝b ρ２其中正确的是 （把正确的序号都填上）易错笔记：例2（a 级）、在ΔABC 中,若03,4,60BA AC BAC ==∠=u u u r u u u r ,则=⋅ ( )A 、6B 、4C 、-6D 、-4易错笔记：考点2：平面向量的垂直运算例3（b 级）、已知向量)1,1(=，)3,2(-=，若b a k 2-与a 垂直，则实数k =（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．2易错笔记：例4（b 级）、已知|a r |=1，|b r |=2，a r 与b r 的夹角为600且(3a r +b r )⊥(m a r -b r )，则实数m的值为 ( ) A 、27 B 、27- C 、47 D 、47-易错笔记：考点3：平面向量的模长运算例5（b 级）、已知a r 、b r 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a r +3b r | = （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4易错笔记：例6（b 级）、已知向量a r (cos ,sin )θθ=,向量b r 1)=-，则|2a r －b r |的最大值、最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，0易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、已知a =r b =r 3a b ⋅=-r r ，则a r 与b r 的夹角是 ( )A 、150︒B 、120︒C 、60︒D 、30︒2、已知a b ⋅=-r r 4||=a ，b a 和的夹角为1350，则||b = （ ）A 、12B 、3C 、6D 、93、已知向量(1,2)a =r ，则||a =r （ ）A ．1B ．2C ．5D ．5 4、已知点M （－2, 3），N ( 2, 0 )，则│MN │= （ ）（A ）3 （B ）5 （C ）9 （D ）255、在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ），B(cos20o ,sin20o)，则｜AB ｜的值（ ） 1.2A ； 2.2B ； 3.2C ；D ．1； 6、已知||a r =1,||b r =2,且(a r -b r )与a r 垂直，则a r 与b r 的夹角是 （ ）A 、60°B 、30°C 、135°D 、45°7、已知a v =(λ，２)，b r =(-3,5)，且a v 与b r 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （ ）A.λ＜310B.λ＞310C.λ≥310D.λ≤310 8、已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量同向的单位向量是 （ ）A ．(53，-54) B ．(-53，54) C ．(3，-4) D ．(-3，4) 二、填空题 9、已知a ϖ=（2，1），b ρ=（λ，-2），若a ϖ⊥b ρ，则λ=_______． 10、已知|a ϖ|=6，|b ρ|=4，a ϖ与b ρ的夹角为60°，则（a ϖ+2b ρ）·(a ϖ-3b ρ)=11、已知____|21|,30,4||,3||=+︒==b a b a b a 则的夹角为与 12、已知=(2，4)，=(－1，－3)， 则|3+2|=________．13、若a r =(2,-1)，b r =(1,2)，且|a r +t b r |=15，则实数t= ；14、已知向量a r =(2,x)，b r =(3,4)，且a r 、b r 的夹角为锐角，则x 的取值范围是_________三、解答题15、在边长为2的正∆ABC 中，设AB =c r , =a ϖ, =b ρ，求a ϖ·b ρ+b ρ·c r +c r ·a ϖ的值16、已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求 及D点坐标．17、已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<r r （1）若θ求,⊥；（2）求|+|的最大值。
(江苏专用)2020高考数学二轮复习专项强化练(七)平面向量
专项强化练(七) 平面向量A 组——题型分类练题型一 平面向量的线性运算1．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA ―→＋2OC ―→＝3OB ―→，则|BC ―→||AB ―→|的值为________．解析：由OA ―→＋2OC ―→＝3OB ―→，得OA ―→－OB ―→＝2OB ―→－2OC ―→， 即BA ―→＝2CB ―→，所以|BC ―→||AB ―→|＝12.答案：122．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝____________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b3．已知Rt △ABC 的面积为2，∠C ＝90°，点P 是Rt △ABC 所在平面内的一点，满足CP ―→＝4CB ―→|CB ―→|＋9CA ―→|CA ―→|，则PA ―→·PB ―→的最大值是________． 解析：由条件可知|CA ―→|·|CB ―→|＝4，CA ―→·CB ―→＝0，因为PA ―→＝CA ―→－CP ―→＝CA ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|，PB ―→＝CB ―→－CP ―→＝CB ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|，故PA ―→·PB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫CA ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CB ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|＝97－9|CA ―→|－4|CB ―→|≤97－12×2＝73，当且仅当9|CA ―→|＝4|CB ―→|，即|CA ―→|＝43，|CB ―→|＝3时等号成立．答案：73 [临门一脚]1．对相等向量、零向量、单位向量等概念的理解要到位．2．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或平行四边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．线性运算由于基底运用难度较大，能建立坐标系的时候，建系优先． 4．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．5．已知OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.题型二 平面向量的坐标表示1．(2019·锡山中学模拟)已知向量a ，b 满足a ＋2b ＝(－3,4)，2a －b ＝(4，－2)，则a 2＋b 2＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝－3，4，2a －b ＝4，－2，得a ＝(1,0)，b ＝(－2,2)．所以a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2＝1＋(－2)2＋22＝9.答案：92．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：因为u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ， 所以8－4x ＝3＋6x ，所以x ＝12.答案：123．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝____________.解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 对于(c ＋a )∥b ，有－3(1＋m )＝2(2＋n )．① 对于c ⊥(a ＋b )，有3m －n ＝0.② 联立①②，解得m ＝－79，n ＝－73.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73[临门一脚]1．解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)求解．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.题型三 平面向量的数量积1．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．解析：依题意，λa ＋b ＝(3λ＋1，－2λ)，a －2b ＝(1，－2)，所以(λa ＋b )·(a －2b )＝7λ＋1＝0，λ＝－17.答案：－172．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝3.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由题意得，AB ―→·AC ―→＝－3，由AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，得λAB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2－AC ―→·AB ―→＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝127.答案：1273．(2019·丹阳中学月考)在直角坐标系中，已知三点A (a,1)，B (3，b )，C (4,5)，O 为坐标原点．若向量OA ―→与OC ―→在向量OB ―→方向上的投影相等，且AB ―→·OC ―→＝－10，则a －b ＝________.解析：因为向量OA ―→与OC ―→在向量OB ―→方向上的投影相等，所以OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→， 3a ＋b ＝12＋5b ，即3a －4b －12＝0，①又AB ―→＝(3－a ，b －1)，OC ―→＝(4,5)，所以AB ―→·OC ―→＝－4a ＋5b ＋7＝－10，即4a －5b －17＝0，②②－①得a －b ＝5. 答案：54．(2018·武汉调研)在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足|DP ―→|＝|BQ ―→|，则PA ―→·PQ ―→的最小值为________．解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0.∵|DP ―→|＝|BQ ―→|，∴|x |＝|y |，∴x ＝－y .∵PA ―→＝(－x ，－1)，PQ ―→＝(2－x ，y －1)，∴PA ―→·PQ ―→＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∴当x ＝12时，PA ―→·PQ ―→取得最小值，为34. 答案：345．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ―→＝4AB―→|AB ―→|＋AC―→|AC ―→|，则△PBC 面积的最小值为________．解析：由于AB ⊥AC ，故以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，因为AP ―→＝4AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的方程为t 2x ＋y －t ＝0，所以点P 到直线BC 的距离为d ＝|4t 2＋1－t |t 4＋1，BC ＝t 4＋1t ，所以△PBC 的面积为12×|4t 2＋1－t |t 4＋1×t 4＋1t ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥32，当且仅当t ＝12时取等号． 答案：32[临门一脚]1．若向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c .2．两个向量a 与b 的夹角为锐角(钝角)，则有a ·b >0(a ·b <0)，反之不成立(因为夹角为0(π)时不成立)．3．在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，是求模常用的公式．4．数量积的运算中，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .5．平面向量的求解常见方法有定义法、坐标法、转化法、极化恒等式法、投影法．B 组——高考提速练1．(2019·盐城中学模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3，m )，若a ∥(2a －b )，则a 在b 方向上的投影是________．解析：2a －b ＝(2,4)－(－3，m )＝(5,4－m )，因为a ∥(2a －b )，所以1×(4－m )－2×5＝0，所以m ＝－6，所以b ＝(－3，－6)，所以a 在b 方向上的投影是a ·b|b |＝1×－3＋2×－69＋36＝－ 5.答案：－ 52.如图，已知AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，BD ―→＝3DC ―→，用a ，b 表示AD ―→，则AD ―→＝________.解析：因为CB ―→＝AB ―→－AC ―→＝a －b ，又BD ―→＝3DC ―→，所以CD ―→＝14CB―→＝14(a －b )， 所以AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .答案：14a ＋34b3．(2019·白蒲中学模拟)在平行四边形ABCD 中，若AB ―→＝x AC ―→＋y AD ―→，则x －y ＝________.解析：在平行四边形ABCD 中AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以AB ―→＝AC ―→－AD ―→， 所以x ＝1，y ＝－1，则x －y ＝2. 答案：24．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________. 解析：因为(a ＋k b )⊥(a －k b )， 所以(a ＋k b )·(a －k b )＝0， 即|a |2－k 2|b |2＝0.又因为|a |＝3，|b |＝4，所以k 2＝916，即k ＝±34.答案：±345．(2019·启东中学模拟)已知|OA ―→|＝6，|OB ―→|＝23，∠AOB ＝30°，若t ∈R ，则|OA ―→＋t AB ―→|的最小值为______ .解析：|OA ―→＋t AB ―→|＝|OA ―→＋t (OB ―→－OA ―→)|＝|(1－t )OA ―→＋t OB ―→|，则|OA ―→＋t AB ―→|2＝(1－t )2OA ―→2＋t 2OB ―→2＋2(1－t )t OA ―→·OB ―→＝36(1－t )2＋12t 2＋2t (1－t )×6×23×32＝12(t 2－3t ＋3)，当t ＝32时，|OA ―→＋t AB ―→|取得最小值3.答案：36.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→的值为________．解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，所以AD ―→·BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13×(－9＋3)＝－2.答案：－27．(2019·扬州中学模拟)已知在等腰直角三角形ABC 中，BA ＝BC ＝2，若AC ―→＝2CE ―→，则BA ―→·BE ―→＝________.解析： 如图，BA ―→·BE ―→＝BA ―→·(BA ―→＋AE ―→) ＝BA ―→2＋32BA ―→·AC ―→＝22＋32|BA ―→|·|AC ―→|cos 135°＝4＋32×2×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2. 答案：－28．将向量OA ―→＝(1,1)绕原点O 逆时针方向旋转60°得到OB ―→，则OB ―→＝____________. 解析：法一：OA ―→＝(1,1)，设OB ―→＝(x ，y )，则|OB ―→|＝|OA ―→|＝12＋12＝2，OA ―→·OB ―→＝|OA ―→||OB ―→|×cos 60°＝1，又由向量的坐标运算可知OA ―→·OB ―→＝x ＋y ＝1，①|OA ―→|＝|OB ―→|＝x 2＋y 2＝2，化简得x 2＋y 2＝2，② 因为点B 在第二象限，故x <0，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32，y ＝1＋32，故OB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.法二：因为|OB ―→|＝|OA ―→|＝12＋12＝2，直线OB 的倾斜角为60°＋45°＝105°，故点B 的横坐标x B ＝|OB ―→|·cos(60°＋45°)＝2×2－64＝1－32，纵坐标y B ＝|OB―→|·sin(60°＋45°)＝2×2＋64＝1＋32，故OB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋329．若向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(cos 75°，sin 75°)，则a ＋b 与a 的夹角为________．解析：a ＋b ＝(cos 15°＋cos 75°，sin 15°＋sin 75°)＝(cos 15°＋sin 15°，sin 15°＋cos 15°)，则(a ＋b )·a ＝cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＋sin 15°(cos 15°＋sin 15°)＝1＋2cos 15°·sin 15°＝1＋sin 30°＝32，|a ＋b |＝cos 15°＋sin 15°2＋sin 15°＋cos 15°2＝2sin 15°＋cos 15°2＝21＋2sin 15°·cos 15°＝3，cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b ·a |a ＋b ||a |＝323×1＝32，又〈a ＋b ，a 〉∈[0，π]，所以〈a ＋b ，a 〉＝π6.答案：π610.(2019·江都中学模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，且AD ＝DM ，N 是线段BD 上的动点，过点N 作AM 的垂线，垂足为H ，设HC ―→＝λ1AB ―→＋λ2AD ―→，则当AM ―→·MN ―→最小时，λ1＋λ2的值为________．解析：AM ―→·MN ―→＝|AM ―→||MN ―→|cos 〈AM ―→，MN ―→〉，由图易知向量AM ―→，MN ―→所成的角为钝角，所以cos 〈AM ―→，MN ―→〉<0，因为NH ⊥AM ，所以AM ―→·MN ―→＝－|AM ―→||MH ―→|.当AM ―→·MN ―→最小时，MH ―→的模最大，数形结合易知点N 与点D 重合时，MH ―→的模最大，即AM ―→·MN ―→最小，如图．因为AD ＝DM ，DH ⊥AM ，所以H 是AM 的中点，则HC ―→＝HM ―→＋MC ―→＝12AM ―→＋12BC ―→＝12(AB―→＋BM ―→)＋12BC ―→＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12 BC ―→ ＋12BC ―→＝12AB ―→＋34BC ―→＝12AB ―→＋34AD ―→，所以λ1＋λ2＝54.答案：5411.如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上移动，M 为AB 的中点，则OA ―→·OM ―→的最大值为________．解析：设∠OBC ＝θ，因为BC ＝2，所以B (2cos θ，0)，C (0,2sin θ)，则BC ―→＝(－2cos θ，2sin θ)，设BA ―→＝(x ，y )，因为△ABC 是边长为2的等边三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，－2x cos θ＋2y sin θ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝3sin θ－cos θ，y ＝3cos θ＋sin θ，即BA ―→＝(3sin θ－cos θ，3cos θ＋sin θ)，则OA ―→＝OB ―→＋BA ―→＝(3sin θ＋cos θ，3cos θ＋sin θ)，因为M 为AB 的中点，所以OM ―→＝OB ―→＋12BA ―→＝32sin θ＋32cos θ，32cos θ＋12sin θ，所以OA ―→·OM ―→＝32＋3sin 2θ＋12＋32sin 2θ＋cos 2θ＝332sin 2θ＋12cos 2θ＋52＝7sin(2θ＋φ)＋52其中cos φ＝32114，sin φ＝714，所以OA ―→·OM ―→的最大值为52＋7.答案：52＋712．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边， 由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0， 则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)， 即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0.又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：11213．已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围为________．解析：法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量OA ―→＝α，AB ―→＝β－α，则OB ―→＝β，在△OAB 中，∠OAB ＝60°，OB ＝1，则由正弦定理OB sin 60°＝OA sin ∠ABO，得OA ＝233sin ∠ABO ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233，即0<|α|≤233. 法二：设|α|＝u ，|β－α|＝v ，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v 2－uv ＋u 2－1＝0，再由关于v 的一元二次方程有解，得u 2－4(u 2－1)≥0，又u >0，故0<u ≤233，即0<|α|≤233. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，23314．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (0,1)，C (a ，b )，D (c ，d )，若不等式CD―→2≥(m －2)OC ―→·OD ―→＋m (OC ―→·OB ―→)·(OD ―→·OA ―→)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立，则实数m 的最大值是________．解析：原不等式可化为(a －c )2＋(b －d )2≥(m －2)·(ac ＋bd )＋mbc ，即a 2＋b 2＋c 2＋d2－m (ac ＋bd ＋bc )≥0，整理成关于实数a 的不等式为a 2－mca ＋b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc ≥0恒成立，从而Δ1＝m 2c 2－4(b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc )≤0，再整理成关于实数d 的不等式为d 2－mbd ＋b 2＋c 2－mbc －14m 2c 2≥0，从而Δ2＝m 2b 2－4⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2－mbc －14m 2c 2≤0，再整理成关于实数b 的不等式为(4－m 2)b 2－4mcb ＋4c 2－m 2c 2≥0，从而⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2>0，Δ3＝16m 2c 2－44－m24c 2－m 2c2≤0，解得1－5≤m ≤－1＋5，所以m 的最大值是5－1.答案：5－1。
2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：基础滚动小练第3讲 平面向量
第3讲 平面向量1.(2019盐城期中,3)若钝角α的始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P ,则tan α= . (m,32)2.(2019无锡期末,7)在四边形ABCD 中,已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b 是不共线的向量,则四边形ABCD 的形状是 .3.(2018江苏五校学情检测)向量a=(2,-6),b=(-1,m),若a∥b,则实数m 的值为 .4.已知|a|=2,|b|=3,a 与b 的夹角为60°,则|a-3b|= .5.(2019无锡期末,11)已知θ是第四象限角,且cos θ=,那么的值为 45sin (θ+π4)cos(2θ-6π).6.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,M,N 分别(ω>0,|φ|<π2)是图象的最高点和最低点,横坐标分别为1,7.记点P(2, f(2)),点Q(5, f(5)),则·的值为 .7.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=m 的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数ω的值为 .π6π32π38.(2017江苏盐城高三期中)设直线x=-是函数f(x)=sin x+acos x 的图象的一条π6对称轴.(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x 的值;(2)求函数f(x)在[0,π]上的减区间.答案精解精析1.答案 -3解析 因为点P 在单位圆上,所以m 2+=1,因为α是钝角,所以m=-,则tan (32)212α==-.y x 32.答案 梯形解析 =++=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b),所以=2,即AD∥BC,且AD=2BC,又,不共线,所以四边形ABCD 是梯形.3.答案 3解析 由a∥b 得2m=6,解得m=3.4.答案 67解析 a·b=|a|·|b|cos 60°=3,则|a-3b|===.(a -3b)24-18+81675.答案 5214解析 依题意,有sin θ=-,35则原式===.sin θcos π4+cos θsin π4cos2θ-35×22+45×222×(45)2-152146.答案 -43解析 由图象可得最小正周期T=12=,即ω=,M(1,2),N(7,-2)在图象上,则f(1)2πωπ6=2sin =2,|φ|<,则φ=,则f(x)=2sin ,则f(2)=2sin =, f(5)(π6+φ)π2π3(π6x +π3)2π33=2sin =-1,故P(2,),Q(5,-1),7π63所以·=(1,-2)·(-2,1)=-2+-2=-4.3337.答案 4解析 由题意可得该函数的最小正周期T=-=,则ω==4.2π3π6π22πT 8.解析 (1)∵直线x=-是函数f(x)的图象的一条对称轴,π6∴f =f 对x∈R 恒成立.(-π6+x )(-π6-x )∴sin +acos =sin +acos 对x∈R 恒成立,(-π6+x )(-π6+x )(-π6-x )(-π6-x )即(a+)sin x=0对x∈R 恒成立,得a=-.33从而f(x)=sin x-cos x=2sin .3(x -π3)故当x-=2kπ+(k∈Z),π3π2即x=2kπ+(k∈Z)时, f(x)取得最大值2.5π6(2)由2kπ+≤x-≤2kπ+,π2π33π2解得2kπ+≤x≤+2kπ,k∈Z.5π611π6取k=0,可得函数f(x)在[0,π]上的减区间为.[5π6,π]。
平面数量积最值问题 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：平面向量数量积最值问题——2022年高三数学复习微专题微课一、本专题在高考中的地位1.课标对本专题的要求知识内容知识要求了解理解掌握平面向量1.平面向量的实际背景及基本概念（1）向量的实际背景√（2）平面向量的概念和两个向量相等的含义√（3）向量的几何表示√2.向量的线性运算（1）向量加法、减法运算，并理解其几何意义√（2）向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义√（3）向量线性运算的性质及其几何意义√3.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量的基本定理及其意义√（2）平面向量的正交分解及其坐标表示√（3）坐标表示平面向量的加减法与数乘运算√（4）用坐标表示的平面向量共线的条件√4.平面向量数量积（1）平面向量数量积的含义及其物理意义√（2）平面向量的数量积与向量投影的关系√（3）数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算√（4）运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系√5.向量的应用（1）向量法解决某些简单的平面几何问题√（2）向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题√明确《考试大纲》对知识的要求层次。
“理解”“掌握”这两个层次要求的知识点往往是高考命题的首选，尤其是“掌握”，通常高考命题会进行深度挖掘，所以在复习时要重视和强化。
2.近五年全国卷考查情况分析年份题序题型考点明细单独命题综合命题分值难易程度2016年全国卷I(理) 3 选择题向量加法坐标运算与垂直√ 5 易2017年全国卷I(理) 13 填空题 向量的模长和数量积应用√ 5 易 2018年全国卷I(理) 6 选择题 向量线性运算 √ 5 易 2018年全国卷I(理) 8 选择题 抛物线、直线及数量积 √ 5 中 2019年课标全国卷I(理) 7 选择题 向量数量积、夹角 √ 5 中 2020年课标全国卷I(理) 14 填空题 向量的数量积与模 √ 5 易 2020年课标全国卷I （文）14 填空题 向量数量积与向量垂直的充要条件 √ 5 易 2021·新高考Ⅱ卷13填空题向量的数量积与模√5易二、真题回顾1．(2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________． 2．(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a ·b ＝1，则|b |＝________． 3．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________．4.(2020·课标全国Ⅰ高考)设a ,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .5.(2020·课标全国Ⅱ高考)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka -b 与a 垂直,则k = .三．要点提炼考点 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.四．典型例题：例1．(2021·福建六校联考)已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC →·(PB →＋PD →)的最小值为________． 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，设P (x ，y )，则PC →＝(2－x ，2－y )，PB →＋PD →＝(2－x ，－y )＋(－x ，2－y )＝(2－2x ，2－2y )，∴PC →·(PB →＋PD →)＝(2－x )(2－2x )＋(2－y )(2－2y )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－12＋2⎝⎛⎭⎫y －322－12＝2⎝⎛⎭⎫x －322＋2⎝⎛⎭⎫y －322－1. ∴当x ＝y ＝32时，PC →·(PB →＋PD →)取得最小值－1.【探究】 数量积的计算主要有基底法和坐标法，另外解方程也行，数量积的最值问题往往要用到函数思想和数形结合思想，结合求值域的方法求解．变式练习：1.已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋2MD →|的最小值为________．例2．(2021·益阳模拟考试)如图所示为边长为2的正△ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在三角形外部作半圆弧BC ︵，点P 在圆弧上运动，则AB →·AP →的取值范围为( )A ．[2，33]B ．[4，33]C ．[2，4]D ．[2，5]答案 D解析 由题可知当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，此时AB →·AP →＝|AB →|·|AC →|·cos π3＝2×2×12＝2，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大，此时AB →·AP →＝2×⎝⎛⎭⎫32＋1＝5，所以AB →·AP →的取值范围为[2，5]．故选D.【探究】 本题利用数量积的定义，结合数量量积的几何意义AP →在AB →上的投影，当当点P 在点C 处时AB →·AP →最小，过圆心O 作OP ∥AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB →·AP →最大。
微重点04 平面向量数量积的最值与范围问题((习题版))
微重点04平面向量数量积的最值与范围问题平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．知识导图考点分类讲解考点一：求参数的最值(范围)规律方法利用共线向量定理及推论(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)．(2)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，则A ，B ，C 三点共线⇔λ＋μ＝1.【例1】(2023·漳州模拟)已知△ABC ，点D 满足BC →＝34BD →，点E 为线段CD 上异于C ，D 的动点，若AE →＝λAB→＋μAC →，则λ2＋μ2的取值范围是________．【变式1】设非零向量a ，b 的夹角为θ，若|a |＝2|b |＝2，且不等式|2a ＋b |≥|a ＋λb |对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为()A．[－1,3]B．[－1,5]C．[－7,3]D．[5,7]【变式2】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足12AD AC = ，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数,x y 满足AQ x AB y AC =+，则24x y +的最小值为．【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知向量,a b 满足||1,a b == ，且)0R (a b λλ+∈=，则函数()3(1)1f x x x xλ=+>-+的最小值为.【变式4】(2023·深圳模拟)过△ABC 的重心G 的直线l 分别交线段AB ，AC 于点E ，F ，若AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，则λ＋μ的最小值为()A.23＋2 B.2＋223C.43D．1考点二：求向量模、夹角的最值(范围)易错提醒找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a ，b 的夹角为锐角，包括a ·b >0和a ，b 不共线；若向量a ，b 的夹角为钝角，包括a ·b <0和a ，b 不共线．【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +r r 共线，则||b c +的最小值为.【例2】(1)已知e 为单位向量，向量a 满足(a －e )·(a －5e )＝0，则|a ＋e |的最大值为()A．4B．5C．6D．7(2)平面向量a ，b 满足|a |＝3|b |，且|a －b |＝4，则a 与a －b 夹角的余弦值的最小值为________．【变式1】(2023·安庆模拟)已知非零向量a ，b 的夹角为θ，|a ＋b |＝2，且|a ||b |≥43，则夹角θ的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2【变式2】(2023·杭州模拟)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________．【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +rr 共线，则||b c +的最小值为.考点三：求向量数量积的最值(范围)规律方法向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．【例3】(1)(2023·开封模拟)等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，且AB ＝1，O 为坐标原点，则OC →·OA →的取值范围是()0，2－240，1＋22，1，1(2)(2023·全国乙卷)已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |＝2，则PA →·PD →的最大值为()A.1＋22B.1＋222C．1＋2D．2＋2【变式1】(2023·台州模拟)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内(含边界)一点，M 为边BC 的中点，则AP →·AM →的取值范围是()A．[－2,6]B．[－1,9]C．[－2,4]D．[－1,6]【变式2】(2023·邵阳模拟)已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，P 为对角线AC 上一点，则PA →·(PB →＋PD →)的最小值是()A．0B．－14C．－12D．－2【变式3】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M 为直角ABC 外接圆O 上的任意一点，90,1,ABC AB BC ∠=︒=()OA OB BM -⋅的最大值为．强化训练单选题1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量a ，b，且5a b == ，6a b += ，则()ta b t +∈R 的最小值为（）A．245B．4C．165D．1252．（23-24高三上·江西吉安·期中）ABC 中，D 为AC 上一点且满足34CD CA = ，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，,λμ为正实数，则下列结论正确的是（）A．λμ的最小值为116B．λμ的最大值为1C．114λμ+的最大值为16D．114λμ+的最小值为43．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在ABC 中，D 为线段AC 的一个三等分点，2AD DC =.连接BD ，在线段BD 上任取一点E ，连接AE ，若AE aAC bAB =+，则22a b +的最小值为（）A．134B．52C．413D．254．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a ，b的夹角为θ，2a b += ，且43a b ≥ ，则夹角θ的最小值为（）A．π6B．π4C．π3D．π25．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量,a b满足||||6a b += ，若a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影之和等于()2a b ⋅ ，则,a b夹角的余弦值的最小值为（）A．227B．127C．13D．236．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知AB 是圆O ：221x y +=的直径，C 、D 是圆O 上两点，且60COD ∠=，则()OC OD AB +⋅的最小值为（）A．0B．C．3-D．-7．在ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足3EC BE =，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 做一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM mCA = ，CN nCB =，则m n +的最小值为（）C．75D．1658．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++==== 均为正数，则xy 的最小值为（）A．12B．49C．1D．43二、多选题1．（2024·河南·模拟预测）已知O 是坐标原点，平面向量a OA = ，b OB = ，c OC = ，且a是单位向量，2a b ⋅= ，12a c ⋅= ，则下列结论正确的是（）A．c a c=- B．若A ，B ，C 三点共线，则2133a b =+C．若向量b a - 与c a -垂直，则2b c a +- 的最小值为1D．向量b a - 与b 的夹角正切值的最大值为42．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A．1233BD BA BC=+ B．132BD BO ⋅=C．BP BC ⋅存在最大值D．x y +1+3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，12AB AD AA ===，P 为1CC 的中点，点Q 满足[][]()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ=+∈∈，则下列结论中正确的是（）A．若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B．若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C．若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为4D．若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +三、填空题1．（2024·湖北·模拟预测）已知向量a ，b 满足2a =r ，1= b ，且a ，b的夹角为π3，则()a b λλ-∈R 的最小值是.2．（23-24高三上·山西太原·期末）已知非零向量a ，b 夹角为2π3，则|2|||a b b +的最小值为.3．（2024高三·全国·专题练习）在四边形ABCD 中，AB AC AD ===AB AD ⊥，则CB CD ⋅的最小值为.四、解答题1．如图，在△ABC 中，2AB =，AC =，cos BAC ∠=D 为BC 的中点，E 为AB 边上的动点（不含端点），AD 与CE 交于点O ，AE xAB =.(1)若14x =，求CO OE 的值；(2)求AO CE ⋅的最小值，并指出取到最小值时x 的值.2．（22-23高三·北京·阶段练习）已知非零平面向量a ，b 的夹角为23π，1a a b =+= .(1)证明：a b -= ；(2)设t ∈R ，求a tb +的最小值.3．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(1)若),4(3c =- 且()π,0,π4x θ=∈时，a 与c 的夹角为钝角，求cos θ的取值范围；(2)若π3θ=函数()f x a b =⋅ ，求()f x 的最小值.4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A ，B 是单位圆（圆心为O ）上两动点，C 是劣弧 AB （含端点）上的动点．记OC OA OB λμ=+（λ，μ均为实数）．(1)若O 到弦AB 的距离是12，求λμ+的取值范围；(2)若532OA OB -≤ ，向量2OA OB +和向量OA OB + 的夹角为θ，求2cos θ的最小值．5．（2022高三·全国·专题练习）如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转动，分别交边,AB AC 于点,D E ，设,AD m AB AE n AC ==，其中01,01m n <≤<≤．(1)求11m n的值；(2)求ADEV面积的最小值，并指出相应的,m n的值．。
(江苏专用)2020高考数学二轮复习 课时达标训练(二) 平面向量
课时达标训练(二) 平面向量A 组——抓牢中档小题1．(2020·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x ＝________．解析：因为a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝(－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4.答案：42．(2020·无锡期末)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与m a ＋b 垂直，则m 的值为________．解析：因为a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)，所以a －b ＝(1，2)，m a ＋b ＝(2m ＋1，m －1)，因为a －b 与m a ＋b 垂直，所以(a －b )·(m a ＋b )＝0，即2m ＋1＋2(m －1)＝0，解得m ＝14.答案：143．(2020·南京四校联考)设a ，b 是单位向量，且a ·b ＝13，向量c 满足c ·a ＝c ·b＝2，则|c |＝________．解析：法一：由题意可设c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则c ·a ＝λ＋13μ＝2，c ·b ＝13λ＋μ＝2，所以λ＝μ＝32，所以|c |＝32|a ＋b |＝32a 2＋2a ·b ＋b 2＝ 6.法二：由题意不妨令a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，223.设c ＝(x ，y )，则c ·a ＝x ＝2，c ·b＝13x ＋223y ＝2，所以c ＝(2，2)，所以|c |＝ 6. 答案： 64．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为________． 解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 答案：π45．(2020·南京三模)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c ·()a ＋2b ＝－5，则|c |的最小值为________．解析：设向量c 与a ＋2b 的夹角为θ.由c ·(a ＋2b )＝－5，得|c |·|a ＋2b |cos θ＝－5，因为|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1＋2＋4＝7，所以|c |·7 cos θ＝－5，则|c |＝－57 cos θ.因为－1≤cos θ＜0，所以当cos θ＝－1时，|c |取得最小值，为577.答案：5776.如图，在△ABC 中，已知∠BAC ＝π3，AB ＝2，AC ＝3，DC ―→＝2BD ―→，AE ―→＝3ED ―→―，则|BE ―→|＝________．解析：BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋34AD ―→＝BA ―→＋34(AC ―→＋CD ―→)，而CD ―→＝23CB ―→＝23(AB ―→－AC ―→)，故BE ―→＝－12AB ―→＋14AC ―→，从而|BE ―→|＝12AB ―→2－AB ―→·AC ―→＋14AC ―→2＝12 4－2×3×12＋94＝134.答案：1347．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________． 解析：法一：因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b |＝（2a －b ）2＝5a 2－4a ·b ＝7|a |，所以cos 〈a ，2a －b 〉＝a ·（2a －b ）|a |·|2a －b |＝52a 2|a |·7|a |＝527＝5714.法二：因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以〈a ，b 〉＝2π3，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2a 2－|a |·|b |cos 2π3＝52a 2，|2a －b |＝（2a －b ）2＝5a 2－4a ·b ＝5a 2－4|a |·|b |cos 2π3＝7|a |.所以cos 〈a ，2a －b 〉＝a ·（2a －b ）|a |·|2a －b |＝52a 2|a |·7|a |＝527＝5714.答案：57148．在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，P 是对角线BD 上的任意一点，则AP ―→·AC ―→＝________．解析：如图所示，由条件知△ABC 为正三角形，AC ⊥BP ，所以AP ―→·AC ―→＝(AB ―→＋BP ―→)·AC ―→＝AB ―→·AC ―→＋BP ―→·AC ―→＝AB ―→·AC―→＝||AB ―→ ×||AC ―→ cos 60°＝2×2×12＝2. 答案：29．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边上BC ，DC 上，BE ―→＝t BC ―→，DF ―→＝m DC ―→，若AE ―→·AF ―→＝1，CE ―→·CF ―→＝－23，则t ＋m ＝________．解析：因为AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋t BC ―→＝AB ―→＋t AD ―→；AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋m DC ―→＝AD ―→＋m AB ―→，所以AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋t AD ―→)·(AD ―→＋m AB ―→)＝－2－2tm ＋4t ＋4m ＝1； CE ―→·CF ―→＝－2(1－t )(1－m )＝－2＋2m ＋2t －2tm ＝－23，联立⎩⎪⎨⎪⎧－2－2tm ＋4t ＋4m ＝1，－2＋2m ＋2t －2tm ＝－23，解得t ＋m ＝56.答案：5610．(2020·常州期末)平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC ―→|＝32，则|OD ―→|＝________．解析：法一：由点C 为线段AB 的中点，得OC ―→＝OA ―→＋OB ―→2，又|OC ―→|＝32，|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝2，所以34＝1＋2OA ―→·OB ―→＋44，得cos ∠AOB ＝－12，∠AOB ＝2π3.由S △AOD ＋S △BOD＝S △AOB 得12×|OA ―→|×|OD ―→|sin π3＋12×|OB ―→|×|OD ―→|sin π3＝12×|OA ―→|×|OB ―→|sin 2π3，得|OD ―→|＝23.法二：由点C 为线段AB 的中点，得OC ―→＝OA ―→＋OB ―→2，又|OC ―→|＝32，|OA ―→|＝1，|OB―→|＝2，所以34＝1＋2OA ―→·OB ―→＋44，得cos ∠AOB ＝－12，∠AOB ＝2π3.以点O 为坐标原点，OA―→所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，不妨令B (－1，3)，易知OD ：y ＝3x ，AB ：y ＝－32(x －1)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝－32（x －1），得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，33，则|OD ―→|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23. 答案：2311.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→的值是________．解析：因为BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→＋OD ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝OC 2－OD 2，同理：AB ―→·AD ―→＝AO 2－OD 2＝－7，所以OD 2＝16，所以BC ―→·DC ―→＝OC 2－OD 2＝9.答案：912．已知A (0，1)，B (0，－1)，C (1，0)，动点P 满足AP ―→·BP ―→＝2|PC ―→|2，则|AP ―→＋BP ―→|的最大值为________．解析：设动点P (x ，y )，因为A (0，1)，B (0，－1)，C (1，0)，AP ―→·BP ―→＝2|PC ―→|2， 所以(x ，y －1)·(x ，y ＋1)＝2[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝1. 因为|AP ―→＋BP ―→|＝2x 2＋y 2，所以|AP ―→＋BP ―→|表示圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到原点距离的2倍，所以|AP ―→＋BP ―→|的最大值为2×(2＋1)＝6.答案：613．(2020·苏北三市一模)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内一点，满足CP ―→＝32PB ―→＋2PA ―→，则CP ―→·AB ―→的值为________.解析：法一：因为CP ―→＝32PB ―→＋2PA ―→，所以AP ―→－AC ―→＝32(AB ―→－AP ―→)－2AP ―→，得AP―→＝13AB ―→＋29AC ―→，所以CP ―→·AB ―→＝(AP ―→－AC ―→)·AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 AB ―→＋29AC ―→－AC ―→ ·AB ―→＝13AB―→2－79AC ―→·AB ―→＝43－79×3×2×cos 60°＝－1. 法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，因为AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，所以A (0，0)，B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332.设P (x ，y )，由CP ―→＝32PB ―→＋2PA ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x －32＝32（2－x ）＋2（0－x ），y －332＝32（0－y ）＋2（0－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝33，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，所以CP ―→·AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，33－332·(2，0)＝－1.答案：－114．(2020·盐城三模)已知圆O 的半径为2，A ，B ，C 为该圆上的三点，且AB ＝2，BA ―→·BC ―→＞0，则OC ―→·(BO ―→＋BA ―→)的取值范围是________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，其中BA 与x 轴平行，且位于x 轴上方，点B 在点A 左侧，则结合题意得B (－1，3)，A (1，3)，设C (2cos θ，2sin θ)(－π≤θ≤π)，则BO ―→＋BA ―→＝(3，－3)，BA ―→·BC ―→＝(2，0)·(2cos θ＋1，2sin θ－3)＝2(2cos θ＋1)＞0，因为C 与A ，B 都不重合，所以－2π3＜θ＜π3或π3＜θ＜2π3，所以OC ―→·(BO ―→＋BA ―→)＝(2cos θ，2sin θ)·(3，－3)＝6cos θ－2 3 sin θ＝4 3 cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈(－6，0)∪(0，4 3 ]．答案：(－6，0)∪(0，4 3 ]B 组——力争难度小题1．在△ABC 中，若BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，则sin A sin C 的值为________．解析：由BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab，化简可得a ＝2c .由正弦定理得，sin A sin C ＝ac＝ 2.答案： 22．(2020·无锡期末)已知点P 在圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且AB ＝23，则PA ―→·PB ―→的最小值为________．解析：取AB 的中点D ，因为AB ＝23，圆C 的半径R ＝2，所以CD ＝4－3＝1，所以PA ―→·PB ―→＝(PD ―→＋DA ―→)·(PD ―→＋DB ―→)＝PD ―→2－3.C (0，4)，M (a ，a －2)，易知当C ，D ，P ，M 在一条直线上时，PD 最小，此时，PD ＝CM －CD －PM ＝a 2＋（a －6）2－2＝2（a －3）2＋18－2≥32－2(当且仅当a ＝3时等号成立)，所以PA ―→·PB ―→＝PD ―→2－3≥19－122，当a ＝3时取到最小值19－12 2.答案：19－12 23．在直角坐标系xOy 中，已知三点A (a ，1)，B (2，b )，C (3，4)，若OA ―→·OC ―→＝OB ―→·OC ―→，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：因为OA ―→·OC ―→－OB ―→·OC ―→＝0，所以BA ―→·OC ―→＝0，从而有(a －2，1－b )·(3，4)＝0，即3a －4b ＝2.则(a ，b )可视为直线l ：3x －4y ＝2上的动点，设其为P ，则a 2＋b 2为坐标原点O 到P 的距离，故|OP |min ＝d (O ，l )＝232＋（－4）2＝25，故(a 2＋b 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425. 答案：4254.如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若||AB ―→ ＝3，||AC ―→ ＝5，则(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)的值为________．解析：因为AP ―→＝AQ ―→＋QP ―→， 所以AP ―→＋AQ ―→＝2AQ ―→＋QP ―→，而AB ―→－AC ―→＝CB ―→，由于QP ―→⊥CB ―→，所以QP ―→·CB ―→＝0，所以(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝(2AQ ―→＋QP ―→)·CB ―→＝2AQ ―→·CB ―→，又因为Q 是BC 的中点，所以2AQ ―→＝AB ―→＋AC ―→，故2AQ ―→·CB ―→＝(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝AB ―→2－AC―→2＝9－25＝－16.答案：－165．(2020·苏锡常镇四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，D ，E分别为BC ，AD 的中点，过点E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ ―→·CP ―→的最大值为________．解析：法一：如图，以A 为原点，AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，那么B (0，2)，C (1，0)，易知点E的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，可设直线PQ 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋12(k ≠0)，所以有P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12－k 4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12k ，0⎝⎛⎭⎪⎫－6≤k ≤－23.则BQ ―→·CP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12k ，－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12－k 4＝－54＋12k ＋k 2≤－54－212|k |×|k |2＝－94，当且仅当k ＝－1时取等号，故BQ ―→·CP ―→的最大值为－94.法二：如图，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，那么B (2，0)，C (0，1)．因为D ，E 分别为BC ，AD 的中点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，设P (a ，0)，Q (0，b )，a＞0，b ＞0，则直线PQ 的方程为x a ＋y b ＝1，因为直线PQ 过点E ，所以12a ＋14b ＝1.易知BQ ―→＝(－2，b )，CP ―→＝(a ，－1)，所以BQ ―→·CP ―→＝－2a －b ＝－(2a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋14b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a ＋a 2b ＋14≤－94，当且仅当b 2a ＝a 2b ，即a ＝b ＝34时取等号，故BQ ―→·CP ―→的最大值为－94.法三：设AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝μAC ―→，λ＞0，μ＞0，则AE ―→＝12AD ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14λAP ―→＋14μAQ ―→，因为E ，P ，Q 三点共线，所以14λ＋14μ＝1，所以BQ ―→·CP ―→＝(AQ ―→－AB ―→)·(AP ―→－AC ―→)＝－AQ ―→·AC ―→－AB ―→·AP ―→＝－(μ＋4λ)＝－(μ＋4λ)⎝⎛⎭⎪⎫14λ＋14μ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋μλ＋4λμ≤－94，当且仅当λ＝38，μ＝34时取等号，故BQ ―→·CP ―→的最大值为－94.答案：－946．设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知b 2－2b ＋c 2＝0，则BC ―→·AO ―→的取值范围是________．解析：由O 是△ABC 的三边中垂线的交点，知O 是三角形外接圆的圆心，如图所示．连接AO 并延长交外接圆于点D ，则AD 是⊙O 的直径，连接BD ，CD ，则∠ABD ＝∠ACD ＝90°，cos ∠BAD ＝AB AD ，cos ∠CAD ＝ACAD， 所以BC ―→·AO ―→＝(AC ―→－AB ―→)·12AD ―→＝12|AC ―→||AD ―→|·cos ∠CAD －12|AB ―→||AD ―→|cos∠BAD ＝12(b 2－c 2)＝12(b 2－2b ＋b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.因为c 2＝2b －b 2＞0，所以0＜b ＜2，设f (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14(0＜b ＜2)，则当b ＝12时，f (b )取最小值－14，又⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122－14＝2，所以f (b )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2，所以BC ―→·AO ―→的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2。
江苏专用高考数学二轮复习专题一三角函数和平面向量微专题2平面向量数量积问题的常用处理策略课件
CEA=72°.取AE的中点F,连接CF,则CF⊥AE.又正五边形ABCDE的边长为2 3 ,
则 AC· AE=| AE|·| AC
|·cos∠CAE=| AE
|·|A F
|=1 A E 2
=6.
2
2.在△ABC中,已知B= ,| AB
- AC
|=2,则 AB
· AC
的取值范围是
2-1
在矩形ABCD中,AB= 3
,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若 AE
·B F
=1,则 AB· AF 的值为
.
答案 2
解析 以点A为坐标原点,AD、AB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标 系,
则D(2,0),B(0, 3
),E(1, 3
),设F(2,y),y∈[0, 3
AP =
.
答案 - 7
2
解析 取BC的中点D,则DP⊥BC,则 BC · AP =B C ·( AD +D P )=B C ·A D +B C ·D P =
BC · AD
=( AC
- AB
)·1 (A C
+A B
)=1 (|A C
|2-|A B
|2)=-7 .
,在△ABC中,由余弦定理得cos
B= 252
9 5
49 3
=-
1 ,则 BA
·B P
=B A ·
1 B A
+λB C
2
4
=1 B A2
2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：冲刺提分作业第3讲 平面向量
第3讲 平面向量1.(2018南京调研)已知向量a=(1,2),b=(-2,1).若向量a-b 与向量ka+b 共线,则实数k 的值是 .2.如图,正六边形ABCDEF 中,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),则λ+μ的值为 .3.(2018江苏海安高级中学月考)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a 与b 的夹角大小为 .4.(2018江苏扬州调研)在△ABC 中,AH 是底边BC 上的高,点G 是三角形的重心,若AB=2,AC=4,∠BAH=30°,则(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AG⃗⃗⃗⃗⃗ = . 5.(2018江苏扬州中学模拟)如图,已知AC=BC=4,∠ACB=90°,M 为BC 的中点,D 是以AC 为直径的圆上一动点,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是 .6.在平行四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.若|a|=2,|b|=3,a 与b 的夹角为π3,则线段BD 的长度为 .7.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,14)如图,在△ABC 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD 与BE 交于点P,AP=1,BC=4,AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 .8.(2019宿迁期末,12)如图所示,矩形ABCD的边AB=4,AD=2,以点C为圆心,CB为半径的圆与CD交于点E,若点P是圆弧EB(含端点B,E)上的一点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是.9.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,16)已知向量a=(2cos α,2sin α),b=(cos α-sin α,cos α+sin α).(1)求向量a与b的夹角;(2)若(λb-a)⊥a,求实数λ的值.答案精解精析1.答案 -1解析 a-b=(3,1)与ka+b=(k-2,2k+1)共线,则3(2k+1)-(k-2)=0,解得k=-1. 2.答案43解析 如图,连接CE 交AD 于G 点,易得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =43×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴λ+μ=43.一题多解 以AB 所在直线为x 轴,AE 所在直线为y 轴建立直角坐标系,设AB=1,则A(0,0),B(1,0),E(0,√3),C (32,√32),D(1,√3),∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAE⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(1,√3)=λ(32,√32)+μ(0,√3), ∴{1=32λ,√3=√3λ2+√3μ,解得{λ=23,μ=23,故λ+μ=43. 3.答案π6解析 由已知得a ·b=2√3,则cos<a,b>=a ·b|a |·|b |=√32,又<a,b>∈[0,π],则<a,b>=π6.4.答案 6解析 由AH 是底边BC 上的高,且AB=2,AC=4,∠BAH=30°,得AH=√3,BH=1,HC=√13.以点H 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,AH 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(0,√3),B(-1,0),H(0,0),C(√13,0),G (√13-13,√33),则(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√13+1,-√3)·(√13-13,-2√33)=13-13+2=6. 5.答案 8-4√5解析 如图,以AC 的中点O 为坐标原点,AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则 A(-2,0),C(2,0),B(2,-4),M(2,-2).设D(2cos θ,2sin θ),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2)·(-2cos θ+2,-2sin θ)=4sin θ-8cos θ+8=4√5sin(θ-φ)+8,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是8-4√5. 6.答案 √7解析 因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a,所以|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(b -a )2=√9-2×2×3×12+4=√7. 7.答案13解析 设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-2λ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵D,P,C 三点共线, ∴2-2λ+λ3=1,解得λ=35.∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AP=1,BC=4,AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2, ∴{AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC⃗⃗⃗⃗⃗ )2=1,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2, 解得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =13. 8.答案 [8-8√2,0]解析 以C 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系.点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4(x ≤0,y≤0),设P(2cos θ,2sin θ)(θ∈[π,3π2]),又A(-4,-2),B(0,-2),则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4-2cos θ,-2-2sin θ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0-2cos θ,-2-2sin θ), 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =8cos θ+8sin θ+8=8√2·sin (θ+π4)+8. 因为θ∈[π,3π2],所以θ+π4∈[5π4,7π4],sin (θ+π4)∈[-1,-√22], 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[8-8√2,0]. 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[8-8√2,0]. 9.解析 (1)设向量a 与b 的夹角为θ, 因为|a|=2,|b|=√(cosα-sinα)2+(cosα+sinα)2=√2, 所以cos θ=a ·b|a |·|b |=(2cosα,2sinα)·(cosα-sinα,cosα+sinα)2√2=2cos 2α+2sin 2α2√2=√22.考虑到0≤θ≤π,则向量a 与b 的夹角为π4. (2)若(λb-a)⊥a,则(λb-a)·a=0, 即λb ·a-a 2=0, 因为b ·a=2,a 2=4,所以2λ-4=0,解得λ=2.。
2020年高考数学二轮 专题5 平面向量精品复习(学生版)
2020届高考数学二轮复习资料专题五 平面向量（学生版）【考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【考点预测】高考对平面向量的考点分为以下两类:(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.【要点梳理】1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；4.两个向量夹角的范围是:[0,]π;5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.【考点在线】考点一 向量概念及运算例1.(2020年高考山东卷理科12)设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v (λ∈R)，1412A A A A μ=u u u u v u u u u v (μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d ∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是( )(A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上练习1: (2020年高考广东卷文科3)已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===r r r ，若λ为实数，()//a b c λ+r r r ，则λ= （ ）A ．14B ．12C ．1D ．2 考点二 平面向量的数量积已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 【易错专区】 问题：向量运算例. (山东省济宁市2020年3月高三第一次模拟理科)平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足（AB u u u r －BC u u u r ）·（AD u u u r －CD u u u r ）＝0，则三角形ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【考题回放】 1.（2020年高考全国卷文科3)设向量a b r r 、满足|a r |=|b r |=1, a b ⋅r r 1=2-,则2a b +=r r ( )（A 2 （B 3（C 5（D 72.（2020年高考辽宁卷文科3)已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）（A ）-12 （B ）-6 （C ）6 （D ）123. （2020年高考四川卷文科7)如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r =( )(A)0 (B)BE u u u r (C)AD u u u r (D)CF uuu r4．（ 2020年高考全国Ⅰ卷文科11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •u u u v u u u v 的最小值为( ) (A) 42-+32- (C) 422-+322-+5．（2020年高考全国卷Ⅱ文科10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB u u u r = a ,CA u u u r = b , a = 1 ，b = 2, 则CD uuu r =( )（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a +35b 6．（2020年高考四川卷文科6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =u u u r ，AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AM u u u u r =( ) （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）17．（2020年高考江西卷文科11)已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=___.8. （2020年高考福建卷文科13)若向量a=（1,1），b （-1,2），则a·b 等于_____________.9．（2020年高考湖南卷文科13)设向量,a b r r 满足||5,(2,1),a b ==r r 且a b r r 与的方向相反，则a r 的坐标为 ．10.（2020年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足1,1αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ取值范围是 . 11. (2020年高考天津卷文科14)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,90ADC ∠=o ,AD=2,BC=1,P是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +u u u r u u u r 的最小值为 .(D)2222()()||||a b a b a b +•=e 2．（2020年高考天津卷文科9）如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =u u u r BD u u u r ，1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r =( )（A ）23（B 3（C 3（D 3 3．（2020年高考福建卷文科8）若向量(x,3)(x )a R =∈r ，则“x 4=”是“||5a =”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．（2020年高考福建卷文科11）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP u u u r u u u r g 的最大值为( )A.2B.3C.6D.85．（2020年高考北京卷理科6）a 、b 为非零向量。
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积及其应用课件
+ 23 DA
= 12 BC
- 23 AD
= 12 ( AC
- AB
)- 13 ( AB
+ AC
)= 16 AC
- 56
AB ,
CE
= CD
+ DE
= 12 CB
+ 23 DA
= 1 CB
- 2 AD
= 1 ( AB
- AC
)- 1 ( AB
1 3
2
AB
.
∵ AB
· AC
=6 AO
·E C
,
∴ AB · AC
=3
2
AC
-1
2
AB
+ ABຫໍສະໝຸດ ·A C,2
2
∴ AB
2
=3 AC
2
,
∴| AB
|= 3
| AC
|,
∴ AB
AC
= 3
.
一题多解 由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC=b,建立如图所示 的平面直角坐标系.
因为E,F是AD上的两个三等分点,
2
2 2
2
所以 AD =9 FD , ED =4 FD ,
由①-③可得8 FD
2
2
=5,即 FD
= 85 .
由②③可得 BE ·C E
= BF
·C F
2
+3F D
=-1+1 85 =78 .
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微专题五 平面向量的数量积
一、填空题
1. 已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．
2. 已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．
3. 已知两个平面向量a，b满足|a|＝1，|a－2b|＝21，且a与b的夹角为120°，
则|b|＝________.
4. 在△ABC中，AB→·AC→＝0，|AB→|＝4，|BC→|＝5，D为线段BC的中点，E为线段BC垂
直平分线l上任一异于D的点，则AE→·CB→＝________.
5. 已知e1，e2是夹角为π3的两个单位向量，向量a＝e1＋2e2，b＝ke1－e2，若a·b＝0，
则实数k的值为________．
6. 已知点O是△ABC内部一点，且满足OA→＋OB→＋OC→＝0，又AB→·AC→＝23，∠BAC＝60°，
则△OBC的面积为________．
7. 在平行四边形ABCD中，AC→·AD→＝AC→·BD→＝3，则线段AC的长为________．
8. 在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且OP→·OQ→＝2，已知点A(－
2,0)，B(2,0)，则(|PA→|－|PB→|)2的值为________．
9. 已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则MA→·MB→的取
值范围是________．
10. 在梯形ABCD中，AB→＝2DC→，|BC→|＝6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足AP→＋
BP→＋4DP→＝0，DA→·CB→＝|DA→|·|DP→|，Q为边AD上的一个动点，则|PQ
→
|的最小值为________．
二、解答题
11. 如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→.
(1) 若BP→＝PA→，求x，y的值；
(2) 若BP→＝3PA→，|OA→|＝4，|OB→|＝2，且OA→与OB→的夹角为60°时，求OP→·AB→的值．