北师大初中 三角形1

三角形知多少1一．选择题。

1．如图，在下列条件中，不能．．证明△ABD ≌△ACD 的是（ ）. A.BD =DC ， AB =AC B.∠ADB =∠ADC ，BD =DC C.∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD D. ∠B =∠C ，BD =DC2．如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是 A 100° B 80° C 70° D 50°3．如图示，在Rt ABC △中，90A ∠=°，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，且4,5A B B D ==，则点D 到BC 的距离是：Ａ 3 Ｂ 4 Ｃ 5 Ｄ 6 4．如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组二．填空题。

1．在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC +∠PCA +∠P AB =__________度.2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°， 则∠CAP =_______________．3．如图所示，将△ABC 沿它的中位线MN 折叠后，点A 落在点A ′处，如果∠A ＝28°，∠B ＝120°，那么∠A ′NC ＝ ．4．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图示）．如果将ABM△沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．5．如图，在锐角ABC △中，45AB BAC =∠=°，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是___________ ．6．如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，4cm GC =，3cm GB =，将ADG △绕点D 旋转180得到BDE △，则DE = cm ，ABC △的面积= cm 2．N M C B三．解答题。

1．如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．2．如图，D ，E ，分 别 是 AB ，AC 上 的 点 ，且AB=AC ，AD=AE.求证∠B=∠C.3．如图,AB BD ⊥于点B ,ED BD ⊥于点D ,AE 交BD 于点C ,且BC DC =.求证AB ED =.4．如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，并且BF ＝CE ，∠B ＝∠C ．(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC ≌△DEF ．你添加的条件是： ．(2)添加了条件后，证明△ABC ≌△DEF ．5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D 。

求证：△BEC ≌△CDA 。

6．如图1，在ABC △中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B P 、在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接.PM PN 、 （1）延长MP 交CN 于点E （如图2），①求证：BPM CPE △≌△；②求证：PM PN =；（2）若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B P 、在直线a 的同侧，其它条件不变.此时PM PN =还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM PN =还成立吗？不必说明理由.7．如图示，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 至D ，使CD ＝BC ．点E 在边AC 上，以CD 、CE 为邻边作□CDFE ．过点C 作CG ∥AB 交EF 于点G ，连接BG 、DE ． (1)∠ACB 与∠DCG 有怎样的数量关系？请说明理由． (2)求证：△BCG ≌△DCE ．8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90º，AC ＝BC ，CE ⊥BE ，CE 与AB 相交于点F ，AD ⊥CF 于点D ，且AD 平分∠F AC ．请写出图中两对．．全等三角形，并选择其中一对加以证明．图1 图2 图39．如图，已知：点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB =CE ，AC =DF ．能否由上面的已知条件证明AB ∥ED ？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个．．合适的条件．．．．．，添加到已知条件中，使AB ∥ED 成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）： ①AB =ED ；②BC =EF ；③∠ACB =∠DFE ．10．如图，已知ABC ADE Rt △≌Rt △，90ABC ADE ∠=∠=°，BC 与DE 相交于点F ，连接CD ，EB ．（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举. （2）求证：.CF EF =11．（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.（Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由. （2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA ，PN ⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.ACEBDF12．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90，CD AB ⊥于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC的垂线，交CD 的延长线于点F .求证：AB=FC 。

13．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC 。

（1）求证：BG=FG ；（2）若AD=DC=2，求AB 的长。

14．（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．15．如图所示，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE=CD. （1）用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥BE ，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM=EM.FB EC D G A A C D 图① ACD 图② F EE D CF B A 图③ E D C A B FG 'D ' A DE CB F α图④ 图⑤16．在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC AB 111△，交AC 于点E ，11AC 分别交AC BC 、于D F 、两点． （1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED 的长．17．如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．18．如图示，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，P 为梯形ABCD 外一点，PA PD 、分别交线段BC 于点E F 、，且PA PD =．（1）图中除了ABE DCF △≌△外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）． （2）求证：ABE DCF △≌△．19．已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证：OA ＝OD ． ADBECF1A1CADBECF1A1C（第25题 图1）（第25题 图2）D CF EA B P20．已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AMN △是等腰三角形．（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180 ，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：PBD AMN △∽△．21．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC 中，AB =AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP =∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ =CP ．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ =CP 之后，将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ =CP ”仍然成立，请你就图②给出证明．22．如图14-1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP △沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．23．已知：如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B 。