必修2 第四章 第三节 名校尖子生培优 4.3空间直角坐标系同步试题含解析
高中数学人教新课标A版必修二4
高中数学人教新课标A版必修二4.3空间直角坐标系同步训练1一、单选题 (共11题；共22分)1．（2分）下列命题中错误的是（）A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)2．（2分）在空间直角坐标系中，点M(3,0,2)位于（）A．y轴上B．x轴上C．xOz平面内D．yOz平面内3．（2分）若已知点M(3,4,1)，点N(0,0,1)，则线段MN的长为（）A．5B．0C．3D．14．（2分）在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|P A|＝|PB|，则P点坐标为()A．(3,0,0)B．(0,3,0)C．(0,0,3)D．(0,0，－3)5．（2分）点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是（）A．(1,2,3)B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3)D．(1，－2，－3)6．（2分）点A(－3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是()A．(72,1,−2)B．(12,2,3)C．(－2,3,5)D．(13,43,2)7．（2分）空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为√30的点有() A．2个B．1个C．0个D．无数个8．（2分）不在正方体同一表面上的两顶点A(−1,2,−1),B(3,−2,3)，则正方体的体积是() A．16B．192C．64D．489．（2分）已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－2,11)、B(4,2,3)、C(6，－1,4)，则△ABC是() A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形10．（2分）△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－83，2,3)，则它在yOz平面上射影图形的面积是（）A．4B．3C．2D．111．（2分）已知P(32,52,z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)、B(－2,4,3)，则z＝.二、填空题 (共4题；共8分)12．（2分）如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是.13．（2分）在△ABC中，已知A(－1，2，3)、B(2，－2，3)、C(12，52，3)，则AB边上的中线CD的长是.14．（2分）在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为.15．（2分）已知点A(x，5－x，2x－1)、B(1，x＋2，2－x)，求|AB|的最小值.三、解答题 (共3题；共20分)16．（10分）长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系.（1）（5分）写出点D、N、M的坐标；（2）（5分）求线段MD、MN的长度．17．（5分）如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过点B1作B1E⊥BD1于点E，求A、E两点之间的距离.18．（5分）如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E、F分别为BC、CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．故答案为：A.【分析】画出空间直角坐标系，在空间直角系中更容易观察其中点的坐标特点.2．【答案】C【解析】【解答】由x＝3，y＝0，z＝2可知点M位于xOz平面内．故答案为：C.【分析】点M的坐标中y轴坐标为0，故为没有y轴的平面即xOz平面内.3．【答案】A【解析】【解答】根据两点间距离公式得: |MN|=√（3−0)2+(4−0)2+(1−1)2=5.故答案为：A.【分析】空间中两点之间的距离公式为两点对应坐标差的平方和再开平方.4．【答案】C【解析】【解答】设P(0,0，z)，则有√12+(−2)2+(z−1)2=√22+22+(z−2)2，解得z＝3.故答案为：C.【分析】先根据点P的位置特点设出点P的坐标，再利用空间中两点之间的距离公式表示出PA与PB的长度，利用两者相等列出方程，解方程即可求得点P的坐标.5．【答案】B【解析】【解答】点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(－1，－2,3).故答案为：B．【分析】关于xOz平面对称那么这两个点x，z坐标不变，y坐标互为相反数.6．【答案】B【解析】【解答】根据中点坐标公式可得：x=−3+42=12，y=1+32=2，z=5+12=3，所以中点坐标为(12,2,3).故答案为：B.【分析】空间中中点坐标公式可以类比平面坐标中中点坐标公式进行记忆. 7．【答案】A【解析】【解答】设x轴上满足条件的点为B(x,0,0)，则由|PB|＝√30，得√(x−4)2+(0−1)2+(0−2)2=√30，解之得x＝－1或9.故答案为：A．【分析】先设出满足条件的B点的坐标，再利用两点间的距离公式列出方程，解方程即可求得点B 的坐标，也可判断满足条件的点的个数.8．【答案】C【解析】【解答】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点坐标为M（-1，2，-1），N（3，-2，3），∴MN是正方体的体对角线，MN2= 16+16+16 =64∴正方体的棱长为4，∴正方体的的体积是64故答案为：C【分析】连接正方体八个顶点中的两个，只有棱、面对角线、体对角线三种可能，其中不在同一表面的两顶点只能是体对角线两端点.9．【答案】A【解析】【解答】由两点间距离公式得|AB|＝√89，|AC|＝√75，|BC|＝√14，满足|AB|2＝|AC|2＋|BC|2.故答案为：A.【分析】利用两点间的距离公式求得三角形三条边的长度，再结合勾股定理判断三角形是否为直角三角形.10．【答案】D【解析】【解答】△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1)、B′(0,2,1)、C′(0,2,3)，△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′，容易求出它的面积为1.故答案为：D.【分析】先求得三角形ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标，再求求得射影三角形各边的长度，从而可知三角形为直角三角形，从哦哦那个人求得射影三角形的面积.11．【答案】0或－4【解析】【解答】利用中点坐标公式可得AB中点C( 12，92，－2)，因为|PC|＝3，所以√(32−12)2+(52−92)2+[a−(−2)]2=3，解得z＝0或z＝－4.故答案为：0或－4.【分析】先根据A，B的坐标求得线段AB的中点坐标，再利用两点间的距离公式列出关于z的方程，解方程即可求得z的值.12．【答案】(1,32,1)【解析】【解答】由长方体性质可知，M为OB1中点，而B1(2,3,2)，故M(1，32，1)．故答案为：(1,32,1).【分析】先根据长方体的性质及题意判断点M的位置，再根据题意表示出相关点的坐标，从而利用中点坐标公式即可求得点M的坐标.13．【答案】52【解析】【解答】由A(－1，2，3)，B(2，－2，3)及中点坐标公式得D（12，0，3），由两点间距离公式得CD的长是√(12−12)2+(52−0)2+(3−3)2=52.故答案为：52.【分析】先根据点A，B的坐标求得其中点D的坐标，再由两点间的距离公式求得CD的长即可.14．【答案】2√393【解析】【解答】∵ |AM|＝√(3−4)2+(−1−1)2+(2−2)2=√13，∴对角线|AC1|＝2 √13设棱长x，则3x2＝(2 √13)2，∴x＝2√393.故答案为：2√393.【分析】线段AM的长为正方体对角线长的一半，而3倍棱长的平方即为对角线的长.15．【答案】√357【解析】【解答】∵|AB|=√(x−1)2+(3−2x)2+(3x−3)2=√14x2−32x+19=√14(x−87)2+57≥√357，∴当x=87时，|AB|取最小值√357.故答案为：√357.【分析】先根据两点间的距离公式表示出线段AB 之间的距离，再利用二次函数的图象特征判断线段AB 长的最小值.16．【答案】（1）解:因为D 是原点，则D(0,0,0)．由AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，得A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、B 1(2,2,3)、C 1(0,2,3)． ∵N 是AB 的中点，∴N(2,1,0)． 同理可得M(1,2,3)．（2）解:由两点间距离公式，得|MD|＝ √(1−0)2+(2−0)2+(3−0)2 ＝ √14 ， |MN|＝ √(1−2)2+(2−1)2+(3−0)2=√11 .【解析】【分析】（1）根据所建立的空间直角坐标系及所给点的特征很容易写出各点的坐标；（2）利用空间直角坐标系中两点之间的距离公式求线段MD ，MN 的长度即可.17．【答案】解:以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得A(a,0,0)、B(a ，a,0)、D 1(0,0，a)、B 1(a ，a ，a)．过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示，则在Rt △BB 1D 1中，|BB 1|＝a ，|BD 1|＝ √3 a ，|B 1D 1|＝ √2 a ，所以|B 1E|＝ a √2a √3a=√6a 3 ，所以Rt △BEB 1中，|BE|＝ √33 a 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF|＝ √23 a ，|EF|＝ a 3 ，所以点F 的坐标为( 2a3，2a 3 ，0)，则点E 的坐标为( 2a 3，2a3， a 3 )．由两点间的距离公式，得|AE|＝ √(a −2a 3)2+(0−2a 3)2+(0−a 3)2＝ √63 a ，所以A 、E 两点之间的距离是 √63 a.【解析】【分析】先建立适当的直角坐标系，根据题意表示出相关点的坐标，再根据题中点E 的位置关系求得点E 的坐标，利用两点间的距离公式表示出线段AE 的长度.18．【答案】解:∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O 点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)、A(－1，－1，0)、D(－1,1,0)． ∵V 在z 轴上，∴V(0,0,3)．【解析】【分析】根据所给的各点的位置关系及所建立的直角坐标系容易写出各点的坐标.。
高中数学 必修二 同步练习 专题4.3 空间直角坐标系(解析版)
一、选择题1．在空间直角坐标系中，M（–2，1，0）关于原点的对称点M′的坐标是A．（2，–1，0）B．（–2，–1，0）C．（2，1，0）D．（0，–2，1）【答案】A【解析】∵点M′与点M（–2，1，0）关于原点对称，∴M′（2，–1，0）．故选A．2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射影，则OB等于A．13B．14C．23D．13【答案】A3．点B30，0）是点A（m，2，5）在x轴上的射影，则点A到原点的距离为A．2B．2C．3D．5【答案】A【解析】点B30，0）是点A（m，2，5）在x轴上的射影，可得m3A到原点的距离222++2．故选A．(3)254．在空间直角坐标系中，点A（5，4，3），则A关于平面yOz的对称点坐标为A．（5，4，–3）B．（5，–4，–3）C．（–5，–4，–3）D．（–5，4，3）【答案】D【解析】根据关于坐标平面yOz 的对称点的坐标的特点，可得点A （5，4，3），关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为（–5，4，3）．故选D ．5．空间中两点A （1，–1，2）、B （–1，1，22+2）之间的距离是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵A （1，–1，2）、B （–1，1，22+2），∴A 、B 两点之间的距离d =222(11)(11)(2222)++--+--=4，故选B ．6．在空间直角坐标系中，P （2，3，4）、Q （–2，–3，–4）两点的位置关系是A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对【答案】C7．点P （1，1，1）关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是A ．（1，1，–1）B ．（–1，–1，–1）C ．（–1，–1，1）D ．（1，–1，1）【答案】B【解析】∵点P （1，1，1）关于xOy 平面的对称点为P 1，∴P 1（1，1，–1），∴点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是（–1，–1，–1）．故选B ．8．已知点A （2，–1，–3），点A 关于x 轴的对称点为B ，则|AB |的值为A ．4B ．6C 14D ．10【答案】D【解析】点A （2，–1，–3）关于平面x 轴的对称点的坐标（2，1，3），由空间两点的距离公式可知：AB ()()()222221133-++++10，故选D ．9．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M （1，2，3）关于x 轴对称的点N 的坐标是A．N（–1，2，3）B．N（1，–2，3）C．N（1，2，–3）D．N（1，–2，–3）【答案】D【解析】∵点M（1，2，3），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点M（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，–2，–3），故选D．10．空间点M（1，2，3）关于点N（4，6，7）的对称点P是A．（7，10，11）B．（–2，–1，0）C．579222⎛⎫⎪⎝⎭，，D．（7，8，9）【答案】A11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，–4，0），点M是A，B的中点，则点M的坐标是A．（1，–1，0）B．（1，–2，1）C．（2，–4，2）D．（1，–4，1）【答案】B【解析】∵点M是A，B的中点，∴M110420222+-+⎛⎫⎪⎝⎭，，，即M（1，–2，1）．故选B．二、填空题12．空间中，点（2，0，1）位于___________平面上（填“xOy”“yOz”或“xOz”）【答案】xOz【解析】空间中，点（2，0，1）位于xOz平面上．故答案为：xOz．13．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则对角线AC1的长为___________．29【解析】∵在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，D （0，0，0），A （4，0，0），B （4，2，0），A 1（4，0，3），∴C 1（0，2，3），∴对角线AC 1的长为|AC 1|=222(04)2329-++=．故答案为：29．14．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为（1，2，3），过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为___________． 【答案】（1，2，0）【解析】空间直角坐标系中，点P （1，2，3），过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则点Q 的坐标为（1，2，0），如图所示．故答案为：（1，2，0）．15．若A （1，3，–2）、B （–2，3，2），则A 、B 两点间的距离为___________．【答案】5【解析】由题意，A 、B 两点间的距离为222(12)(33)(22)++-+--=5．故答案为：5． 16．已知A （1，a ，–5），B （2a ，–7，–2）（a ∈R ），则|AB |的最小值为___________．【答案】3617．点A （–1，3，5）关于点B （2，–3，1）的对称点的坐标为___________．【答案】（5，–9，–3）【解析】设点A（–1，3，5）关于点B（2，–3，1）的对称点的坐标为（a，b，c），则12 2332512abc-+⎧=⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得a=5，b=–9，c=–3，∴点A（–1，3，5）关于点B（2，–3，1）的对称点的坐标为（5，–9，–3）．故答案为：（5，–9，–3）．三、解答题18．若点P（–4，–2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是A和B．求线段AB的长．19．在Z轴上求一点M，使点M到点A（1，0，2）与点B（1，–3，1）的距离相等．【解析】设M（0，0，z），∵Z轴上一点M到点A（1，0，2）与B（1，–3，1）的距离相等，∴()222221021(03)(1)z z++-=+++-，解得z=–3，∴M的坐标为（0，0，–3）．20．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2，（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求A1C的长度．【解析】（1）∵正方体的棱长为2，∴A （0，0，2），B （0，2，2），C （2，2，2），D （2，0，2）， A 1（0，0，0），B 1（0，2，0），C 1（2，2，0），D 1（2，0，0）． （2）由（1）可知，A 1（0，0，0），C （2，2，2），A 1C 的长度|A 1C |=222222++=23．21．求证：以A （4，1，9），B （10，–1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．。
高中数学同步精品课堂(提升版)：专题4.3空间直角坐标系(测)(必修二)(含答案解析)
（时间： 25分，满分55 分）班级姓名得分一、选择题1．已知点A( 31，，4)，则点A对于原点的对称点的坐标为（）Ａ． (1， 3， 4)Ｂ． ( 4，1， 3)Ｃ． (3， 1， 4)Ｄ． (4， 1，3)【答案】 C【分析】点 A(31，，4) 对于原点的对称点为(3， 1， 4) 。
2．点（ 2，3， 4）对于 xoz 平面的对称点为（）A.（ 2， 3， -4）B.（ -2， 3， 4）C.（ 2， -3， 4）D.（ -2， -3，4）【答案】 C【分析】点（ 2， 3，4）对于 xoz 平面的对称点为（2， -3， 4）。
应选 C。
3．若已知 A(1， 1， 1)，B(－ 3，－ 3，－ 3)，则线段AB 的长为 ()A．4 3B．2 3C．4 2 D ． 3 2【答案】A222【分析】由公式得|AB |＝(－3－1) ＋(－3－1)＋(－3－1)＝ 4 3.4．以正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱 AB， AD ， AA1所在的直线为x 轴、 y 轴、 z 轴成立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱 CC1的中点的坐标为 ()A.（1， 1,1） B.（1，1，1）C（. 1,1，1） D.（1，1，222221）【答案】 C5．在空间直角坐标系中，点P(1， 2， 3) ，过点 P 作平面 xOy 的垂线 PQ ，则 Q 的坐标为（）A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C．(10，，3)D．(1，2，0)【答案】D【分析】过点 P 作平面 xOy 的垂线 PQ ，点 Q 的竖坐标为0，则Q的坐标为(1，2，0)6．已知空间直角坐标系中点P(1， 2，3) ，此刻 轴上取一点 Q ，使得最小，则 Q 点的坐标为 ().A.(0 ， 0，1)B.(0 ， 0， 2)C.(0，0， 3)D.(0 ， 1，0)【答案】 C【分析】设点 Q 的坐标为 (0， 0， )，则，当时，.应选 C 。
高中数学(人教版必修2)配套练习 第四章4.3空间直角坐标系试题解析
§4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系一、基础过关1．点P (5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．x 轴上 2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为( )A ．垂直于xOz 平面的一条直线B ．平行于xOz 平面的一条直线C ．垂直于y 轴的一个平面D ．平行于y 轴的一个平面3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在xOy 平面上B ．一定在yOz 平面上C ．一定在xOz 平面上D ．可能在xOz 平面上4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)5．在空间直角坐标系中，点A (1,2，－3)关于x 轴的对称点为________． 6．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 分别是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标． 8. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心为坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3， －1)，求其它7个顶点的坐标． 二、能力提升9．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对10．如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫13，13，13B.⎝⎛⎭⎫23，23，23C.⎝⎛⎭⎫13，23，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，13 11．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为_________． 12. 如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE ∥AD ，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标． 三、探究与拓展13. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标．答案1．C 2．A 3．D 4．A 5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)7．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12. 8．解 长方体的对称中心为坐标原点O ，因为顶点坐标A (－2，－3，－1)，所以A 关于原点的对称点C 1的坐标为(2,3,1)．又因为C 与C 1关于坐标平面xOy 对称， 所以C (2,3，－1)．而A 1与C 关于原点对称，所以A 1(－2，－3,1)．又因为C 与D 关于坐标平面xOz 对称，所以D (2，－3，－1)． 因为B 与C 关于坐标平面yOz 对称，所以B (－2,3，－1)． B 1与B 关于坐标平面xOy 对称，所以B 1(－2,3,1)． 同理D 1(2，－3,1)．综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C 1(2,3,1)，C (2,3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B (－2,3，－1)，B 1(－2,3,1)，D (2，－3，－1)，D 1(2，－3,1)． 9．C 10．D11.⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 2212．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个点的坐标分别为O (0,0,0)、A (0，－32，0)、B (32，0,0)、C (－32，0,0)、D (0，－32，8)、E (0,0,8)、F (0,32，0)．13．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，E (1，32，0)． 4.3.2 空间两点间的距离公式一、基础过关1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A.61B ．25C ．5 D.57 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4，0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B.29C ．5D ．2 63．已知点A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于 ( )A.534B.532C.532D.1324．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足 ( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝45．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为____________． 6．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 7．在yOz 平面上求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)等距离的点的坐标．8. 如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为(32，12，0)，点D 在平面yOz上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．二、能力提升9．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形 B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形 C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形10．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87 C.87 D.191411．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B的距离相等，则M 的坐标是________．12. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．三、探究与拓展13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．答案1．C 2.B 3.B 4．B 5．x 2＋z 2－y 2＝0 6.0或－47．解 设P (0，y ，z )，由题意⎩⎪⎨⎪⎧|P A |＝|PC ||PB |＝|PC |所以⎩⎨⎧(0－3)2＋(y －1)2＋(z －2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2(0－4)2＋(y ＋2)2＋(z ＋2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y －z －6＝07y ＋3z －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1z ＝－2， 所以点P 的坐标是(0,1，－2)． 8．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1.∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴|AD | ＝(32)2＋(12＋1)2＋(－3)2＝ 6. 9．A 10．C 11．(0，－1,0)12．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)， D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三等分点且靠近A 1点， ∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN | ＝⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.13．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)．∴|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51≥51， 当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min＝51.。
4.3.1 空间直角坐标系题组训练- 高一上学期数学人教A版必修2第四章(Word版,含解析)
4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系基础过关练题组一空间直角坐标系1.点M(a,b,0),N(0,a,b),P(a,0,b)分别在平面( )A.xOy,yOz,xOz上B.yOz,xOy,xOz上C.xOz,yOz,xOy上D.xOy,xOz,yOz上2.点A(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影的坐标分别为( )A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则四边形AA1B1B对角线的交点坐标为( )A.(0,12,12) B.(12,0,12)C.(12,12,0) D.(12,12,12)4.(湖北荆州高一期末)设A(1,-1,1),B(3,1,5),则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是( )A.在y轴上B.在xOy平面内C.在xOz平面内D.在yOz平面内5.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是( )A.一个平面B.一条直线C.一个圆D.一个球6.(河南禹州高一期中)如图,棱长为√2的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的x轴,y轴,z轴上,则顶点D的坐标为( )A.(1,1,1)B.(√2,√2,√2)C.(√3,√3,√3)D.(2,2,2)题组二空间中点的对称问题7.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于z轴对称D.关于原点对称8.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c).给出下列命题:①点M关于x轴对称的点M1的坐标为(a,-b,c);②点M关于yOz平面对称的点M2的坐标为(a,-b,-c);③点M关于y轴对称的点M3的坐标为(a,-b,c);④点M关于原点对称的点M4的坐标为(-a,b,-c).其中真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.09.(安徽天长关塘中学高一期末)在空间直角坐标系Oxyz中,点(-1,2,-4)关于原点O对称的点的坐标为.10.(四川阆中中学高二期中)点P(-3,2,1)关于点Q(1,2,-3)对称的点M的坐标为.11.(江苏高二期末)在空间中,点(3,4,5)关于x轴对称的点的坐标为.12.(四川雅安中学高二月考)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是.能力提升练一、选择题1.(陕西高一期末,★★☆)点P(a,b,c)到坐标平面yOz的距离是( )A.49B.|a| C.|b| D.|c|2.(★★☆)在空间直角坐标系中,点P(2,3,4)和点Q(-2,-3,-4)的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于yOz平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对3.(★★☆)设x,y为任意实数,则相应的所有点P(x,y,3)的集合是( )A.z轴上的两个点B.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的直线C.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的平面D.以上答案都有可能4.(★★☆)设y∈R,则点P(1,y,2)构成的集合为( )A.垂直于xOz平面的一条直线B.平行于xOz平面的一条直线C.垂直于y轴的一个平面D.平行于y轴的一个平面5.(★★☆)点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴对称的点为A'(λ,7,-6),则( )A.λ=-2,μ=-1,v=-5B.λ=2,μ=-4,v=-5C.λ=2,μ=10,v=8D.λ=2,μ=10,v=76.(2018四川成都外国语学校高一上期中,★★☆)已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9,-3,4)、B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( )A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.xOz或yOz平行7.(★★☆)在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A.(4,0,6)B.(-4,7,-6)C.(-4,0,-6)D.(-4,7,0)二、填空题8.(★★☆)已知平行四边形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为.9.(★★☆)已知三角形ABC的三个顶点A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4),则三角形的重心的坐标为.10.(★★☆)若点P(a,b,c)既在平面xOy内,又在平面yOz内,则a+c= .11.(云南高一期末,★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AD=4,AB=6,如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则该长方体的中心M的坐标为.三、解答题12.(★★☆)四面体PABC中,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=2,PC=1,E为线段AB的中点,建立适当的空间直角坐标系,并写出P、A、B、C、E的坐标.13.(★★☆)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5√2,侧棱长为13,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.14.(★★☆)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的空间直角坐标系,并写出各点的坐标.答案全解全析基础过关练1.A 根据xOy平面上的点,竖坐标为0,yOz平面上的点的横坐标为0,xOz平面上的点的纵坐标为0,知M(a,b,0)在xOy平面上,N(0,a,b)在yOz平面上,P(a,0,b)在xOz平面上.故选A.2.B 在空间直角坐标系中,点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件:与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变,其他的坐标为0.故选B.3.B 如图,四边形AA1B1B对角线的交点的横坐标为线段AB的中点的横坐标,竖坐标为线段AA1的中点的竖坐标,纵坐标为0,所以四边形AA1B1B对角线的交点坐标为(12,0,12).故选B.4.C ∵A(1,-1,1),B(3,1,5),∴线段AB的中点为(2,0,3).∵线段AB中点的纵坐标为0,∴此点是xOz平面内的点.故选C.5.B 轨迹是过点(2,2,0)且与z轴平行的一条直线.6.A 因为AB=BC=AC=√2,所以OA=OB=OC=1,将正四面体ABCD 放入正方体中,如图所示,所以点D 的坐标为(1,1,1).故选A.7.B 由A,B 两点的横坐标、竖坐标均互为相反数,纵坐标相同可知A,B 关于y 轴对称. 8.D ①点M 关于x 轴对称的点M 1的坐标为(a,-b,-c),故命题①错误; ②点M 关于yOz 平面对称的点M 2的坐标为(-a,b,c),故命题②错误; ③点M 关于y 轴对称的点M 3的坐标为(-a,b,-c),故命题③错误;④点M 关于原点对称的点M 4的坐标为(-a,-b,-c),故命题④错误.故选D. 9.答案 (1,-2,4) 10.答案 (5,2,-7)解析 设M(x,y,z),因为点P 关于点Q 对称的点为M,所以Q 是线段MP 的中点,所以{ x -32=1,y+22=2,z+12=-3,解得{x =5,y =2,z =-7,所以M(5,2,-7).11.答案 (3,-4,-5)解析 在空间中,点关于x 轴对称的点:横坐标不变,纵坐标、竖坐标取相反数. 点(3,4,5)关于x 轴对称的点的坐标为(3,-4,-5). 12.答案 (√3,-1,2)解析 ∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都是2,∴B(√3,1,0),∴顶点B 1的坐标是(√3,1,2),则其关于xAz 对称的点的坐标为(√3,-1,2).能力提升练一、选择题1.B 由题意可知点P(a,b,c)到坐标平面yOz 的距离是|a|,故选B.2.C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均互为相反数,故它们关于坐标原点对称.3.C 由于点P 的竖坐标为定值3,故当x,y∈R 时,点P 组成的集合为过点(0,0,3)且与z 轴垂直的平面.4.A 由空间直角坐标系的定义,易知点P(1,y,2)(y∈R)构成的集合为垂直于xOz 平面的一条直线.5.D 由对称性知{λ=2,3-μ=-7,-1+v =6,解得{λ=2,μ=10,v =7.6.C ∵线段AB 的两个端点的横坐标相等,纵坐标和竖坐标不等,故线段AB 与坐标平面yOz 平行.7.C 点M 关于y 轴对称的点是M'(-4,7,-6),点M'在xOz 平面上的射影的坐标为(-4,0,-6).二、填空题8.答案 (5,13,-3)解析 设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为P,则点P 为AC,BD 的中点.由A(4,1,3),C(3,7,-5),得点P 的坐标为(72,4,-1).又点B(2,-5,1),所以点D 的坐标为(5,13,-3).9.答案 (23,1,43)解析 设重心坐标为(x,y,z).由题意得x=2+0+03=23,y=0+3+03=1,z=0+0+43=43. 10.答案 0解析 点P 在平面xOy 和平面yOz 的交线上,即y 轴上,由y 轴上点的坐标特征知a=0,c=0,b∈R,所以a+c=0. 11.答案 (2,3,1)解析 由题意得B(4,6,0),D 1(0,0,2),因为M 点是线段BD 1的中点,所以点M 的坐标为(2,3,1).三、解答题12.解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1),又因为点E 是线段AB 的中点,所以点E 的坐标是(1,1,0).13.解析 若建立如图(1)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A (5√22,-5√22,0),B (5√22,5√22,0),C (-5√22,5√22,0),D (-5√22,-5√22,0).若建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A(5,0,0),B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0).14.解析 如图所示,取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1,连接BO 、OO 1,可得BO⊥AC,BO⊥OO 1,分别以OB,OC, OO 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.因为各棱长均为1,所以|OA|=|OC|=|O 1C 1|=|O 1A 1|=12,|OB|=√32,因为A,B,C 均在坐标轴上,所以A (0,-12,0),B (√32,0,0),C (0,12,0).因为点A 1,B 1,C 1在xOy 平面内的正投影分别为点A,B,C,且BB 1=1,所以A 1(0,-12,1),B 1(√32,0,1),C 1(0,12,1).。
【同步速递】专题4.3 空间直角坐标系-人教版高一数学(必修2)(Word版含解析)
一、空间直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的__________，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y 轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x叫做点M的__________，y叫做点M的__________，z叫做点M的__________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标3．空间直角坐标系中的对称点设点P（a，b，c）为空间直角坐标系中的点，则三、空间两点间的距离公式如图，设点是空间中任意两点，且点在xOy平面上的射影分别为M，N，那么M，N的坐标分别为．在xOy平面上，．在平面内，过点作的垂线，垂足为H，则，所以．在中，，根据勾股定理，得____________________________．因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是____________________________．特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |＝．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P 2z1＋z2．K 知识参考答案：三、1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P 的坐标的步骤是：①过P 作PC ⊥z 轴于点C ；②过P 作PM ⊥平面xOy 于点M ，过M 作MA ⊥x 轴于点A ，过M 作MB ⊥y 轴于点B ；③设P （x ，y ，z ），则|x |＝|OA |，|y |＝|OB |，|z |＝|OC |．当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的正半轴上时，则x 、y 、z 的符号为正；当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的负半轴上时，则x 、y 、z 的符号为负；当点A 、B 、C 与原点重合时，则x 、y 、z 的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．【解析】以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．【名师点睛】空间中点P坐标的确定方法（1）由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y，P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标．【例3】如图，在正方体中，分别是的中点，棱长为1．试建立适当的空间直角坐标系，写出点的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：点在面上的射影为，竖坐标为．所以．在面上的射影为的中点，竖坐标为1．所以．方法二：，，，为的中点，为的中点．故点的坐标为即，点的坐标为，即．2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为A．B．C．D．【答案】A【解析】点关于x轴对称的点的坐标为．【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为A．B．C．D．【答案】C【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（2）空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1（－x，－y，－z）；②关于x轴（横轴）对称的点的坐标是P2（x，－y，－z）；③关于y轴（纵轴）对称的点的坐标是P3（－x，y，－z）；④关于z轴（竖轴）对称的点的坐标是P4（－x，－y，z）；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5（x，y，－z）；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6（－x，y，z）；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7（x，－y，z）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点，则的中点的坐标为．3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点，，求：（1）线段的长度；（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体的体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．当2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD是矩形，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF．∵，∴，，∴，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥EF ．【例9】如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N a ，a 3. 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝2a ＝46a .【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点，在轴上有一点，它到两点的距离相等，求点的坐标．【错解】由已知得，的中点坐标为，且所在直线的斜率为3，故的垂直平分线的斜率为，则垂直平分线的方程为，当时，，故点的坐标为．【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点到两点的距离相等，故可求的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解．【正解】设点的坐标为，则，即，解得，所以点的坐标为．【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用，如平面直角坐标系中的中点公式，可类比到三维空间中，而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用．1．在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于x轴对称的点的坐标为A ．（－1，2，3）B ．（1，－2，－3）C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为 A ．（－3，4，5） B ．（－3，－4，5） C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为A ．（2，2，1）B ．（2，2，32） C ．（2，2，31）D ．（2，2，34）4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为 A ．9 B ． C ．5D ．25．已知点A （1，a ，－5），B （2a ，－7，－2）（a ∈R ）则|AB |的最小值是 A ．3B ．3C．2 D．26．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的A．y轴上B．xOy面上C．xOz面上D．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为A．（0，，0）B．（0，，）C．（1，0，）D．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．9．（1）已知A （1，2，－1），B （2，0，2）， ①在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．（2）在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．10．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是A ．26B ．C ．23D ．3611．已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为A．（6，0，0）B．（6，0，1）C．（0，0，6）D．（0，6，0）12．已知M（5，3，－2），N（1，－1，0），则点M关于点N的对称点P的坐标为________．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于________．14．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M 在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a（0<a<）．（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短？15．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．16．如图所示，VABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．17．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz．（1）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；（2）在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．18．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．（2017•上海）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是__________．1．【答案】B【解析】关于x轴对称，横坐标不变．故选B．2．【答案】A【解析】关于yOz平面对称，y，z不变．故选A．3．【答案】D4．【答案】B【解析】由已知求得C1（0，2，3），∴|AC1|＝．故选B．5．【答案】B【解析】|AB|2＝（2a－1）2＋（－7－a）2＋（－2＋5）2＝5a2＋10a＋59＝5（a＋1）2＋54．∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54．∴|AB|min＝＝3．故选B．6．【答案】C【解析】因为该点的y坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz面上．故选C．7．【答案】B【解析】平面yOz内点的横坐标为0．故选B．8．【答案】详见解析．9．【答案】（1）①P（1，0，0）；②M点的轨迹是xOz平面内的一条直线，其方程为x ＋3z－1＝0；（2）M（1，0，0）．【解析】（1）①设P（a，0，0），则由已知得＝，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以P点坐标为（1，0，0）．②设M（x，0，z），则有＝，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0． 故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线． （2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝＝．所以当x ＝1时，|MN |min ＝，此时点M （1，0，0）． 10．【答案】A【解析】设P （x ，y ，z ），由题意可知，∴x 2＋y 2＋z 2＝23．∴＝26．故选A ．11．【答案】A【解析】设P （x ，0，0），|PA |＝，|PB |＝，由|PA |＝|PB |，得x ＝6．故选A ． 12．【答案】（－3，－5，2）13．【答案】339【解析】设正方体的棱长为a ，由|AM |＝＝可知，正方体的体对角线长为a ＝2，故a ＝313＝339．14．【答案】（1）；（2）当a ＝22时，MN 的长度最短．【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系．因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点M （22a ，0，1－22a ）．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以点N （22a ，22a ，0）．（1）由空间两点间的距离公式，得|MN |＝＝，即MN 的长度为．（2）由（1），得|MN |＝＝．当a ＝22（满足0<a <）时，取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22．学%科网15．【答案】M 32；N 65．16．【答案】V （0，0，3），A （－1，－1，0），B （1，－1，0），C （1，1，0），D （－1，1，0）．【解析】∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1． ∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0），同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）． ∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．【答案】（1）P ′31；（2）当m ＝21时，|MP |取得最小值22，此时点M 为21．【解析】（1）由题意知P 的坐标为31， P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为31．（2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ），则有|MP |＝21＝＝21．当m ＝21时，|MP |取得最小值22，所以点M 为21．学^科网18．【答案】详见解析．19．【答案】（﹣4，3，2）【解析】如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴（﹣4，3，2）．故答案为：（﹣4，3，2）．。
高一数学人教A版必修2课后练习4.3.1空间直角坐标系及解析
课后导练基础达标1点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置( )A.在y 轴上B.在xOy 平面上C.在xOz 平面上D.在第一象限内解析：由于点A 的纵坐标为y=0,横坐标与竖坐标分别为2,3,所以点A 应在xOz 平面上. 答案：C2点M(3,-3,1)关于xOy 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：一点关于xOy 平面的对称点,它们的横,纵坐标不变,而竖坐标互为相反数,∴对称点为(3,-3,-1).答案：C3点M(3,-3,1)关于xOz 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(3,3,1)解析：M 点关于xOz 平面的对称点与M 的横,竖坐标相同,纵坐标互为相反数.答案：D4点M(3,-3,1)关于yOz 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于yOz 平面的对称点与M 的纵,竖坐标相同,而横坐标互为相反数.答案：B5点M(3,-3,1)关于x 轴的对称点是( )A.(3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于x 轴的对称点与M 的横坐标相同,纵,竖坐标都互为相反数.答案：A6点M(3,-3,1)关于y 轴的对称点是( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于y 轴的对称点与M 的纵坐标相同,而横、竖坐标都互为相反数.答案：B7点M(3,-3,1)关于z 轴的对称点是( )A.(-3,3,1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于z 轴的对称点与M 的竖坐标相同,而横,纵坐标分别互为相反数.答案：D8点A(-3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是( ) A.(27,1,-2) B.(21,2,3) C.(-12,3,5) D.(31,34,2)解析：设中点坐标为(x,y,z),由中点坐标公式得x=21243=+-,z=215+=3,y=231+=2. 答案：B综合运用 9在空间直角坐标系中,点P(1,2,3),过点P 作平面yOz 的垂线,垂足为Q,则Q 的坐标为( ) A.(0,2,0) B.(0,2,3) C.(1,0,3) D.(1,2,0)解析：由于PQ ⊥平面yOz,且Q 在yOz 内,所以点Q 的横坐标x 为0,而Q 与P 的纵,竖坐标分别相同.∴Q(0,2,3).答案：B10点A(a,b,c)在x 轴上投影点的坐标为_____________解析：设投影点为A′(x,y,z),因为A′在x 轴上,∴y=0,z=0,又AA′⊥x 轴,∴A′与A 的横坐标相同,即x=a.答案：(a,0,0)11设z 为任意实数,相应的所有点P(1,2,z)的集合是什么图形？解：由于z ∈R ,所以P(1,2,z)对应的所有点的横,纵坐标分别相等,竖坐标任意,因此这些点都在一条与xOy 平面垂直的直线上.故点P(1,2,z)的集合是过平面xOy 内一点(1,2,0)且与xOy 面垂直的一条直线.拓展探究12已知一长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O,交于同一顶点的三个平面分别平行于三个坐标平面,顶点A 的坐标为(-2,-3,-1).求其他7个顶点的坐标.解：如图,∵A 与C 1点关于原点对称,∴C 1(2,3,1),又∵A 与D 点关于平面yOz 对称,∴D(2,-3,-1),又D 与B 1关于原点对称,∴B 1(-2,3,1),又A 与A 1关于平面xOy 对称,∴A 1(-2,-3,1),又A 1与C 关于原点对称,∴C(2,3,-1).又∵A 1与D 1关于yOz 对称,∴D 1(2,-3,1),又D 1与B 关于原点对称,∴B(-2,3,-1).故其他7个顶点的坐标分别为B(-2,3,-1)、C(2,3,-1)、D(2,-3,-1)、A 1(-2,-3,1)、B 1(-2,3,1)、C 1(2,3,1)、D 1(2,-3,1).。
专题4-3 空间直角坐标系-试题君之K三关2017-2018学年
4.3空间直角坐标系一、空间直角坐标系定义以空间中两两______且相交于一点O 的三条直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标______，x 轴、y 轴、z 轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、______平面画法 在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy ＝______，∠yOz ＝90°图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______轴的正方向，食指指向______轴的正方向，如果中指指向______轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z 之间的关系如图所示，设点M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的______，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P 、Q 和R .设点P 、Q 和R 在x 轴，y 轴和z 轴上的坐标分别是x 、y 和z ，那么点M 就和有序实数组(x ，y ，z )是__________的关系，有序实数组__________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作___________，其中x 叫做点M 的________，y 叫做点M 的________，z 叫做点M 的________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置 点的坐标形式 原点(0,0,0) x 轴上 (a,0,0) y 轴上 (0,b,0) z 轴上 (0,0,c ) xOy 平面上 (a ,b,0) yOz 平面上 (0,b,c ) xOz 平面上(a,0,c )3．空间直角坐标系中的对称点设点P (a ，b ，c )为空间直角坐标系中的点，则对称轴(或中心或平面) 点P 的对称点坐标原点(),,a b c --- x 轴 (),a b c --,y 轴 (－a ，b ，－c )z 轴 ),(,a b c --xOy 平面 (,,)a b c - yOz 平面 (),,a b c -xOz 平面(,)a b c -，三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点,且点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 在xOy 平面上的射影分别为M ,N ,那么M ,N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y .在xOy 平面上，221212||()()MN x x y y =-+-.在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ,则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-.在12Rt △PHP 中，2211212||||()()PH MN x x y y ==-+-， 根据勾股定理，得221212||||||PP PH HP =+=____________________________. 因此，空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离是12||PP =____________________________.K 知识参考答案：一、垂直 原点 坐标轴 坐标平面 zOx 135° x y z二、1．平面 一一对应 (,,)x y z (,,)M x y z 横坐标 纵坐标 竖坐标 三、222121212()()()x x y y z z -+-+-222121212()()()x x y y z z -+-+-K —重点空间直角坐标系的有关概念，会用空间直角坐标系刻画点的位置K —难点 掌握空间两点间的距离公式，会用公式计算或证明K —易错易混淆平面与空间直角坐标系1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P 的坐标的步骤是：①过P 作PC ⊥z 轴于点C ；②过P 作PM ⊥平面xOy 于点M ，过M 作MA ⊥x 轴于点A ，过M 作MB ⊥y 轴于点B ；③设P (x ，y ，z )，则|x |＝|OA |，|y |＝|OB |，|z |＝|OC |.当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的正半轴上时，则x 、y 、z 的符号为正；当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的负半轴上时，则x 、y 、z 的符号为负；当点A 、B 、C 与原点重合时，则x 、y 、z 的值均为0.空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的. 【例1】如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,|AD|=3,|DC|=4,|DD 1|=2,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求点A ,B ,C ,D ,A 1,B 1,C 1,D 1,E ,F 的坐标.【例2】如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1. 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12. 所以1(1,1,)2E .F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1.所以11(,,1)22F .方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点． 故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22. 2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决.如关于横轴(x 轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数. 【例3】设点是直角坐标系中一点,则点关于轴对称的点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】点关于x 轴对称的点的坐标为.【例4】空间直角坐标系中,点关于点的对称点的坐标为 A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设431x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以点的坐标为.选C.【名师点睛】点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++. 3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用,可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度.【例5】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求： （1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件. 【解析】（1）根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度222||(31)(20)(15)26MN =-+-+-=，所以线段MN 的长度为26.（2）因为点(),,P x y z 到,M N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：222222 (3)(2)(1)(1)(0)(5)x y z x y z -+-+-=-+-+-，化简得230x y z +-+=，因此，到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件是230x y z +-+=.【例6】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz ,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 是正方体的体对角线D 1B 的中点,点Q 在棱CC 1上.当2|C 1Q|=|QC|时,求|PQ|.【例7】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,|AP|=|AB|=2,|BC|=2,E ,F 分别是AD ,PC 的中点.求证:PC ⊥BF ,PC ⊥EF .【解析】如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.∵|AP|=|AB|=2,|BC|=2,四边形ABCD 是矩形,∴A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),∴|PB|==2,∴|PB|=|BC|,又F 为PC 的中点,∴PC ⊥BF . ∵(0,2,0)E ，∴222||(00)(20)(02)6PE =-+-+-=，222||(02)(222)(00)6CE =-+-+-=，∴||||PE CE =，又F 为PC 的中点,∴PC ⊥EF . 3．混淆平面与空间直角坐标系【例8】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标.【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3,故AB 的垂直平分线的斜率为13-,则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--， 当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3. 【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误.由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线.以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解.【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ，则22222231(1)2(2)(3)z z ++-=+-+-，即2210(1)3()8z z +-=+-,解得32z =,所以点C 的坐标为3(0,0,)2. 【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用,如平面直角坐标系中的中点公式,可类比到三维空间中,而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用.1．如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点B 1的坐标是A ．(1,0,0)B ．(1,0,1)C ．(1,1,1)D ．(1,1,0)2．在空间直角坐标系中，点()1,2,3P ---到平面yOz 的距离是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．14 3．在空间直角坐标系中,点与点关于( )对称.A ．原点B ．轴C ．轴D ．轴4．已知A 点坐标为()1,1,1，()3,3,3B ，点P 在x 轴上，且||||PA PB =，则P 点坐标为A ．(6,0,0)B ．(6,0,1)C ．()0,0,6D ．(0,6,0)5．点1,()2,1A -在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为 A ．(),(1,0,11),2,0-- B ．(),(1,0,01),2,0-- C ．(),(1,0,01),0,0--D ．(),(1,2,01),2,0--6．已知()1,2,11A -，()4,2,3B ，()6,1,4C -，则△ABC 的形状是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形7．在空间直角坐标系中，点()2,4,3M --在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称点的坐标是_________．8．在空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 的坐标为(3,)1,2-，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．9．如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP =2，连接AP ，BP ，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，射线OM ，ON ，OP 分别为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E ，F 分别为PA ，PB 的中点，求A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标.10．如图所示，BC=4，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°,求AD的长度.11．如图,,四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,PC的中点.求证:.12．已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,则对于图(1)中的点B1(2,2,2),在图(2)所示的空间直角坐标系中的坐标和B1(2,2,2)关于xOy平面对称的点的坐标分别是A．(2,2,2),(2,2,-2) B．(2,2,0),(2,2,-2)C．(2,2,0),(-2,2,-2) D．(2,2,2),(2,-2,-2)13．在空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为30的点共有A．0个B．1个C．2个D．无数个14．已知点A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB成立?若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由.15．已知直三棱柱ABC－A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点.如图所示，建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形.(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明.1 2 3 4 5 6 12 13C A C A B C B C1．【答案】C【解析】点B1到三个坐标平面的距离都为1,易知其坐标为(1,1,1),故选C.2．【答案】A【解析】点到平面yOz的距离就是点的横坐标的绝对值.3．【答案】C【解析】由点与点可知，两个点的y值不变，而x值与z值均为相反数，所以这两个点关于y轴对称.6．【答案】C【解析】由两点间的距离公式可得|AB |=89，|AC |=75，|BC |=14，从而|AC |2+|BC |2=|AB |2，所以△ABC 是直角三角形.7．【答案】(2,0,3)【解析】M 在xOz 平面上的射影为()2,0,3M '--，所以M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3).8．【答案】2393【解析】设正方体的棱长为a ，由||94013AM =++=可知，正方体的体对角线长为3213a =，故21323933a ==. 9．【解析】易求出B 点坐标为(1,1,0).因为A ，C ，D 与B 点分别关于xOz 平面、yOz 平面、坐标原点对称，所以()1,1,0A -，()1,1,0C -，()1,1,0D --.又因为E ，F 分别为PA ，PB 的中点，且P (0,0,2)，所以11,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,-，11,,122F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.11．【解析】建立空间直角坐标系如图.设.则.∵22||4aAM=,()()222222211||,||44MN b c AN a b c=+=++,∴.∴.12．【答案】B【解析】在图(2)所示的空间直角坐标系中,D1是坐标原点,则B1的坐标是(2,2,0).若两个点关于xOy平面对称,则对称点的横、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,故B1(2,2,2)关于xOy平面对称的点的坐标是(2,2,-2).15．【解析】(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2，0，0)，B(0，4，0)，设点P的坐标为(1，2，m)，由|PA|＝|AB|得.所以m2＝15.因为m∈[0，4]，所以，故平面ABB1A1内的点,使得△ABP为等边三角形.(2)设MN上的点Q(0，2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以，又F(1，2，0)，则，整理得，所以n2＝4.因为n∈[0，4]，所以n＝2.故MN上的点Q(0，2，2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.。
人教A版高中数学必修二4.3空间直角坐标系同步练习A卷
人教A版高中数学必修二 4.3空间直角坐标系同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共11分)1. （2分） (2017高一下·定州期末) 关于空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），有下列说法：①点P到坐标原点的距离为；②OP的中点坐标为（）；③点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）；④点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）；⑤点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3）．其中正确的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）下列命题中错误的是（）A . 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b ， c)B . 在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b ， c)C . 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D . 在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)3. （2分）在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（）A . 1B . 2C . 3D .4. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 到定点（1，0，0）的距离不大于1的点集合为（）A . {（x，y，z）|（x﹣1）2+y2+z2≤1}B . {（x，y，z）|（x﹣1）2+y2+z2=1}C . {（x，y，z）|（x﹣1）+y+z≤1}D . {（x，y，z）|x2+y2+z2≤1}5. （2分）已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D（2，―1，―1），则（）A . >B . <C . ≤D . ≥6. （1分） (2017高一上·福州期末) 已知点A（3，2，0），B（2，﹣1，2），点M在x轴上，且到A，B两点距离相等，则点M的坐标为________．二、填空题 (共3题；共4分)7. （2分）已知点A（－3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为________；AB的长为________．8. （1分）在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于y轴的对称点的坐标为________9. （1分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，设点M是点N（2，﹣3，5）关于坐标平面xoz的对称点，则线段MN的长度等于________．三、解答题 (共4题；共30分)10. （10分）根据要求，解答下列问题:（1）写出点P（2，3，4）在三个坐标平面内的射影的坐标；（2）写出点P（2，3，4）在三条坐标轴上的射影的坐标.（1）写出点P（2，3，4）在三个坐标平面内的射影的坐标；（2）写出点P（2，3，4）在三条坐标轴上的射影的坐标.11. （10分）长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系.（1）写出点D、N、M的坐标；（2）求线段MD、MN的长度．12. （5分）如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E、F分别为BC、CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标.13. （5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的长；（2）求cos（•）的值；（3）求证A1B⊥C1M．参考答案一、单选题 (共6题；共11分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共3题；共4分)7-1、8-1、9-1、三、解答题 (共4题；共30分)10-1、10-2、11-1、11-2、12-1、13-1、。
高一数学人教A版必修2试题4.3 空间直角坐标系 Word版含解析
第四章级基础巩固一、选择题．下列命题中错误的是( )．在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是(，，)．在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定是(，，)．在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可记作(，)．在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标是(，)[解析]空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标是()．．在空间直角坐标系中，点()位于( )．平面内．轴上．平面内．轴上[解析]由＝，＝，＝可知点位于平面内．．(～·襄阳高一检测)若已知点()，点()，则线段的长为( )．．．．[解析]＝＝.．在空间直角坐标系中，已知(，－)，()，点在轴上，且满足＝，则点坐标为( )．(，－)．()．()．()[解析]设(，)，则有＝，解得＝.．点(－)关于平面对称的点的坐标是( )．()．(－，－)．(，－，－)．(－，－)[解析]点(－)关于平面对称的点的坐标是(－，－)，故选．．已知点(－)与点()，则的中点坐标是( )．(，，)．(，)．(－)．(，，－)二、填空题．如图所示，在长方体－中，＝，＝，＝，是与的交点，则点的坐标是 (，，)[解析]由长方体性质可知，为中点，而()，故(，，)．．在△中，已知(－)、(，－)、(，，)，则边上的中线的长是[解析]中点坐标为(，)，＝＝.三、解答题．已知点(－－)、(，＋－)，求的最小值[解析]∵＝＝＝≥，当＝时，取最小值.．长方体－中，＝＝，＝，点是的中点，点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系()写出点、、的坐标；()求线段、的长度．[解析]()因为是原点，则()．由＝＝，＝，得()、()、()、()、()．∵是的中点，∴()．同理可得()．()由两点间距离公式，得＝＝，＝＝.级素养提升一、选择题．(·大同高一检测)空间直角坐标系中，轴上到点()的距离为的点有( )．无数个．个．个．个[解析]设轴上满足条件的点为()，则由＝，得＝.解之得＝－或.故选．．正方体不在同一面上的两顶点(－，－)、(，－)，则正方体的体积是( ) ．．．．[解析]＝＝，∴正方体的棱长为＝.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
、选择题
1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C 对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.
2．(2012·吉林高一检测)若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7 B．－7
C．－1 D．1
解析：选D 点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.
3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )
A．(0，2，0) B．(0，2，3)
C．(1,0，3) D．(1，2，0)
解析：选D 点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.
4．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( ) A．2 5 B．4
C．2 2 D．27
解析：选B 点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，
故|BC|＝ 1－1 2＋ 2＋2 2＋ 1－1 2＝4.
5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝26，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
解析：选D ∵|AB|＝ x－2 2＋ 1－3 2＋ 2－4 2
＝ x－2 2＋8＝26，
∴x ＝6或－2.
二、填空题
6．已知A (4,3,1)，B (7,1,2)，C (5,2,3)，则△ABC 是________三角形．(填三角形的形状)
解析：|AB |＝ 4－7 2＋ 3－1 2＋ 1－2 2＝14.
|AC |＝ 4－5 2＋ 3－2 2＋ 1－3 2＝ 6，
|BC |＝ 7－5 2＋ 1－2 2＋ 2－3 2＝ 6，所以|AC |＝|BC |，由三边长度关系知能构成三角形， 所以△ABC 是等腰三角形．
答案：等腰
7．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为________．
解析：由两点间的距离公式可得
|AB |＝ 1－t －2 2＋ 1－t －t 2＋ t －t 2
＝ 5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95≥355
. 答案：355
8．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14
|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得
F (12，12
，0)，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，
G (0，34，0)，则E (0，78，12)．所以
|EF |＝
0－12 2＋ 78－12 2＋ 12－0 2＝418. 答案：418 三、解答题
9．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．
解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .
|CD |＝3，∴在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12
， ∴点D 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫0，－12，32. 10．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB 、AD 、AA
1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
标系．
由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，
∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，
∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)．
∵N 为CD 1的中点，
∴N (32，3,1)． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN |＝
32－1 2＋ 3－1 2＋ 1－2 2＝212
.。