高中数学数列构造法讲解
高中数学构造法求解题技巧
高中数学构造法求解题技巧高中数学构造法是一种解题思路和技巧，它通过构造适当的数学结构，使得问题的求解变得更加简单明了。
构造方法在高中数学中应用广泛，可以用于解决各类题型，包括代数题、几何题、概率题等等。
一、构造法的基本思想构造法是一种通过建立合适的数学结构，简化问题的解决方法和步骤的思想。
通过构造一些符合题意的数学对象，我们可以发现一些规律，从而提供问题的解答方式。
二、构造法的常见技巧1.构造等差数列或等比数列在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个等差数列或者等比数列。
通过构造这样的数列，我们可以找到其中的规律，从而解决问题。
2.构造图形在解决几何问题时，我们可以尝试构造一个与原图形相似或者关联的图形。
通过构造这样的图形，我们可以将复杂的几何问题简化为一些基本的几何性质，从而解决问题。
3.构造排列组合在解决一些概率问题和组合问题时，我们可以尝试构造排列组合。
通过构造排列组合，我们可以得到一些计算公式或者规律，从而解决问题。
4.构造方程组在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个方程组。
通过构造这样的方程组，我们可以得到一些方程之间的关系，从而解决问题。
5.构造递推公式在解决一些数列问题时，我们可以尝试构造一个递推公式。
通过构造递推公式，我们可以找到数列中的规律，从而解决问题。
三、构造法的实例分析1.构造等差数列例题：有一些连续的整数，它们的和是45，这些整数中最小的是多少？解析：我们可以假设这些连续的整数的首项是x，公差是1，那么这些整数的和可以表示为：x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n)=45。
通过求和公式，我们可以得到(x+45)/(n+1)=45，进一步化简得到x=15-n。
我们可以发现，当n=30时，x=15-n=0，此时连续整数中的最小值为0。
2.构造图形例题：在平面直角坐标系中，有一条线l过点(0, 0)和(1, 2)，线l与x轴、y轴以及x=y共同围成一个三角形，求这个三角形的面积。
(完整版)数列通项公式常用求法及构造法
数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
数列构造方法(一)
数列构造方法(一)数列构造什么是数列构造？数列构造是数学中一种通过不同的规律和方法构造序列的技巧和方法。
数学中的序列指的是按照规律排列起来的一系列数。
使用数列构造可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，例如数列求和、递归函数、函数极限等。
常见的数列构造方法等差数列和等比数列等差数列是每一项与前一项之差相等的数列，公差是相邻两项之差的值。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
等比数列是每一项与前一项之比相等的数列，公比是相邻两项之比的值。
例如，1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
可以通过规律找到等差数列和等比数列的通项公式，从而计算它们的和。
斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列，其第一项和第二项均为1，从第三项开始，每一项是前两项之和。
例如，1，1，2，3，5就是斐波那契数列。
斐波那契数列在自然界中广泛存在，例如植物的叶子排列、贝壳的形状等。
斐波那契数列还与黄金分割比例密切相关，常被应用于设计、艺术等领域。
筛法构造素数序列素数是仅能被1和本身整除的自然数，如2、3、5、7、11等。
筛法构造素数序列的方法是，从2开始，依次筛去2的倍数、3的倍数、5的倍数……依次类推，筛完后剩下未被标记的数即为素数。
例如，下面是构造1-100的素数序列的过程：1.假设全部数都为素数。
2.2是素数，筛去2的倍数：4、6、8、10……100。
3.3是素数，筛去3的倍数：9、15、21……99。
4.5是素数，筛去5的倍数：25、35……95。
5.7是素数，筛去7的倍数：49、63……91。
6.最终剩下的未被标记的数即为素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
素勾股数构造法素勾股数是指勾股数中所有元素都为素数的三元组。
例如，(3，5，7)就是一个素勾股数。
素勾股数构造法是通过穷举的方法找到所有素勾股数。
构造法求递推数列的通项公式
巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。
本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。
一、构造等差数列法例1.在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项公式a n 。
解：对原递推式两边同除以n n n ()()++12可得：a n n a n nn n +++=++12112()()()① 令b a n nn n =+()1② 则①即为b b n n +=+12，则数列{b n }为首项是b a 1111132=+=()×，公差是b b n n +-=12的等差数列，因而b n n n =+-=-3221212()，代入②式中得a n n n n =+-12141()()。
故所求的通项公式是a n n n n =+-12141()() 二、构造等比数列法1.定义构造法 利用等比数列的定义q a a n n=+1，通过变换，构造等比数列的方法。
例2.设在数列{a n }中，a a a a n n n 112222==++，，求{a n }的通项公式。
解：将原递推式变形为a a a n n n++=+12222()① a a a n n n+-=-12222()② ①/②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]， 即lg lg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222③ 设b a a n n n =+-lg[]22④ ③式可化为a a n n +=12，则数列{b n }是以b 1＝lg[]lg lg()a a 11222222221+-=+-=+为首项，公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝()212+n ，解得a n n n=+++-221121122[()]()为所求。
用构造法求数列通项公式
用构造法求数列通项公式
一、构造法的原理
构造法是一种求解数列通项公式的方法，它依赖于对数列数据的分析，其基本原理是通过分析数列前几项的关系，推出数列的规律，从而确定数
列的通项公式。
二、构造法的步骤
1、根据给定的数列，找出相邻两项的关系；
2、根据求出的关系，确定该数列的类型，即数列的递推公式；
3、根据确定的递推公式，从第一项开始，逐步求出数列中的其它项；
4、推出数列的规律，并将其表示为数列的通项公式；
5、利用确定的通项公式，验证数列中的其它项。
三、构造法的应用
1、举例：
给出一个数列：1，2，4，8，16，32
(1)根据给定的数列，找出相邻两项的关系：
由数列可以看出，数列中相邻两项的关系是：an = 2 * an-1
(2)根据求出的关系，确定该数列的类型，即数列的递推公式：
an = 2 * an-1
递推公式：an+1 = 2 * an
(3)根据确定的递推公式，从第一项开始，逐步求出数列中的其它项：
a1=1
a2=2*a1=2
a3=2*a2=4
a4=2*a3=8
a5=2*a4=16
a6=2*a5=32
(4)推出数列的规律，并将其表示为数列的通项公式：
由所求得的数列可以看出，数列中每一项都是前一项的2倍，因此可
得数列的通项公式为：an=2^(n-1)。
(5)利用确定的通项公式。
用构造法求数列的通项公式
用构造法求数列的通项公式首先，我们需要了解什么是数列和通项公式。
数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
通项公式是指能够通过一个数列中的任意一项来表示它的第n项的公式。
构造法是指通过观察数列中的规律，逐步构造出通项公式的方法。
对于数列的构造方法，有多种不同的途径可以使用。
下面将介绍一些常见的构造法。
1.等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差都是一个常数d。
要构造等差数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。
例如，对于等差数列1,4,7,10,13,...，我们可以观察到每一项与前一项的差都是3，因此该数列的通项公式可以表示为An=A1+(n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。
2.等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比都是一个常数r。
要构造等比数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。
例如，对于等比数列2,6,18,54,162,...，我们可以观察到每一项与前一项的比都是3，因此该数列的通项公式可以表示为An=A1*r^(n-1)，其中A1为首项，r为公比，n为项数。
3.斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
要构造斐波那契数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。
例如，对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,...，我们可以观察到每一项都是前两项的和，因此该数列的通项公式可以表示为An=An-1+An-2，其中A1和A2为首两项，n为项数。
4.平方数列：平方数列是指数列中每一项都是一些整数的平方。
要构造平方数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。
例如，对于平方数列1,4,9,16,25,36,...，我们可以观察到每一项都是一些整数的平方，因此该数列的通项公式可以表示为An=n^2，其中n为项数。
5.阶乘数列：阶乘数列是指数列中每一项都是小于等于该项的正整数的阶乘。
要构造阶乘数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。
构造法求数列通项公式典型例题解析
构造法求数列通项公式典型例题解析高中数学中研究数列是一个重要的课题，而数列通项公式是其中非常基础的知识，学习数列通项公式的求取非常重要，掌握构造法在求取数列通项公式方面可以发挥很大的帮助。
本文以构造法求数列通项公式典型例题解析为标题，通过分析构造法求取数列通项公式的步骤，以及典型例题的解析，来加深大家对数列的理解，从而增强大家的数学能力。
# 二、构造法概述数列是重要的数学概念，在生活中经常使用。
在分析数列时，我们首先要掌握数列通项公式。
求取数列通项公式有定义法、构造法等常见的几种方法。
而今本文主要采用构造法来求取数列通项公式。
构造法，即将数列的某一项的值表达式，以及数列的前面几项的值，运用代数规律进行推理，最后得出数列的通项公式。
# 三、构造法求数列通项公式的步骤构造法求取数列的通项公式，是从数列的前几项推出数列的通项公式，一般分三步：1、确定数列的第一项；2、确定数列的规律；3、推出数列的通项公式。
在确定数列的第一项时，要先看数列的首项，当首项不确定时，可以将首项记作一个未知数，或者是一个常数；在确定数列的规律时，注意观察数列的特征，并运用其定义、性质、规律，从而推出数列的通项公式。
#、构造法求数列通项公式典型例题分析下面以三道典型例题来分析构造法求数列通项公式：### 1、例题一：求数列的通项公式数列`x1, x2, x3, x4`满足：`x1=1`，`x2=4`，`x3=9`，`x4=16`,求数列`xn`的通项公式。
解：此这个数列中，有N项，即N=4，数列的第一项x1=1，从第一项开始，仔细观察x2,x3,x4等项，可以发现它们的差是每次加3，从而判定数列的规律为：`xn=3n-2`。
通过构造法容易推出数列的通项公式为`xn=3n-2`。
### 2、例题二：求数列的通项公式数列“a1, a2, a3, a4”满足：`a1=3`，`a2=7`，`a3=18`，`a4=37`，求数列“an”的通项公式。
构造法求数列通项公式
精心整理构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。
一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
例1 在数列{}n a 中，1a =12解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1a n 设b n =n a 1，则b n+1-b n =31数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差根据等差数列的通项公式得b n =∴数列通项公式为a n =53+n评析：na 1的例2n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。
解析：当a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1=S n S n-1两边除以S n S n-1得，nS 1-11-n S =2，∴｛nS 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴nS 1=1+2（n-1）=2n-1,∴S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1)当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式，∴a n ={21138422≥=+--n n n n评析：本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(，先求出)(n f 的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。
二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。
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高中数学数列构造法讲解
先来说一下，我们现在做题所讲解的这种数列其实是一种构造法，叫做直接构造法。
1.如果有n个自然数，这些自然数满足，则称该数列为n次数列。
2.如果从(1， 1)，…，(n-1， 1)起，每一项都是自然数的数列，则称这样的数列为直接产生式，或简称直接式。
如果数列有无穷多项，就称这样的数列为直接产生式的数列。
(注：无穷多项的数列是指该
数列存在无穷多个项，而不是有无穷多个项。
) 3.用直接构造法构造出的数列，叫做原数列。
如果数列有两个项相同，则称为直接式。
4.(1)如果将上述数列分割成若干段小于15的短数列时，并且把各部分添加到原始数列当中去，那么得到另外一组更新、但仍属于原数列的数列;否则，便归入了重复计算之内。
也即完全按照间隔符号
移动位置进行改变。
(2)如果把整体(原数列)依某个标准划分成许多
类似项目，再以此作为基础逐步求增减，由高至低排序，找出各比较层级对应关系及首尾衔接处，使余额达到要求值即可。
(3)假设
A=1+3+7+11+13+...+99， B=0+4+5+6+7+...+100， C=5+10+20+25 (100)
则上述定义的三条件需加试检验。
5.(4)根据前面的叙述，发现直接产生式具有交替性与平稳性质。
由①和②知直接式不会因偶然事故突然消失，只会缓慢地降格甚至消失；而根据③和④，又反映了它既没有快速上升趋势也没有急剧骤停点。
根据⑤，还表明⑥的形态很难确切预见。
6.其中任意两项的和可能不同。
例如设X， Y为数列{1， 2， 3}
的第i项， x+y>1，同理，{-1， -2， -3}未必>- 1。
(5)通过适当的运算，可逆向推导出公共项=公差+邻项商=-1。
(6)结合⑦可知，其他项均可取正负符号代换，唯独累积量绝对不允许互换。
(7)记忆特殊规律: a,b,c≥3， d,e≥5;(f)证:a<-b≤b;(g)证;a>b≤c; (h)证:c<a≤d。
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