函数y=Asin(ax b)的图象 学案 导学案 课件
(解析版)函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质PPT课件
∴π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．
∵－π<φ<0，
∴φ＝－34π.
32
【变式训练】
设函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线 x＝π8. (1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调递增区间； (3)画出函数 y＝f(x)在[0，π]上的图像．
(2)由(1)知，φ＝－34π，因此 y＝sin2x－34π.由题意得 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ ＋π2(k∈Z)，∴kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z)，
－
3π 4
≤
3π 2
＋
2kπ(k∈Z)
，
得
原
函
数
的
单
调
增
区
间
为
58π＋kπ，98π＋kπ(k∈Z)．
即函数 y＝sin34π－2x的单调减区间是π8＋kπ，58π＋kπ(k∈Z)，
单调增区间是58π＋kπ，98π＋kπ(k∈Z)．
22
规律方法
1. 关于函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性 (1)将 ωx＋φ 看作整体，代入到 y＝sin x 的对称中心、对称轴的表 达式可以求出函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴或求 φ 值． (2)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则 φ＝π＋kπ，k∈Z，若函数 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则 φ＝π2＋kπ，k∈Z，函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况．
37
又∵函数图像过点(0， 2)，0<φ<π2， ∴2sin φ＝ 2，∴φ＝π4， ∴函数解析式为 y＝2sin13x＋π4. 由－π2＋2kπ≤13x＋π4≤π2＋2kπ， 得－94π＋6kπ≤x≤34π＋6kπ(k∈Z)，
人教版数学必修第一册综合复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件
，
2
4
2
B．0， ， ，
3
4
6
3
2
，π
D．0， ， ， ，
2
3
2．用五点法作函数y＝sin(x－ )在一个周期内的图象时，
6
7
2
,0
,1
,
0
6
主要确定的五个点是________，________，________，
3
6
,
0
,
−1
________，________.
2
，π)上
[－2,1)
有实数根，则m的取值范围是_______________．
方法点拨：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
考向3
三角函数模型的应用
[例8] 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的
最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点
M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，则点P到
长度，得到函数y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)图象的一个
5
对称中心为点(
12
，0)，求θ的最小值．
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
方法总结
五点法作图，即用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的
简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，
2
，π，
2
，2π来求出相应的x. 通过列表，计算得出
φ对函数图象变化的影响．
问题，体会三角函数是描述周期变
化现象的重要函数模型．
核心
1.3.1 正弦函数的图象与性质 第一课时 课件(人教B版必修4)
正弦函数的定义域、值域及单调 性问题 正弦函数的定义域、值域及单调性问题在高 考中多以选择题、填空题的形式出现，有时 也出现在解答题的容易题中，考查较基础，
难度要求不高．
例3 求下列函数的定义域、值域及单调递增
区间． π log 1 (1)y＝2sin( －x)；(2)y＝ sinx. 2 4
【思路点拨】 解答本题中(1)可先求出函数的定义 π 域和值域， 然后再把原式化为 y＝－2sin(x－ )， 借 4 助于 y＝sinu 的单调性加以处理． 解答本题中(2)可先分析 sinx>0，得出函数的定义 域，然后借助于 y＝ log 1u 的单调性分析，求得单 2 调区间和值域．
(2)最小正周期的定义 周期 所有周期中 对 于 一 个 ______ 函 数 f(x) ， 如 果 在 它 的 最小的正数 最小正数 __________存在一个____________，那么这个
_____________就叫做它的最小正周期．
思考感悟 2．是否所有周期函数都有最小正周期？并举例说 明？ 提示：并不是所有周期函数都存在最小正周 期．例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R， 当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对 于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T) ＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不 为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x) 没有最小正周期．
【点评】 (1)在利用关键的五个点描点作图时 要注意， 被这五个点分隔的区间上函数的变化情 况，在 x＝0，π，2π 附近，函数图象上升或下降 π 3π 得快一些，曲线“陡”一些；在 x＝ ， 附近， 2 2 函数变化得慢一些，曲线变得“平缓”． (2)在解题过程中，常用“五点法”作出简图， 使计算更加快捷．
高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)学案 苏教版必修4-
1.3.3 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式．[知识链接]由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象？ 答 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径： 途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[预习导引]函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下：定义域 R 值域 [－A ，A ]周期性T ＝2πω奇偶性φ＝k π (k ∈Z )时是奇函数；φ＝π2＋k π (k ∈Z )时是偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )得到，单调减区间可由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得到要点一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的简图，并指出该函数的单调区间． 解 (1)列表如下：2x ＋π30 π2 π 3π2 2π x －π6π12 π3 7π12 5π6 y2－2(2)描点、连线，如图由图象知，在一个周期内，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．规律方法 用“五点法”画函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先作变量代换，令X ＝ωx ＋φ，再用方程思想由X 取0，π2，π，32π，2π来确定对应的x 值，最后根据x ，y 的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练1 作出函数y ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π3在长度为一个周期的闭区间上的图象．解 列表：X ＝13x －π3π2 π3π2 2πxπ 5π24π 11π27πy ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π332－32描点画图(如图所示)：要点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解 方法一 (逐一定参法)由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，且为第一个特值点， ∴0＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6×2＋φ.∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z )．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3.∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.方法三 (图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.规律方法 给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法：(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ. (2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪演练2 如图，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式．解 由图象知A ＝5.由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23.∴y ＝5sin(23x ＋φ)．下面用两种方法求φ： 方法一 (单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上， ∴2π3＋φ∈[π2＋2k π，32π＋2k π](k ∈Z )．由sin(2π3＋φ)＝0，得2π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．∵|φ|<π，∴φ＝π3.方法二 (最值点法)将最高点坐标(π4，5)代入y ＝5sin(23x ＋φ)，得5sin(π6＋φ)＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝π3.所以该函数式为y ＝5sin(23x ＋π3).1．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为偶函数，则φ满足的条件是________． 答案 φ＝k π＋π2(k ∈Z )2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则ω＝________，φ＝________.答案π4 π4解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，，∴φ＝π4.3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象说法正确的有________．①关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；②关于直线x ＝π4对称；③关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ④关于直线x ＝π12对称．答案 ①④4．作出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4在一个周期上的图象．解 (1)列表：12x －π40 π2 π 32π 2π xπ2 32π 52π 72π 92π 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π43－3描点、连线，如图所示：1.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2π|ω|，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．一、基础达标1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为T ＝________，φ＝________. 答案 6π6解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．函数图象的一部分如下图所示，则符合题意的解析式是__________________．①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3；④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 答案 ④解析 由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证只有④符合．3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.答案 4解析 设函数的最小正周期为T ， 由函数图象可知T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.4．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象可能是________．答案 ①②③解析 当a ＝0时f (x )＝1，③符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，①符合， 当|a |>1时T <2π，②符合．5．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 答案 x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． 由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.6．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 答案5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6.7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象． 解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(2)列出x 、y 的对应值表：x－π8 π8 38π 58π 78π 2x ＋π40 π2 π 32π 2π y2－2描点、连线，如图所示：二、能力提升8．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a ＝________.答案 －1解析 方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin 0＋a cos 0. ∴a ＝－1.方法二 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋x ，令x ＝π8，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f (0)，即a ＝－1.9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．答案 2，－π3解析 由图象知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，解得T ＝π. 由T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)又因为当x ＝5π12时取得最大值2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2， 可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 因为－π2＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝－π3. 10．关于f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________．答案 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )． ∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z .∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错． 11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．解 由于最小值为－2，所以A ＝2.又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ. 又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12， 因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 故所求解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6. 12．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π12，0)，图象与P 点最近的一个最高点坐标为(π3，5)． (1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解 (1)∵图象最高点坐标为(π3，5)，∴A ＝5.∵T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π. ∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝5sin(2x ＋φ)．代入点(π3，5)， 得sin(23π＋φ)＝1. ∴23π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )． 由|φ|<π2，得φ＝－π6， ∴y ＝5sin(2x －π6)． (2)∵函数的增区间满足2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．∴k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )． ∴增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (3)∵5sin(2x －π6)≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )， ∴k π－512π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )． 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 解 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0≤φ≤π，∴φ＝π2. 由图象关于M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称可知， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z . 又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， ∴T ≥π，即2πω≥π，∴ω≤2，又ω>0，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或2.。
y=asin(ωxφ)的图象变换PPT课件
则
由
韦
达
定
理：xx11
x2
x2
4k 4(ak
b),
又 过S、R点的切线方程分别为：
4 y 2 x1 x x12 ,4 y 2 x2 x x22 ,
联立
并
解 之 得
x y
x1 x2 k
22
1 4
x1 x2
ak
(k为 常 数) b
消 去k, 得 : ax 2 y 2b 0,
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3] 已 知 点H (0,3),点P在x轴 上,点Q
在y轴 正 半 轴 上,点M在 直 线PQ上, 且 满 足
进y=而A得sin到0（五ω个x关+φ键）2点大作致出图函像数的方法，32
2
是作此类函数图像的主要方法.
78《圆锥曲线背景下的 最值与定值问题》
【考点搜索】
1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从 两个途径思考，一是建立函数，用求值 域的方法求范围；二是建立不等式，通 过解不等式求范围.
2. 注意利用某些代数式故B点 在 直 线2ax y b 0上.
[例4] 设 双 曲 线x2 y2 1上 两 点A、B, AB
2 中点M (1,2).
(1) 求直线AB的方程; (2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲 线 交 于C、D两 点, 那 么A、B、C、D是 否 共 圆, 为 什 么 ？
高中数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》课件
3
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
(3)A(A＞0)对 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
2．由函数 y＝sinx 的图象得到函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象的途径
4
课前自主预习
课堂互动探究
0 2 0 －2 0
16
课前自主预习
课堂互动探究
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数学 ·必修4
描点，连线得函数 y＝2sin2x－π3在一个周期内的图象．
再将这部分图象向左或向右延伸 kπ(k∈N＋)个单位长 度，就可得函数 y＝2sin2x－π3(x∈R)的图象.
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(3) 函 数 y ＝ 2sin 2x－π4 ， x ∈ R 的 一 个 对 称 中 心 为 8π，0.( √ )
(4)用五点法作函数 y＝2sin2x＋π3在一个周期上的简图 时，第一个点为3π，0.( × )
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图象．
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【跟踪训练 1】
内的图象． 解 列表：
作出函数 y＝12cos12x＋π3在一个周期
12x＋π3 0
π 2
π
3π 2
2π
x
－23π
π 3
4π 7π 10π 33 3
正弦型函数y=Asin(ax+φ)的图象变换教学设计与反思
习方 法和教师的教 学方式 ， 喜欢独立积极思考 、 喜欢小组探究 、 合 作交 流 、 有着较强 的求知欲和好奇心 。
习在 全章 中乃至整个函数的学习中具有极 其重要的地位与作 用。 正弦型 函数 的图象变换是在学生掌握了三角 函数 的定 义 、 三
角函数线 、 诱导公式 、 五点作图的基础上进行的一节新授课 ， 是学
（ １ ） 函数 ｙ ＝ Ａ ｓ ｉ ｎ ｘ ＞ ０ 且 ≠１ ） 的图象可 以看作是 把 ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ ｘ的 图象 上所有 点的纵坐标 伸长（ 当Ａ ＞ １ 时） 或缩 短（ 当０ ＜ Ａ ＜ １时） 到
摘要 ： 本节课 结合观 览车的 实例 ， 了解周期 、 频 率、 初 相的 定
） 的 简图 ， 并通 过作 图过程 明确 Ａ、 ∞、 对函数 图象变化的影响 ，概括 出三角函数 图象各种 变换的实
质 和 内在 规 律 ， 并会 用 图 象 变换 画 出函数 ｙ ＝ Ａ ｓ ｉ ｎ ＋ ） 的图象。 关键 词 ： 正 弦 型 函数 ； 五点法 ； 平移 ； 向右（ 当 ＜ ０时） 平移 个单位而得 到的 。
称 为初相 ， 平移过程简记为“ 左加右减” 。
学生进入高中学习已经半年多 ， 对于高 中常用的数学思想方 法 和研究 问题的方法已经有初步的了解 ， 并且逐 步适 应高 中的学
【 设计 意图 ： 展示学生通过五点作图法做 出的三个 函数 图象 ，
成由ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ ｘ的图象到 ｙ ＝ Ａｓ ｉ ｎ （ ｔ ｏ ｘ ＋ ￣ ｏ ） 的图象程序性变换过程 。 教学难点 ： 发现与概括 Ａ、 ∞ 、 对 ｙ ＝ Ａｓ ｉ ｎ （ ＋ ） 的图象影 响的 规律是 本节课 的难 点 ， 再者 是变换时 ， 图象 的平 移量 和伸缩过程
《函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质》PPT课件
Ｄ.向左平移６ 个单位，横坐标缩小到原来的２１,
纵坐标缩小到原来的１ ３
31
３.已知函数y Ａsin(x ),在同一周期内，当x 时函数
9
取得最大值２,当x 4 时函数取得最小值 -２,则该函数的
9
解析式为（ Ｂ ）
Ａ.y 2sin(3x - ) Ｂ.y 2sin(3x )
35
把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一 本书.
——麦考莱
36
(纵坐标不变)而得到的.
通常称周期的倒数f 1 为频率. T 2
28
变式练习：
描述下列曲线可以由正弦曲线如何变换得到 (1) ysin4x. (2) ysin1x.
3
解 ： ( 1 ) 函 数 y= s i n 4 x 的 图 像 可 以 看 作 是 将 y= s i n x 的 图 像 上 所 有 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 1倍 （ 纵 坐 标 不 变 ） 而 得 到 的 . ( 2 ) 函 数 y=s i n1x 的 4 图 像 可 以 看 作 是 将 y=s i n x 的 图 像 上 所 有 点
的 纵 坐 标 变 为 原 来 的 3倍 （ 横 坐 标 不 变 ） 而 得 到 的 . 2
(2)函 数 y1sinx的 图 像 可 以 看 作 是 将 ysinx的 图 像 上 所 有 点 3
的 纵 坐 标 变 为 原 来 的 1倍 （ 横 坐 标 不 变 ） 而 得 到 的 . 3
11
探究点2 参数对函数y=Asin(x+)的影响
26
类似地，在区间0, 4上，函数y sin 1 x在
2
0, 和3, 4上是增加的，在,3上是减少的；
函数y sin 1 x与x轴交点的横坐标是0, 2, 4; 2
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1
函数)sin(ϕω+=x A y 的图象
学习目标：
1.理解ϕ对)sin(ϕ+=x y 的图象的影响，ω对)sin(ϕω+=x y 的图象的影响，)0(>A A 对
)sin(ϕω+=x A y 的图象的影响.
2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出)sin(ϕω+=x A y 图象的简图,并会用“五点法”画出函数)sin(ϕω+=x A y 的简图.
知识要点：
一、几个概念：振幅 ；周期 ；频率 ；相位 ；初相 。
二、五点法画)sin(ϕω+=x A y 的图象 三、利用图象变换画)sin(ϕω+=x A y 的图象： 1.ϕ对)sin(ϕ+=x y 的图象的影响：
)sin(ϕ+=x y 的图象可以看做是把x y sin =的图象 平移 个单位而得到。
2.ω对)sin(ϕω+=x y 的图象的影响：
)sin(ϕω+=x y 的图象可以看做是把)sin(ϕ+=x y 的图象上所有点的横坐标
到原来的 倍（ ）而得到。
3.)0(>A A 对)sin(ϕω+=x A y 的图象的影响：
)sin(ϕω+=x A y 的图象可以看做是把)sin(ϕω+=x y 图象上所有点的纵坐标
到原来的 倍（ ）而得到。
4.两种顺序：
（1） ； （2） 。
5.利用图象求解析式：
（1）确定A ： ； （2）确定ω： ； （3）确定ϕ： 。
典型例题：
【例1】用五点法画出 )6
3
1sin(2π
-=x y 的简图，并说出它可由x y sin =经怎样的变换得到。
【例2】如图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?
(2)从O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.
2
当堂检测：
1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）x y sin 21=； （2）x y 3sin =； （3）)3sin(π-=x y ； （4）)6
31sin(2π-=x y
2.已知函数)5
sin(3π
+
=x y 的图象为C ，
（1）为了得到函数)5
sin(3π
-=x y 的图象，只要把C 上的所有点（ ）。
（A ）向右平行移动
5π个单位长度。
（B ）向左平行移动5π
个单位长度。
（C ）向右平行移动52π个单位长度。
（D ）向左平行移动5
2π
个单位长度。
（2）为了得到函数)5
2sin(3π
+=x y 的图象，只要把C 上的所有点（ ）。
（A ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变。
（B ）横坐标缩短到原来的21
倍，纵坐标不变。
（C ）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变。
（D ）纵坐标缩短到原来的2
1
倍，横坐标不变。
（3）为了得到函数)5sin(4π
+=x y 的图象，只要把C 上的所有点（ ）。
（A ）横坐标伸长到原来的34倍，纵坐标不变。
（B ）横坐标缩短到原来的43
倍，纵坐标不变。
（C ）纵坐标伸长到原来的34倍，横坐标不变。
（D ）纵坐标缩短到原来的4
3
倍，横坐标不变。
3.函数)4
21sin(32π
-=x y 的振幅、周期和频率各是多少？它的图象和x y sin =有什么关系？
4.函数[)+∞∈+=,0),12
sin(x x y π
的初相是多少？它的图象和x y sin =有什么关系？
5.要得到函数)5
3sin(π
-
=x y 的图象，只需将函数x y 3sin =的图象（ ）
A 向左平移个5π单位
B 向右平移个5π单位
C 向左平移个15π单位
D 向右平移个15
π
单位 6.把函数)4
3cos(π
+=x y 的图象适当变动就可以得到)3sin(x y -=的图象，这种变动
可以是( )
A 向右平移
4π B 向左平移4π C 向右平移12π D 向左平移12
π
7.将函数)(x f y =的图象沿x 轴向右平移3
π
，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来
的2倍，得到的曲线与x y sin =的图象相同，则)(x f y =是( )
（A ） )32sin(π+
=x y （ B ） )32sin(π
-=x y （C ） )322sin(π+=x y （ D ） )3
22sin(π
-=x y
9.已知如图是函数)2
(),sin(2πϕϕω<+=x y 的图象，那么（ ）
A 6,1110πϕω==
B 6
,1110π
ϕω-==
C 6,2πϕω==
D 6
,2π
ϕω-==。