高等代数行列式计算方法总结

1b b
a (n1)b 1 a b
1b a
1b
ri r1 a(n1)b0ab
i2,3, n 00
b
0 (a b )n 1 a (n 1 ) b .
ab
高等代数行列式计算方法总结
1 23 2 34 2) D n1 n 1 n 12
n1 n n1 .
n3 n2 n2 n1
解
123 D n(n1) 1 3 4
关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）
行列式的值求出 D 的值）
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（六）拆项法（主对角线上、下元素相同）
ax1 a 1) Dn a ax2
a a.
解：
aa
axn
ax1 a D n a ax2
a ax1 a a a ax2
aa aaa
a0 a0
axn
x1 0 0 x2
令 x 0, 则
1123
D
1 2
2 3
2 1
3 5
12,
2319
即 a 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 2 , a3.
D 3 ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 2 ) .
高等代数行列百度文库计算方法总结
（二）箭形行列式
a0 b1 b2 c1 a1 0 Dn1c2 0 a2
1,2
1 n ai
i1 bi n1) 0
0
a1 b1 0
an 0 bn
b1b2
bn(1
n i1
ai bi
).
高等代数行列式计算方法总结
（五）递推公式法
ab ab 0 1 ab ab
Dn 0 1 ab
000 000
00 00 0 0.
ab ab 1 ab
解
Dn按 c1展开 (ab)Dn1abDn2
2 1n1
n1 n n1
n3 n2
1 1 2 n2 n1
rnrn1rrnn12
12 3
r2 r1 n(n1) 0 1 1
n1 n 1 1n
2 0 1 1n 1 1
0 1n 1
11
高等代数行列式计算方法总结
11
n(n1) 2
1
1n
1n 1
11n
11 11
n1
1 1 1 1n rir1 n(n1) 0 0 n n
00
0a 0 a xnDn1,
0a
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D n x 1 x 2x n 1 a x n D n 1 , D n 1 x 1 x 2x n 2 a x n 1 D n 2 , D n 2 x 1 x 2x n 3 a x n 2 D n 3 ,
继续下去，可得
1an
a1x x 2) x a2x
xx
x x , ai 0,i2,3 n.
anx
（把第 i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式）
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（三）行（列）和相等的行列式
ab b 1) D b a b .
b
a
a(n1)b b b
解：D c1 c2 cn a(n1)b a
b
a(n1)b b a
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1、定义法：适用于0比较多的行列式．
2、利用性质化三角形行列式
3、 按行（列）展开
4、 其他方法： 分离因子法 箭形行列式 行（列）和相等的行列式 递推公式法 加边法（升级法） 拆项法 数学归纳法
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（一）分离因子法
1123
例：计算
D
1 2
2 x2 3
D n a D n 1 b ( D n 1 a D n 2 ) b n 2 ( D 2 a D 1 ) D n b D n 1 a ( D n 1 b D n 2 ) a n 2 ( D 2 b D 1 )
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而 D 2 a 2 a b b 2 , D 1 a b
bn 0 0, ai 0,i1,2,3 n.
cn 0 0 an
解：把所有的第 i 1列(i1,
,n)的
c a
i i
倍加到
第1列，得：
Dn1a1a2 an(a0i n1baicii).
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可转为箭形行列式的行列式：
1a1 1 1) 1 1a2
11
1 1 , ai 0,i2,3 n.
D n a x 1 x n 1 a x 1 x 2 x n 2 x n a x 1 x 2 x n 3 x n 1 x n
a x 1 x 2 x 4 x n a x 1 x 3 x 4 x n x n x n 1 x 3 x 2 D 1
a ( x 1 x 2 x n 1 x 1 x 2 x n 2 x n x 1 x 3 x n x 2 x 3 x n )
2 1
3 5
.
2 3 1 9 x2
解：由行列式 D 定义知为 x 的4次多项式．
又 当 x1时，1，2行相同，有D0， x1为D的根．
当 x2时，3，4行相同，有 D 0,
x2为D的根．
故 D 有4个一次因式:x 1 ,x 1 ,x 2 ,x 2 .
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设 D a ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 2 ) ,
a1
a2
an an , anbn
b1b2
bn0.
解：
1 a1
a2
an
0 a1 b1 a2
an
1) Dn 0 a1 a2 b2
an
0 a1
a2
an bn n1
高等代数行列式计算方法总结
1 a1 a2 an
ri r1(i 2,3
n1)1 b1 0 1 0 b2
0 0
1 0 0 bn
c1
ci1 bi
(i
x1x2 xn
当
x 1 x 2
x n 0 时, D n x 1 x 2
n1 x n (1 a i 1x i).
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i2,3 n1 2 n0 0
n n1
1 1 1 1 n(n1) 0 0 n0
cn1c1 cn2
2 n0 0
0n1
n (n1 )( 1 )(n 1 )2 (n 2)( 1 )( n )n 2(1)n(n21) 2
(n1)nn1 .
2
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（四）升级法（加边法）
a1b1 a2 Dn a1 a2b2
D n a D n 1 b n 2 ( a 2 a b b 2 a 2 a b ) b n ; D n b D n 1 a n 2 ( a 2 a b b 2 a 2 a b ) a n .
由以上两式解得 Dn ana1 bbn1 (n1)an
ab ab
（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线性