第七章常微分方程自测题(答案)
第七章微分方程练习题
第七章微分方程练习题一、选择题1.下列是微分方程的是 ( ) .A. dx x dy )14(-=；B.12+=x y ；C.0232=+-y y ；D.0sin =⎰xdx .2.微分方程0'3"22=+-xy yy xy 的阶数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.3.方程dt t dw w 2542=-是 ( )阶微分方程.A. 1；B.2；C.3；D.4.4.微分方程02=+'-''y y x y x 的通解中任意常数的个数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.5. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x6. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x7.微分方程xy y ='的一个解是( ) . A.3221+=x e y ； B.2221+=x e y ； C.1221+=x e y ； D.221x e y =.8.下列是齐次的线性微分方程的是（ ）. A.2x y dx dy +=； B.x y dxdy sin =； C.1cos '=+x y y ； D.1cos '=-y y .9.下列是齐次方程的是（ ）. A.y x dx dy +=10； B.x e y dxdy -=+； C.x y y x dx dy +=； D.x x x y dx dy sin =+.10.微分方程23x y ='的通解是（ ）；A.33x y =B. C x y +=33C. 3x y =D. C x y +=3 二、填空题1.微分方程0222=+x k dtx d 通解中任意常数的个数是 ； 2.表示未知函数、未知函数的_______与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程；3.满足初值条件50==x y的函数C y x =-22中的C 等于 ；4. 微分方程02'12=++xy y x ）（满足初值条件10==x y 的特解是_______； 5.微分方程12+='x y 的通解是 ；三、判断题1.04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）2.)(])()(2[022x xy dt t y t t y x =++⎰是齐次方程.（ ） 3.0522=++x y y 不是微分方程.（ ）4.微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 可分离变量.（ ）5一阶微分方程1cos '=+x y y 是齐次的.（ ） 四、计算题1.求微分方程0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x 的通解.2.求微分方程dx dy xy dx dy xy =+22的通解. 3.求微分方程23=+y dxdy 的通解. 五、证明题1.函数kt kt x sin C cos C 21+=是微分方程0222=+x k dxy d 的解.六、综合题1.一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A 成正比，比例系数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少时间？ 2.设有联结点O （0，0）和A （1，1）的一段向上凸的曲线弧OA ︵,对于OA ︵上任一点P （x,y ），曲线弧OP ︵与直线段OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA ︵的方程。
高等数学第7章测试
第 1 页 共 5 页班 级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）2013 ～2014 学年第 2学期 高等数学第七章常微分方程测验试使用班级（教师填写）：1.微分方程3()1y y '''=的阶数为( )(A) 一 (B)二 (C)三 (D)五2.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。
（式中C C 12,为任意常数）（ ） （A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin3. 微分方程ln ln xy y y y x '=-是 ( )（A ）可分离变量方程； （B ）齐次方程； （C ）一阶线性微分方程； （D ）以上都不对。
4.微分方程xy x y dx dy +=2 的解为（ ） （A ）x C x y 2)(ln +=； （B ）0=y ；（C ）2y=(ln x +C)x y=0和； （D ）以上都不对。
5.设(),()f x f x '为已知的连续函数,则方程()()()y f x y f x f x '''+=的解是( ) （A ）()()1f x y f x ce-=-+； （B ）()()1f x y f x ce -=++；（C ）()()f x y f x c ce-=-+； （D ）()()f x y f x ce-=+6.微分方程1xy y e ''-=+的一个特解应有形式 ( )第 2 页 （共5 页） 2 （A ）b ae x +； （B ）bx axe x +； （C ）bx ae x +； （D ） b axe x+ 7.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( )（A ）A x sin（B ）A x cos（C ）Asix B x +cos（D ）x A x B x (sin cos )+8.微分方程''+=y y x x cos2的一个特解应具有形式（ ）（A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+ （C ）A x B x cos sin 22+ （D ）()cos Ax B x +2 9.微分方程210y y '''++=的通解是（ ）（A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21； （C ）x eC C y x21221-+=-； （C ）x x C x C y 21sin cos 21-+=。
自考常微分方程试题及答案
自考常微分方程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项是一阶微分方程？A. dy/dx + 2y = x^2B. d^2y/dx^2 + y = 0C. dy/dx = 0D. d^3y/dx^3 - y = x答案：A2. 常数变易法主要用于求解什么类型的二阶线性微分方程？A. 欧拉方程B. 伯努利方程C. 线性齐次方程D. 线性非齐次方程答案：D3. 以下哪个解是微分方程y'' - y' - 2y = 0的一个特解？A. y = e^(2x)B. y = e^(-x)C. y = e^(x)D. y = e^(x/2)答案：A4. 微分方程y' = y/x 表示的曲线族是：A. 一系列直线B. 一系列抛物线C. 一系列双曲线D. 一系列椭圆答案：C5. 如果一个函数满足微分方程y'' + y' + y = 0，那么它是：A. 一个奇函数B. 一个偶函数C. 一个周期函数D. 一个非周期函数答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 解微分方程dy/dx = x^2 - y^2，当y(0) = 1时，y(1)的值为_________。
答案：07. 微分方程的通解为y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，其中C1和C2是任意常数，该方程是_________阶线性齐次方程。
答案：一8. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的特征方程为_________。
答案：r^2 - 2r + 1 = 09. 微分方程dy/dx = sin(x) + cos(y)满足初始条件y(0) = 0的解是y =_________。
答案：arccos(cos(x))10. 微分方程y' = y^2的解是y =_________。
答案：C/x + C^2，其中C是任意常数。
三、解答题（共75分）11. （15分）求解微分方程dy/dx - y = e^x，并给出通解。
高等数学 第七章 常微分方程
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量 M ( t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln c , 即M ce t ,
衰变规律
代入M t 0 M0 得 M 0 ce 0 C ,
M M 0 e t
例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 0.1%的 CO 2 , 为了降低车间内空气中 CO 2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO 2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO 2的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x( t )% 在 [t , t dt ]内,
dy 2x dx
y 2 xdx
其中 x 1时, y 2
即 y x2 C,
求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
CO2 的通入量 2000 dt 0.03, CO2 的排出量 2000 dt x( t ),
CO2 的改变量 CO2 的通入量 CO2 的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x( t ),
dx 1 ( x 0.03), x 0.03 Ce dt 6
[理学]第七章微分方程
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第七章 微分方程第一节 微分方程的基本概念一、主要内容1．微分方程的定义微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.2．微分方程的分类分类1: 常微分方程, 偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.分类2:一阶微分方程,0),,(='y y x F );,(y x f y ='高阶(n )微分方程,0),,,,()(='n y y y x F).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y分类3: 线性与非线性微分方程.),()(x Q y x P y =+' 02)(2=+'-'x y y y x分类4: 单个微分方程与微分方程组.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,2,23z y dxdz z y dx dy 3．主要问题-----求方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之,)(阶导数上有在区间设n I x y ϕ=.0))(,),(),(,()(='x x x x F n ϕϕϕ微分方程的解的分类：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族初始条件: 用来确定任意常数的条件初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题一阶 ⎪⎩⎪⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x 过定点的积分曲线; 二阶 ⎪⎩⎪⎨⎧'='='=''==0000,),,(y y y y y y x f y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线二、典型例题例1 验证:函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分 方程0222=+x k dt x d 的解. 并求满足初始条件0,00====t t dt dx A x 的特解. 解: kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-= ,sin cos 221222kt C k kt C k dtx d --= ,22的表达式代入原方程和将x dt x d.0)sin cos ()sin cos (212212≡+++-kt C kt C k kt C kt C k.sin cos 21是原方程的解kt C kt C +,0,00====t t dt dx A x .0,21==∴C A C 所求特解为 .cos kt A x =补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.求解微分方程⇒求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)第二节 可分离变量的微分方程一、主要内容1． 可分离变量的微分方程例如dx x f dy y g )()(= 可分离变量的微分方程.解法 设函数)(y g 和)(x f 是连续的⎰⎰=dx x f dy y g )()( 分离变量法设函数)(y G 和)(x F 是依次为)(y g 和)(x f 的原函数,C x F y G +=)()( 为微分方程的解.二、典型例题例1求解微分方程的通解xy dxdy 2= 解:分离变量,2xdx ydy = 两端积分 ,2⎰⎰=xdx y dy12ln C x y +=.2为所求通解x Ce y =∴例2 求方程0)()(=+xdy xy g ydx xy f 的通解.解: 令,xy u = 则,ydx xdy du += ,0)()(=-⋅+xydx du x u g ydx u f ,0)()]()([=+-du u g dx xu u g u f ,0)]()([)(=-+du u g u f u u g x dx 通解为；.)]()([)(||ln C du u g u f u u g x =-+⎰例3：有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.解:由力学知识得,水从孔口流出的流量为,262.0gh S dtdV Q ⋅==0.62为流量系数 S 为 孔口截面面积 g 为重力加速度1=S ,2cm ,262.0dt gh dV =∴ (1)设在微小的时间间隔],,[dt t t +水面的高度由h 降至dh h +,令,by ax z +=则.2dh r dV π-=,200)100(100222h h h r -=--=dh h h dV )200(2--=∴π (2)比较(1)和(2)得: dh h h )200(2--π ,262.0dt gh =dh h h )200(2--π ,262.0dt gh =即为未知函数的微分方程.,)200(262.03dh h h g dt --=π,)523400(262.053C h h g t +--=π,100|0==t h ,101514262.05⨯⨯=∴g C π所求规律为；)310107(265.45335h h g t +-⨯=π第三节 齐次方程一、主要内容1. 齐次方程.定义：)(xy f dx dy =形如的微分方程称为齐次方程. 解法:作变量代换 ,xy u = ,xu y =即 ,dxdu x u dx dy +=∴ 代入原式 ),(u f dxdu x u =+ .)(x u u f dx du -=即 ,0)(时当≠-u u f ,ln )(1x C uu f du =-⎰得 ,)(u Ce x ϕ=即 ⎰-=）（u u f du u )()(ϕ,代入将x y u = ,)(x yCe x ϕ=得通解 ,0u ∃当 ,0)(00=-u u f 使 ,0是新方程的解则u u =,代回原方程 .0x u y =得齐次方程的解 2 可化为齐次的方程1.定义；的微分方程形如)(111c y b x a c by ax f dx dy ++++= ,01时当==c c 为齐次方程. 否则为非齐次方程 2.解法 ，令k Y y h X x +=+=,（其中h 和k 是待定的常数）dY dy dX dx ==,)(11111c k b h a Y b X a c bk ah bY aX f dX dY ++++++++= ⎩⎨⎧=++=++,0,0111c k b h a c bk ah ,0)1(11≠=∆b a b a 有唯一一组解.)(11Yb X a bY aX f dX dY ++= 得通解代回 ⎩⎨⎧-=-=，k y Y h x X , ,0)2(=∆未必有解, 上述方法不能用.,01时当=b .1中必至少有一个为零与b a ,0=b 若可分离变量的微分方程.,0,01=≠a b 若,by ax z +=令),(1a dxdz b dx dy -= )()(11c c z f a dx dz b +=- 可分离变量的微分方程 ,01时当≠b ,11λ==bb a a 令),)((1c by ax c by ax f dx dy ++++=λ方程可化为,by ax z +=令 ，则dx dy b a dx dz +=).()(11c z c z f a dx dz b ++=-λ可分离变量. 二、典型例题例1 求解微分方程.0cos )cos(=+-dy x y x dx x y y x 解：，令xy u =，则udx xdu dy += ,0)(cos )cos (=++-xdu udx u x dx u ux x ,cos xdx udu -=,ln sin C x u +-= 微分方程的解为 .ln sin C x xy +-= 例 2 求解微分方程 .2222xyy dy y xy x dx -=+- 解: 2222y xy x xy y dx dy +--=,1222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x y x y x y ,xy u =令,udx xdu dy +=则 ,1222u u u u u x u +--='+ ,]1122)121(21[xdx du u u u u =-+---- ,ln ln ln 21)2ln(23)1ln(C x u u u +=---- .)2(123Cx u u u =--微分方程的解为 32)2()(x y Cy x y -=-例3: 求31-++-=y x y x dx dy 的通解. 解: ,021111≠=-=∆⎩⎨⎧=-+=+-,0301k h k h 方程组,2,1==⇒k h .2,1+=+=Y y X x 令 代入原方程得,Y X Y X dX dY +-= ，令XY u = 方程变为 ,11uu dX du X u +-=+分离变量法得 ,)12(22C u u X =-+,222C X XY Y =-+即代回，将2,1-=-=y Y x X得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22C x y x y =----+-.622122C y x y xy x =++-+或例4 求解微分方程0cos )3sin 42()3sin 2(=--++-ydy y x dx y x解: 0)(sin )3sin 42()3sin 2(=--++-y d y x dx y x令z y =sin ,34232--+-=⇒z x z x dx dz 再令 u z x =-2,236u dx du -=⇒ 两边积分后得 ,632C x u u +=-变量还原得C x y x y x +=---6)sin 2()sin 2(32 例5 求.2)(y x dxdy +=的通解. 解: ,u y x =+令1-=dxdu dx dy 代入原方程 21u dx du += 解得,arctan C x u += 代回,y x u += 得,)arctan(C x y x +=+ 原方程的通解为 .)tan(x C x y -+=第四节 一阶线性微分方程一、主要内容1.线性方程一阶线性微分方程的标准形式:)()(x Q y x P dxdy =+,0)(≡x Q 当上方程称为齐次的.,0)(≠x Q 当上方程称为非齐次的. 一阶线性微分方程的解法1. 线性齐次方程 .0)(=+y x P dxdy (使用分离变量法) ,)(dx x P y dy -= ,)(⎰⎰-=dx x P y dy,ln )(ln C dx x P y +-=⎰齐次方程的通解为.)(⎰=-dx x P Ce y 2. 线性非齐次方程).()(x Q y x P dx dy =+ 讨论 ,)()(dx x P y x Q y dy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= 两边积分,)()(ln ⎰⎰-=dx x P dx y x Q y ),()(x v dx yx Q 为设⎰ ,)()(ln ⎰-=∴dx x P x v y .)()(⎰-=dx x P x v e e y 即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比: )(x u C ⇒常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.),()(x y x u 原未知函数新未知函数⇒作变换 ⎰=-dx x P e x u y )()(,)]()[()()()(⎰-+⎰'='--dx x P dx x P e x P x u e x u y将y 和y '代入原方程得 ),()()(x Q e x u dx x P =⎰'- 积分得,)()()(C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰一阶线性非齐次微分方程的通解为: ⎰+⎰=-⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()(])([dx e x Q e Ce dx x P dx x P dx x P ⎰⋅⎰+⎰=⎰--)()()()( 2.伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式n y x Q y x P dxdy )()(=+ )1,0(≠n 当时，1,0=n 方程为线性微分方程. 1,0≠n 当时, 方程为非线性微分方程.解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.两端除以，n y 得 ),()(1x Q y x P dxdy y n n=+--令 ,1n y z -=则，dxdy y n dx dz n --=)1( 代入上式 ),()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+ 求出通解后，将 n y z -=1 代入即得⎰+⎰-⎰==∴----))1)((()()1()()1(1C dx e n x Q e z y dx x P n dx x P n n二、典型例题例1 求方程xx y x y sin 1=+'的通解. 解：,1)(x x P = ,sin )(x x x Q = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰-C dx e x x e y dx x dx x 11sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎰-C dx e x x e x x ln ln sin ()⎰+=C xdx x sin 1 ().cos 1C x x+-= 例2: 用适当的变量代换解下列微分方程: 1. ;2222x xe xy y y -=+'解: ,2112--=+'y xe xy y x 令,2)1(1y y z ==-- 则,2dxdy y dx dz = ,22x xe xz dxdz -=+∴ ][222C dx e xe e z xdx x xdx +⎰⎰=⎰-- 所求通解为 ).2(222C x e y x +=-;)(s i n 1.22xy xy x dx dy -= 解: 令,xy z = 则,dx dy x y dx dz += ,s i n 1))(s i n 1(22zx y xy x x y dx dz =-+= 分离变量法得 ,42sin 2C x z z +=-将xy z =代回得所求通解为 .4)2sin(2C x xy xy +=-第五节 全微分方程一、主要内容1．全微分方程及其求法定义: 若有全微分形式dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=则 0),(),(=+dy y x Q dx y x P全微分方程.xQ y P ∂∂=∂∂⇔解法: 0),(),(=+dy y x Q dx y x P 全微分方程（1）应用曲线积分与路径无关. xQ y P ∂∂=∂∂ 通解为 ⎰⎰+=yy xx dy y x Q x d y x P y x u 00),(),(),(0 ,),(),(000x d y x P dy y x Q xx yy ⎰⎰+= ;),(C y x u = （2）用直接凑全微分的方法.2. 积分因子法定义；0≠μ(x,y)连续可微函数，使方程0),(),(),(),(=+dy y x Q y x dx y x P y x μμ成为全微分方程.则称),(y x μ为方程的积分因子.（1）公式法: ,)()(x Q y P ∂∂=∂∂μμxQ x Q y P y P ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂μμμμ 两边同除以，μ x Q y P y P x Q∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμln ln 求解不容易 特殊地:(1) 当μ只与x 有关时, ,0=∂∂y μ,dx d x μμ=∂∂ )(1ln x Q y P Q dx d ∂∂-∂∂=∴μ)(1ln xQ y P Q dx d ∂∂-∂∂=∴μ .)()(⎰=∴dx x f e x μ(2) 当μ只与y 有关时, ,0=∂∂x μ,dyd y μμ=∂∂ )(1ln yP x Q P dy d ∂∂-∂∂=∴μ)(y g = .)()(⎰=∴dy y g e y μ（2） 观察法: 凭观察凑微分得到),(y x μ常见的全微分表达式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+222y x d ydy xdx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x y d x y d x x d y 2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x y d y x ydx xdy arctan 22 ()xy d xy ydx xdy ln =+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++)ln(212222y x d y x ydy xdx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--y x y x d y x ydx xdy ln 2122 可选用的积分因子有.,,1,1,1,12222222等xy y x y x y x x y x ++ 二、典型例题例1 求方程 0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解.解：,6xQ xy y P ∂∂=-=∂∂是全微分方程, ⎰⎰+-=yxdy y x d xy x y x u 03023)3(),( ,42344224y y x x +-= 原方程的通解为 .42344224C y y x x =+- 例2 求方程 0324223=-+dy yx y dx y x 的通解. 解: ,64xQ y x y P ∂∂=-=∂∂是全微分方程, 将左端重新组合)32(14232dy yx dx y x dy y -+ )()1(32y x d y d +-=)1(32yx y d +-= 原方程的通解为 .132C yx y =+-第六节 可降阶的高阶微分方程• 一、主要内容• 1.)()(x f y n =型的微分方程• 解法: 方程的通解可经过积分n 次而求得. 求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数.• 2.),('''y x f y =型的微分方程• 解法：令,'p y =则,'''p y =故有),('p x f p =此时，该二阶微分方程变为一阶微分方程，求出一阶微分方程的通解后再两边积分即可。
高等数学第7章练习题
第七章微分方程一、填空题1、曲线上点(,)x y 处的切线斜率为该点纵坐标的平方，则此曲线的方程是_____y x C=-+1。
2、曲线上任一点处的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比，则此曲线的方程是______ x y C 22-=。
3、一质点沿直线运动，已知在时间t 时加速度为t 21-，开始时()t =0速度为13，则速度与时间t 的函数关系式是________ V t t =-+13133。
4、曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 y x C =+133。
5、一曲线过原点，其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2x y +，则曲线方程是______ y e x x=--21()。
6、微分方程e y ax "=1（a 是非零常数）的通解是 ______y ae C x C a x =++-1212。
7、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''=y 0。
8、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C x =+12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'=y y 0。
9、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12cos sin =+y C kx C kx ，其中C C 12,为独立的任意常数，k 为常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''+=y k y 20。
10、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C e C e x x =+-12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-=y y 0。
11、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y C C x e x=+()12，其中C C 12,为独立的任意常数，则该方程为⎽⎽⎽⎽ ''-'+=y y y 20。
高等数学第七章测试题答案第版
第七章测试题答案一、填空（20分）1、5322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程；2、与积分方程⎰=xx dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是 （填“是”或“不是”）该微分方程的解；4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的解 （填“通解”或“解”）；5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ；9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ；10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。
二、（10分）求x xy y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式)(11C xdx e ey x dx x +⎰⎰=⎰-， xC x C dx x x +=+=⎰2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .解：0=+'xy y 分离变量x x y yd d 1-=， 两边同时积分 C x y ln 2ln 2+-=，22e x C y -=， 又由2)0(=y ，得2=C ，故222x e y -=四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。
《常微分方程》练习题库参考答案
华中师范大学网络教育学院 《常微分方程》练习测试题库参考答案一、判断说明题1、在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。
将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。
2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x⎰0x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x⎰x p(x))＞0。
如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。
3、（1） 它是常微分方程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为一元函数，所建立的等式是已知关系式。
（2） 它是常微分方程，理由同上。
（3） 它不是常 微分方程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建立的等式不是已知关系式。
4、微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。
因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。
微分方程的解又称为（一个）积分。
5、 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。
注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。
6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
7、二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。
m=0则称它为0次齐次函数。
8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次方程。
如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。
常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。
习题册第七章微分方程答案-复制
第七章 微分方程第37次 微分方程的概念 分离变量法一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该解是通解还是特解：1．330()xy y y Cx -'+==解 一阶 43y Cx -'=-433(3)30xy y x Cx Cx --'+=⋅-+=， 所以3y Cx -=为微分方程的解又3y Cx -=中只含有一个任意常数，故其为通解．2．21d d 0()2kx x y y kx -==解 一阶 d d y kx x =d d d d 0kx x y kx x kx x -=-=， 所以212y kx =为微分方程的解 又212y kx =中不含有任意常数，故其为特解． 3．0(sin )y y y C x ''+==解 二阶cos y C x '=，sin y C x ''=-sin sin 0y y C x C x ''+=-+=， 所以sin y C x =为微分方程的解又sin y C x =中只含有一个任意常数，故其既不是通解，也不是特解．4．220()xy y y y x e '''-+==解 二阶 22x x y xe x e '=+，222(2)22224x x x x x x x x x y xe x e e xe xe x e e xe x e '''=+=+++=++ 2222242(2)20x x x x x x x y y y e xe x e xe x e x e e '''-+=++-++=≠，所以2xy x e =不是微分方程的解二、求下列微分方程的通解：1．22()d (1)d 0xy x x x y +++=解 22d d 11y x x y x -=++⎰⎰21arctan ln(1)2y x C =-++ 2．()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=解 e e d d e 1e 1y xy x y x =--+⎰⎰ ln e 1ln e 1ln y x C -=-++即 (e 1)(e 1)y x C -+=3．d 2d y xy x x+= 解 d d 21y x x y =--⎰⎰211ln 2122y x C -=-+22e 121e 2x x C y C y --+⇒-=⇒= 4．sin ln y x y y '=解 d csc d ln y x x y y=⎰⎰ ln ln ln csc cot ln y x x C =-+ln (csc cot )y C x x =-三、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．52,(0)0x y y ey -'== 解 25e d e d y x y x =⎰⎰2511e e 25y x C =+ 又(0)0y =，310C = 微分方程的特解：25113e e 2510y x =+2．2d (1)tan ,(0)2d y y x y x=-= 解2d tan d 1y x x y =-⎰⎰2111ln ln sec ln sec 211y y x C C x y y++=+⇒=-- 又(0)2y =，3C =- 微分方程的特解：213sec 1y x y+=-- 四、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量0R 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的关系.解d d R R tλ=- d d R t R λ=-⎰⎰ ln ln e t R t C R C λλ-=-+⇒=又0(0)R R =，0C R =；所以0e t R R λ-= 又0(1600)2R R =， 160000e 2R R λ-=，所以ln 21600λ=；故ln 216000e t R R -=第38次 变量代换法 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．22()d d 0x y x xy y +-=解 d d y x y x y x=+ （1） 令,y u x=则,y u xu ''=+ 代入（1）得：1u xu u u'+=+ 分离变量 1d d u u x x= 两边积分 1d d u u x x =⎰⎰得 2ln ln ln 2u x C Cx =+= 22222y u x Cx eCx e =⇒= 2．,(1)0y x y y e y x '=+= 解 令,y u x= 则,y u xu ''=+ 代入原方程得：u u xu e u '+=+分离变量 1d d u e u x x-=两边积分 1d d u e u x x -=⎰⎰ 得 ln u e x C --=+ln yxe x C --=+ 又(1)0y =，得1C =- 原方程特解：ln 1y x ex --=- 3．d 11d y x x y=+- 解 令,u x y =-d d 111d d y u x x u=-=+ d 1d d d u u u x x u-=⇒=- d d u u x =-⎰⎰ 22()22u x y x C x C -=-+⇒=-+ 4．21tan (2)2y x y '=+ 解 令2,u x y =+ 2d 1d 11tan d 2d 22y u u x x =-= 22d 1tan sec d u u u x=+= 2cos d d u u x =⎰⎰ 积分得11sin 224u u x C +=+ 原方通特解：1111(2)sin 2(2)sin 2(2)2424x y x y x C y x x y C +++=+⇒-++=二、求下列微分方程的通解或特解：1．d d x y y e x-+= 解 ()1,()x P x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为d x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为()x y C x e -=，将,y y '代入原方程整理得 ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+故原方程的通解为()x y x C e -=+2．sin cos ,(0)2x y y x e y -'+==解 sin ()cos ,()x P x x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为cos d sin x x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为sin ()x y C x e-=，将,y y '代入原方程整理得 sin sin ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+故原方程的通解为sin ()x y x C e-=+ 又(0)2y =，得2C =故原方程的特解为sin (2)x y x e -=+3．23d d 1y x x y x x++=-+ 解 22d d d 1d 1y y y y x x x x x x=--⇒+=-++ 21(),()1P x Q x x x==-+ 对应齐次微分方程的通解为1d ln(1)11x x x C y C e C e x --++⎰===+ 令原方程的通解为1()1y C x x=⋅+，将,y y '代入原方程整理得 221()()(1)1C x x C x x x x ''=-⇒=-++ 3411()34C x x x C =--+故原方程的通解为34111341y x x C x⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭ 4．226y y x y '=- 解 d 3d 3d 2d 2x y x y x x y y y y ⎛⎫=-⇒+-=- ⎪⎝⎭ 3(),()2y P y Q y y =-=- 对应齐次微分方程的通解为33d ln 3y y y x C eC e Cy --⎰=== 令原方程的通解为3()x C y y =，将,x x '代入原方程整理得321()()22y C y y C y y ''=-⇒=- 1()2C y C y=+ 故原方程的通解为312y C y y ⎛⎫=+⎪⎝⎭三、已知连续函数()f x 满足条件320()()d 3x x t f x f t e =+⎰，求()f x ． 解 2()3()2x f x f x e '=+且(0)1f = 2d (3)2d x y y e x+-= 2()3,()2x P x Q x e =-=对应齐次微分方程的通解为3d 3x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为3()x y C x e =，将,y y '代入原方程整理得 32()2()2x x x C x e e C x e -''=⇒= ()2x C x e C -=-+故原方程的通解为3(2)x x y e C e -=-+又(0)1f =，得3C =，故3()(23)x x f x e e -=-+第39次 可降阶的高阶微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．sin 1y x x '''=++解 ()211sin 1d cos 2y x x x x x x C ''=++=-++⎰ 321211sin 62y x x x C x C '=-+++ 432123111cos 2462y x x x C x C x C =+++++ 2．y y x '''=+解 设()y p x '=，则,y p '''= 代入方程得p p x '=+ 变形得(1)p p x '+-= （1）对应齐次方程的通解为d x x p Ce C e --⎰==令原方程的通解为()xp C x e =，将,p p '代入（1）整理得 ()()x x C x e x C x xe -''=⇒= 1()d d d x x x x x x C x xe x x e e x xe e xe C ------==-=-=--+⎰⎰⎰故（1）的通解为11()1x x x x p e xe C e x C e --=--+=--+即 11x y x C e '=--+ 故21212x y x x C e C =--++ 3．20yy y '''+=解 设()y p y '=，则d ,d p y p y''= 代入方程得 2d 0,d p y p p y += 即d d p y p y=-⎰⎰ 两端积分得1ln ln ln ,p y C =-+ 1py C =1y y C '= 即 1d d y y C x =⎰⎰ 故所求通解为2122y C x C =+ 4．21y y '''=+解 设()y p x '=，则21,p p '=+ 即21d d 1p x p =+⎰⎰ 两端积分得1arctan ,p x C =+ 1tan()p x C =+1tan()y x C '=+ 112tan()d ln cos()y x C x x C C =+=-++⎰ 故所求通解为12ln cos()y x C C =-++5．20020,0,1x x y y y y ==''''-===-解 设()y p x '=，则220,p p '-= 即21d 2d p x p =⎰⎰ 两端积分得112,x C p-=+ 112,x C y -=+'又 01x y ='=-，11C ∴= 121x y -=+'，即1d d 21y x x =-+⎰⎰ 故所求通解为21ln 212y x C =-++ 又00x y ==，故20C = 故所求特通解为1ln 212y x =-+。