第七章常微分方程自测题(答案)
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dx ；
A
y是(
(B)
一阶线性非齐次方程； 可分离变量方程.
x
(—)的表达式为(
y
(A)齐次方程；
(C)一阶线性齐次方程；
x
是微分方程y
lnx
2
与；(B)
x
0,y(1)
y
22c
y =2 ；
3、已知y
(A)
4、
dy
2
x
(A)x
(C)x3y3=1 ；
5、方程y二sin
(A) y= cosx
2
笃；(C)x
4
2x
i sin 2x)=
xe2x(i cos2x sin 2x),
其虚部即为所求原方程的特解
yp
2 x
xe cos2x.
因此原方程通解为
ye2x(C1cosx C2Sinx)
12x
—xe cos2x.
4
四、
2
1. xydy dx y dx ydy满足条件y
x 0
解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有
3、
x3y
方程中不显含未知函数y，令y
，代入原方程，得x’gr x2p1，
dxdx
dP
dx
公式，所以
1p
x
丄，这是关于未知函数P(x)的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解
x
P(x)
-dx
x
In x .
=e (
由此
dx
丄
2
x
1
~2
x
1-dx
(—exdx C1)
x
1lnx』c、_1/
-^e dx C1)—( xx
dy
(y1)2
dx，积分得珀
x C2，再由y|x12，求得
C20，
于是当P0时,
8求方程
yy (y )2=0的通解时,可令(B ).
(A)
P,则y P ；
(B)
P,则y
(C)
dP
P,则丫=P—；
dx
的函
(D)
P,则y
cdP
=P〒；
dy
dP
二P——.
dy
设线性无关
P(x)y'q(x)y
).
y3都是二阶非齐次线性方程
f(x)的解，C1,C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是
y1,
y2.
(A)
y G y1C2y2
y3；
(B)
y C』C2y2(C1C2)y3；
(C)y
10、方程
(A)y
(C)y
C1y1C2y2(1 C1C2)y3;(D)
y 3y 2y xex的一个特解形式是
(ax b)ex;(B)
(ax b)exx ;(D)
y C1y1
(C
xae x
x
ae.
C2y2(1 Ci
C2)y3.
B ).
(B)
(D)
12
(B) y=sin x -C1xC2x
y=2sin 2x.
C3；
C1sinx C2COSX+C3；
sin X C1.
P(x)y Q(x)y 0的两个特解,则
若y和y2是二阶齐次线性方程
yCyC2y2(其中GG为任意常数)(B ).
(A)是该方程的通解；(B)是该方程的解；
(C)不是该方程的解；(D)不一定是该方程的解.
为了求原方程y 4y 8y e2xsin2x的一个特解，先求y
r2
4r 80，特征根
r1,2
2i.于是所对
4y
8y
e(22“x()
A(2 2i)xy Axe
(4 4i)A
比较同类项系数,
，代入原方程，化简得
8iAx 4[A(22i)Ax]
1
4i
4Ai1,A
8Ax1,
i
)的特解为
所以，方程
y-xe2x(cos2x
x
C11II
」)dx=— C11n|x C2,xx
1
—3
x
11
xdx C1)=一(一C1)=
x x
1
~2
x
Cl
x
因此，原方程的通解为y=」C1l n|x C2
x
(C1,C2为任意常数)
4、y 4y 8ye2xsin 2x.
解对应的齐次微分方程的特征方程 应的齐次微分方程通解为
yce2x(C1cos2x C2sin 2x).
).
、求下列一阶微分方程的通解：
1、xy
In x
y ax(ln
x 1)；
(y2
ax
In
3、(1
x
2e')dx
x
x
2』(1
6x)巴dx
2
y
2
2y 0.;
3
cy;
x
2yey
c.
-)dy y
三、求下列高阶微分方程的通解
y y x；
C1ex1x2x C2:
2
x2y 1；
1、
2y
0.
C2e
X c c 2x
C3e
y21
C(x1)2中的C可
代入初始条件y|x02得C3，所以特解为y21
1)2.
2.
1)满足初始条件
解方程不显含x，
yx 12，y
dP
P——，则方程可化为
dy
1的特解.
2p2
dP
Pyy 1)，
0时dP
P
根据
—dy，于是
y 1
y|X12，y|x 11，知y
C1(y1)2.
21代入上式，
得C1
1，从而得到
1、
(A)
(C)
2、
第七章
选百度文库题：
一阶线性非齐次微分方程
P (x)dxP(x)dx
y e [ Q(x)e dx
P (x)dx
dx
y P(x)y+Q(x)的通解是(C).
C］；
(B)y=e
P(x)dx
y=e ［ Q(x)e
方程xy =~y
C］；
(D)
y=ce
P(x) dx
Q(x)e
P(x)dx
P(x)dx
(D)
x
(―)的解，则
y
2
x~2；y
2的特解是(B).
(B)x3
3
Zf、x
(D)1 x的通解是(A ).
3
y
3
y
3
1.
(D)
2
x
~~2.
y
—C1x C2X
21 2
C1；
y =0的通解是(
C3；
(C)y= cosx
6、方程y
(A)y sin x cosx+G ；
(C)y sin x cosx+G ；
(D)
两边积分,
1
——dx，
1
求积分得
丄In
2
(x 1)2e
C 0,得方程的解
C 0时，y1，它们也是原方程的解，因此，式
(C为任意常数)
3(x
y21
In^x
C1，
2 2C12
c ，y
l^ y21 In(X 1)2
2C1z八2
e (x 1)，
2 2y21 C(x 1)2.
2Ci，
y21
记e2C1
可以验证
以为任意常数，所以原方程的通解为y21C(x1)2
A
y是(
(B)
一阶线性非齐次方程； 可分离变量方程.
x
(—)的表达式为(
y
(A)齐次方程；
(C)一阶线性齐次方程；
x
是微分方程y
lnx
2
与；(B)
x
0,y(1)
y
22c
y =2 ；
3、已知y
(A)
4、
dy
2
x
(A)x
(C)x3y3=1 ；
5、方程y二sin
(A) y= cosx
2
笃；(C)x
4
2x
i sin 2x)=
xe2x(i cos2x sin 2x),
其虚部即为所求原方程的特解
yp
2 x
xe cos2x.
因此原方程通解为
ye2x(C1cosx C2Sinx)
12x
—xe cos2x.
4
四、
2
1. xydy dx y dx ydy满足条件y
x 0
解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有
3、
x3y
方程中不显含未知函数y，令y
，代入原方程，得x’gr x2p1，
dxdx
dP
dx
公式，所以
1p
x
丄，这是关于未知函数P(x)的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解
x
P(x)
-dx
x
In x .
=e (
由此
dx
丄
2
x
1
~2
x
1-dx
(—exdx C1)
x
1lnx』c、_1/
-^e dx C1)—( xx
dy
(y1)2
dx，积分得珀
x C2，再由y|x12，求得
C20，
于是当P0时,
8求方程
yy (y )2=0的通解时,可令(B ).
(A)
P,则y P ；
(B)
P,则y
(C)
dP
P,则丫=P—；
dx
的函
(D)
P,则y
cdP
=P〒；
dy
dP
二P——.
dy
设线性无关
P(x)y'q(x)y
).
y3都是二阶非齐次线性方程
f(x)的解，C1,C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是
y1,
y2.
(A)
y G y1C2y2
y3；
(B)
y C』C2y2(C1C2)y3；
(C)y
10、方程
(A)y
(C)y
C1y1C2y2(1 C1C2)y3;(D)
y 3y 2y xex的一个特解形式是
(ax b)ex;(B)
(ax b)exx ;(D)
y C1y1
(C
xae x
x
ae.
C2y2(1 Ci
C2)y3.
B ).
(B)
(D)
12
(B) y=sin x -C1xC2x
y=2sin 2x.
C3；
C1sinx C2COSX+C3；
sin X C1.
P(x)y Q(x)y 0的两个特解,则
若y和y2是二阶齐次线性方程
yCyC2y2(其中GG为任意常数)(B ).
(A)是该方程的通解；(B)是该方程的解；
(C)不是该方程的解；(D)不一定是该方程的解.
为了求原方程y 4y 8y e2xsin2x的一个特解，先求y
r2
4r 80，特征根
r1,2
2i.于是所对
4y
8y
e(22“x()
A(2 2i)xy Axe
(4 4i)A
比较同类项系数,
，代入原方程，化简得
8iAx 4[A(22i)Ax]
1
4i
4Ai1,A
8Ax1,
i
)的特解为
所以，方程
y-xe2x(cos2x
x
C11II
」)dx=— C11n|x C2,xx
1
—3
x
11
xdx C1)=一(一C1)=
x x
1
~2
x
Cl
x
因此，原方程的通解为y=」C1l n|x C2
x
(C1,C2为任意常数)
4、y 4y 8ye2xsin 2x.
解对应的齐次微分方程的特征方程 应的齐次微分方程通解为
yce2x(C1cos2x C2sin 2x).
).
、求下列一阶微分方程的通解：
1、xy
In x
y ax(ln
x 1)；
(y2
ax
In
3、(1
x
2e')dx
x
x
2』(1
6x)巴dx
2
y
2
2y 0.;
3
cy;
x
2yey
c.
-)dy y
三、求下列高阶微分方程的通解
y y x；
C1ex1x2x C2:
2
x2y 1；
1、
2y
0.
C2e
X c c 2x
C3e
y21
C(x1)2中的C可
代入初始条件y|x02得C3，所以特解为y21
1)2.
2.
1)满足初始条件
解方程不显含x，
yx 12，y
dP
P——，则方程可化为
dy
1的特解.
2p2
dP
Pyy 1)，
0时dP
P
根据
—dy，于是
y 1
y|X12，y|x 11，知y
C1(y1)2.
21代入上式，
得C1
1，从而得到
1、
(A)
(C)
2、
第七章
选百度文库题：
一阶线性非齐次微分方程
P (x)dxP(x)dx
y e [ Q(x)e dx
P (x)dx
dx
y P(x)y+Q(x)的通解是(C).
C］；
(B)y=e
P(x)dx
y=e ［ Q(x)e
方程xy =~y
C］；
(D)
y=ce
P(x) dx
Q(x)e
P(x)dx
P(x)dx
(D)
x
(―)的解，则
y
2
x~2；y
2的特解是(B).
(B)x3
3
Zf、x
(D)1 x的通解是(A ).
3
y
3
y
3
1.
(D)
2
x
~~2.
y
—C1x C2X
21 2
C1；
y =0的通解是(
C3；
(C)y= cosx
6、方程y
(A)y sin x cosx+G ；
(C)y sin x cosx+G ；
(D)
两边积分,
1
——dx，
1
求积分得
丄In
2
(x 1)2e
C 0,得方程的解
C 0时，y1，它们也是原方程的解，因此，式
(C为任意常数)
3(x
y21
In^x
C1，
2 2C12
c ，y
l^ y21 In(X 1)2
2C1z八2
e (x 1)，
2 2y21 C(x 1)2.
2Ci，
y21
记e2C1
可以验证
以为任意常数，所以原方程的通解为y21C(x1)2