《不等式证明(2)

《不等式证明(2)
《不等式证明(2)

《不等式证明(2)

《不等式证明(2)-综合法》说课

《不等式的证明(2)——综合法》说课一、本节课在本章中的地位综合法是不等式证明的一种方法,这种方法是:根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。综合法.从已知(已经成立)的不等式或定理出发,逐步推出(由因导果)所证的不等式成立.例如要证,我们从,得,移项得.综合法的证明过程表现为一连串的“因为……所以……”,可用一连串的“”来代替.综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一必须掌握的方法——分析法的思考过程的逆推,而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程。实际上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中,我们已经运用了综合法,但当时只是没有提出或采用这个名字而已。本节课是不等式的证明的每第二节课,由于立方不等式已移至阅读材料当中,故例题只有一个,是运用平方不等式来作为基础工具。二、本节课的教学重、难点本节课的教学重点是运用综合法证明不等式。教学难点是如何正确运用综合法证明不等式。用综合法证明不等式的逻辑关系是:(已知)——(逐步推演不等式成立的必要条件)(——结论)即由此可见,综合法是“由因导果”,即由已知条件出发,推导出所要证明的不等式成立。难点突破方法:由于综合法不象比较法,它必须从某个不等式的性质和已经证明过的不等式出发,运用不等式的性质进行一系列的恒等变形,直到得出结论。因此要求学生对所学习的不等式的5个定理,4个推论和不等式平方不等式和均值定理必须熟悉,在进行教学时,首先要与学生一起回顾前面所学不等式性质、定理,并板书在黑板上,便于学生直接运用,从而节约学习时间;其次,用综合法进行不等式的证明时,通常要观察所证的不等式的结构,找出它与前面所学不等式性质、定理在结构上的某些相似之处,所以又要注意引导学生学会从结构上进行观察,大胆猜测,小心求证,并以此为契机,复习掌握前面所学不等式性质、定理。三、教学过程设计①复习不等式的性质、平方不等式[如果]、均值定理[如果a,b是正数,那么]、比较法证明不等式的步骤。(说明复习两个不等式是为了例1的解决)②提出问题:例1已知a,b,c是不全相等的正数,求证:让学生思考,本题如何证明?用比较法?(提出问题让学生感知比较

法进行证明时,作差后的变形是难点,有没有其他更快的证明方法?当学生难于判断差与0的关系时,认识到学习新方法的必要性,从而激发学生的求知欲。)出示本节课课题“不等式的证明(2)——综合法”③引导学生观察所要证明的不等式的结构,思维来自观察,培养学生的观察能力,而这正是综合法的要点,由结构大胆猜测。引导学生:从所要证的不等式的左边看,有三个单元结构,发现都有平方不等式的左边一样的结构,但右边系数是6,且为三个字母之积,又如何变出来?能否试试给出证明?让学生通过自己运用所学知识,尝试,在尝试中学会知识,实践出真知。④引导学生通过证明,总结这种方法与差比法证明不等式的区别在哪里?证明:∵≥2bc,a>0,∴≥2abc①同理≥2abc②≥2abc③因为a,b,c不全相等,所以≥2bc,≥2ca,≥2ab三式不能全取“=”号,从而①、②、③三式也不能全取“=”号∴注意:A、对于“①、②、③三式也不能全取“=”号”一定要给出,否则结论应为;B、要提问学生“a,b,c是的正数”的含义。这是一个重要的条件,“不全相等”与“全不相等”不一样,如全(都)不相等,则三个不等式中都没有“=”号。C、本题的关键在哪里?从已知(已经成立)的不等式或定理出发,逐步推出(由因导果)所证的不等式成立。用综合法证明不等式的逻辑关系是:(已知)——(逐步推演不等式成立的必要条件)(——结论)即由此可见,综合法是“由因导果”,即由已知条件出发,推导出所要证明的不等式成立。⑤课堂练习。“学而时习之,不亦乐乎”,通过再一次实践,完成课本练习,在证明时,提醒学生首先要观察不等式的结构,选择出发点,一步一步向目标靠近。抽学生到黑板上板演,通过学生的解答发现问题,总结经验。⑥补充例题。由于课本上例题以及练习都比较单一,用简单的综合法即可得到,但在不等式的证明中,有时要综合运用几种方法才可证明,而不是只用单一的方法。因此补充是必要的。例2已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:分析:本题所要证明的不等式的结构与例1不一样,右边也看不到平方不等式的相同结构之处。可以先考虑作差;如何判断,差的结果与0的关系?注意“a,b,c成等比数列”可以得出什么信息?。证明:左-右=(需证明差与0的关系)∵a,b,c成等比数列,∴(说明:,关键要证明)又∵a,b,c都是正数,所以≤(又用到成等比数列和均值定理的变形)∴∴∴反思:此题在证明过程中运用了差比法、基本不等式、等比中项性质,体现了综合法证明不等式的特点,还告

诉我们在证明不等式时,并不一定只用到一种单一的方法,而是要采用所学知识,将理由说明清楚。⑦课堂小结:通过本节学习,要求熟练掌握并应用已学的重要不等式及不等式性质推出所证不等式成立,进而掌握综合法证明不等式。⑧课外作业:教学中的注意点:启发、引导学生观察、让学生多动手、动脑;先做后说,学习总结经验,上升理论,升华思维。(第课时)§6.3.2不等式的证明(2)教学时间:月日教学目的:1掌握综合法证明不等式;2熟练掌握已学的重要不等式;3增强学生的逻辑推理能力教学重点:综合法教学难点:不等式性质的综合运用授课类型:新授课教学过程:A、复习引入:1.重要不等式:如果2.定理:如果a,b是正数,那么3公式的等价变形:ab≤,ab≤()24.≥2(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号;5.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与1的关系——结论B、讲解新课:1.综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法2.用综合法证明不等式的逻辑关系是:3.综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法C、讲解范例:例1已知a,b,c是不全相等的正数,求证:分析:由左边每个括号内容联想平方不等式,从基础不等式出发,通过推理得到所要证的不等式,这就是综合法的特征。证明:∵≥2bc,a>0,∴≥2abc①同理≥2abc②≥2abc③因为a,b,c不全相等,所以≥2bc,≥2ca,≥2ab三式不能全取“=”号,从而①、②、③三式也不能全取“=”号∴例2已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:证明:左-右=∵a,b,c成等比数列,∴又∵a,b,c都是正数,所以≤∴∴∴说明:此题在证明过程中运用了差比法、基本不等式、等比中项性质,体现了综合法证明不等式的特点D、课堂练习:1.设a,b,c R,1°求证:2°求证:3°若a+b=1,求证:证:1°∵∴∴2°同理:,三式相加:3°由幂平均不等式:∴2.a,b,c R,求证:1°2°3°证:1°法一:,,两式相乘即得法二:左边≥3+2+2+2=92°∵两式相乘即得3°由上题:∴即E、小结:通过本节学习,要求熟练掌握并应用已学的重要不等式及不等式性质推出所证不等式成立,进而掌握综合法证明不等式F、课后作业:G、板书设计

H、课后记:

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新????

证明不等式的种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛,还是其它类型的考试里,出现频率都是比较高,证明难度也是比较大的.因此,有必要总结证明不等式的基本方法,为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明,其证明方法基本并兼顾巧妙. 1.排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序,有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥,且1a b c ++=,求证: ()22229 1. a b c abc +++≥2.增量方法 在变量之间增设一个增量,通过增量换元的方法,便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈,试证:2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3.齐次化法 利用题设条件,或者其它变形手段,把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=,求证: 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4.切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线,利用切线段代替曲线段,来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=,求证: 323235 x y +≤++.. 5.调整方法 局部固定,逐步调整,探究多元最值,便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数,且1a b c ++=,求证:13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6.抽屉原理

在桌上有3个苹果,要把这3个苹果放到2个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象,就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理,证明某些不等式,能起到比较神奇的效果. 例6(《数学通报》2010年9期1872题)证明:在任意13个实数中,一定能找到两个实数,x y ,使得0.3.10.3x y x ->+7.坐标方法 构造点坐标,应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、,a 、b 不全为零,求证: ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8.复数方法 构造复数,应用复数模的性质,可以快速证明一些无理不等式. 例8(数学问题1613,2006,5)设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证:9.向量方法 构造向量,把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证: 4 ≤. 10.放缩方法 不等式的证明,关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中,首项132 a = ,且对任意*1,n n N >∈,均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<

第20炼 一元不等式的证明

第20炼 一元不等式的证明 利用函数性质与最值证明一元不等式是导数综合题常涉及的一类问题,考察学生构造函数选择函数的能力,体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式。此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助,处于承上启下的位置。 一、基础知识: 1、证明方法的理论基础 (1)若要证()f x C <(C 为常数)恒成立,则只需证明:()max f x C <,进而将不等式的证明转化为求函数的最值 (2)已知()(),f x g x 的公共定义域为D ,若()()min max f x g x >,则()(),x D f x g x ?∈> 证明:对任意的1x D ∈,有()()()()11min max ,f x f x g x g x ≥≤ ∴由不等式的传递性可得:()()()()11min max f x f x g x g x ≥>>,即()(),x D f x g x ?∈> 2、证明一元不等式主要的方法有两个: 第一个方法是将含x 的项或所有项均挪至不等号的一侧,将一侧的解析式构造为函数,通过分析函数的单调性得到最值,从而进行证明,其优点在于目的明确,构造方法简单,但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性 第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形,转化成为()()f x g x >的形式,若能证明()()min max f x g x >,即可得:()()f x g x >,本方法的优点在于对x 的项进行分割变形,可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式。但缺点是局限性较强,如果 ()min f x 与()max g x 不满足()()min max f x g x >,则无法证明()()f x g x >。所以用此类方 法解题的情况不多,但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法。 3、在构造函数时把握一个原则:以能够分析导函数的符号为准则。 4、若在证明()0f x >中,解析式()f x 可分解为几个因式的乘积,则可对每个因式的符号进行讨论,进而简化所构造函数的复杂度。 5、合理的利用换元简化所分析的解析式。 6、判断解析式符号的方法: (1)对解析式进行因式分解,将复杂的式子拆分为一个个简单的式子,判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号

基本不等式的证明

重要不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)和a3+b3+c3≥3abc(a、b、c∈R+,当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论,并能应用它们证明一些不等式. (2)通过对定理及其推论的证明与应用,培养学生运用综合法进行推理的能力. 教学过程 一、引入新课 师:上节课我们学过证明不等式的哪一种方法?它的理论依据是什么? 生:求差比较法,即 师:由于不等式复杂多样,仅有比较法是不够的.我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法. 如果a、b∈R,那么(a-b)2属于什么数集?为什么? 生:当a≠b时,(a-b)2>0,当a=b时,(a-b)2=0,所以(a-b)2≥0.即(a-b)2∈ R+∪{0}. 师:下面我们根据(a-b)2∈R+∪{0}这一性质,来推导一些重要的不等式,同时学习一些证明不等式的方法.

二、推导公式 1.奠基 师:如果a、b∈R,那么有 (a-b)2≥0. ①把①左边展开,得 a2-2ab+b2≥0, ∴a2+b2≥2ab. ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍.这就是课本中介绍的定理1,它是一个很重要的绝对不等式,对任何两实数a、b 都成立.由于取“=”号这种特殊情况,在以后有广泛的应用,因此通常要指出“=”号成立的充要条件.②式中取等号的充要条件是什么呢? 师:充要条件通常用“当且仅当”来表达.“当”表示条件是充分的,“仅当”表示条件是必要的.所以②式可表述为:如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号). 以公式①为基础,运用不等式的性质推导公式②,这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法.以公式②为基础,用综合法可以推出更多的不等式.现在让我们共同来探索. 2.探索 师:公式②反映了两个实数平方和的性质,下面我们研究两个以上的实数的平方和,探索可能得到的结果.先考查三个实数.设a、b、c∈R,依次对其中的两个运用公式②,有 a2+b2≥2ab;

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

证明基本不等式的方法

2.2 证明不等式的基本方法——分析法与综合法 ●教学目标:1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点. 2、理解综合法与分析法的实质,熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤. ●教学重点:综合法与分析法证明不等式的方法与步骤 ●教学难点:综合法与分析法证明不等式基本原理的理 ●教学过程: 一、复习引入: 1、复习比较法证明不等式的依据和步骤? 2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法 二、讲授新课: 1、综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法。 用综合法证明不等式的逻辑关系是:例1、已知a,b,c是不全相等的正数,求证: . 分析:观察题目,不等式左边含有“a2+b2”的形式,我们可以创设运用基本不等式:a2+b2≥2ab;还可以这样思考:不等式左边出现有三次因式:a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”,右边有三正数a,b,c的“积”,我们可以创设运用重要不等式:a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生,完成证明) 解:∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4,得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③ 因为a,b,c为不全相等的正数,所以以上三式不能全取“=”号,从而①,②,③三式也不能全取“=”号. 由不等式的性质定理3的推论,①,②,③三式相加得:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 点评:(1)综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想,浮想联翩,思潮如涌。 (2)在利用综合法进行不等式证明时,要善于直接运用或创设条件运用基本不等式,其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧. 变式训练:已知a,b,c是不全相等的正数,求证:例2、已知且,求证:分析:观察要证明的结论,左边是个因式的乘积,右边是2的次方,再结合,发现如果能将左边转化为的乘积,问题就能得到解决。 2、分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法这是一种执果索因的思考和证明方法。 ①用分析法证明不等式的逻辑关系是:②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,这只需要证明命题B1为真,从而有……这只需要证明命题B2为真,从而又有……这只需要证明命题A为真,而已知A为真,故B必真。 例3.求证:分析:观察结构特点,可以利用分析法。 点评:①分析法的思维特点是:执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! ②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,常用分析法. ③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 :求证:221a b a b ab ++≥+- 分析:比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法,此题用作差法较为简便。 证明:221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注:1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选 用。 例2:设c b a >>,求证:b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析:从不等式两边形式看,作差后可进行因式分解。 证明:)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ,则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注:三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式: =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-,这样容易发现规律。 例3 :已知,,a b R +∈求证:11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明:11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

2020学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1_1_2一元一次不等式和一元二次不

1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法 [读教材·填要点] 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系 1.“若ax 2+bx +c <0(a ≠0)的解集是空集,则a 、b 、c 满足的关系是b 2-4ac <0且a >0”是否正确? 提示:当Δ=0时,易知ax 2+bx +c <0(a >0)的解集也是?,从而满足的条件应为“a >0且b 2-4ac ≤0”. 2.当a <0时,若方程ax 2+bx +c =0有两个不等实根α,β且α<β,则不等式ax 2+bx +c >0的解集是什么? 提示:借助函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象可知,不等式的解集为{x |α

A .{x |10,a <0讨论. [精解详析] 若a =0,原不等式可化为-x +1<0, 即x >1. 若a <0,原不等式可化为? ?? ??x -1a (x -1)>0, 即x <1a 或x >1.

经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质: ①、对称性: 传递性:_________ ②、 ,a+c >b+c ③、a >b , , 那么ac >bc ; a >b , ,那么ac <bc ④、a >b >0, 那么,ac >bd ⑤、a>b>0,那么a n >b n .(条件 ) ⑥、 a >b >0 那么 (条件 ) 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2(基本不等式) 如果a ,b>0,那么 当且仅当a=b 时,等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论:已知x, y 都是正数。(1)如果积xy 是定值p ,那么当x=y 时,和x+y 有最小值 ; (2)如果和x+y 是定值s ,那么当x=y 时,积xy 有最大值 小结:理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意利用基本不等式求最值时, 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离: a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0> d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2 a b +≥2 1 4 s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果,那么当且仅当时,等号成立。 即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形:对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均,即: 当且仅当a 时,等号成立。

不等式的证明方法习题精选精讲

不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质,由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的,对此,不仅要掌握性质的内容,还要掌握性质的证明方法,理解掌握性质成立的条件,把握性质之间的关联。只有理解好,才能牢固记忆及正确运用。 1.不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题,要注意不等式成立的条件,否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式,要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1:若0< B .a b a 11>- C .||||b a > D .22b a > 解:∵0<->-b a 。 由b a -< -11,b a 11>,∴(A )成立。 由0<< b a ,||||b a >,∴(C )成立。 由0>->-b a ,2 2 )()(b a ->-,2 2b a >,∴(D )成立。 ∵0<->-a b a , )(11b a a --<-,b a a ->11,∴(B )不成立。 故应选B 。 例2:判断下列命题是否正确,并说明理由。 (1)若0<c ,在2 2c b c a >两边同乘以2 c ,不等式方向不变。∴b a >。 (3)错误。b a b a 1 1,成立条件是0>ab 。 (4)错误。b a >,bd ac d c >?>,当a ,b ,c ,d 均为正数时成立。 2.不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3:下列不等式中不等价的是( ) (1)2232 >-+x x 与0432 >-+x x (2)13 8112++ >++ x x x 与82>x (3)35 7354-+>-+x x x 与74>x (4) 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A .(2) B .(3) C .(4) D .(2)(3) 解:(1)0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 (2)482>?>x x ,44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。

三角形的证明一元一次不等式

第1讲:特殊三角形的性质与判定 一、知识回顾: 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等边对等角 等角对等边等边三角形的性质与判定 (1 )等边三角形的每个内角都等于60°。 (2) 3个内角都相等的三角形是等边三角形。 如果一个等腰三角形中有一个角等于60°,那么这个三角形是等边三角形。 直角三角形的性质与判定 直角三角形两锐角互余 有两个内角互余的三角形是直角三角形 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。直角 (简写为“ H L” 三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半勾股定理 勾股定理逆定理四、典型例题分析: 1、已知:如图/ EAC是△ ABC的外角,AD平分/ EAC且AD// BC 求证:AB= AC D 2、在上图中,如果AB= AC, AD// BC,那么AD平分/ EAC吗?如果结论成立,你能证明这个结论吗? 3:A ABC 中AD丄BC 于D , AB=3, BD=2, DC=1,贝U AC 等于

4:A ABC 中,BD 丄AC 与 D , AB=6,AD=4,BC=5,DC= 5,^ABC 中,/ C=90°, AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC=8, AD=5,贝U AC 等于 第五题图 &△ ABC 中,AB=AC=10, BD 丄 AC 于 D , CD=2,贝 U BC 等于 达标训练 1、 如果等腰三角形的周长为 2、 如果等腰三角形有两边长 为 3、 如果等腰三角形有一个角 等于 4、 如果等腰三角形有一个角等于 5、 在^ ABC 中,/ A = 40°,当/ B 等于多少度数时,△ ABC 是等腰三角形? 6、如图,△ ABC 中,AB= AC,角平分线 BD CE 相交于点 0, 求证: 0B= 0C 7、如图,在△ ABC 中,/ B =/ C = 36°,/ ADE ^/ AED= 2/ B ,由这些条件你能得到哪些 结论?请证明你的结论。 12, 一边长为5,那么另两边长分别为. 2和5,那么周长为 ______ 50°,那么另两个角为_ 120 °,那么另两个角为.

浅谈不等式的证明

浅谈不等式的证明 不等式问题是高中数学的重要内容之一,考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面,同时,不等式也是高中数学的基础,因此,在每年的数学高考题中,有关不等式的相关题目占有一定的比例,命题主要涉及解不等式、不等式的证明、不等式的应用这三方面,现将不等式的证明进行研究。 证明不等式有利于提高学生的分析与综合能力,证明不等式没有固定的程序,一个不等式的证法往往不止一种,证明过程往往是几种方法的综合运用,但无论是哪种方法,都离不开不等式的基本性质,另外在教材中提到了平均值不等式、排序不等式、三角不等式,如果能熟记并能运用的话,在证明不等式的过程中会有很大的帮助。下面将详细列举证明不等式的方法。 一、比较法 比较法是证明不等式的一种最基本也是最重要的方法,主要有作差比较和作商比较两种形式。 (1)作差比较法的步骤一般为:①作差式②差式变形③判断差式的正负④下结论;在这些步骤中,最难的就是差式变形,常用到的有配方法、通分法、因式分解法等等。 (2)作商比较法的步骤为:①作商式②商式变形③判断商式的值是大于1、小于1还是等于1④下结论。 (3)当不等式两边为多项式、分式或对数形式时,往往选择作差法;当不等式两边为指数时,常采用作商法。下面将列举例子进行

分析,以进一步加深对比较法的认识。 例1 若40πβα< <<,则ββααcos sin cos sin +<+ 证明 β βααβαβαβαβαβαβαπβαβαππβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ βααcos sin cos sin 02 sin 2cos 2sin 22 sin 222cos ,02sin 420,02840)2 sin 2(cos 2sin 22 cos 2sin 22sin 2cos 2) cos (cos )sin (sin cos sin cos sin +<+<+-+-+>>+<-<+<<-<-<<<+-+-=-+--+=-+-=+-+即)(所以得于是有,所以因为 二、放缩法 放缩法是证明不等式所特有的方法,把要证的不等式中的一部分量进行放大或缩小,形成新的不等式,而这个新的不等式必须是比原不等式更容易证明的,同时,由新的不等式成立可以推出原不等式成立。另外,放缩目标必须明确,从实际出发,从原不等式过渡到新的不等式是证明的关键。下面就实际例子进行分析。 例2 若,求证:且3,0,,≥++>zx yz xy z y x

一个不等式的七种证明方法

一个不等式的七种证明方法 证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目:已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法 证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立. (2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2 因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二: (a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 =(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2)

=(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd . 故命题得证. 分析三:用比较法 证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0, ∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法 证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |, 可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法 证法五:不妨设???==???==ββ ααsin cos ,sin cos 2 211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量). 则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos (α-β) 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+?+ 及r 1r cos (α-β)≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法

4 基本不等式的证明(1)

4、基本不等式的证明(1) 目标: (,0)2 a b a b +≥的证明过程,并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程: 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计) ,那么a 并非物体的实际质量。不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上,此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢? 把两次称得的物体的质量“平均”一下,以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗? 设天平的两臂长分别为12,l l ,物体实际质量为M ,据力学原理有1221,l M l a l M l b == ,有2,M ab M == ,0a b >时,2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般,判断两数的大小可采用“比较法”: 02a b +-=≥ 2 a b +≤(当且仅当a b =时取等号) 说明:当0a =或0b =时,以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥(称之“基本不等式” )当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释: 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数,证明:1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意:基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???

例2 证明: 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=,求证:123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1,2,3

一个不等式的简洁证明

k AB i >k A C ,即 m ax i +b -m b (ax i +b )-b >m ac +b -m b (ac +b )-b , 整理得 m ax i +b > m b + x i c (m ac +b -m b ), ∴∑n i=1 m ax i +b >  ∑n i=1[m b + x i c (m ac +b -m b )] =n m b +m a c +b c ∑n i=1x i -m b c ∑n i=1 x i =n m b + m ac +b -m b (∵∑n i=1 x i =c ) =(n -1) m b +m ac +b . ∴∑n i=1m ax i +b >(n -1) m b + m ac +b . 很明显,(1)、(2)、(3)式都是上式的特 例. 参考文献 1 李康海.引入参数证明不等式.中学数学,1999, 8. 2 马林、王艳萍.根式和下界不等式的一种新证法. 河北理科教学研究,1999,4. 一个不等式的简洁证明 段志强 (云南省大理宾川三中 671600) 文[1]在引言中谈到:在江苏省吴县市召开的1999年全国不等式研究学术会议上,中科院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件Bo t te m a 给出以下不等式的一个“机器证明”: 设a ,b ,c 都是正数,则a b +c + b c +a + c a +b >2.文[]中通过构造长方体给出了一个证明,但证明还是较繁事实上,利用二元均值不等式就可以给出一个简洁的证明证明 ∵ a b + c ≤ a + b +c 2 , ∴ a b +c = a a b +c ≥ a a + b +c 2 = 2a a + b +c ,同理可得 b c +a ≥2b a +b +c , c a + b ≥2c a + b +c .注意到以上三式等号不同时成立,故a b +c +b c +a +c a +b >2. 参考文献 1 杨晓晖、刘建军.长方体中的若干性质及应用.中 学数学月刊,2000,5. 解数列问题的一种技巧 李枝团 (重庆市第36中学 400024)解决数列问题时,等差数列往往以首项与公差奠基,等比数列则以首项与公比搭桥.据此虽然能按条件得结果,但某些问题按此处理则较繁,甚至无法获解.本文介绍一种非常规方法.以得到更简单的解法. 例1 已知一个各项均为实数的等比数列的前四项之积为81,第二项与第三项之和为10,求此等比数列的公比. (选自《数学通报》1998年第9期第22~24页例4) 分析 原解设等比数列前四项分别为 a ,a q ,a q 2 ,aq 3 ,得关于a ,q 的“二元十次”方 程组,解法相当复杂.根据题设,可以第二、三项的特点作过渡,于是可获得理想的解答. 解 设此数列的第二、三项分别是x ,y ,则由条件得: x +y =10, (x y )=, (根据等比数列性质)故有 x +y =,xy =或 x +y =,xy =, 24 中学数学月刊 2000年第11期 1.. 2 81109 10-9