高中数学3.1《数系的扩充》素材3苏教版选修1-2

数系的扩充与复数的引入复习指导
『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．
『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法． 『复习过程指导』
在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．
在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：
1数学思想方法之一：类比法 （1）复数的运算
复数代数形式的加法、减法运算法则
()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+± 复数代数形式的乘法运算运算法则：
()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++
显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便． （2）复数的几何意义
我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有： 复数集C ＝
{}|,a bi a b R +∈与坐标系中的点集{}(,)|,a b a R b R ∈∈一一对应．于是：
复数集z ＝a bi
+↔复平面内的点(,)Z a b
复数集z ＝a bi +↔平面向量OZ
例1（2005高考浙江4）．在复平面内，复数1i
i +＋(1＋3i)2对应的点
位于 ( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
解答：复数1i
i +＋(1＋3i)2
＝113
2i +++-
＝31
(22i
-++
因为复数31(22i -++
对应着直角坐标平面内的点31(,22-+，
故在第二象限，答案为B ．
此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．
例2．非零复数12,z z 分别对应复平面内向量,OA OB
，若1
2||z z +=12||z z -
则向量OA 与OB
的关系必有（ ）
A ．OA =O
B B ．OA OB
= C ．OA OB ⊥ D ．OAOB
，共线 解答： 由向量的加法及减法可知：
OC ＝ OA OB +
AB
＝ OB OA -
由复数加法以及减法的几何意义可知：
1
2||z z +对应OC
的模 1
2||z z -对应AB 的模 又因为
12||z z +=12||z z -，且非零复数12,z z 分别对应复平面内向量
,OA OB
所以四边形OACB 是正方形 因此
OA OB
= ，故答案选B ．
注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义 （3）复数的化简
虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”．
例３（2005高考天津卷理(2)）若复数i i
a 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的
值为
（A ）-2
(B)4 (C) -6 (D)6
图１
解答：由i i a 213++＝(3)(12)(12)(12)a i i i i +-+-＝226(32)12a a i
++-+
＝63255a a
i
+-+ 因为复数i i
a 213++是纯虚数
所以605a +=且3205a
-≠
解得6a =- 故答案选C ．
注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数(12)(12)i i -+＝５，一般地
（a bi +）（a b i -
）＝22
a b +
这也是一个复数与实数转化的过程，即63255a a i +-+是纯虚数可得：6
5a +=且3205a
-≠，
2．数学思想方法之二 转化法
我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．
基础知识：复数a bi +(0)
(0)(0)0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪
=⎧⎨
+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数（
例４（2005高考北京卷（9））若 1
2z a i =+, 234z i =-，且1
2z z 为纯虚数，则
实数a 的值为 ．
解答：12z z ＝222(2)(34)3434a i a i i i +++=-+＝38642525a a
i -++ 因为1
2z z 为纯虚数
所以38025a -=且64025a +≠．解得
8
3a =
例５．（2005高考，吉林、黑龙江、广西（５））设a 、b 、c 、d R ∈，若a bi
c di ++为
实数，则，
（A ）0bc ad +≠（B ）0bc ad -≠ （C ）0bc ad -=（D ）0bc ad +=
解答： 由2222
a bi ac bd bc ad
i c di c d c d ++-=++++ 因为 a bi
c di ++为实数，
所以其虚部22
0bc ad
c d -=+，即0bc ad -=
故答案选C ．
这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式． 类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算． 二．解题规律总结
１有关虚数单位i 的运算及拓展
虚数i 的乘方及其规律：1i i =，2i ＝－１，3i i =-，41i =，
5678,1,,1i i i i i i ==-=-=…4142434,1,,1n n n n i i i i i i +++==-=-=…（n N *∈）
拓展（1）任何相邻四个数的和为０；
（2）指数成等差的四个数的和为０； 例如：23
212123n n n n i
i i i --+++++＝０
（3）连续多个数相加的规律． 例6．求10
11
12
i i i +++ (2006)
i
的值
解答：共有2006－10＋１＝１997项 由于1997＝4⨯499＋1 由于连续4个的和等于0 因此原式＝10
i ＝－1 2．有关复数的几个常用化简式
22
(1)2,(1)2i i i i +=-=-，1i i =-，11,11i i
i i i i +-==--+
例7（2005高考重庆2）．20051()1i i +=
- （ ）
A ．i
B ．－i
C ．2005
2
D ．－2005
2
解答： 20052005
45011()()1i i i i i i +===-
故答案选A
3．有关复数的综合运算
例７（2005高考上海18）、（本题满分12分）在复数范围内解方程
i i
i z z z +-=
++23)(||2（i 为虚数单位）
解法一．设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-
由于
222||()2z z z i a b ai ++=++ 32i i -+＝22
(3)(2)
21i i --+＝1i -
所以2
2
2a b ai ++＝1i -
根据复数的相等得221
21
a b a ⎧+=⎨
=-⎩
解得
1,2a b =-=
因此，
12z =-即为所求． 解题评注：（1）设复数的代数形式（z =(,)a bi a b R +∈）以代入法解题的一
种基本而常用的方法；（2）复数的相等（a bi +＝c di +⇔,a c b d == (,,,a b c d R ∈）
是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；
三．高考命题趋势
从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．。