2014-2015年湖北省黄冈中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年湖北省黄冈中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）下列说法中正确的是（）A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平C．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x+9x3+5x5+3x6在当x=﹣1时的值时要用到6次加法和15次乘法D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半2．（5分）2014年索契冬季奥运会的花样滑冰项目上，8个评委为某选手打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（）A．84 B．85 C．86 D．87.53．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．35 B．25 C．15 D．74．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元6．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公共弦长为（）A．B．C．3 D．7．（5分）设，求a2+a4+…+a2n的值（）A．3n B．3n﹣2 C．D．8．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N 分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为．12．（5分）由数字0，1，2，3，4组成的没有重复数字且比2000大的四位数的个数为（用数字作答）．13．（5分）在（1+x2）（1﹣2x）6的展开式中，x5的系数为．14．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为．15．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若a n=2005，则n=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间[14，16）内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；（2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0．（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．18．（12分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求n；（2）求展开式中的所有有理项；（3）求C n1+9C n2+81C n3+…+9n﹣1C n n的值．19．（12分）阅读如图的程序框图，解答以下问题：（1）如果输入的N=3，那么输出的S为多少？（2）对于输入的任何正整数N，都有对应S输出．证明：S＜2．20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．21．（14分）如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．2014-2015学年湖北省黄冈中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）下列说法中正确的是（）A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平C．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x+9x3+5x5+3x6在当x=﹣1时的值时要用到6次加法和15次乘法D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半【解答】解：A选项，频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，故A正确；B选项，每个个体被抽到的概率相等，故B错误C选项，用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x+9x3+5x5+3x6在当x=﹣1时的值时要用到6次加法和6次乘法，故C错误；D选项，∵数据4，6，8，10分别是数据2，3，4，5的2倍，∴数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的，故D错误．故选：A．2．（5分）2014年索契冬季奥运会的花样滑冰项目上，8个评委为某选手打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（）A．84 B．85 C．86 D．87.5【解答】解：由茎叶图知，这些数据的中位数为：=86．故选：C．3．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．35 B．25 C．15 D．7【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为=15．故选：C．4．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．故选：D．5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．6．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公共弦长为（）A．B．C．3 D．【解答】解：圆O1的圆心为（1，0），半径r1=1，圆O2的圆心为（0，2），半径r2=2，故两圆的圆心距，大于半径之差而小于半径之和，故两圆相交．圆和圆两式相减得到相交弦所在直线方程x ﹣2y=0，圆心O1（1，0）到直线x﹣2y=0距离为，由垂径定理可得公共弦长为2=，故选：B．7．（5分）设，求a2+a4+…+a2n的值（）A．3n B．3n﹣2 C．D．【解答】解：令x=1，则（1+1+12）n=a0+a1+…+a2n①令x=﹣1，则（1﹣1+1）n=a0﹣a1+…+a2n②∴①+②得2（a0+a2+a4+…+a2n）=3n+1∴a0+a2+a4+…+a2n=令x=0，则a0=1，∴a2+a4+…+a2n=﹣1=故选：C．8．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一条直角边为1，斜边为b的直角三角形，∴另一条直角边是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，由勾股定理可知这条边是，∴几何体的体积是V=∵在侧面三角形上有a2﹣1+b2﹣1=6，∴V=，当且仅当侧面的三角形是一个等腰直角三角形，故选：D．10．（5分）如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N 分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]【解答】解：设M（cosα，sinα），∵，∴，∴N（﹣sinα，cosα），∴=（﹣sinα，cosα），=（cosα，sinα），∴=（cosα﹣2，sinα），∴=﹣sinα（cosα﹣2）+sinαcosα=2sinα，∵sinα∈[﹣1，1]，∴2si nα∈[﹣2，2]，∴•的取值范围是[﹣2，2]．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为（﹣2，3，5）．【解答】解：根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，可得点P（2，3，5）关于坐标平面yOz的对称点的坐标为：（﹣2，3，5）．故答案为：（﹣2，3，5）．12．（5分）由数字0，1，2，3，4组成的没有重复数字且比2000大的四位数的个数为72（用数字作答）．【解答】解：当最高位为2时，其余的三位数任意取有=24个，当最高位为3或4的有=48个，根据分类计数原理可得，一共有72个．故答案为：7213．（5分）在（1+x2）（1﹣2x）6的展开式中，x5的系数为﹣352．【解答】解：根据题意，（1﹣2x）6展开式的通项为T r=C6r•（﹣2x）r=（﹣1）r C6r•2r x r，+1则（1+x2）（1﹣2x）6的展开式中出现x5的项有两种情况，第一种情况（1+x2）中出1，而（1﹣2x）6展开式中出x5项，其系数为1×（﹣1）525=﹣192，5C6第二种情况（1+x2）中出x2项，而（1﹣2x）6展开式中出x3项，其系数为=﹣160，则（1+x2）（1﹣2x）6展开式中x5的系数为﹣192﹣160=﹣352；故答案为：﹣352．14．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为60．【解答】解：执行算法语句知程序的功能是求分段函数的值，其解析式为，故解得当y的值为31时，x的值为60．故答案为：60．15．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若a n=2005，则n=65．【解答】解：∵方程x1+x2+…+x i=m使x1≥1，x i≥0（i≥2）的整数解个数为．现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为且P（1）==1，P（2）==7，P（3）==28对于四位“吉祥数”，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，即个．∵2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”，∴2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即a n=2005，从而n=65．故答案为：65三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间[14，16）内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；（2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．【解答】解：（1）根据频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38=28人；（2）由频率分布直方图知，众数落在第三组[15，16）内，是；∵数据落在第一、二组的频率为1×0.04+1×0.08=0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率为1×0.04+1×0.08+1×0.38=0.6＞0.5，∴中位数一定落在第三组[15，16）中；设中位数是x，∴0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，解得中位数．17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0．（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．【解答】解：（1）设事件A为“方程x2﹣2ax+b2=0无实根”；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当△=4a2﹣4b2=4（a2﹣b2）＜0，即a＜b时，方程x2﹣2ax+b2=0无实根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所有的（a，b）共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中，第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含3个基本事件（0，1），（0，2），（1，2），由于每个基本事件发生的可能性都相同，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴事件A发生的概率P（A）==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）答：方程x2﹣2ax+b2=0没有实根的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）设事件B为“方程x2﹣2ax+b2=0无实根”；﹣﹣﹣﹣（8分）如图，试验的所有基本事件所构成的区域为矩形OABC：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其中构成事件B的区域为三角形OEC，即{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a＜b}，由于点（a，b）落在区域内的每一点是随机的，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴事件B发生的概率P（B）===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）答：方程x2﹣2ax+b2=0没有实根的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（12分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求n；（2）求展开式中的所有有理项；（3）求C n1+9C n2+81C n3+…+9n﹣1C n n的值．【解答】解：（1）由题意可得，，解得n=10．=•（﹣2）r•，令5﹣为整数，r可取0，（2）因为通项公式为：T r+16，于是有理项为和T7=13400．（3）==．19．（12分）阅读如图的程序框图，解答以下问题：（1）如果输入的N=3，那么输出的S为多少？（2）对于输入的任何正整数N，都有对应S输出．证明：S＜2．【解答】解：（1）第一次循环得到：T=1，S=1，k=2；第二次循环得到：；，4＞3满足条件，输出（2）由题意知，而n＞2时有n!＞2n﹣1∴经验证，n=1，2也有S＜2．20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】（I）证明：取AD的中点G，连结PG、GB、BD．∵PA=PD，∴PG⊥AD…（2分）∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．∴AD⊥PB．…（4分）（II）证明：取PB的中点F，连结MF，CF，∵M、F分别为PA、PB的中点，∴MF∥AB，且．∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，∴MF∥CD且MF=CD，…（6分）∴四边形CDMF是平行四边形．∴DM∥CF．∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB，∴DM∥平面PCB．…（8分）（III）解：∵侧面PAD⊥底面ABCD，又∵PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴PG⊥BG．∴直线GA、GB、GP两两互相垂直，故以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系G﹣xyz．设PG=a，则由题意得：，．∴．设是平面PBC的法向量，则且．∴取，得．∵M是AP的中点，∴．∴．．∴．平面PAD的法向量，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，则，…（10分）∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…（12分）21．（14分）如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）因为由可得x2﹣（1+a）x+a=0，由题意得△=（1+a）2﹣4a=（a﹣1）2=0，所以a=1，故所求圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣y+1=0．（Ⅱ）令y=0，得x2﹣（1+a）x+a=0，即（x﹣1）（x﹣a）=0，求得x=1，或x=a，所以M（1，0），N（a，0）．假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），从而．因为NA、NB的斜率之和为，而（x 1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）=2x1x2﹣（a+1）（x2+x1）+2a==，因为∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，，即，得a=4．当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．综上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．。