南京市2011-2012学年度第一学期高二期末调研文科数学

南京市2011－2012学年度第一学期高二期末调研文科数学卷 2012.01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸． 一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答．卷纸．．相应位置．．．．上1．命题“ x ∈R ，x 2≥0”的否定是 ▲ ． 2．已知函数f (x )＝x 2－x ，则f ′(x )＝ ▲ ．3．已知复数z ＝2＋i （i 为虚数单位），则_z 对应的点在第 ▲ 象限． 4．双曲线x 25－y 24＝1的焦点坐标是 ▲ ．5．设直线l 1：ax －2y ＋1＝0，l 2：(a －1) x ＋3y ＝0，若l 1// l 2，则实数a 的值是 ▲ ． 6．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线经过点(2，2)，则此抛物线方程为 ▲ ． 7．已知双曲线x 2－y 2b2＝1（b ＞0）的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b 的值是 ▲ ．8．函数f (x )＝12x －sin x 在区间[0，π]上的最小值是 ▲ ．9．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ▲ ．10．如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝ ▲ ．11．若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与圆(x 的取值范围是▲ ． 12．给出下列命题①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件； ②“lg a ＝lg b ”是“a ＝b ”的必要不充分条件；③若x ， y ∈R ，则“|x |＝|y |”是“x 2＝y 2”的充要条件； ④△ABC 中，“sin A ＞sin B ”是“A ＞B ”的充要条件． 其中真命题是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）13．观察下列等式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…从中可归纳得出第n 个等式是 ▲ ．14．设函数f (x )在其定义域D 上的导函数为f ′(x )．如果存在实数a 和函数h (x )，其中h (x )对任意的x ∈D 都有h (x )＞0，使得f ′(x )＝h (x )(x 2－ax ＋1)，则称函数f (x )具有性质P (a )．给出下列四个函数：①f (x )＝13x 3－x 2＋x ＋1；②f (x )＝ln x ＋4x ＋1；③f (x )＝(x 2－4x ＋5)e x ；④f (x )＝x 2＋x2x ＋1，其中具有性质P (2)的函数是 ▲ ．(写出所有满足条件的函数的序号)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）已知复数z1＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数．（1）求实数m的值；（2）若(3＋z1) z＝4＋2i，求复数z．16．（本题满分8分）已知命题p：函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数；命题q：关于x的方程x2－2ax＋4＝0有实数根．若p∧q为真，求实数a的取值范围．17．（本题满分10分）设直线l：4x＋3y＋a＝0和圆C：x2＋y2＋2x－4y＝0．（1）当直线l过圆C的圆心时，求实数a的值；（2）当a＝3时，求直线l被圆C所截得的弦长．18．（本题满分10分）某公司需制作容积为216 ml 的长方体形饮料盒，饮料盒底面的长是宽的2倍．当饮料盒底面的宽为多少时，才能使它的用料最省?19．（本题满分10分）已知椭圆C 的焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，焦点到短轴端点的距离为210． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一点，且在第一象限．若△PF 1F 2为直角三角形，试判断直线PF 1与圆O ：x 2＋y 2＝52的位置关系．20．（本题满分12分）已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2＋(a ＋1)x ＋1．（1）当a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间；（2）若函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若a ＞0，且对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，都有| f (x 1)－f (x 2)|＞2| x 1－x 2|，求实数a的最小值．南京市2011－2012学年度第一学期高二期末调研答卷纸（文科数学）2012.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答．卷纸．．相应位置．．．．上． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答．卷纸．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）16．（本小题满分8分）17．(本小题满分10分)18．（本小题满分10分）19．(本小题满分10分)20．(本小题满分12分)南京市2011－2012学年度第一学期高二期末调研文科数学参考答案及评分标准卷 2012.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．ﾖx ∈R ，x 2＜0 2．2x －1 3．四 4．(±3，0) 5．25 6．y 2＝4x 7．28．π6－32 9．22 10．1211．(1，11) 12．③④ 13．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋[n ＋2(n －1)]＝(2n －1)2(n ∈N*) 14．①②③二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）解：（1）由题意得⎩⎨⎧m (m －1)＝0，m －1≠0． (2)分解得m ＝0． (4)分（2）当m ＝0时，z 1＝－i ．由(3＋z 1) z ＝4＋2i ，即(3－i) z ＝4＋2i ，得z ＝4＋2i 3－i ………………………………………………………………………………6分＝1＋i ． (8)分 16．（本题满分8分）解： 当p 为真命题时，a ＞1． ………………………………………………………………2分当q 为真命题时，△＝4a 2－16≥0．解得a ≤－2或a ≥2． ………………………………………………………………………4分因为p ∧q 为真，所以p 和q 都是真命题．⎩⎨⎧a ＞1，a ≤－2或a ≥2． …………………………………………………………………6分所以实数a 的取值范围是[2，＋∞)． ………………………………………………………8分 17．（本题满分10分） 解：（1）由x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝5． 所以圆C 的圆心为(－1，2)，半径为5． (2)分因为直线l 过圆C 的圆心，所以－4＋6＋a ＝0．解得a ＝－2． (4)分（2）当a ＝3时，圆心(－1，2)到直线l ：4x ＋3y ＋3＝0的距离为 d ＝|4×(－1)＋3×2＋3|42＋32＝1． ……………………………………………………………………7分则2r 2－d 2＝4．所以直线l 被圆C 所截得的弦长为4． (10)分 18．（本题满分10分）解：设饮料盒底面的宽为x cm ，高为h cm ，则底面长为2x cm ． 根据V ＝x ·2x ·h ，可得h =2162x 2．…………………………2分 所以,表面积S (x )＝2(x ·2x ＋x ·h ＋2x ·h )＝2(2x 2＋3x ·2162x 2)＝4(x 2＋162x ) (x ＞0) ……………………………………4分由S '(x )＝4(2x －162x2)＝0， (6)分得x ＝33． (8)分 当0＜x ＜33时，S '(x )＜0，函数S (x ) 在(0，33)是减函数； 当x ＞33时，S '(x ) ＞0，函数S (x ) 在(33，＋∞)是增函数． 所以，当x ＝33时，S (x )取得极小值，且是最小值．答：当饮料盒底面的宽为3 3 cm 时，才能使它的用料最省．…………………………………10分 19．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分） 解：（1）由题意可得a ＝210，c ＝5， …………………………………2分 则b 2＝15．所以椭圆C 的方程为x 240＋y 215＝1． ……………………………………4分（2）圆O ：x 2＋y 2＝52的圆心为原点，半径r ＝102．①当∠PF 2F 1为直角时，点P 的坐标为(5, 3104)． ……………5分直线PF 1的方程为y ＝3410(x ＋5)． 此时圆心到直线PF 1的距离为1513＜102．所以直线PF 1与圆O ：x 2＋y 2＝52相交． …………………………7分②当∠F 1PF 2为直角时，设点P 的坐标为(x ，y )．解⎩⎨⎧x 240＋y 215＝1，x 2＋y 2＝52．得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3．所以点P 的坐标为(4，3)． …………………………………………9分则点P 到椭圆右焦点(5，0)的距离为10．此时圆心O 到直线PF 1的距离为102．所以直线PF 1与圆O ：x 2＋y 2＝52相切． …………………………10分20．（本题满分12分）解：（1）当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋12x 2＋1．则f ′(x )＝－1x ＋x ． ……………………………………2分令f ′(x )＞0，得x ＜0或x ＞1．所以函数函数f (x )的单调增区间为(1，＋∞)．………………4分（2）因为函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝＝x 2＋(a ＋1) x ＋a x ＝(x ＋1)( x ＋a )x ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．…6分 即x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．所以a ≥0． ……………………………………8分即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．（3）因为a ＞0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，不妨设x 1＞x 2，所以f (x 1)＞f (x 2)．由| f (x 1)－f (x 2)| 2| x 1－x 2|恒成立，可得f (x 1)－f (x 2)＞2(x 1－x 2)，即f (x 1)－2x 1＞f (x 2)－2x 2恒成立．令g (x )＝f (x )－2x ，则在(0，＋∞)上是增函数． ……………10分所以g ′(x )＝a x ＋x ＋(a ＋)－2＝x 2＋(a －1) x ＋ax ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．即x 2＋(a －1) x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．即a ≥－x 2－xx ＋1对x ∈(0，＋∞)恒成立因为－x 2－x x ＋1＝－(x ＋1＋2x ＋1－3)≤3－22（当且仅当x ＋1＝2x ＋1即x ＝2－1时取等号），所以a ≥3－22．所以实数a 的最小值为3－22． …………………………12分。