江苏省南京市-学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。
江苏省南京市宁海中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
江苏省南京市宁海中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．方程(1)210(R)a x y a a --++=∈所表示的直线（ ） A ．恒过点(2,3)-B ．恒过点(2,3)C ．恒过点(2,3)-和点(2,3)D ．恒过点(2,3)-和点(3,2)2．已知等比数列{}n a 中，265a a +=，354a a ⋅=，则4tan 3a π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．CD ．3．若()()2lim 2x f t x f t x∆→+∆-=-∆，则()f t '=（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-4．函数2()ln 2f x x x =-+的单调递增区间是（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和．若20232023S =，且2021202001202120S S-=，则1a 等于（ ） A ．-2021B ．-2020C ．-2019D ．-20186．圆C ：224x y +=关于直线l ：10x y +-=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)4x y -+-= B ．22(1)(1)4x y +++= C ．22(2)(2)4x y -+-= D ．22(2)(2)4+++=x y7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()0,2A b ，若点P在双曲线C 上，且224F P F A →→=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =± B ．y x =C ．y x =D ．y x = 8．若函数2()1f x x =-与()ln 1g x a x =-的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC D ．2e二、多选题9．对于定义在R 上的可导函数()f x ，()f x '为其导函数，下列说法不正确的是（ ） A ．使()0f x '=的x 一定是函数的极值点B ．()f x 在R 上单调递增是()0f x '>在R 上恒成立的充要条件C ．若函数()f x 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D ．若()f x 在R 上存在极值，则它在R 一定不单调10．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59S S =，则（ ）A ．70a >B ．7S 最大C ．140S >D ．130S >11．已知实数,x y 满足曲线C 的方程22220x y x +--=，则下列选项正确的是（ ）A ．22x y +1B ．11y x ++的最大值是2C ．3x y -+的最小值是D ．过点(作曲线C 的切线，则切线方程为20x +=12．设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．||4AB ≥B ．||||8OA OB +>C ．若点(4,1)P ，则||||PA AF +的最小值是5D ．若AB 倾斜角为3π，且AF BF >，则3AF BF =三、填空题13．已知数列{}n a 中，()1*11,N n n a n a a n +==+∈，则8a =．14．已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =15．设P 是直线:10l x y ++=上的动点，过P 作圆22:(3)(4)4C x y -+-=的切线，则切线长的最小值为．16．已知函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，则实数m 的取值范围为.四、解答题17．已知两个定点()0,4A 、()0,1B ，动点P 满足2PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ， (1)求曲线E 的方程；(2)经过点()0,2的直线l 被曲线E截得的线段长为l 的方程． 18．已知等比数列{}n a 中，12a =，32a +是2a 和4a 的等差中项． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log =n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. （2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值.20．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<L ． 21．已知函数f (x )=ex -2ax -1．(1)若a =1，求函数f (x )在区间[-1，2]上的最大值与最小值； (2)若函数f (x )的最小值为0，求实数a 的值．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，直线:0l x =经过椭圆C 的一个焦点和一个顶点.(1)求椭圆C的方程；V面积的最(2)若A，B是椭圆C上的两个动点，且AB的中点到原点O的距离为1，求AOB大值.。
江苏省南京市第九中学、第十三中学2024-2025学年高二上学期第一次调研(10月)数学试题
江苏省南京市第九中学、第十三中学2024-2025学年高二上学期第一次调研（10月）数学试题一、单选题 1．若1i 1zz =+-，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．已知一组数据：3,5,7,,9x 的平均数为6，则该组数据的40%分位数为（ ） A ．4.5B ．5C ．5.5D ．63．已知三个单位向量,,a b c r r r 满足=+r r ra b c ，则向量,b c r r 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 4．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点(,)P x y 是阴影部分（包括边界）的动点，则2yx -的最小值为（ ）A ．23-B ．32-C ．43-D ．235．已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y +-=6．设直线l 的方程为()cos 30R x y θθ++=∈，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[)0,πB ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦7．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,2,120,ABC AB AC BAC D ∠===o 是棱BC 上的动点，直线1A D 与平面ABC 所成角的最大值是45o ，点P 在底面ABC 内，且1A P =则点P 的轨迹长是（ ） A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．2π8．已知圆221:220C x y x y +--=，设其与x 轴､y 轴正半轴分别交于M ，N 两点.已知另一圆2C 的半径为1C 相外切，则22C M C N ⋅的最大值为（ ）A ．20B ．C ．10D ．二、多选题9．设,A B 为两个随机事件，以下命题正确的是（ ） A ．若A 与B 对立，则()1P AB =B ．若A 与B 互斥，11(),()32P A P B ==，则5()6P A B +=C ．若11(),()32P A P B ==，且1()6P AB =，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，12(),()33P A P B ==，则1()9P AB =10．已知点A ，B 在圆22:4O x y +=上，点P 在直线:250l x y +-=上，则（ ）A ．直线l 与圆O 相离B ．当AB =PA PB +u u u r u u u r的最小值是1C ．当P A 、PB 为圆O 的两条切线时，()+⋅u u u r u u u r u u u rOA OB OP 为定值 D ．当P A 、PB 为圆O 的两条切线时，直线AB 过定点84,55⎛⎫⎪⎝⎭11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线()()22:118C x y -+-=就是一条形状优美的曲线，则（ ）A．曲线C 上两点间距离的最大值为B ．若点(),P a a 在曲线C 内部（不含边界），则33a -<< C ．若曲线C 与直线y x m =+有公共点，则66-≤≤mD ．若曲线C 与圆()2220x y r r +=>有公共点，则72r ≤≤三、填空题12．已知4sin 25α=-，则tan 2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 13．若直线2y x a =+和直线12y x b =-+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b +=．14．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点()11,A x y ，()22,B x y 的曼哈顿距离为：()1212,d A B x x y y =-+-．已知点M 在圆22:1O x y +=上，点N 在直线:390l x y +-=上，则(),d M N 的最小值为．四、解答题15．已知直线()()()12:31410,:3420l x y l x y -+-=++=，点A 和点B 分别是直线12,l l 上一动点.(1)若直线AB 经过原点O ，且3AB =，求直线AB 的方程； (2)设线段AB 的中点为P ，求点P 到原点O 的最短距离.16．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin()3c B b C =+.(1)求C ；(2)若6b =，且ABC V的面积为ABC V 的周长.17．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，4DC BC ==，8AB =，AD =(1)证明：BD PA ⊥；(2)若PAD △为等边三角形，求点C 到平面PBD 的距离．18．已知以点()2,0C t t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭为圆心的圆经过原点O ，且与x 轴交于另一点A ，与y轴交于另一点B ．(1)求证：AO BO ⋅为定值(2)设直线240x y +-=与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程．(3)在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标．19．已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.(1)求a 的值； (2)求MON △的面积；(3)若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于R S 、两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.。
江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题
江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.下列四组数据中，方差最小的是A.5，5，5，5，5，5，5，5B.4，4，4，5，5，5，6，6C.3，3，4，4，5，6，6，7D.2，2，2，2，2，5，8，82.已知，则A. B. C. D.3.直线的倾斜角为A. B. C. D.4.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是A. B. C. D.6.底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为A. B. C. D.7.已知点，若圆上任意一点都满足，则实数A.-3B.-2C.2D.38.抛物线的准线为l ，M 为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，i 13i z ⋅=+z =3i -+3i --3i +3i -310x -+=π6π32π35π622171x y m m +=--y m (,1)-∞(1,4)(4,7)(7,)+∞2π6π8π10π12π(0,0),(3,0)O A 2230x y tx ++-=P ||2||PA PO =t =2:4C x y =C M l 250x y --=不选或有错选的得0分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则A. B. C.和是互斥事件 D.和是相互独立事件10.在矩形ABCD 中，.若，则B. B.C.以CE 为直径的圆与直线BF 相切 D.直线AE 与BF 的交点在矩形ABCD 的外接圆上11.已知椭圆，直线与交于A ，B 两点，点为上异于A ，B 的动点，则A.当时， B.C.存在点，使得 D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.若直线与垂直，则实数______.13.已知，则______.14.历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，______.A B 1()2P A =1()3P AB =A B A B 2,4AB AD ==13,42BE BC CF CD ==- //AC BFAE BD ⊥22:143x y C +=y mx =C P C 12m=||AB=||PA PB + …P π2APB ∠=ABP S …1:210l x my ++=2:(1)30l m x y -+-=m =π3πcos ,0,452x x ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin x =2F m P n 1F C 12(4,0),(4,0)F F -l 12F PF ∠2F l H ||2OH =n (8,5)M 2||F P PM +=四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.（1）求；（2）若，求的面积.16.已知点在抛物线上，直线经过点，且在轴上的截距为-2.（1）求的值和直线的方程；（2）记与的另一个交点为，求经过O ，A ，B 三点的圆的方程.17.在四面体PABC 中，M ，N 分别为PC ，BC 的中点.（1）证明：PB //平面AMN ；（2）若平面，四面体PABC 的体积为2，且，求MN 与平面PAC 所成角的正弦值.18.已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2．（1）求圆的方程；（2）直线经过点，且与圆交于A ，B 两点，，ABC cos cos 2cos a C c A b A +=A 2,4a b c =+=ABC (4,2)A 2:2(0)C y px p =>l A y p l l C B PC ⊥,2,3ABC PC AC ==cos ACB ∠=()2224C x y ++=：222:(2)(0D x y r r -+=<<(0,1)P D D l PC ||AB =①求的方程和的值；②若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值.19.已知椭圆的右顶点为，上顶点为.（1）求的方程；（2）直线平行于直线AB ，且与交于M ，N 两点，①P ，Q 是直线AB 上的两点，满足四边形MNPQ 为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程；②当直线AM ，BN 斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.l CA CB ⋅ E C D E P 2222:1(0)x y E a b a b+=>>A ,||B AB =E l E 21||3MN l 12,k k 12k k ⋅。
江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性考试检测数学试题
江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二上学期9月阶段性考试检测数学试题一、单选题1．已知直线()1:130l x a y +--=与直线2:230l x y ++=相互垂直，则a 的值为（ ） A ．12 B ．1C ．3D ．12- 2．已知复数z 满足()()()221i 1i z a a R ⋅+=-∈，则z 为实数的一个充分条件是（ ）A ．0a =B ．1a =C ．a =D ．2a = 3．某校“校园歌手”比赛中，某选手获得的原始评分为，1234567,,,,,,x x x x x x x 去掉一个最高分和一个最低分后得到有效评分，则有效评分与原始评分相比较，一定不变的特征数是（ ） A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．方差4．已知圆22:4O x y +=，直线2y kx =+与圆O 恰有一个公共点，则k 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D 5．已知圆1O 与圆2O 内含，且圆心12,O O 不重合，动圆C 与两圆相切，则圆心C 的轨迹为（ ） A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．椭圆 6︒=A ．1 BC D ．2 7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两焦点为12,,F F P 为其渐近线上一点，满足：1212,2PF PF PF PF ⊥=，则此双曲线的渐近线的方程为（ ）A ．32y x =± B ．23y x =± C ．43y x =± D ．34y x =? 8．已知定点(),0,M m P 为椭圆22:14x C y +=上一动点，满足：当PM 取得最小值时点P 恰为椭圆C 的右顶点，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．32m ≥C ．mD ．2m ≥二、多选题9．已知向量()()2,1,,2a b m =-=r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．若//a b r r ，则4m =-B ．若a b ⊥r r ，则1m =C ．若2a b a b -=+r r r r ，则1m =D ．若b r 在a r 上的投影向量是a r ，则3m = 10．已知,A B 为定点，且AB 4=，下列条件中能满足动点P 的轨迹为圆的有（ ）A ．10PA PB ⋅= B ．10PA PB =C ．22||10PA PB +=D ．22||10PA PB -= 11．甲袋中有4个白球，2个红球，乙袋中有3个白球，3个红球，这些小球除颜色外完全相同．从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（ ）A ．2个球颜色相同的概率为12 B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23 D ．2个球中恰有1个红球的概率为1212．曲线C 的方程为44441(0,0)x y a b a b+=>>，下列对曲线C 的描述正确的是（ ） A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 与椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>'无公共点 C ．曲线C 所围成的封闭图形的面积大于椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>'围成的封闭图形的面积D ．曲线C 上的点到原点距离的最大值为a三、填空题13．函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为． 14．已知一圆台的上、下底面半径分别为1和4，其母线长为5，则该圆台的体积为． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点12F F 、，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线在第一象限的交点为P ，且1290F PF ∠=︒，则椭圆1C 的离心率为．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为.四、解答题17．已知正四面体ABCD ，(1)证明：直线BD ⊥直线AC ．(2)求二面角A BD C --的余弦值．18．某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100后得到如图所示频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，分别求众数，第50百分位数；(2)现从数学成绩在[)60,80的学生中按分层抽样的方法抽取6人进行访谈，再从这6人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰好一人来自[)60,70，一人来自[)70,80的概率．19．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知A 为锐角，22sin cos 2c a B C ab--= (1)求A ；(2)若b =，且BC 边上的高为ABC V 的面积．20．已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P ．(1)求圆C 的方程；(2)若点(),P x y 在圆C 上运动，不等式2x y m +≤恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，已知双曲线C :2212y x -=，过点(0,1)P -的直线l 分别交双曲线C 的左、右两支于点A ，B ，交双曲线C 的两条渐近线于点D ，E （点D 在y 轴的左侧）.（1）若3OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的方程：（2）求DEAB 的取值范围.22．在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，△12F PF 以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3450x y -+=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过定点()1,0且与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于P ，Q 两点，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.。
2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学检测试题(含解析)
2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学检测试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数满足，则（ ）z ()i 12i34z +=-z=C. 3D. 52. 设为实数，已知直线，若，则（a ()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=12l l ∥a =）A. 6B. C. 6或 D. 或33-3-6-3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m+=m A. B. C. 12D. 3421412-4. 已知，则（ ）cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. D. 33-5. 设直线与圆相交于两点，且的面积为20x ay ++=22:(2)16C x y +-=,AB ABC V 8，则（ ）a=A. B. C. 11-6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程M :2310l x y ++=P ()2,4MP =-P 为（）A. B.3290x y -+=2249(2)(4)13x y -++=C. D.2390x y ++=2249(2)(4)13x y ++-=7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度118,2AB A B ==恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别1223为，则（ ）12,V V 12V V =A. B. C. D. 23652872083872088. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，()222210+=>>x y a b a b ()00,P x y 切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，00221x x y ya b +=()2222:10x y C a b a b +=>>F A 过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率F x C M M l l 与直线的斜率满足，则椭圆C 的离心率为（ ）1k AM 2k 1220k k +=A.C.1323二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A. 0.025a =B. 高一年级抽测成绩的众数为75C. 高二年级抽测成绩的70百分位数为87D. 估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ m n αβ）A. 若，，，则B. 若，，，则//αβ//m αn β⊥m n⊥//αβm α⊂n β⊂//m nC .若，，，则 D. 若，，，则m α⊥//n β//m n αβ⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥11. 已知圆C ：，以下四个命题表述正确的是（ ）22(2)4x y -+=A. 若圆与圆C 恰有3条公切线，则221080x y x y m +--+=16m =B. 圆与圆C 的公共弦所在直线为2220x y y =++20x y +=C. 直线与圆C 恒有两个公共点()()2132530m x m y m +++--=D. 点为轴上一个动点，过点作圆C 的两条切线，切点分别为，且的中点为P y P ,A B ,A B ，若定点，则的最大值为6M ()5,3N MN 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍1,2,3,4,5数的概率为______.13. 已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.P 22:194x y C +=()1,0A PA14. 已知，点是直线上的动点，若恒成立，则()()()0,2,1,0,,0A B C t D AC AD ≤正整数的最小值是__________.t 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记的内角的对边分别为，且.ABC V ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =（1）求角；A（2）若的周长.a ABC =△ABC V 16. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.1OO PA AB C AB（1）证明：平面平面；PAC ⊥PBC （2）若，求二面角的余弦值.24PA AB ==A PB C --17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答,A B A B A 对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中B A p B q ，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答01,01p q <<<<A 34B 23两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.,A B 1316（1）求的值；,p q （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18. 已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆M ()3,3A M 250x y +-=250x y -+=相切.M（1）求圆的方程；M （2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.()0,2D -l M ,A B A DB l 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，()2222:10x y C a b a b +=>>121,2A A ､C ､分别为椭圆的左､右焦点，.1F 2F C 126A F =（1）求椭圆的方程；C （2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线x l C P Q ､P Q ､x ，的斜率分别为.12,A P A P 21,A Q A Q 1234,,,k k k k （i ）求的值；12k k （ii ）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，()142353k k k k +=+PQ 说明理由.2024-2025学年江苏省南京市高二上学期10月六校联考数学检测试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知复数满足，则（ ）z ()i 12i 34z +=-z=C. 3D. 5【正确答案】B【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解.12i z =--【详解】由题意知，，34i (34i)(12i)36i 4i 812i 12i (12i)(12i)5z ------====--++-.=故选：B2. 设为实数，已知直线，若，则（a ()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=12l l ∥a =）A. 6B. C. 6或 D. 或33-3-6-【正确答案】A【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为，所以，解得：或.12l l ∥()318a a -=6a =3a =-当时，，平行；6a =12:6320,:6340l x y l x y +-=++=当时，，可判断此时重合，舍去.3a =-12:3320,:6640l x y l x y -+-=-+=故选：A3. 已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=m A. B. C. 12D.3421412-【正确答案】C【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，3,3m a b c >===又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C4. 已知，则（ ）cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.B.D. 33-【正确答案】B【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得，结合两角和的正切公式计tan 2α=算即可求解.【详解】由，得，cos πsin()4αα=-πcos )sin cos 4αααααα=-==-即，所以.tan 2α=πtan 13tan(341tan 1ααα++===---故选：B5. 设直线与圆相交于两点，且的面积为20x ay ++=22:(2)16C x y +-=,A B ABC V8，则（ ）a =A. B.C. 11-【正确答案】C【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距π2ACB ∠=(0,2)C 20x ay ++=离，再利用点线距公式建立方程，解之即可.d 【详解】由三角形的面积公式可得，214sin 82ABC S ACB =⨯∠= 得，由，得，sin 1ACB ∠=0πACB <∠<π2ACB ∠=所以为等腰直角三角形，ABC V 所以圆心到直线的距离为(0,2)C 20x ay ++=π4sin4d ==由点到直线的距离公式得，解得.d 1a =故选：C6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程M :2310l x y ++=P ()2,4MP =-P 为（）A. B.3290x y -+=2249(2)(4)13x y -++=C .D.2390x y ++=2249(2)(4)13x y ++-=【正确答案】C【分析】由点坐标，得到坐标，代入直线方程即可.P M 【详解】设点，因为，所以，(),P x y ()2,4MP =-()2,4M x y -+代入直线方程可得：，()()223410x y -+++=化简可得.2390x y ++=所以的轨迹方程为.P 2390x y ++=故选：C7. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度118,2AB A B ==恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别1223为，则（ ）12,V V 12V V =A. B. C. D. 2365287208387208【正确答案】D【分析】根据棱台的体积公式，求出，即可解出.12,V V 【详解】设四棱台的高度为h ，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则，((1211291291046425,43663323h h h h V V =+⋅==++⋅=所以.12387208V V =故选：D.8. 关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，()222210+=>>x y a b a b ()00,P x y 切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，00221x x y ya b +=()2222:10x y C a b a b +=>>F A 过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率F x C M M l l 与直线的斜率满足，则椭圆C 的离心率为（ ）1k AM 2k 1220k k +=A .C.1323【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解,M A l AM 即可.【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设，(,0),(,0)A a F c -x c =-2b y a =±2(,)b Mc a -则切线，即，切线的斜率，222:1b ycx al a b -+=y ex a =+l 1k e =直线的斜率，则，所以.AM 22221()b a c a k e c a a a c -==-=---+2(1)0e e +-=23e =故选：C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A. 0.025a =B. 高一年级抽测成绩的众数为75C. 高二年级抽测成绩的70百分位数为87D. 估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分【正确答案】ABD【分析】根据频率分步直方图､样本的数字特征等基础知识判断即可．【详解】对于A ：由，解得，正确；()0.002520.0100.020.04101a ⨯++++⨯=0.025a =对于B ：由频率分布直方图可知高一年级抽测成绩的众数为75，正确；对于C ：因为，由，0.025a =()0.002520.0100.025100.4⨯++⨯=，所以70百分位数是，故()0.002520.0100.0250.04100.8⨯+++⨯=3801087.54+⨯=错误；对于D ：高一年学生成绩的平均数约为分；450.04550.11650.18750.35850.22950.174⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=高二年学生成绩的平均数约为分，450.025550.025650.1750.25850.4950.280.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为，故正确；7480.75<故选：ABD10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ m n αβ）A. 若，，，则B. 若，，，则//αβ//m αn β⊥m n⊥//αβm α⊂n β⊂//m nC. 若，，，则D. 若，，，则m α⊥//n β//m n αβ⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.【详解】对于A ，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，//m αm αc //m c而，，则，，因此，A 正确；n β⊥//αβn α⊥n c ⊥m n ⊥对于B ，由，，，得是平行直线或异面直线，B 错误；//αβm α⊂n β⊂,m n 对于C ，由，得存在过直线的平面与平交，令交线为，则，//n βn βl //n l 由，得，又，则，因此，C 正确；//m n //m l m α⊥l α⊥αβ⊥对于D ，，，，当都平行于的交线时，，D 错误.αβ⊥m α⊂n β⊂,m n ,αβ//m n 故选：AC11. 已知圆C ：，以下四个命题表述正确的是（ ）22(2)4x y -+=A. 若圆与圆C 恰有3条公切线，则221080x y x y m +--+=16m =B. 圆与圆C 的公共弦所在直线为2220x y y =++20x y +=C. 直线与圆C 恒有两个公共点()()2132530m x m y m +++--=D. 点为轴上一个动点，过点作圆C 的两条切线，切点分别为，且的中点为P y P ,A B ,A B ，若定点，则的最大值为6M ()5,3N MN 【正确答案】BCD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程，即可判断B ；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M 恒有两个公共点，即可判断C ；易知直线AB 恒过定点，由得出点M 的轨迹，结合点与圆的位(0,0)CM A B ⊥置关系计算即可判断D.【详解】A ：由题意得：的圆心为，半径为221080x y x y m +--+=(5,4)=该圆与圆有3条公切线，则两圆外切，22:(2)4C x y -+=，解得，故A 错误；2+32m =B ：两圆的圆心分别为，半径分别为和2，(0,1),(2,0)-1则，所以两圆相交，211312-=<<=+与相减得：，2220x y y =++22(2)4x y -+=20x y +=故圆与圆C 的公共弦所在直线为，故B 正确；2220x y y =++20x y +=C ：变形为，(21)(32)530m x m y m +++--=()235(23)0x y m x y +-++-=令，解得，2350230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩11x y =⎧⎨=⎩即直线恒过点，(21)(32)530m x m y m +++--=()1,1由于，点在圆M 内，()221214-<+()1,1所以与圆M 恒有两个公共点，故C 正确；(21)(32)530m x m y m +++--=D ：如图，圆，半径为2，则圆C 与y 轴相切，切点为原点，即为，(2,0)C O A 易知直线恒过点，又为的中点，则，AB (0,0)A M AB C M A B ⊥所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，M AC (1,0)又，所以的最大值为，故D 正确.(5,3)N MN16=故选：BCD关键点点睛：本题D 选项的关键点在于直线AB 恒过定点，由得出点M 的(0,0)CM A B ⊥轨迹为圆.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍1,2,3,4,5数的概率为______.【正确答案】##250.4【分析】由古典概型概率计算公式直接求解.【详解】从五张卡片中任取两张共有，25C 10=两张卡片上的数字之和是3的倍数有，共4种，()()()()1,2,1,5,2,4,4,5所以概率.42105p ==故2513. 已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.P 22:194x y C +=()1,0A PA【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函PA d d 0(P x 0)y 033x -≤≤数的性质即可求的最小值．d 【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点，(1,0)A PA d P E 设,,,0(P x 0)y 033x-≤≤所以：．d ===由于，故时，有最小值，且033x -≤≤095x =d d 14. 已知，点是直线上的动点，若恒成立，则()()()0,2,1,0,,0A B C t D AC AD ≤正整数的最小值是__________.t 【正确答案】4【分析】求出直线AC 的方程，设.由，列不等式，利用判别式22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭AD ≤法求出t 的范围，即可求解.【详解】由题意知直线AC 的方程为.22y x t =-+因为点D 是直线上的动点，所以可设.AC 22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭因为，AD≤≤化简得：对任意x 恒成立,2282615024x x t t ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+⎭+≥⎝所以，化简得,22244150862t t ⎛⎫⎛⎫-⨯∆⨯≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++224708t t +-=≤∆解得t 为正整数得：t 的最小值为4.t ≥t ≤故4四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记的内角的对边分别为，且.ABC V ,,A B C ,,ab c sin2sin b A a B =（1）求角；A （2）若的周长.a ABC =△ABC V 【正确答案】（1）π3A =（2）.5+【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，（2）根据面积公式可得的值，结合余弦定理即可求解.bc 【小问1详解】因为，所以.sin2sin b A a B =2sin cos sin b A A a B =根据正弦定理，得，2sin sin cos sin sin B A A A B =因为，所以.sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =又，所以.()0,πA ∈π3A =【小问2详解】在中，由已知，ABCV 11sin 622ABC S bc A bc bc ===∴= 因为,π3A a ==由余弦定理可得，即7，2222cos a b c bc A =+-21()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭即，又,所以.27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=所以的周长周长为.ABC V 5+16. 如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.1OO PA AB C AB （1）证明：平面平面；PAC ⊥PBC （2）若，求二面角的余弦值.24PA AB ==A PB C --【正确答案】（1）证明见解析（2）.23【分析】（1）由线面垂直的性质可得又，结合线面垂直和面面垂直的,PA BC ⊥AC BC ⊥判定定理即可证明；（2）如图，确定是二面角的平面角，利用定义法求解即可.CEO ∠A PB C --【小问1详解】因为是一条母线，所以平面，PA PA ⊥ABC 而平面则⊂BC ,ABC ,PA BC ⊥因为是底面一条直径，C 是的中点，所以，即，ABAB 90ACB ∠=AC BC ⊥又平面且，,PA AC ⊂PAC PA AC A = 所以平面，而平面，⊥BC PAC ⊂BC PBC 则平面平面.PAC ⊥PBC 【小问2详解】设，则，24PA AB ==PB =因为C 是的中点，为底面圆心，所以平面，AB O CO ⊥PAB 作，交于点连接，OE PB ⊥PB E CE 由可知，是二面角的平面角.,OE PB CE PB ⊥⊥CEO ∠A PB C --则，即，PB OE PA BO ⋅=⋅OE ==在直角中，.COECE ==所以.2cos 3CEO ∠==故二面角的余弦值为.A PBC --2317. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答,A B A B A 对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中B A p B q ，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答01,01p q <<<<A 34B 23两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.,A B 1316（1）求的值；,p q （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.【正确答案】（1） 21,32p q ==（2）.1136【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）记甲得分为i 分的事件为，乙得分为i 分的事件为，()0,2,3,5i C i =()0,2,3,5i D i =从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求355355E C D C D C D =++解.【小问1详解】由题意得，()13116pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得.21,32p q ==【小问2详解】比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.0,2,3,5记甲得分为i 分的事件为，乙得分为i 分的事件为，()0,2,3,5i C i =()0,2,3,5i D i =相互独立，,i i C D 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E ，则，且彼此互斥.355355E C D C D C D =++355355,,C D C D C D 易得.()31,6P C =，()()()35532113211,,4363432P D P C P D ⎛⎫=-⨯===⨯=⎪⎝⎭所以()()()()()355355355355P E P C D C D C D P C D P C D P C D =++=++1111111162363236=⨯+⨯+⨯=所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.113618. 已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆M ()3,3A M 250x y +-=250x y -+=相切.M （1）求圆的方程；M （2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.()0,2D -l M ,A B A DB l 【正确答案】（1）22(2)(1)5x y -+-=（2）或.0x =512240x y --=【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设，从而得到，由在圆上，代入方程求解即可解决问题.(),A x y ()2,22B x y +,A B 【小问1详解】设圆M 的方程为，222()()x a y b r -+-=因为圆过点，所以，M ()3,3A 222(3)(3)a b r -+-=①又因为圆心在直线上，所以②，M 250x y +-=250a b +-=直线与圆M 相切，得到，250x y -+=r 由①②③解得：因此圆的方程为2,1,a b r ===M 22(2)(1) 5.x y -+-=【小问2详解】设，因为A 为线段BD 的中点，所以，(),A x y ()2,22B x y +因为在圆上，所以，解得或,A B M ()()()()222221522215x y x y ⎧-+-=⎪⎨-++=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩24131613x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当时，由可知直线的方程为；()0,0A ()0,2D -l 0x =当时，由可得斜率，2416,1313A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2D -162513241213k -+==-故直线的方程为，即.l 5212y x =-512240x y --=综上，直线的方程为或.l 0x =512240x y --=19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，()2222:10x y C a b a b +=>>121,2A A ､C ､分别为椭圆的左､右焦点，.1F 2F C 126A F =（1）求椭圆的方程；C （2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线x l C P Q ､P Q ､x ，的斜率分别为.12,A P A P 21,A Q A Q 1234,,,k k k k （i ）求的值；12k k （ii ）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，()142353k k k k +=+PQ说明理由.【正确答案】（1）2211612x y +=（2）（i ）；（ii ）直线恒过点.34-l ()1,0D -【分析】（1）由离心率及，列出的等式求解即可.12A F ,,a b c （2）（i ）设直线方程，联立椭圆方程结合韦达定理和斜率公式即可求解；（ii ）x ty m =+由（i ）得到结合韦达定理及斜率公式代入化简即可.229.20PA QA k k =-【小问1详解】由于椭圆的离心率为，C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)12故，又，所以，12c a =126A F a c =+=2224,2,12a c b a c ===-=所以椭圆的方程为.C 2211612x y +=【小问2详解】（i ）设与轴交点为，由于直线交椭圆C 于两点（在轴的两侧）l x D l P Q ､P Q ､x 故直线的的斜率不为0，直线的方程为，l l x ty m =+联立，则，2211612x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223463480t y mty m +++-=则22Δ12160,t m =-+>设，则，()()1122,,,P x y Q x y 21212226348,3434mt m y y y y t t --+==++又()()124,0,4,0,A A -故，122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---（ii ）由（i ）得.123434QA QA k k k k ==-因为，则.()142353k k k k +=+()()232323232333535,44343k k k k k k k k k k +--=+-⋅=+又直线交与轴不垂直可得，所以，即l x 230k k +≠23920k k =-229.20PA QA k k =-所以，()()121212129,2094404420y y y y ty m ty m x x ⋅=-++-+-=--于是()()()221212920949(4)0,t y y t m y y m ++-++-=()()222223486920949(4)03434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++整理得，解得或，2340m m --=1m =-4m =因为在轴的两侧，所以，P Q ､x 21223480,4434m y y m t -=<-<<+又时，直线与椭圆有两个不同交点，1m =-:1l x ty =-C 因此，直线恒过点.1m =-l ()1,0D -。
南京市六校联合体2022-2023学年高二上学期12月联考数学试题(含解析版)
9 17
故选: D .
. 4. 若数列 an 为等比数列，且a2､a6是方程 x2 3x10的两根，则a4的值等于（ ）
A. 2
B. 1
【答案】C
【解析】
C. 1
D. 1
【分析】由已知结合方程的根与系数关系及等比数列的性质即可求解.
【详解】由题意得 a2a6 1, a2 a6 3 ,
故 a2 0, a6 0
二､多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每个小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 在某市高二举行的一次期中考试中，某学科共有 2000 人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从
中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计，样本容量为 n .按照
a2023 1012
12.
已知椭圆
x2 4
y2 b2
1(2 b 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ，直线 x m(2 m 2) 与椭圆交于 C, D
两点， A, B 分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）
A.
若直线 BC 的斜率为 k1 ，直线 AD 的斜率 k2 ，则 k1k2
14.
若双曲线 x2
y2 8
1的左右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲线上一点，若
PF1
3，则
PF2
的取值为
___________.
15. 在三棱锥 P ABC 中， PA AB AC 2, PB PC 2 2, BAC 120 ，则三棱锥 P ABC 的
外接球表面积为___________.
江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期末考试 语文含答案
南京市高二期末考试语文试卷（答案在最后）一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：一切种类的文学艺术的源泉究竟是从何而来的呢？作为观念形态的文艺作品，都是一定的社会生活在人类头脑中反映的产物。
革命的文艺，则是人民生活在革命作家头脑中的反映的产物。
人民生活中本来存在着文学艺术原料的矿藏，这是自然形态的东西，是粗糙的东西，但也是最生动、最丰富、最基本的东西；在这点上说，它们使一切文学艺术相形见绌，它们是一切文学艺术的取之不尽、用之不竭的唯一的源泉。
人类的社会生活虽是文学艺术的唯一源泉，虽是较之后者有不可比拟的生动丰富的内容，但是人民还是不满足于前者而要求后者。
这是为什么呢？因为虽然两者都是美，但是文艺作品中反映出来的生活却可以而且应该比普通的实际生活更高，更强烈，更有集中性，更典型，更理想，因此就更带普遍性。
革命的文艺，应当根据实际生活创造出各种各样的人物来，帮助群众推动历史的前进。
例如一方面是人们受饿、受冻、受压迫，一方面是人剥削人、人压迫人，这个事实到处存在着，人们也看得很平淡；文艺就把这种日常的现象集中起来，把其中的矛盾和斗争典型化，造成文学作品或艺术作品，就能使人民群众惊醒起来，感奋起来，推动人民群众走向团结和斗争，实行改造自己的环境。
如果没有这样的文艺，那么这个任务就不能完成，或者不能有力地迅速地完成。
（摘编自毛泽东《在延安文艺座谈会上的讲话》）材料二：文学的艺术真实不同于生活真实，在于前者被灌注了“生气”或“生命”。
巴尔扎克说道：“艺术家的使命就是把生命灌注到他所塑造的人物里去，把描绘变成真实。
如果他只是想去临摹一个现实的人，那么他的作品就根本不能引起人们的兴趣。
”他在小说《玄妙的杰作》中，借一位艺术家之口，道出了如何使艺术形象获得生命的某些奥秘。
那位画家说，艺术的使命不是临摹大自然，而是表达大自然，否则一个雕塑家给人造型，依样画葫芦地捏成一个复制品就行了。
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南京市２０16-2017学年度第一学期期末检测卷高二数学（文科)２０17.01注意事项:１.本试卷共4页,包括填空题(第１题~第14题）、解答题(第１5题~第20题）两部分．本试卷满分为1６0分,考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡.一、填空题：本大题共14小题,每小题５分，共７0分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上１．命题“若a=b,则|a |=|b|”的逆否命题是▲.２.双曲线x2-错误!＝1的渐近线方程是▲.3．已知复数错误!为纯虚数,其中i是虚数单位，则实数ａ的值是▲．４．在平面直角坐标系xOｙ中,点(4，３)到直线3x－４y＋a＝0的距离为1，则实数a的值是▲．5.曲线y＝ｘ4与直线y＝4x＋b相切,则实数b的值是▲．6．已知实数x,y满足条件错误!则z＝2x＋ｙ的最大值是▲.7.在平面直角坐标系xＯｙ中，抛物线C:y2＝4ｘ的焦点为F，P为抛物线C上一点,且PF=5,则点P的横坐标是▲.8．在平面直角坐标系xOy中,圆O:x２＋y2=r2(r>0)与圆M：(x-3)2+(ｙ+4)2=4相交，则ｒ的取值范围是▲．9.观察下列等式:(sin＼Ｆ(π,3))-2+(sin 2π３)-2=错误!×1×2;(ｓin错误!)－2＋(sin错误!)-2＋(ｓiｎ错误!)－2+（siｎ错误!）-2=错误!×2×3;(sin错误!)-２＋(siｎ错误!)-2+(sin错误!)－2＋…+(sin错误!)-２=错误!×３×４；（ｓin错误!)-2＋(ｓｉｎ错误!）－2＋(ｓin错误!)－２＋…+(sin错误!)－2＝错误!×4×５;……依此规律，当n∈N＊时，（sｉn错误!)-2+(siｎ错误!)－２+(ｓin错误!）-２＋…+（sin错误!)－2＝▲．10．若“ x∈R，x2+ax+a＝0”是真命题,则实数a的取值范围是▲．11.已知函数f（x)＝（x2+x＋m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x＝－3处函数f(x)有极大值,则函数f (x)的极小值是▲.１2．有下列命题:①“m>０”是“方程x2＋my2=1表示椭圆”的充要条件;②“a=1”是“直线l1:ａx＋ｙ-1＝０与直线l2:x＋ay－2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f (x）＝x３+ｍx单调递增”是“ｍ>0”的充要条件;④已知ｐ,q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是▲.13．已知椭圆E：＼F(x2,a２）+错误!=1（ａ>b>0）的焦距为2c(c>０）,左焦点为F,点M的坐标为(－２c,0)．若椭圆E上存在点P，使得PＭ=2ＰF，则椭圆E离心率的取值范围是▲．1４.已知t＞０，函数f(x)=错误!若函数g(x)＝f(f(ｘ)－1)恰有6个不同的零点,则实数t的取值范围是▲．二、解答题：本大题共６小题,共计９0分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1５.(本题满分14分）在平面直角坐标系ｘOy中，已知△ＡBC三个顶点坐标为Ａ(７,8)，B(10,4)，Ｃ（2,-４)．（1）求BＣ边上的中线所在直线的方程;(2)求BC边上的高所在直线的方程．16.（本题满分14分)已知复数z1=ｍ-2i，复数z２＝1－n i，其中i是虚数单位，m，n为实数．(1）若m＝1,n=-１，求|ｚ１+z2|的值;（２)若z1＝（z2)2,求m，n的值.1７.(本题满分14分)在平面直角坐标系x O y中，已知圆M的圆心在直线y=－2ｘ上，且圆Ｍ与直线x+y-1=0相切于点P(2，－1).（1)求圆M的方程；(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．18．(本题满分１６分)某休闲广场中央有一个半径．．为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ＡＢＣＦ和梯形DEFC)构成的六边形ABCＤEF 区域,其中A、Ｂ、C、D、E、F都在圆周上，CＦ为圆的直径（如图).设∠AOＦ=θ,其中O为圆心.(１)把六边形A ＢC ＤEF 的面积表示成关于θ的函数f (θ);(2）当θ为何值时,可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19.（本题满分16分）在平面直角坐标系x Ｏｙ中,椭圆E ：错误!＋错误!=1(ａ>ｂ＞０)的离心率为错误!，两个顶点分别为A (-a ,0)，B (ａ，0)，点M (－1，0)，且3错误!=错误!,过点M 斜率为k (ｋ≠0)的直线交椭圆E 于C ,D 两点，且点C 在ｘ轴上方． (1)求椭圆E 的方程; (２)若B Ｃ⊥ＣD ,求ｋ的值；(3)记直线BC ,BD 的斜率分别为k １，k ２,求证:ｋ1ｋ2为定值． ﻩﻩABC F DE（第18题图）Oθ20．(本题满分16分)已知函数ｆ(x)=ａｘ－ln x（a∈R).(1）当a＝1时,求ｆ(x)的最小值;（２)已知e为自然对数的底数，存在x∈[错误!,e］,使得ｆ(x)＝１成立,求a的取值范围;(3）若对任意的x∈[1，+∞)，有ｆ(x)≥ｆ(错误!)成立，求ａ的取值范围．ﻬ南京市2016-20１7学年度第一学期期末检测卷高二数学(文科)参考答案及评分标准2017.０1说明：１.本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.３．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数,填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共1４小题，每小题5分,共70分)1．若|a |≠|ｂ|，则ａ≠ｂ２．ｙ＝±2x３．２ 4.±5 5.－36．9 7.48．（3,7）9．错误!10．（-∞，0]∪[４，＋∞) 1１.－１1２．②④１3.［错误!,错误!]１4．(３,4)二、解答题(本大题共６小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本题满分14分）解：(1）由Ｂ(１0，4)，C(2，-4),得BC中点D的坐标为(6，0)，………………２分所以AD的斜率为ｋ=错误!=8,……………… 5分所以BＣ边上的中线AD所在直线的方程为y-0＝８(ｘ-6),即8x－y-４８=０. ……………… ７分(２)由Ｂ(10,4),C(２，－４），得BC所在直线的斜率为k＝错误!=1,…… ９分所以ＢC边上的高所在直线的斜率为-1，………………… 12分所以BC边上的高所在直线的方程为y－8=-（x－7),即x＋y－15＝0．………………………… 14分16.（本题满分1４分)解:(１）当ｍ＝１,n=-1时，z1=1-2i,z2=１＋i，所以z1+z2=(1－２i）＋(１＋ｉ)＝2－i， (4)分所以|z1+ｚ2｜＝错误!＝错误!. ………………６分(２)若ｚ1=（z2)2，则m－２i＝（1-ｎi）２,所以m－２i＝(１－n2)－2n i,……………1０分所以错误!………………12分解得错误! (4)17．（本题满分14分）解:（1）过点(2，-1)且与直线x+y-１=０垂直的直线方程为x-y－３＝0,……2分由错误!解得错误!所以圆心M的坐标为(1，－２)，………………4分所以圆Ｍ的半径为r=错误!=错误!, ………………６分所以圆Ｍ的方程为(x-1)2＋（y+２)2=２. ………………７分（2)因为直线l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离为d＝错误!=错误!，……………９分若直线l的斜率不存在，则l为ｘ＝0,此时,圆心M到l的距离为1，则弦长为2，不符合题意.若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y＝ｋx，即kｘ－y=0,由d＝错误!=错误!， (1)整理得k２+８k＋７=0，解得ｋ＝－1或－7，………………13分所以直线ｌ的方程为ｘ+y＝0或7ｘ+y＝0.………………14分18.（本题满分1６分）解:(1）作AＨ⊥CF于H，则OＨ＝cｏsθ,AB=2OH=２cosθ，ＡＨ＝sｉnθ,……………2分则六边形的面积为f (θ）＝２×错误!(ＡB +CF ）×AH =(２c ｏs θ+2)si ｎθ＝２（cos θ＋1)sin θ,θ∈（0，错误!). ………………６分 (２）ｆ ′(θ)＝2[－sin θs ｉn θ+（cos θ＋1）cos θ] =2（2ｃos 2θ＋cos θ-1)＝2(２ｃo ｓθ-１)(cos θ+1）． ………………10分 令 f ′(θ)=0，因为θ∈(0,错误!),所以c ｏｓθ=错误!，即θ＝错误!， ……………………12分当θ∈（0,错误!）时,f ′(θ)＞0，所以ｆ (θ)在(0，错误!)上单调递增；当θ∈(错误!，错误!)时，f ′(θ)<0,所以f （θ)在(错误!，错误!)上单调递减， …………1４分所以当θ=错误!时，ｆ (θ)取最大值f (错误!）=2(cos 错误!+1)sin 错误!＝错误!错误!． …………15分答：当θ=错误!时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为错误!错误!平方百米． …………………………16分１9.（本题满分16分) 解：（1）因为３错误!=错误!,所以3（－1＋a ,0）＝（a +1，０)，解得a ＝2． ………………2分又因为错误!=错误!，所以c =错误!，所以b 2＝a 2－c 2=1， 所以椭圆Ｅ的方程为错误!＋y 2=1． ………………4分 (2）方法1设点C 的坐标为(ｘ0,y 0),ｙ０>0，则错误!=（－1－x 0，-y 0)，错误!=(２-x 0，－y 0)．因为B Ｃ⊥ＣD ,所以(-1-x 0)( 2－x 0)+ｙ0２＝0. ① ……………6分 又因为错误!＋y 02=１， ②联立①②,解得x 0＝-23,y 0＝2＼R(，２)3, ………………８分所以k =错误!＝2错误!． ………………１０分方法２因为CD 的方程为y ＝k (x ＋１)，且ＢC ⊥ＣD ,所以BC 的方程为y ＝-1k （ｘ-2）， ………………6分联立方程组，可得点Ｃ的坐标为(错误!，错误!)， ………………８分代入椭圆方程,得＼F （(＼Ｆ（2－k 2,1＋k ２))2,4)＋（＼F （3k ,1+ｋ2））2＝1， 解得k ＝±2＼Ｒ(,2). 又因为点C 在ｘ轴上方,所以＼F(3k ,1＋ｋ2)>0,所以k >0,所以ｋ=２＼R(,2) ………………10分 (3）方法1因为直线CD 的方程为y =ｋ(x ＋1）,由错误!消去y ，得(1＋4k ２)x 2+8k ２x ＋4k 2－4=0， 设C (ｘ1，y 1）,D (ｘ2,y ２)，则x 1+x ２＝－错误!,x 1x ２=错误!， …………………1２分所以k 1k 2＝＼F(k 2（x 1+1) (x ２+１), (x 1-2）(x 2-２))＝错误! …………………1４分 ＝错误!=错误!=-错误!，所以k 1k 2为定值． ……………16分方法２因为直线B Ｃ的方程为y =k 1(x -２)，由错误!得C (错误!，错误!）, ………………12分 同理D (＼F(8k 22-2, 1+4k 22)，错误!),由于C ,M ，Ｄ三点共线，故错误!，错误!共线， 又错误!＝（错误!+1,错误!)=(错误!,错误!)，错误!=(错误!+１，错误!)＝(错误!，错误!)，所以错误!×错误!＝错误!×错误!, ……………14分 化简得12k 12k 2－k ２＝1２k 1k ２2－k 1，即(12k １k ２＋1)(k 1－k 2）＝０,由于k 1≠k 2,否则C ，D 两点重合，于是1２ｋ１k 2＋1=０,即k 1k 2＝-错误!,所以k 1k 2为定值． ……………1６分 方法3设C (ｘ0,y 0)，则CD :ｙ=＼f(y ０, x 0+1）(x +１）(-2＜x 0＜2且x 0≠-1）, 由错误!消去y ，得[(x 0+1)２＋4y 0２]x 2+8ｙ02x ＋4y 02-４(x ０+1)2=0. ………………12分 又因为错误!＋ｙ02=１,所以得D (错误!,错误!）， ………………１４分 所以k １k 2=错误!·错误!＝错误!＝错误!=错误!＝－错误!，所以k 1ｋ2为定值． ………………１6分 20.(本题满分16分）解:（1）a ＝1时，f (x ）＝x －ln x , 则f '(x )＝１-错误!＝错误!，令f '(x )=0，则x ＝1． ……………………２分 当０<x ＜1时，f '（ｘ)＜０，所以f (x ）在(0,1)上单调递减；当x >1时，f '(ｘ)>0，所以f (ｘ)在(1，+∞)上单调递增， ………………3分 所以当ｘ＝1时，ｆ (x ）取到最小值，最小值为1． …………………4分 （２)因为 f （x )=1，所以a ｘ-ｌn x =1,即ａ=１x +错误!， ………………6分设ｇ(x )=错误!+错误!，x ∈[错误!,e]，则g '(x )＝错误!， 令g ＇(ｘ)＝0，得x =1．当错误!＜x ＜１时,g '(x )>0，所以g (x )在(错误!，1）上单调递增；当1＜x ＜e 时，g '（x )＜0，所以g (x )在（１，ｅ)上单调递减; ………………8分 因为g (１）＝1，g (错误!)=0，g （e)=错误!,所以函数ｇ (ｘ)的值域是[0,１］, 所以a 的取值范围是[0，１］． ……………………10分 (3）对任意的x ∈［1,+∞),有f （x )≥f (错误!)成立， 则ax -ln x ≥错误!＋ln x ，即ａ（x -错误!)-2ln ｘ≥0．令h （x )＝a (ｘ-1x)－2ln x ,则h '（ｘ)=a （1+错误!)-错误!＝错误!,①当a ≥1时，ax ２-2x ＋a ＝ａ(ｘ-＼F (1,a ))２＋错误!≥0， 所以h ＇(x )≥0，因此ｈ(x )在［1,＋∞)上单调递增， 所以ｘ∈[1，＋∞)时，恒有h （x )≥h (1)＝0成立,所以a ≥1满足条件. ………………12分 ②当0＜ａ<1时,有错误!>１,若x ∈[1,错误!],则ax 2－2x ＋ａ＜0, 此时ｈ'(x )=a ｘ２－2ｘ+ax 2<0,所以h （x )在[１，＼F (1,ａ）]上单调递减,所以ｈ(1a）＜h （1）＝0,即存在x =错误!＞１,使得h (ｘ）<0,所以0<a ＜1不满足条件.……………14分③当ａ≤0时，因为x ≥1，所以ｈ'(x )=ax 2-2x +ax 2<0，所以h （x )在[1，＋∞)上单调递减，所以当x >1时,h (x )<ｈ（1)＝0，所以ａ≤0不满足条件．综上, a 的取值范围为［1，+∞). (6)。