南京市高二上期末数学试卷解析理科
江苏省南京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知等比数列中，，，则（ ） {}n a 22a =44a =8a =A ．8 B ．16C ．32D ．36【答案】B【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，从而求出. 816a =【详解】等比数列中，，，{}n a 22a =44a =，解得，故. 13124a q a q =⎧⎨=⎩22q =4844416a a q ==⨯=故选：B ．2．过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（ ） 22y x =F A B AB A ．2 B ．C ．D ．12312【答案】A【分析】先求出直线AB 的方程，利用“设而不求法”求解. 【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标.22y x =1(0,)8F 直线AB 的斜率为由直线方程的点斜式方程可得AB:.tan120k =︒=18y -=将直线方程代入到拋物线当中,整理得：.22y x =21208x -=设，则有，.1122(,),(,)A x y Bx y 12x x +=12116x x=-所以弦长. 2||22AB x -===故选：A3．已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦221:40C x y +-=222:44120C xy x y +-+-=,A BAB =A ．B ．CD ．2【答案】A【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利AB 1C AB 1C 用勾股定理及垂径定理即可求出．AB 【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：221:40C x y +-=222:44120C x y x y +-+-=AB.20x y -+=∵圆的圆心，，221:40C x y +-=()10,0C 2r =圆心到直线：的距离∴()0,0AB 20x y -+=d则． AB ===故选A【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．4．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m ．若水面下降1m ，则水面宽度为（ ）A ． mB ． mC ．mD ．12 m【答案】B【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程并求出，最后求()220x py p =->p 解当时的值即可求出水面宽度.=3y -x 【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程，()220x py p =->由题意知，抛物线经过点和点， ()4,2A --()4,2B 代入抛物线方程解得，， 4p =所以抛物线方程，28x y =-水面下降米，即，解得 1=3y -1x =2x =-所以此时水面宽度.12d x ==故选：B【点睛】本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.5．若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线C M M (5,0)A -(5,0)B 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）C A ． B ．C ．D ．5x y +=229x y +=221259x y +=216x y =【答案】B【分析】先求出点的轨迹方程为，“好曲线”一定与有公共点，联立后求出交M 221169x y -=221169x y -=点坐标或由判断出有无公共点，判断出结论.∆【详解】由题意知：平面内两点，距离之差的绝对值为8， M (5,0)A -(5,0)B 由双曲线定义知：的轨迹是以，为焦点的双曲线且，， M A B 4a =5c =故，22225169b c a =-=-=即轨迹方程为：，221169x y -= “好曲线”一定与有公共点，∴221169x y -=联立与得：，，221169x y -=5x y +=271605440x x -+=103860∆=>故与有公共点，A 为“好曲线”，5x y +=221169x y -=联立与得：，无解，B 不是“好曲线”，221169x y -=229x y +=263025y =-<联立与得：，，有解，C 为“好曲线”， 221169x y -=221259x y +=280041x =28141y =联立与得：，，有解，故D 为“好曲线”.221169x y -=216x y =2990y y -+=8136450∆=-=>故不是“好曲线”的是B ． 故选：B ．6．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆的顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是A ．B ． ⎫⎪⎪⎭⎛ ⎝C ．D ．⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭【答案】C【分析】过作直线的垂线，题意说明射线在直线上方，由此可得的不等关系1B 22A B l 1B P l ,,a b c （利用直线与轴交点得出不等式），从而可得离心率的范围．x 【详解】设直线l 为过且与垂直的直线，易知则直线l 的斜率为，1B 22A B 22,B A b k a=-ak b =而，则该直线l 的方程为，所以该直线与x 轴的交点坐标为，要使得()10,B b -ay x b b =-2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为钝角，则说明直线在直线l 上方，故满足，结合，得到12B PB ∠1B P 2b c a<222b a c =-得，结合解得. 22,,cac a c e a <-=结合210e e +-<01,e <<e ⎛∈ ⎝故选：C.【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是利用过与直线垂直的直线与射线1B 22A B l 1B P 关系得出不等式．7．已知数列的前项和为，，当时，，则等于（ ） {}n a n n S 11a =2n ≥12n n a S n -+=2021S A ．1008 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】D【分析】由时，得到，两式作差，整理可得：，结合2n ≥12n n a S n -+=121n n a S n ++=+11n n a a ++=并项求和，即可求解.【详解】解：由题意可得，当时，，， 2n ≥12n n a S n -+=121n n a S n ++=+两式作差可得， 121n n n a a a +-+=即，11(2)n n a a n ++=≥即当时，数列任意连续两项之和为1，又因为， 2n ≥11a =所以， 202112345202020212020()()()110112S a a a a a a a =+++++++=+= 故选：．D 8．若对任意正实数x ，不等式恒成立，则实数a 的范围是（ ）()21xe a x -≤A ． B ． C ．D ． ln 2122a ≤+ln 212a ≤+1ln 22a ≤+ln 2122a ≥+【答案】A【分析】转化问题为恒成立，设，则，利用导函数求得的21e x a x ≤+()21ex f x x =+()min a f x ≤()f x 最小值，即可求解. 【详解】因为不等式恒成立，，()2e 1xa x -≤2e 0x >所以恒成立， 21e xa x ≤+设，则， ()21e xf x x =+()min a f x ≤因为，令，则，()221e x f x '=-+()0f x '=ln 22x =所以当时，，当时，， ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭()0f x '<ln 2,2x +∈∞⎛⎫⎪⎝⎭()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x ln 2,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ln 2,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭所以， ()min ln 21ln 2222f x f ⎛⎫==+⎪⎝⎭所以， ln 2122a ≤+故选：A二、多选题9．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为()()1122,,,A x y B x y 24y x =O OA OB ⊥（ ） A ．为定值 B ．直线过抛物线的焦点 12y y AB 24y x =C ．最小值为16 D ．到直线的距离最大值为4AOB S A O AB 【答案】ACD【解析】由抛物线方程及斜率公式即可判断A ；设直线方程，结合韦达定理即可判断B ；利用AB韦达定理求得的最小值，即可判断C ；由直线过定点可判断D.12y y -AB 【详解】对于A ，因为，所以， OA OB ⊥12122212121216144OA OB y y y y k k y y x x y y =⋅=⋅==-所以，故A 正确；1216y y =-对于B ，设直线，代入可得， :AB x my b =+24y x =2440y my b --=所以，即，所以直线过点， 12416y y b =-=-4b =AB ()4,0而抛物线的焦点为，故B 错误； 24y x =()1,0对于C ，因为，18y -=≥当时，等号成立，0m =又直线过点，所以，故C 正确；AB ()4,0()min 148162AOB S =⨯⨯=△对于D ，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D 正确. AB ()4,0O AB 故选：ACD.【点睛】解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解. 10．以下四个命题为真命题的是（ ）A ．过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 ()1010-，x y 411542y x =-+B ．直线的倾斜角的范围是 20xcos θ+=][50,66πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，C ．曲线：与曲线：恰有一条公切线，则 1C 2220x y x ++=2C 22480x y x y m +--+=4m =D ．设是直线上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，P 20x y --=P O 221x y +=PA PB A B ，则经过，，三点的圆必过两个定点 A P O 【答案】BD【分析】根据直线方程的求解、直线斜率与倾斜角的关系，圆与圆的位置关系，以及圆方程的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：当直线方程为时，也满足题意，故A 错误；y x =-B，设其倾斜角为，则θ⎡∈⎢⎣αtan α⎡∈⎢⎣故倾斜角的范围是，故B 正确； ][50,66πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，C ：曲线：，曲线：，解得； 1C ()2211x y ++=2C ()()2224200x y m -+-=->20m <若它们有一条公切线，且它们内切，圆心距，51d ==-解得，故C 错误；16m =-D ：设点，根据切线的性质可得：，(),2P m m -AO PA ⊥经过三点的圆即为以为直径的圆，则圆的方程为，,,A P O PO ()()20x x m y y m -+-+=整理得：，()()2220x y y m x y ++-+=令，解得或， 2220,0x y y x y ++=+=0x y ==1,1x y ==-故经过三点的圆必过定点和，故D 正确. ,,A P O ()0,0()1,1-故选：BD.【点睛】本题综合考察直线和圆方程的求解，其中D 选项中，对圆恒过定点的处理，是解决问题的关键；同时要注意直线截距定义的把握以及直线倾斜角和斜率之间的关系，属综合中档题. 11．已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，{}n a q n n T 11a >9910010a a ->99100101a a -<-则（ ） A ．B ．01q <<9910110a a -<C ．的值是中最大的 D ．使成立的最大正整数数的值为198100T n T 1n T >n 【答案】ABD【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】∵，∴，∴. 9910010a a ->199000a a >0q >∵，∴， 99100101a a -<-()()99100110a a --<又，∴.故A 正确.11a >01q <<由A 选项的分析可知，，∴，∴，，故991a >10001a <<2991011001a a a =<9910110a a -<1009910099T T a T =<B 正确，C 不正确.∴，()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===> ，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===< ∴使成立的最大正整数数的值为198，故D 正确.1n T >n故选：ABD12．（多选）已知函数，下列关于的四个命题，其中真命题有（ ）2()x x f x e =()f x A ．函数在上是增函数 ()f x []0,1B ．函数的最小值为0 ()f x C ．如果时，，则的最小值为2 []0,x t ∈max 24()f x e=t D ．函数有2个零点 ()f x 【答案】ABC【分析】利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题.【详解】对于A ，因为，求导得，当或时，，当()2x x f x e=()()2xx x f x e -'=0x <2x >()0f x '<时，，故在和上单调递减，在上单调递增，故A 正确；02x <<()0f x '>()f x (),0∞-()2,∞+()0,2对于B ， 当时，，当时，，故B 正确； 0x =()0f x =x →+∞()0f x →对于C ， 当时，，则的图像如下所示： 2x =()242f e =()f x如果时，，由图可知的最小值为， 故C 正确； []0,x t ∈()2max 4f x e =t 2对于D ， 由图可知只有一个零点，故D 不正确. ()f x 故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及零点，解题的关键是要利用导数研究函数的单调性，最值，进而作出函数的图像，考查学生的运算能力与数形结合思想，属中档题.三、填空题13．已知直线与垂直，则m 的值为______． 1:210l x my ++=()2:4120l mx m y +++=【答案】0或-9##-9或0【分析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.【详解】因直线与垂直，则有，解得1:210l x my ++=()2:4120l mx m y +++=24(1)0m m m ⨯++=或，0m =9m =-所以m 的值为0或-9. 故答案为：0或-9 14．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则()1*N n y xn +=∈(1,1)x n x lg nn ax =的值为___． 122999a a a a ++++ 【答案】3-【分析】由导数的几何意义求得切线方程，令再求的与轴的交点的横坐标为，代入0y =x n x 中求得的通项公式，进而求得的值.lg n n a x =n a 122999a a a a ++++ 【详解】曲线，()1*N n y xn +=∈，（1），(1)n y n x '∴=+f ∴'1n =+曲线在处的切线方程为，∴1*()n y x n N +=∈(1,1)1(1)(1)y n x -=+-该切线与轴的交点的横坐标为， x 1n nx n =+， lg n n a x = ， lg lg(1)n a n n ∴=-+12999a a a ∴+++ (lg1lg 2)(lg 2lg 3)(lg 3lg 4)(lg 4lg 5)(lg 5lg 6)(lg 999lg1000)=-+-+-+-+-++- lg1lg1000 3.=-=-故答案为：．3-15．甲、乙两地相距240 km ，汽车从甲地以速度v (km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v 3元.为使全程运输成本最16400小，汽车应以________km/h 的速度行驶. 【答案】80【分析】根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值． 316400v【详解】解：设全程运输成本为元， y 由题意，得，， 3224011601(160)240()64006400y v v v v =+=+0v >． 21602240()6400y v v '=-+令，得．0y '=80v =当时，；当时，． 80v >0'>y 080v <<0'<y 所以函数在上递减，在上递增， 3224011601(160)240()64006400y v v v v =+=+()0,80()80,+∞所以 km/h 时，． 80v =720min y =故答案为：80.16．若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，若6π22221,(0)x y a b a b +=>>F A B ，则椭圆的离心率为___． ||3||AFBF =【分析】根据题意得出直线的方程为，设，将直线方程与椭圆AB )y x c =+1122(,),(,)A x y B x y 方程联立可得可得：，进而化简1y =2y =||3||AF BF=123y y =-即可求解.【详解】椭圆左焦点，直线的倾斜角为(,0)F c -AB 6π直线的方程为，设，∴AB )y x c =+1122(,),(,)A x y B x y 联立，得． )22221y x c x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2222430a b y cy b +--=解得：1y =2y=，．||3||AF BF = 123y y ∴=-，)2222232c abc ab +=-⨯-即，解得：224c ab =c e a ==四、解答题17．已知点及圆：.()2,0P C 226440x y x y +-++=(1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．l P C 1l (2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平10ax y -+=C A B a ()2,0P 2l 分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．AB a 【答案】（1）或；（2）见解析3460x y +-=2x =【详解】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于建立方程,解出1子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为,经验证可知也符合.(2)将直线2x =方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平分线经过圆心”,求出a 直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在.a a 试题解析:(1)设直线l 的斜率为k(k 存在)，则方程为y －0＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，1，解得k ＝. 34-所以直线方程为，即3x ＋4y －6＝0. ()324y x =--当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件(2)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0.由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点，故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0，解得a<0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)．设符合条件的实数a 存在．由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C(3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2.而k AB ＝a ＝－，所以a ＝. 1PCk -12由于，故不存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ()1,02∉-∞【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问由于题目给出圆心到直线的距离,故可利用点到直线的距离公式,建立方程,求的直线的斜率.由于直线的斜率可能不存在,故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么直线和圆方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.18．已知函数. ()()()1ln 0a f x x a x a x=-+->(1)当时，求的单调区间；3a =()f x (2)讨论的极值.()f x 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为()0,1()3,+∞()1,3(2)答案见解析【分析】（1）求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；（2）先求导函数，分类讨论函数的单调性，根据单调性得极值即可.【详解】（1）当时，， 3a =()34ln f x x x x =--则. ()()()22223143431x x x x f x x x x x ---+'=-+==由，得或；由，得.()0f x ¢>01x <<3x >()0f x '<13x <<所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.()f x ()0,1()3,+∞()1,3（2） ()()()21x a x f x x --'=当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，01a <<()f x ()0,a ()1,+∞(),1a 故此时的极大值为，极小值为；()f x ()()11ln f a a a a =--+()11f a =-当时，，即在上单调递增.此时无极值；1a =()0f x '≥()f x ()0,∞+()f x 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，故此时的极大值1a >()f x ()0,1(),a +∞()1,a ()f x 为，极小值为.()11f a =-()()11ln f a a a a =--+综上所述：当时， 的极大值为，极小值为； 01a <<()f x ()()11ln f a a a a =--+()11f a =-当时，，即在上单调递增.此时无极值；1a =()f x ()0,∞+()f x 当时， 的极大值为，极小值为.1a >()f x ()11f a =-()()11ln f a a a a =--+ ()()()21x a x f x x --'=19．已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.{}n a 13a =13a 4a 1a (1)求数列的通项公式；{}n a(2)设数列的前n 项和为，求证：. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 11156n T ≤<【答案】(1)21n a n =+(2)见解析.【分析】（1）根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解.（2）根据裂项相消求和，即可求出，然后根据单调性即可证明.n T 【详解】（1）设的公差为 ，因为，，成等比数列，{}n a d 13a 4a 1a 所以 ，()()222411333331220a a a d d d d =⋅⇒+=+⇒-=因为是递增，所以，故 ，所以. {}n a 0d >2d =21n a n =+（2）, ()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以 ， 11111111112355721232323n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为 单调递减，所以 单调递增， 123n +n T 故当 时， ，而， 1n =min 11()15n T T ==111123236n n T ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭故. 11156n T ≤<20．已知过圆C 1：x 2+y 2＝1上一点的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为1(2E 椭圆C 2：（a ＞b ＞0）的上顶点和右顶点． 22221x y a b+=（1）求椭圆C 2的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点Q （﹣1，0），求证：PM ⊥PN ．【答案】（1）；（2）证明见解析. 221443x y +=【分析】（1）设切线方程为y k （x ﹣），由圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出k ＝﹣12A （0，和B （2，0），直接写出椭圆的方程； （2）由（1）可知p （﹣2，0），设直线MN 方程为：x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）用设而不求法表示出，整理化简可得，即可证明PM ⊥PN ．PM PN A 0PM PN = A 【详解】（1）设过点的切线方程为yk （x ﹣），即kx ﹣y ＝0， 12E ⎛ ⎝1212k 因为圆心到直线的距离等于半径，，解得k ＝所以切线方程为，0x y -=令x ＝0，得y A （0，令y ＝0，得x ＝2，B （2，0）．所以b a ＝2， 所以椭圆C 2方程为：． 221443x y +=（2）由（1）可知p （﹣2，0），设直线MN 方程为：x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）联立直线与椭圆的方程得：（m 2+3）y 2﹣2my ﹣3＝0，y 1+y 2＝，y 1y 2＝， 223m m +233m -+x 1+x 2＝（my 1﹣1）+（my 2﹣1）＝m （y 1+y 2）﹣2，x 1x 2＝（my 1﹣1）（my 2﹣1）＝m 2y 1y 2﹣m （y 1+y 2）+1，＝（x 1+2，y 1）•（x 2+2，y 2）＝（x 1+2）（x 2+2）+y 1y 2 PM PN A ＝x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+y 1y 2，＝m 2y 1y 2﹣m （y 1+y 2）+1+2[m （y 1+y 2）﹣2]+4+y 1y 2，＝（m 2+1）y 1y 2+m （y 1+y 2）+1，＝（m 2+1）（）+m （）+1， 233m -+223m m +＝＝0， 222233233m m m m --++++所以PM ⊥PN ．21．已知数列{an }为等差数列，S 2＝0，S 6﹣S 3＝21.（1）求数列{an }的通项公式；（2）设bn ，求数列{bn }的前n 项和Tn . 11n n a a +=【答案】（1）an ＝2n ﹣3；（2）Tn 21n n =--【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据所给条件得到方程组，解得即可； {}n a 1a d （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求前项和；()()12123n b n n =--n 【详解】（1）数列{an }为等差数列，S 2＝0，S 6﹣S 3＝21.设数列的首项为a 1，公差为d ，则：，112047a d a d +=⎧⎨+=⎩解得：，d ＝2，11a =-所以，an ＝2n ﹣3；（2）由于：an ＝2n ﹣3， 所以：， ()()111111212322321n n n b a a n n n n +⎡⎤===-⎢⎥----⎣⎦所以：（）， 12n T =11111132321n n --+-++--- ， 111221n ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭. 21n n =--【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，裂项相消法求和，属于中档题.22．已知函数.()()ln 2e x f x x ax x =-+-(1)当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =()()1,1f (2)当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值. 1a ≥()f x b ≤1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭b 【答案】(1)1e y =--(2)−3【分析】（1）求出在处的导数值，求出，即可得出切线方程；()f x 1x =()1f（2）不等式化为对任意的恒成立即可，构造函数()2e ln x b x x x ≥-+-1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数求出最大值即可得出.()()2e ln x g x x x x =-+-【详解】（1）当时，，， 1a =()()ln 2e x f x x x x =-+-()()111e x f x x x'=-+-则，，所以切线方程为.()11e f =--()10f '=1e y =--（2）因为对任意的恒成立， ()f x b ≤1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即，当时，对任意的恒成立， ()2e ln x b x x ax ≥-+-1a ≥1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵，，∴， 1a ≥0x >()()2e ln 2e ln x x x x ax x x x -+-≤-+-只需对任意的恒成立即可. ()2e ln x b x x x ≥-+-1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭构造函数，， ()()2e ln x g x x x x =-+-()()()111e 11e x x g x x x x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝⎭∵，∴，且单调递增， 1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10x -<()1e x t x x =-∵，， 121e 202t ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()1e 10t =->∴一定存在唯一的，使得， 01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00t x =即，， 001e x x =00ln x x =-且当时，，即；当时，，即. 013x x <<()0t x <()0g x '>01x x <<()0t x >()0g x '<所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， ()y g x =01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,1x ∴， ()()()()000000max 012e ln 124,3x g x g x x x x x x ⎛⎫==-+-=-+∈-- ⎪⎝⎭所以b 的最小整数值为−3.。
江苏省南京市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为()f x ()y f x =()y f x '=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据()f x ()f x ()f x '此可判断的图象.()f x '【详解】由的图象可知，在上为增函数，()f x ()f x (),0∞-且在上存在正数，使得在上为增函数， ()0,∞+,m n ()f x ()()0,,,m n +∞在为减函数，(),m n 故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化， ()f x '()0,∞+()f x '故排除A ，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C. ()f x (),0∞-()0f x '≥(),0∞-故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.2．函数的单调递增区间（ ）()(31)x f x x e =-A ．B ．C ．D ．1(,3-∞2(,3-∞-2(,)3-+∞1(,)3+∞【答案】C【分析】求导，令求解. ()0f x '>【详解】解：因为， ()(31)x f x x e =-所以，()(32)x f x x e =+'令，解得，()0f x '>23x >-所以函数的单调递增区间是，()f x 2(,)3-+∞故选：C3．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在1111ABCD A B C D -AB a = AD b = 1AA c =E 1DDF 上，且，则等于（ ）BD 3BF FD =EFA ．B ．111332a b c --111442a b c --C ．D ．111442a b c -+ 111233a b c -+ 【答案】B【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解. 【详解】，11142=-=-EF DF DE DB DD ， ()11111142442=--=--AB AD DD a b c 故选：B4．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角x y +=2222(1)x y a a +=+-,A B O AOB A 形，则实数的值为 a A ．1B ．-1C ．D ．1212-【答案】C【详解】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到(0,0)O r 直线的距离为，则d d 由条件得，整理得． r =2243d r =所以，解得．选C ． 222633(1)a a a =+-12a =5．已知函数有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）()2ln xf x ax ax x e =--A ．B ．C ．D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,e 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),e +∞【答案】D【分析】令，再参变分离得到，再求导分析的单调性，进()0f x =2ln x e a x x x =-()2ln xe g x x x x=-而得到函数图象，数形结合即可得实数a 的取值范围【详解】函数有两个零点，即有两根，又()2ln x f x ax ax x e =--()2ln 0xa x x x e --=，故可转换为有两根，令， 则()2ln ln 0x x x x x x -=->2ln x e a x x x =-()2ln xe g x x x x =-，令，则，故()()()()()()22222ln 2ln 111ln ln ln x x e x x x x x e x x x g x xx x xx x --++---'==--()1ln h x x x =--()1x h x x-'=在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时等号成立，故()h x ()0,1()1,+∞()()10h x h ≥=1x =在上，单调递减；在上，单调递增，所以()0,1()0g x '<()g x ()1,+∞()0g x '>()g x ，又当与时，故实数a 的取值范围为 ()()min 1g x g e ==0x +→x →+∞()g x ∞→+(),e +∞故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单调性与最值，属于难题6．在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离xOy (1,2)A P 22y x =P y 与到点的距离之和的最小值为（ ） P A AB C ．D【答案】D【分析】根据题意画出图形，利用抛物线定义与三角形三边关系即可求解. 【详解】依题意，可得出如下图形：抛物线的方程为，22y x =抛物线的焦点为，，准线方程为，∴1(2F 0)l 12x =-设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结， P y Q PQ l B PF 则长即为点到轴的距离，可得，PQ P y 12PB PQ =+根据抛物线的定义，得，||||PB PF =， 1122PQ PA PB PA PF PA ∴+=+-=+-根据平面几何知识，可得，得. PF PA AF +≥12PQ PA AF +≥-当且仅当､､三点共线时等号成立，P A F1122==当､､三点共线时，的最小值为∴P A F PQ PA +即到轴的距离与到点P y P A 故选：D.7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为R ()f x ()()0xf x f x '+>()12f =()2e e xxf >（ ） A ． B ． C ．D ．()0,+∞()ln2,+∞()1,+∞()0,1【答案】A【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式. ()()g x xf x =()2e e xxf >【详解】设，则， ()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>故为上的增函数，()g x R 而可化为即， ()2e exx f >()()e e 211x x f f >=⨯()()g e 1x g >故即，所以不等式的解集为， e 1x >0x >()2e e xxf >()0,+∞故选：A.8．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系：{}n a {}n b ，数列的前项和为，则的值为（ ） 312123112n n n a a a a b b b b +++⋯+=-{}n b n n S 5S A ．454 B ．450 C ．446 D ．442【答案】A【分析】由已知可得，进而根据已知可推出当时，.进而得出21n a n =-2n ≥12n n n a b =()212n n b n =-⋅，求出前5项，相加即可得出答案.【详解】由题意可得：. 12(1)21n a n n =+-=-又①， 312123112n nn a a a a b b b b +++⋯+=-当时，②， 2n ≥311211231112n n n a a a a b b b b ---+++⋯⋯+=-①-②可得：， 111111222n n n n n a b -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭所以.()2212n nn n b a n ==-⋅又时，，可得，显然满足， 1n =11112a b =-12b =()212n n b n =-⋅所以.()212nn b n =-⋅所以. 512345S b b b b b =++++2345232527292454=+⨯+⨯+⨯+⨯=故选：A.二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有，则P ，A ，B ，C 四点共面111632OP OA OB OC =++C ．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底{},,a b c m a c =+{},,a b m D ．若，则是钝角 0a b ⋅<,a b 【答案】ABC【分析】对于A ，根据共线向量的概念理解判断；对于B ：根据且OP xOA yOB zOC =++u u u r u u r u u u r u u u rP ，A ，B ，C 四点共面，分析判断；对于C ：基底向量的定义是空间的一个1x y z ++=⇔{},,a b c基底不共面，分析判断；对于D ：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的,,a b c ⇔cos ,0a b < 范围分析判断．【详解】对于A ，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，所以A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有因为，111632OP OA OB OC =++ 1111632++=根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确；对于C ，由于是空间的一个基底，则向量不共面{},,a b c ,,a b c∵，则共面m a c =+,,a c m ∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C 正确；,,a b m{},,a b m 对于D ，若，即，又，所以，所以Dcos ,0⋅=< a b a b a b cos ,0a b <[],0,π∈ a b π,,π2a b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 不正确． 故选：ABC ．三、单选题10．函数，下列对函数的性质描述正确的是（ ） 3()32()f x x ax a R -+∈=()f x A ．函数的图象关于点对称 ()f x ()0,2B ．若，则函数f （x ）有极值点0a ≤C ．若，函数在区间单调递减0a >()f x (,-∞D ．若函数有且只有3个零点，则a 的取值范围是 ()f x ()1,+∞【答案】AD【分析】利用函数的对称性即可判断选项A 是否正确；对函数求导，分别就和进行()f x 0a ≤0a >讨论，即可判断选项B 、C 是否正确；函数有三个不同的零点，根据函数3()32()f x x ax a R -+∈=的单调性，可知函数的极小值小于0，极大值大于0，列出不等式组，求出a 的取值范围，由()f x 此即可判断选项D 是否正确．【详解】对于选项A ，因为，所以，所以3()32()f x x ax a R -+∈=3()32()f x x ax a R --++∈=，所以函数的图象关于点对称，故选项A 正确；()()4f x f x +-=()f x ()0,2对于选项B ，由，当时，，函数在定义域内为增函()()22333f x x a x a '=-=-0a ≤()0f x '≥()f x 数，此时函数没有极值点，故选项B 错误；()f x 对于选项C ，当时，由，解得又∵时，，所以函0a>()0f x '=x =(x ∈-∞()0f x >′数在区间单调递增，故选项C 错误；()f x (,-∞对于选项D ，由，()()22333f x x a x a '=-=-当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意； 0a ≤()0f x '≥()f x当时，由，解得0a >()0f x '=x =又∵时，，时，，时，，(x∈-∞，()0f x >′(x ∈()0f x <′)x ∈+∞()0f x >′∴函数单调递增区间为和，单调递减区间为，()f x (,-∞)+∞(∴函数的极小值和极大值．22f=-+(22f =+∵函数有三个不同的零点，3()32()f x x axa R -+∈=∴，即 ， 解得，故选项D 正确． 000a f f⎧>⎪⎪>⎨⎪⎪<⎩01010a >⎧⎪>⎨⎪>⎩1a >故选：AD.【点睛】方法点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．四、多选题11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足，则以下结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8B ．△PAB 面积最大时，PA=C ．∠PAB 最大时，PA=D ．P 到直线AC 距离最小值为【答案】ACD【分析】根据可求得点轨迹方程为，A 正确；PA =P ()2238x y -+=根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为AB P AB (3,P ±，由此可确定B 不正确；当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C 错误； ∠PAB PA 求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D 正确.AC【详解】解：对于A ：设，由得：，即(),P x y PA =222PA PB =()()2222121x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简可得：，即点轨迹方程为，故A 正确； ()2238x y -+=P ()2238x y -+=对于B ：直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆AB ()2238x y -+=∴P AB的半径，即为，()2238x y -+=r，面积最大为，2AB = PAB ∴A 122⨯⨯=(3,P ±B 不正确；PA ∴==对于C ：当最大时，则为圆的切线，∠PAB PA ()2238x y -+=，故C 正确；∴PA ==对于D ：直线的方程为，则圆心到直线， AC 770x y -+=()3,0AC =点到直线D 正确.∴P AC -=故选：ACD.12．“已知函数，对于上的任意，，若______，则必有2()cos f x x x =-,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1x 2x ()()12f x f x >恒成立.”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是（ ） A ． B ．C ．D ．12x x >120x x +>2212x x >121x x >【答案】CD【分析】确定函数的奇偶性和单调性后再判断．【详解】，是偶函数，22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=-=()f x在上，是增函数，是减函数，因此是增函数， 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y x =cos y x =()f x 因此，四个选项中只有CD 能得出． 12x x >12()()f x f x ⇔>12x x >故选：CD ．五、填空题13．已知数列为等差数列，.若数列也为等差数列，则___________.{}n a 13a =2{}n a n a =【答案】3【分析】根据等差数列的通项公式与中项公式即可求解. 【详解】依题意，由数列为等差数列，设其公差为，且， {}n a d 13a =得，， 23a d =+332a d =+又数列也为等差数列，2{}n a 则，即，2222132a a a =+()()2223932d d +=++解得：. 0d =.3n a ∴=故答案为：3.14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____()sin cos f x x x =+[]0,a a 【答案】0,4π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】利用辅助角公式进行化简解析式，再借助正弦函数的单调递增区间进行求解即可.【详解】由题意知，，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，22,242k x k k z πππππ-+≤+≤+∈解得， 322,44k x k k z ππππ-+≤≤+∈令可得，， 0k =344x ππ-≤≤所以为函数的一个单调递增区间，3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 因为函数在上单调递增，所以.()f x []0,a 04a π<≤故答案为：0,4π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用辅助角公式进行化简、利用正弦函数的单调区间求参数的取值范围；考查运算求解能力和整体代换的思想；熟练掌握辅助角公式和正弦函数的单调区间是求解本题的关键；属于中档题.六、双空题15．已知数列的各项均为正数，其前n 项和为，且，n ，则＝_______；{}n a n S 12n n n S a a +=N *∈4a 若＝2，则＝_______． 1a 20S 【答案】 4 220【分析】当时，利用， 即可得到 ，取即可.2n ≥1n n n a S S -=-n a 4n =利用已知递推公式，结合首项可以求得，进一步做差可以得出的奇数项和偶数项分别成22a ={}n a 等差数列，分组后利用等差数列求和公式即可. 【详解】根据①，得②， 12n n n S a a +=112n n n S a a --=①﹣②得， 112n n a a +--=()2n ≥又时，，可得 1n =1122a a a =⋅22a =故；4224a a =+=当＝2，，可得 ， 1a 22a =,1n n n a n n ⎧=⎨+⎩为偶数，为奇数即可求得201351924620=(++++)+(++++)S a a a a a a a a L L ． (220)10(2+20)10=22022+⨯⨯=+故答案为：4；220【点睛】本题主要考查了与的关系，数列的递推关系式，以及等差数列的定义和通项，属于n a n S 中档题.七、填空题16．已知函数为定义在R 上的增函数，且对，若不等式()f x ()()R,2x f x f x ∀∈+-=对恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 1()2ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()0,x ∀∈+∞【答案】 2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由，可得，则不等式可转化为()()R,2x f x f x ∀∈+-=12ln (2ln )2(2ln )f f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对恒成立，根据函数为定义在R 上的增函数，可得，通()(2ln )f ax f x ≥()0,x ∀∈+∞()f x 2ln ax x ≥过分离参数，利用导数研究函数的单调性极值即可求得结果【详解】因为，()()R,2x f x f x ∀∈+-=所以，12ln (2ln )2(2ln )f f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭因为不等式对恒成立，1()2ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()0,x ∀∈+∞所以对恒成立，()(2ln )f ax f x ≥()0,x ∀∈+∞因为函数为定义在R 上的增函数，()f x 所以，得在上恒成立，2ln ax x ≥2ln xa x ≥()0,x ∀∈+∞令，，则，2ln ()xg x x =()0,x ∈+∞22(1ln )()x g x x -'=当时，，当时，，0e x <<()0g x '>e x >()0g x '<所以 在上递增，在上递减，2ln ()xg x x =()0,e ()e,+∞所以当时，取得最大值，，e x =()g x max 2()(e)=e g x g =所以， 2e a ≥所以实数a 的取值范围是，2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭八、解答题17．记S n 为等比数列的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.{}n a （1）求的通项公式；{}n a （2）求Sn ，并判断Sn +1，Sn ，Sn +2是否成等差数列．【答案】（1）；（2）见解析.(2)n n a =-【详解】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利2q =-12a =-用等差中项证明Sn +1，Sn ，Sn +2成等差数列．试题解析：（1）设的公比为.由题设可得 ，解得，. {}n a q ()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩2q =-12a =-故的通项公式为.{}n a ()2n n a =-（2）由（1）可得. ()()111221133nn n n a q S q +-==-+--由于， ()()321214222212123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦故，，成等差数列.1n S +n S 2n S +点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18．已知E ，F 分别是正方体的棱BC 和CD 的中点．1111ABCD A B CD -(1)求与所成角的大小；1A D EF (2)求与平面所成角的余弦值．1A E 1B FB 【答案】(1)60°； (2).23【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；【详解】（1）以AB ，AD ，所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，1AA设正方体的棱长为，则，，，，1111ABCD A B C D -2a 1(0,0,2)A a (0,2,0)D a ()2,,0E a a (),2,0F a a 所以，，设与EF 所成角的大小为，1(0,2,2)A D a a =- (,,0)EF a a =- 1A D α则， 1111cos cos ,2A D EF A D EF A D EF α⋅====⋅ 因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°．(0,90⎤⎦ 1A D EF （2）设平面的法向量为，与平面所成角为，． 1B FB ()0000,,n x y z = 1A E 1B FB β0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ因为，，所以，，(2,0,0)B a 1(2,0,2)B a a (,2,0)BF a a =- 1(0,0,2)BB a = 所以，令，得为平面的一个法向量，又因为0000102020n BF ax ay n BB az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 02x =0(2,1,0)n = 1B FB ，1(2,,2)A E a a a =- 所以101010sin cos ,A E n A E n AE n β⋅====⋅ 所以． 2cos 3β==19．已知公差大于0的等差数列满足． {}n a 122311111+++⋅⋅⋅+=+n n n a a a a a a n (1)求的通项公式； {}n a (2)若，求数列的前21项和．1(1)n n n n b a a +=-{}n b 21S 【答案】(1)；n a n =(2).242-【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件列方程组解得，，即得；1a d （2）由题可得，然后分组求和法可得，结合条件进而即得.n b 2n S 【详解】（1）根据题意，当时，，即①，1n =12112a a =122a a =当时，，所以②， 2n =12231123a a a a +=236a a =设等差数列的公差为，{}n a (0)d d >由①②得，解得， 1111()2()(2)6a a d a d a d +=⎧⎨++=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以；11n a n n =+-=（2）因为，则，1(1)n n a a n n +=+1(1)(1)(1)n n n n n b a a n n +=-=-+所以，212(21)22(21)4n n b b n n n n n -+=--⋅++=所以, 22122124(1)4(12)222n n n n n S b b b b n n n -+=++++=⨯+++==+ 所以，又，20210020220S =⨯+=212122462b =-⨯=-故.21220462242S =-=-20．已知函数.2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1, (1))f （2）求的单调区间；()f x 【答案】（1）（2）详见解析=3y -【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；()1f ()1f '（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负()0f x '=01a <<1a =1a >得到函数的单调区间.【详解】（1），，， 1a = ()242ln f x x x x ∴=-+()224f x x x'∴=-+，又，()10f '∴=()1143f =-=-在处的切线方程为.()f x \()()1,1f =3y -（2）， ()()()()()()222122122210x a x a x a x a f x x a x x x x-++--'=-++==>令，解得：，.()0f x '=1x a =21x =①当时，若和时，；若时，；01a <<()0,x a ∈()1,+∞()0f x ¢>(),1x a ∈()0f x '<的单调递增区间为，；单调递减区间为；()f x \()0,a ()1,+∞(),1a ②当时，在上恒成立，1a =()0f x '≥()0,∞+的单调递增区间为，无单调递减区间；()f x \()0,∞+③当时，若和时，；若时，；1a >()0,1x ∈(),a +∞()0f x ¢>()1,x a ∈()0f x '<的单调递增区间为，；单调递减区间为；()f x \()0,1(),a +∞()1,a 综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 01a <<()f x ()0,a ()1,+∞(),1a 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；1a =()f x ()0,∞+当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.1a >()f x ()0,1(),a +∞()1,a 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.21．已知函数，.()ln f x kx x x =-R k ∈(1)当时，求函数的单调区间；2k =()f x (2)当时，恒成立，求的取值范围；01x <≤()f x k ≤k 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为()f x (0,e)(e,)+∞(2)，[1)∞+【分析】（1）直接对函数求导，利用导函数的正负即可求出单调区间.()f x （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可.k 【详解】（1）当时，，，，2k =()2ln f x x x x =-0x >()1ln f x x '=-由，解得；由，解得，()0f x ¢>0e x <<()0f x '<e x >所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.()f x (0,e)(e,)+∞（2），故，()ln f x kx x x =-()1ln f x k x '=--当时，因为，所以，因此恒成立，1k ≥01x <≤10ln k x -≥≥()0f x '≥即在，上单调递增，所以（1）恒成立，()f x (01]()f x f ≤k =当时，令，解得，1k <()0f x '=1e (0,1)k x -=∈当，，单调递增；1(0,e )k x -∈()0f x ¢>()f x当，，单调递减，1(e ,)k x -∈+∞()0f x '<()f x 于是，与恒成立相矛盾，()1(e )1k f f k ->=()f x k ≤综上，的取值范围为，.k [1)∞+22．已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，面12,F F ()2222:10x y C a b a b+=>>M C 12MF F △积最大值为，离心率2e =（1）求椭圆的标准方程；C （2）若过点的直线与椭圆交于两点，问:是否存在实数，使得恒1F l C ,A B 1111AF BF t AF BF +=成立.如果存在.求出的值.如果不存在，说明理由.t 【答案】（1）；（2）存在实数． 22142x y +=2t =【分析】（1）根据离心率公式，三角形面积公式以及关系列方程组求解即可求出方程；,,ab c （2）讨论直线斜率是否存在，从而设直线方程代入椭圆方程，结合韦达定理得出两根关系，利用弦长公式代入条件化简求解即可求出结果．【详解】(1）由题意可得222122,2c e a c b a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得.2224,2,2a b c ===故椭圆的标准方程为； C 22142x y +=如图，由可知.()2()1())12,F F 当直线的斜率不存在时，l ，则 2111b AF BF a +==11112AF BF t AF BF +==当直线的斜率存在时，设其斜率为，l k 则直线的方程为， l (y k x =+()()1122,,.A x y B x y 联立 (22142y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩整理得， ()222221440k x x k +++-=则2121224421k x x x x k +=-=+从而1x -=故212214+421k AF BF AB x k ===++则())()221112122211221k AF BF k x x x x k +=++++=+因为， 1111+AF BF t AF BF =所以 ()221121124++421==22121k AF BF k t AF BF k k +=++综上，存在实数，使得恒成立．2t =1111AF BF t AF BF =+【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
江苏省南京市高二数学上学期期末调研试题 理(含解析)苏教版
江苏省南京市2013-2014学年高二数学上学期期末调研试题 理（含解析）苏教版一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分. 1.命题“∀x ∈N ，x 2≠x ”的否定是 ．4.记函数f (x )＝x ＋1x的导函数为f '(x )，则 f '(1)的值为 ． 【答案】－1 【解析】试题分析：根据商的导数运算法则得22(1)1()x x f x x x -+'==-，所以(1)1f '=-解此类问题要注意顺序，不能将题目做成求(1)f 的导数 考点：商的导数运算法则5.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －y ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋2y的最大值为 ．8.如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3， ∠BAA 1＝60︒，E 为棱C 1D 1的中点，则→AB ⋅→AE ＝ ．CAB D A 1 B 1C 1D 1E（第8题图）11.已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝ cm 时，圆柱的表面积最小． 【答案】2 【解析】试题分析：圆柱的体积为221616V r h r h ππ==⇒=，圆柱的表面积22232162222()S rh r r r πππππ=+=+=+，由2162(2)0S r π'=-+=得2r =， x(0,2)2 (2,)+∞ S '- 0+S ]极小值，也是最小值[当底面半径r ＝2时，圆柱的表面积最小．考点：利用导数求最值，12.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x －y －1＝0，x －y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B ，C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ．13.定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y ＝f '(x ) 的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像一定不经过第 象限．【答案】一 【解析】试题分析：设导函数y ＝f '(x )的零点为00,(0)x x <，所以当0x x <时，()f x 单调增；当0x x >时，()f x 单调减，又(0)0f =，则由图像知()f x 一定不经过第一象限.考点：导函数与原函数的关系14.已知A 是曲线C 1：y ＝ax －2(a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ．（第13题图）Oxy二、解答题：本大题共6小题，共58分. 15.（本题满分8分）已知m ∈R ，设p ：复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，q ：复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10．（1）当p 为真命题时，求m 的取值范围；（2）若命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围． 【答案】（1）(－3，1) （2）(－3，－1)∪[1，5] 【解析】试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点为(,)a b ，所以有⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．从而可解得m 的取值范围为(－3，1)，（2）因为命题“p 且q ”一假就假，所以p ，q 中至少有一个为假；因为命题“p 或q ”一真就真，所以p ，q 中至少有一个为真；综合得p ，q 中一真一假.若q 为真，则q 为假；或若q 为假，则q 为真.先求命题为真时参数范围，再根据集合的补集求命题为假时参数范围.试题解析：解（1）因为复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i 在复平面内对应的点在第二象限， 所以⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．解得－3＜m ＜1，即m 的取值范围为(－3，1)． ……………… 3分16.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若直线x＋y＋a＝0与圆C交于A，B两点，且AB＝2，求实数a的值．17.（本题满分10分）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝a，E，F分别为AD，CD的中点.（1）若AC1⊥D1F，求a的值；（2）若a＝2，求二面角E－FD1－D的余弦值.试题解析：ABC D C 1BA 1D 1E F （第17题z y x ABCD C 1B 1A 1D 1E F（第17题图）18.（本题满分10分）已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年．．．．销量．．(单位：万件)与(2－x)2成正比，比例系数为4．（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．【答案】（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能【解析】（2）由（1）知y ＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2， 从而y ′＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)． 令y ′＝0，解得x ＝32，或x ＝116．列表如下：x (1，32)32 (32，116) 116 (116，2) f ′(x )＋－＋f (x ) 递增 极大值 递减 极小值 递增……………… 7分又f (32)＝1，f (2)＝1，所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益． ……………… 10分考点：函数解析式，利用导数求函数最值19.（本题满分10分）已知函数f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，其中a ≥0． （1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2）讨论函数f (x )的单调性．【答案】（1）2x －y －4＝0，（2）当a ＝0时，f (x )的单调增区间是(0，2)，单调减区间是(2，＋∞)； 当0＜a ＜12时，f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)，减区间为(2，1a )；当a ＝12时，f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；当a ＞12时，f (x )的单调增区间是(0，1a )和(2，＋∞)，减区间为(1a，2)（2）因为f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，所以f ′(x )＝2ax －(4a ＋2)＋4x ＝2ax 2－(4a ＋2)x ＋4x ＝2(ax －1)(x －2)x，其中x ＞0．①当a ＝0时，f ′(x )＝－2(x －2)x，x ＞0．由f ′(x )＞0得，0＜x ＜2，所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)；单调减区间是(2，＋∞)；……………… 6分②当0＜a ＜12时，因为1a ＞2，由f ′(x )＞0，得x ＜2或x ＞1a．所以函数f (x )的单调增区间是(0，2)和(1a ，＋∞)；单调减区间为(2，1a)；……………… 8分③当a ＝12时，f ′ (x )＝(x －2)2x ≥0，且仅在x ＝2时，f ′(x )＝0，所以函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；④当a ＞12时，因0＜1a ＜2，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1a或x ＞2，20.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点B 、C 的坐标为B (－2，0)，C (2，0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为－14，设顶点A 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）设曲线E 与y 轴负半轴的交点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与曲线E 的另一个交点分别为M ，N ．设l 1的斜率为k (k ≠0)，△DMN 的面积为S ，试求S ∣k ∣的取值范围． 【答案】（1）x 24＋y 2＝1（x ≠±2)（2）(0，2017)∪(2017，8017)∪(8017，8)试题解析：解（1）设顶点A 的坐标为(x ，y )，则k AB ＝y x ＋2，k AC ＝y x －2，………… 2分 因为k AB ⋅k AC ＝－14，所以y x ＋2⋅ y x －2＝－14， 即x 24＋y 2＝1．（或x 2＋4y 2＝4）.所以曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1（x ≠±2) ． ……………… 4分。
2021-2022学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2021-2021学年江苏省南京市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．〔5分〕命题“假设a=b，那么|a|=|b|〞的逆否命题是．2．〔5分〕双曲线=1的渐近线方程是．3．〔5分〕复数为纯虚数，其中i是虚数单位，那么实数a的值是．4．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点〔4，3〕到直线3x﹣4y+a=0的间隔为1，那么实数a的值是．5．〔5分〕曲线y=x4与直线y=4x+b相切，那么实数b的值是．6．〔5分〕实数x，y满足条件那么z=2x+y的最大值是．7．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，那么点P的横坐标是．8．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2〔r＞0〕与圆M：〔x﹣3〕2+〔y+4〕2=4相交，那么r的取值范围是．9．〔5分〕观察以下等式：〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2=×1×2；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+sin〔〕﹣2=×2×3；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×3×4；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×4×5；…照此规律，〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+〔sin〕﹣2=．10．〔5分〕假设“∃x∈R，x2+ax+a=0〞是真命题，那么实数a的取值范围是．11．〔5分〕函数f〔x〕=〔x2+x+m〕e x〔其中m∈R，e为自然对数的底数〕．假设在x=﹣3处函数f 〔x〕有极大值，那么函数f 〔x〕的极小值是．12．〔5分〕有以下命题：①“m＞0〞是“方程x2+my2=1表示椭圆〞的充要条件；②“a=1〞是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行〞的充分不必要条件；③“函数f 〔x〕=x3+mx单调递增〞是“m＞0〞的充要条件；④p，q是两个不等价命题，那么“p或q是真命题〞是“p且q是真命题〞的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．〔5分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2c〔c＞0〕，左焦点为F，点M的坐标为〔﹣2c，0〕．假设椭圆E上存在点P，使得PM=PF，那么椭圆E 离心率的取值范围是．14．〔5分〕t＞0，函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=f〔f〔x〕﹣1〕恰有6个不同的零点，那么实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A〔7，8〕，B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕．〔1〕求BC边上的中线所在直线的方程；〔2〕求BC边上的高所在直线的方程．16．〔14分〕数列{a n}满足a1=1，〔a n﹣3〕a n+1﹣a n+4=0〔n∈N*〕．〔1〕求a2，a3，a4；〔2〕猜测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M 与直线x+y﹣1=0相切于点P〔2，﹣1〕．〔1〕求圆M的方程；〔2〕过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．〔16分〕某休闲广场中央有一个半径为1〔百米〕的圆形花坛，现方案在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形〔梯形ABCF和梯形DEFC〕构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径〔如图〕．设∠AOF=θ，其中O为圆心．〔1〕把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f〔θ〕；〔2〕当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．19．〔16分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率为，两个顶点分别为A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，点M〔﹣1，0〕，且3=，过点M斜率为k〔k≠0〕的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕假设BC⊥CD，求k的值；〔3〕记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．〔16分〕函数f〔x〕=ax﹣lnx〔a∈R〕．〔1〕当a=1时，求f〔x〕的最小值；〔2〕假设存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；〔3〕假设对任意的x∈[1，+∞〕，有f〔x〕≥f〔〕成立，求a的取值范围．2021-2021学年江苏省南京市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．〔5分〕命题“假设a=b，那么|a|=|b|〞的逆否命题是假设|a|≠|b|，那么a≠b．【解答】解：命题“假设a=b，那么|a|=|b|〞的逆否命题是命题“假设|a|≠|b|，那么a≠b〞，故答案为：“假设|a|≠|b|，那么a≠b〞2．〔5分〕双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．〔5分〕复数为纯虚数，其中i是虚数单位，那么实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点〔4，3〕到直线3x﹣4y+a=0的间隔为1，那么实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．〔5分〕曲线y=x4与直线y=4x+b相切，那么实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P〔m，n〕那么有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；那么：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．〔5分〕实数x，y满足条件那么z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，那么当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A〔3，3〕．此时z=9，故答案为：9．7．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，那么点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的间隔与到准线的间隔是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2〔r＞0〕与圆M：〔x﹣3〕2+〔y+4〕2=4相交，那么r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．〔5分〕观察以下等式：〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2=×1×2；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+sin〔〕﹣2=×2×3；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×3×4；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×4×5；…照此规律，〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+〔sin〕﹣2=n〔n+1〕．【解答】解：观察以下等式：〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2=×1×2；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+sin〔〕﹣2=×2×3；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×3×4；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×4×5；…照此规律〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+〔sin〕﹣2=×n 〔n+1〕，故答案为：n〔n+1〕10．〔5分〕假设“∃x∈R，x2+ax+a=0〞是真命题，那么实数a的取值范围是〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕．【解答】解：假设“∃x∈R，x2+ax+a=0〞是真命题，那么△=a2﹣4a≥0，解得：a∈〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕，故答案为：〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕11．〔5分〕函数f〔x〕=〔x2+x+m〕e x〔其中m∈R，e为自然对数的底数〕．假设在x=﹣3处函数f 〔x〕有极大值，那么函数f 〔x〕的极小值是﹣1．【解答】解：f〔x〕=〔x2+x+m〕e x，f′〔x〕=〔x2+3x+m+1〕e x，假设f〔x〕在x=﹣3处函数f 〔x〕有极大值，那么f′〔﹣3〕=0，解得：m=﹣1，故f〔x〕=〔x2+x﹣1〕e x，f′〔x〕=〔x2+3x〕e x，令f′〔x〕＞0，解得：x＞0，令f′〔x〕＜0，解得：x＜﹣3，故f〔x〕在〔﹣∞，﹣3〕递增，在〔﹣3，0〕递减，在〔0，+∞〕递增，故f〔x〕=f〔0〕=﹣1，极小值故答案为：﹣1．12．〔5分〕有以下命题：①“m＞0〞是“方程x2+my2=1表示椭圆〞的充要条件；②“a=1〞是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行〞的充分不必要条件；③“函数f 〔x〕=x3+mx单调递增〞是“m＞0〞的充要条件；④p，q是两个不等价命题，那么“p或q是真命题〞是“p且q是真命题〞的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，假设函数f 〔x〕=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．〔5分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2c〔c＞0〕，左焦点为F，点M的坐标为〔﹣2c，0〕．假设椭圆E上存在点P，使得PM=PF，那么椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P〔x，y〕，由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒〔x+2c〕2+y2=2〔x+c〕2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，那么圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．〔5分〕t＞0，函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=f〔f〔x〕﹣1〕恰有6个不同的零点，那么实数t的取值范围是〔3，4〕．【解答】解：∵函数f〔x〕=，∴函数f′〔x〕=，当x＜，或x＜t时，f′〔x〕＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′〔x〕＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f〔x〕取极大值，函数f〔x〕有两个零点0和t，假设函数g〔x〕=f〔f〔x〕﹣1〕恰有6个不同的零点，那么方程f〔x〕﹣1=0和f〔x〕﹣1=t各有三个解，即函数f〔x〕的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=〔t﹣3〕〔2t+3〕2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈〔3，4〕，故答案为：〔3，4〕二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A〔7，8〕，B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕．〔1〕求BC边上的中线所在直线的方程；〔2〕求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：〔1〕由B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕，得BC中点D的坐标为〔6，0〕，…〔2分〕所以AD的斜率为k==8，…〔5分〕所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8〔x﹣6〕，即8x﹣y﹣48=0．…〔7分〕〔2〕由B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕，得BC所在直线的斜率为k==1，…〔9分〕所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…〔12分〕所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1〔x﹣7〕，即x+y﹣15=0．…〔14分〕16．〔14分〕数列{a n}满足a1=1，〔a n﹣3〕a n+1﹣a n+4=0〔n∈N*〕．〔1〕求a2，a3，a4；〔2〕猜测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：〔1〕令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．〔2〕猜测a n=〔n∈N*〕．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，那么〔a k﹣3〕a k+1﹣a k+4=0，即〔﹣3〕a k+1﹣+4=0，所以a k=，即a k+1==，+1所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P〔2，﹣1〕．〔1〕求圆M的方程；〔2〕过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：〔1〕过点〔2，﹣1〕且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…〔2分〕由解得，所以圆心M的坐标为〔1，﹣2〕，…〔4分〕所以圆M的半径为r=，…〔6分〕所以圆M的方程为〔x﹣1〕2+〔y+2〕2=2．…〔7分〕〔2〕因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的间隔为d==，…〔9分〕假设直线l的斜率不存在，那么l为x=0，此时，圆心M到l的间隔为1，不符合题意．假设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…〔11分〕整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…〔13分〕所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…〔14分〕18．〔16分〕某休闲广场中央有一个半径为1〔百米〕的圆形花坛，现方案在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形〔梯形ABCF 和梯形DEFC〕构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径〔如图〕．设∠AOF=θ，其中O为圆心．〔1〕把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f〔θ〕；〔2〕当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．【解答】〔此题总分值16分〕解：〔1〕作AH⊥CF于H，那么OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…〔2分〕那么六边形的面积为f 〔θ〕=2×〔AB+CF〕×AH=〔2cosθ+2〕sinθ=2〔cosθ+1〕sinθ，θ∈〔0，〕．…〔6分〕〔2〕f′〔θ〕=2[﹣sinθsinθ+〔cosθ+1〕cosθ]=2〔2cos2θ+cosθ﹣1〕=2〔2cosθ﹣1〕〔cosθ+1〕．…〔10分〕令f′〔θ〕=0，因为θ∈〔0，〕，所以cosθ=，即θ=，…〔12分〕当θ∈〔0，〕时，f′〔θ〕＞0，所以f 〔θ〕在〔0，〕上单调递增；当θ∈〔，〕时，f′〔θ〕＜0，所以f 〔θ〕在〔，〕上单调递减，…〔14分〕所以当θ=时，f 〔θ〕取最大值f 〔〕=2〔cos+1〕sin=．…〔15分〕答：当θ=时，可使得六边形区域面积到达最大，最大面积为平方百米．…〔16分〕19．〔16分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率为，两个顶点分别为A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，点M〔﹣1，0〕，且3=，过点M斜率为k〔k≠0〕的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕假设BC⊥CD，求k的值；〔3〕记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：〔1〕因为3=，所以3〔﹣1+a，0〕=〔a+1，0〕，解得a=2．…〔2分〕又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…〔4分〕〔2〕设点C的坐标为〔x0，y0〕，y0＞0，那么=〔﹣1﹣x0，﹣y0〕，=〔2﹣x0，﹣y0〕．因为BC⊥CD，所以〔﹣1﹣x0〕〔2﹣x0〕+y02=0．①…〔6分〕又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…〔8分〕所以k==2．…〔10分〕〔3〕，设C〔x0，y0〕，那么CD：y=〔x+1〕〔﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1〕，由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4〔x0+1〕2=0．…〔12分〕又因为+y02=1，所以得D〔，〕，…〔14分〕所以===3，所以为定值．…〔16分〕20．〔16分〕函数f〔x〕=ax﹣lnx〔a∈R〕．〔1〕当a=1时，求f〔x〕的最小值；〔2〕假设存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；〔3〕假设对任意的x∈[1，+∞〕，有f〔x〕≥f〔〕成立，求a的取值范围．【解答】解：〔1〕f〔x〕=x﹣lnx〔x＞0〕的导数为f′〔x〕=1﹣=，当x＞1时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递增；当0＜x＜1时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递减．即有f〔x〕在x=1处获得极小值，也为最小值，且为1；〔2〕存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g〔x〕=，x∈[1，3]，那么g′〔x〕=〔1﹣lnx〕〔1+〕，当1＜x＜e时，g′〔x〕＞0，g〔x〕递增；当e＜x＜3时，g′〔x〕＜0，g〔x〕递减．那么g〔x〕在x=e处获得极大值，且为最大值e+；g〔1〕=2，g〔3〕=3〔2﹣ln3〕+＞2，那么a的取值范围是[2，e+]；〔3〕假设对任意的x∈[1，+∞〕，有f〔x〕≥f〔〕成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a〔x﹣〕≥2lnx，x≥1，令F〔x〕=a〔x﹣〕﹣2lnx，x≥1，F′〔x〕=a〔1+〕﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′〔x〕≥0在〔1，+∞〕恒成立，即有a〔1+〕﹣≥0，即a≥，由=＜=1，那么a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞〕．。
南京市高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)
南京市高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是．4．“x＞1”是“x2＞1”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为．6．函数f（x）=xe x的最小值是．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a= ．8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是．9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是．13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．17．（14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B （1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圆E的方程；（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为kAB ，KAC．（1）求椭圆的标准方程；（2）求kAB •kAC的值；（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x ﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为 y=±x=±x，故答案为 y=±．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题．4．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y﹣1=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，代点求c值可得．【解答】解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，由直线过点（1，1）可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0，故答案为：2x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．6．函数f（x）=xe x的最小值是﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．【解答】解：求导函数，可得y′=e x+xe x，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增∴x=﹣1时，函数y=xe x取得最小值，最小值是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于基础题．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a= ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：当a=0或a=1时，不满足条件，舍去．两条直线的斜率分别为：，．∴l1⊥l2，∴k1k2==﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，属于基础题．8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是x﹣2y=0 ．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．则kl •kAB=﹣1，即可得出．【解答】解：过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．∴kl •kAB=﹣1，∴kl=．∴直线l的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则圆锥的高h=2×sin60°=．【点评】考查了学生的空间想象力．10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是（x ﹣1）2+（y﹣1）2 =2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，2），可得圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），求得半径AM的值，可得要求的圆的方程．【解答】解：圆C：（x+3）2+（y+3）2=18的圆心C（﹣3，﹣3）．根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，2），故圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），半径为AM=，故要求的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高，则顶点在底面的射影为底面中心，利用正方形的性质可求出底面中心到底面顶点的距离，借助勾股定理求出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：取底面中心O，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SO，AO，∵四棱锥S﹣ABCD为正四棱锥，∴SO⊥平面ABCD，∵AO⊂平面ABCD，∴SO⊥AO．∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AE=AB=1，∠OAE=∠BAD=45°，∴OE=AE=1，∵OE2+AE2=AO2，∴AO=，∵SA=，∴SO==1．•SO=•22•1=．V=•SABCD故答案为．【点评】本题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于基础题．12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】题目给出的函数f（x）为抽象函数，没法代式求解不等式f（x）＞x，结合题目给出了对任意x∈R，f′（x）＞1这一条件，想到借助于辅助函数解决，令令g（x）=f（x）﹣x，然后分析g（x）在实数集上的单调性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）与0的关系求解不等式f（x）＞x的解集．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则，g′（x）=f′（x）﹣1，∵f′（x）＞1，∴g′（x）＞0，所以函数g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，又g（1）=f（1）﹣1=0，则由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，∴f（x）﹣x＞0的解集为（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集为（1，+∞）故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，解答此题的关键是引入辅助函数g（x）．13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．设Q（x0，y），∵=2，∴（x0，y﹣a）=2（﹣a﹣x，﹣y）．∴，解得．代入椭圆方程得+=1，化为=．∴e===．故答案：【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是∅．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数图象，令f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，由函数函数f（x）=的值域为R，可得f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，要使函数y=f （f（x）﹣2a）有两个零点，必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点．【解答】解：函数y=的定义域是（0，+∞），令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函数y=在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故x=e时，函数y=取得最大值，最大值是，函数y=x2﹣4（ x≤0）是抛物线的一部分．∴函数f（x）=的图象如下：令y=f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，∵函数函数f（x）=的值域为R，∴f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞⇒a∈∅，故答案为∅【点评】本题考查了利用数形结合的思想求解函数的零点问题，同时也考查了函数的单调性及分类讨论思想，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）（2016秋•淮安期末）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；（2）若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，故△=4a2﹣12a≤0，解得：a∈[0，3]，故当a=1时，命题p为真命题；（2）若命题q：方程+=1表示双曲线为真命题，则（a+2）（a﹣2）＜0．解得：a∈（﹣2，2），若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，故a∈[0，2）．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．16．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1（2）只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：（1）证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，∵F为A1B1的中点，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C⊂B1CE，∴B1C∥平面FAC1（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F⊂面A1C1B1，∴A1A⊥C1 F，∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．17．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）设BC=x，求出AB，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．【解答】解：（1）连接OC，设BC=x，则y=2，（其中0＜x＜30），（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；∴V′=（900﹣3x2），令V′（x）=0，得x=10；因此V（x）=（900x﹣x3）在（0，10）上是增函数，在（10，30）上是减函数；∴当x=10时，V（x）取得最大值V（10）=，∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．18．（16分）（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圆E的方程；（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用待定系数法求△ABC外接圆E的方程；（2）分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l的方程；（3）求出P的轨迹方程，与圆E联立，即可得出结论．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=﹣4，F=1，∴△ABC外接圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，联立，得或，弦长为2，满足题意．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4=kx，即t=kx+4，联立，得（1+k2）x﹣（2k﹣2）x﹣2=0，△=[﹣（2k﹣2）]2+8（1+k2）=12k2+8k+12＞0，设直线l与圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），则，，∵弦长为2，∴ =2，解得k=1，∴直线l的方程为x﹣y+4=0．∴直线l的方程为x=0，或x﹣y+4=0．（3）设P（x，y），∵PB2﹣2PA2=12，A（﹣1，2），B（1，4），∴（x﹣1）2+（y﹣4）2﹣2（x+1）2﹣2（y﹣2）2=12，即x2+y2+6x+16y+5=0．与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0相减可得2x+5y+1=0，与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0联立可得29y2+14y+9=0，方程无解，∴圆E上不存在点P，满足PB2﹣2PA2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．19．（16分）（2016秋•淮安期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为kAB ，KAC．（1）求椭圆的标准方程；（2）求kAB •kAC的值；（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：2c=2， =1，又a2=b2+c2，联立解得求出椭圆的方程．（2）设切线方程为y=kx+1，则（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2（k1≠k2），k1•k2=1，由切线方程与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直线BD方程，进而得到直线．（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．设经过点A所作的圆的切线方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：xB ，xC．yB，yC，kBC=．可得直线BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2c=2， =1，又a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为=1．（2）A（0，1），设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．则=r，化为：（r2﹣1）k2+2k+r2﹣1=0，则kAB •kAC==1．（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．联立，化为：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，∴xB =，xC==．yB =，yC=．∴kBC==．∴直线BC的方程为：y﹣=，令x=0，可得：y=．∴直线BC经过定点．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线方程、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）（2016秋•淮安期末）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出a的值即可；（3）即a≥，设g（x）=，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx+x，f′（x）=1+，f（1）=1，f′（1）=2，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），即：2x﹣y﹣1=0；（2）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+a=，a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，无极值，a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，故f（x）的极大值是f（﹣）=ln（﹣）﹣1，若函数y=f（x）的极大值为﹣2，则ln（﹣）﹣1=﹣2，解得：a=﹣e；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，即x∈[1，e]时，ax2﹣lnx﹣（a﹣2）x≥0恒成立．即a≥，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（1，+∞）上递增，∴当x∈[1，e]时，g（x）≤g（e）=，∴a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，∴实数a的取值范围为[，0）．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．。
2022年江苏省南京市金陵中学高二数学理上学期期末试卷含解析
2022年江苏省南京市金陵中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设a ，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可． 【解答】解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立， 即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件， 故选：A2. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ． 43B ．55C ．61D ．81参考答案：C3. 已知倾斜角为A 、B 两点，则弦AB的长为（ ）A 、16B 、18C 、8D 、6参考答案：C4. 在的展开式中的常数项是（ ）A. B ． C ．D ．参考答案：A 略5. 已知变量x 与y 之间的一组数据：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测当时，y 的估计值是（）A ．19B ．20C ．21D ．22参考答案：A6. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：C7. 已知双曲线C :上任意一点为G ，则G 到双曲线C 的两条渐近线距离之积为A. B. C. 1 D.参考答案：B设，双曲线的两条渐近线方程分别为，所以到双曲线的两条渐近线的距离分别为，所以又因为点在双曲线上，所以，即，代入上式，可得.8. 下列命题中为真命题的是（）A．命题“若∥且∥，则∥”B．命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题C．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题参考答案：C【考点】四种命题．【分析】根据向量平行判断A，写出命题的逆命题．即可判断B，写出命题的否命题，即可判断C，根据原命题和逆否命题为等价命题判断D【解答】解：对于A：零向量和和非零向量都平行，故若∥且∥，则∥”为假命题，对于B：命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题为“若x＞0，则x＞2015”显然为假命题，对于C：命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“则若xy≠0，则x≠0且y≠0”为真命题，对于D：命题“若x2≥1，则x≥1”为假命题，则逆否命题也为假命题，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础．9. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A B C D参考答案：A5. 在等差数列中，已知，是数列的前n项和，则=( )A.45B.50C.55D.60参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过抛物线y2＝2px (p＞0)焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，M、N为准线l上两点，AM⊥l，BN⊥l，M、N为垂足，C为线段AB中点，D为线段MN中点，CD交抛物线于点E，下列结论中正确的是 .（把你认为正确的序号都填上）①＋为定值②以AB为直径的圆与l相切③以MN为直径的圆与AB所在直线相切④以AF为直径的圆与y轴相切⑤E为线段CD中点参考答案：①②③④⑤略12. 若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .参考答案：a≤813. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数a 的值为.参考答案：0或4圆心到直线的距离为：，结合弦长公式有：，求解关于实数的方程可得：或.14. 如图，在长方形中，，．现将沿折起，使平面平面，设为中点，则异面直线和所成角的余弦值为．参考答案：略15. “扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数学是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷.图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在ABCDEFG这七个方块中，有雷的方块为．参考答案：ADFG第4行第7个数字2，所以F、G方块有雷. 第4行第6个数字4，说明E方块没有雷.由于第4行第4个数字3，说明C、D中必有一个有雷. 假设C有雷，D无雷. 由于第6行第7个数字2，所以第7行6、7、8、9都没有雷，第5个有雷，但是第6行第4 个数字2，这样第6行第4个数字周围就有3个雷，与题目矛盾，故C无雷，D有雷.由于第4行第3个数字1，所以B五雷，由于第4行第2个数字1，所以A有雷. 故有雷的是A、D、F、G.故填A、D、F、G.16. 以椭圆=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的a=、c=2，进而计算可得结论．【解答】解：∵椭圆方程为：=1，∴其焦点坐标为：（﹣，0）、（，0），顶点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），∴双曲线的焦点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），顶点坐标为：（﹣，0）、（，0），∴双曲线方程：中a=、c=2，∴b2=c2﹣a2=8﹣3=5，∴双曲线方程：，故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程，注意解题方法的积累，属于中档题．17. 设，当时，恒成立，则实数的取值范围为▲．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．设正项等比数列{}n a 满足4336a a -=，26a =，则1a =（）A ．3B ．12C ．2D ．13【正确答案】C【分析】本题可设公比为q ，然后根据4336a a -=得出26q q -=，通过计算求出3q =，最后通过21aa q=即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为4336a a -=，26a =，所以22236a q a q -=，即26636q q -=，26q q -=，解得3q =或2-（舍去），3q =，则21623a a q ===，故选：C.2．“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，即214k +=，23k ∴=，即k =，∴“k 是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件，故选：A ．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．3．如果抛物线2y ax =的准线是直线1x =，那么它的焦点坐标为（）A ．（1，0）B ．（2，0）C ．（3，0）D ．()1,0-【正确答案】D【分析】结合抛物线的知识确定正确答案.【详解】由于抛物线的准线是直线1x =，所以它的焦点为()1,0-.故选：D4．过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60，则||||AF BF 的值为（）A ．2B ．3C ．32D ．52【正确答案】B【分析】求出直线方程，联立直线和抛物线方程，解得A ，B 坐标，即可由抛物线定义求得,AF BF ，得出所求.【详解】由题可得()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，（12x x >），直线l 的倾斜角为60 ，∴则直线l 的方程为)1y x =-，联立)241y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，由抛物线的定义可得12414,13AF x BF x =+==+=，则||3||AF BF =.故选：B.5．已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．2π-B ．0C ．1D ．2π【正确答案】A【分析】先利用诱导公式把()f x 化简为()cos f x x x =，再利用常见函数的导数公式和函数乘积的导数的运算法则求出()f x '，代入2π可得所求的导数值.【详解】()sin cos 2f x x x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故()cos sin f x x x x '=-，所以22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.故选：A.本题考查诱导公式及导数的运算，注意函数乘积的导数的运算法则的正确应用，本题属于基础题.6．若2()24ln f x x x x =--,则()0f x ¢>的解集为（）A ．(0,)B ．(-1,0)(2,)C ．(2,)D ．(-1,0)【正确答案】C【详解】()242220,0,x x f x x x x --'=-->()()0,210,2x x x x >∴-+>∴> 7．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值为10，则=a （）A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3【正确答案】C【分析】根据函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，可知f '（1）0=和f （1）10=，可求出a .【详解】由322()f x x ax bx a =+++，得2()32f x x ax b '=++，函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，f ∴'（1）0=，f （1）10=，∴2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩，∴411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，2()3(1)0f x x '=-，∴在1x =处不存在极值；当411a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-11(3x ∴∈-，1)，()0f x '<，(1,)x ∈+∞，()0f x '>，∴符合题意.故选：C本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．过抛物线2:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若6AF =，则BF =（）A ．9或6B ．6或3C ．9D ．3【正确答案】D设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用抛物线的定义可求得点A 的坐标，进而可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，由韦达定理可求得点B 的横坐标，进而可求得BF .【详解】设点A 为第一象限内的点，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，10y >，则由题意可得：点()2,0F ，126AF x =+=，则14x =，由2118y x =，得1y =，所以42AB k ==-AB 方程为)2y x =-，将直线AB 的方程代入28y x =化简得2540x x -+=，所以21x =，所以223F x B =+=，故选：D ．结论点睛：过抛物线()220y px p =>焦点F 的弦AB ，点A 在第一象限，直线AB 的倾斜角为θ.（1）1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+；（2）22sin pAB θ=；（3）112AF BF p+=.二、多选题9．已知()0,πα∈，关于曲线C ：22sin cos 1x y αα+=，下列说法正确的是（）A ．曲线C 不可能是圆B ．曲线C 可能是焦点在x 轴上的椭圆C ．曲线C 不可能是焦点在y 轴上的椭圆D ．曲线C 可能是双曲线【正确答案】BD【分析】根据α的不同取值，结合椭圆和双曲线标准方程的形式，即可判断选项.【详解】A.当π4α=时，ππsin cos 44=22x y +=，即为圆的方程，故A 错误；B.曲线方程整理为22111sin cos x y αα+=，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110sin cos αα>>，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；C.当ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110cos sin αα>>，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，故C 错误；D.当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，110,0cos sin αα<>，曲线C 表示双曲线，故D 正确.故选：BD10．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1251n n n a a b +=-+，1251n n n b b a +=-+．则下列结论不正确的是（）A ．数列{}n n a b -为等比数列B ．数列{}n n a b +为等差数列C ．6695a b +=D ．()11132312n n n a --=⨯+-【正确答案】BCD【分析】对A ，条件两等式相减，根据定义判断等比数列；对B ，条件两等式相加，根据定义判断等差数列；对C ，由B 的结论求出通项，再求第6项；对D ，由AB 的结论求出通项公式，再两式相加.【详解】对A ，()()()11251516n n n n n n n n a b a b b a a b ++-=-+--+=-，即()113n n n n a b a b ++-=-，1110a b -=≠，故数列{}n n a b -为首项为1，公比为3的等比数列，A 对；对BC ，()()112515142n n n n n n n n a b a b b a a b +++=-++-+=++，即()1121n n n n a b a b +++=++，即()11121n n n n a b a b ++++=++，故数列{}1n n a b ++为首项为1114a b ++=，公比为2的等比数列，故111422n n n n a b -+++=⨯=，故121n n n a b ++=-，故数列{}n n a b +不为等差数列，76621127a b +=-=，BC 错；对D ，由A 得13n n n a b --=，又121n n n a b ++=-，两式相加得112231n n n a +-=+-，即()11142312n n n a --=⨯+-，D 错.故选：BCD11．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列结论中正确的是（）A ．三棱锥11A PB D -的体积不变B ．DP 平面11AB D C ．11A P BD ⊥D ．平面1ACP ⊥平面PBD 【正确答案】ABD【分析】利用等体积法判断体积不变，A 正确；证明平面11//AB D 平面1BDC ，即知//DP 平面11AB D ，B 正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C 错误D 正确即可.【详解】对于A ，11AB D 的面积是定值，11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，∴1//BC 平面11AB D ，故P 到平面11AB D 的距离为定值，∴三棱锥11P AB D -的体积是定值，即三棱锥11A PB D -的体积不变，故A 正确；对于B ，由选项A 知，1//BC 平面11AB D ，同理//DB 平面11AB D ，而1BC BD B = ，1,BC BD ⊂平面1BDC ，∴平面11//AB D 平面1BDC ，DP ⊂ 平面1BDC ，//DP ∴平面11AB D ，故B正确；对于C ，以1D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 在1BC 上，故可设(,2,),02P a a a ，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)A B D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)BD =---，则()1122424A P BD a a a ⋅=----=-不一定为0，1A P ∴和1BD 不垂直，故C 错误；对于D ，设(,2,),02P a a a，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)A C B D D ，1(2,2,)A P a a =- ，1(2,2,2)A C =- ，(,2,2)DP a a =- ，(2,2,0)DB =，设平面1ACP 的法向量(,,)n x y z =，则11(2)202220n A P a x y az n A C x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得221,,22a a n a a -⎛⎫= --⎝⎭ ，设平面PBD 的法向量(,,)m a b c =，则20220m DP ax y az m DB x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，得()1,1,1m =-- ，221022a a m n a a-⋅=--=-- .∴平面1ACP 和平面PBD 垂直，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()()f x f x '<，则（）A ．()()1e 0f f <B ．()()1e 0f f >C ．()()e ln 221f f <D ．()()e ln 221f f >【正确答案】BC 【分析】构造函数()()xf xg x =e，利用导数分析函数()g x 的单调性，利用函数()g x 的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】构造函数()()x f x g x =e ，其中x ∈R ，则()()()0e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，则()()10g g >，即()()10ef f >，所以，()()1e 0f f >，A 错B 对；因为ln 2ln e 1<=，则()()ln 21g g <，即()()ln 212ef f <，所以，()()e ln 221f f <，C 对D 错.故选：BC.三、填空题13．已知定义在区间()0,π上的函数()2sin f x x =-，则()f x 的单调递增区间为______．【正确答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对()f x 求导，求出()0f x ¢>的解即可求出答案.【详解】因为()2sin f x x =-,则()2cos f x x '=令()2cos 0f x x '=>,即cos x <且()0,πx ∈所以π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()f x 的单调递增区间为π,π4⎛⎫⎪⎝⎭故π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭14．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为___________．【分析】取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，证得1//CC 平面1D EF ，把1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，利用面面垂直的性质定理，证得1C M ⊥平面1D EF ，过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，得到1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，证得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，求得1C M 的值，即可求解.【详解】解：如图所示，取11B C 的中点F ，连接EF ，1ED ，所以1//CC EF ，又EF ⊂平面1D EF ，1CC ⊄平面1D EF ，所以1//CC 平面1D EF ，所以直线1C C 上任一点到平面1D EF 的距离即为两条异面直线1D E 与1CC 的距离，过点1C 作11C M D F ⊥，因为平面1D EF ⊥平面1111D C B A ，且1C M ⊂平面1111D C B A ，所以1C M ⊥平面1D EF ．过点M 作//MP EF 交1D E 于点P ，则1//MP C C ，取1C N MP =，连接PN ，则四边形1MPNC 是矩形，可得NP ⊥平面1D EF ，在直角11D C F 中，由11111C MD F D C C F ⋅=⋅，所以1111111·2D C C F C M D F ⨯===故点P 到直线1CC15．已知数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2410n ta n n++≥恒成立，则实数t 的取值范围是__________【正确答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到1111(1)n n n a na +-=+，利用等差数列的通项公式化简得1(1)n a n n =+，把不等式2410nta n n++≥，转化(4)(1)n n t n ++≥-恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】由数列{}n a 满足*111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++，可得1111(1)n n n a na +-=+，且112a =，所以数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公差为1的等差数列，所以111=+(1)1n n n na a -=+，所以1(1)n a n n =+，又由2410n ta n n++≥恒成立，即(4)(1)n n t n ++≥-对n N *∈恒成立，因为(4)(1)44(5)(25)9n n n n n n n++-=-++≤-⋅+=-，当且仅当2n =时取等号，所以9t ≥-，即实数t 的取值范围是[9,)-+∞.16．已知正项数列{}n a 满足递推关系11(2)21n n n a a n a --=+，且114a =，数列{}n b 满足21n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12231n b b bn ++⋅⋅⋅+=+________.【正确答案】226n n +【分析】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个首项114a =，公差为2的等差数列，可求14(1)222n n n a =+-⨯=+，继而求出4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可求解.【详解】将1121n n n a a a --=+两边取倒数得1112n n a a --=，这说明1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个等差数列，又首项114a =，公差为2，所以14(1)222nn n a =+-⨯=+，于是2214(1)n n b n a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，于是4(1)1n b n n =++，所以数列1n b n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以8为首项，4为公差的等差数列，故212(1)84262312n b b b n n n n n n -++⋅⋅⋅+=+⨯=++.故答案为.226n n+本题考查等差数列的推导证明以及等差数列的求和问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.四、解答题17．在①71a =，②848S =，③894a a +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，440S =，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S 的最大值．【正确答案】(1)215n a n =-+(2)49【分析】（1）分别选①②③，根据等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组，求得1,a d 的值，进而求得数列的通项公式；（2）由113a =，2d =-，利用等差数列的求和公式，化简得到2(7)49n S n =--+，结合二次函数的性质，即可得到答案.【详解】（1）解：选①，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得7141614640a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8141828484640S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.选③，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得8914121544640a a a d S a d +=+=-⎧⎨=+=⎩，解得113a =，2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为13(1)(2)215n a n n =+-⋅-=-+.（2）解：由113a =，2d =-，所以2213(215)14(7)492n n S n n n n +-+=⨯=-+=--+，所以当7n =时，n S 取得最大值为49．18．已知圆C 过两点()3,5A -，()1,7B ，且圆心在直线230x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()4,4P -作直线l 与圆C 交于M ，N 两点，若8MN =，求直线l 的方程．【正确答案】(1)()()221225x y -+-=；(2)4x =或3440x y ++=．【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法求解；（2）根据弦长及圆的半径求出弦心距，据此分直线斜率存在与不存在两种情况求解即可.【详解】（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则222222(3)(5)(1)(7)230a b r a b r a b ⎧--+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为()()221225x y -+-=．（2）设圆心()1,2C 到直线l 的距离为d ，则8M N ===，则3d =．当直线l 的斜率不存在时，直线l ：4x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()44y k x +=-，即440kx y k ---=，所以3d =，解得34k =-，此时，直线l 的方程为()3444y x +=--，即3440x y ++=．综上所述，直线l 的方程为4x =或3440x y ++=．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232-=n n n S ，*N n ∈，等比数列{}n b 中，1212b b +=，且1b ，26b +，3b 成等差数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n c 为区间(]()*,N n n a b n ∈中的整数个数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)32n a n =-，3n n b =(2)123332n n n n T +-+-=【分析】(1)根据,n n a S 关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式;(2)计算n c 后再应用等差数列前n 项和公式,等比数列前n 项和公式分组求和即可.【详解】（1）因为232-=n n n S ，所以当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()22131133222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，1n =时也成立，所以32n a n =-．设等比数列{}n b 公比q ，因为1b ，26b +，3b 成等差数列，且1212b b +=，所以()122131226b b b b b +=⎧⎨+=+⎩，则21111121212b q b b q b b q ⎧+=+⎨+=⎩，所以133b q =⎧⎨=⎩，所以3n n b =．（2）因为nc 为在区间(32,3n n ⎤-⎦中的整数个数，所以()332n n c n =--，则()()()122313132333333143213222n n n n n n n n T n +-+---=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-=-=--所以123332n n n n T +-+-=．20．如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，1190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠====== ，平面1CC D ⊥平面11ACC A （1）求证：1AC DC ⊥；（2）若M 为1DC 中点，求证：//AM 平面1DBB ；【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，易得1CC AC ⊥，又平面1CC D ⊥平面11ACC A ，利用面面垂直的性质定理证明即可；（2）由1AA ⊥平面111A B C ，且90BAC ∠= ，建立空间直角坐标系，求得平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，证明AM n ⊥ 即可；【详解】（1） 在直三棱柱111ABC A B C -中，∴1CC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵平面1CC D ⊥平面11ACC A ,且平面1CC D ⋂平面111ACC A CC =，又AC ⊂ 平面11ACC A ,∴AC ⊥平面1CC D ，又1DC ⊂平面1CC D ，∴1AC DC ⊥（2）直三棱柱111ABC A B C -中，∵1AA ⊥平面111A B C ，而1111,A B A C ⊂平面111A B C ∴111111,AA A B AA AC ⊥⊥，又90BAC ∠= ，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,0,,,2,0,1,0,0,1,2A C C B B D ，所以()()12,0,0,1,1BB BD =-=- ，设平面1DBB 的一个法向量为(),,n x y z = ，则100n BB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则(0,1,n = ，∵M 为1DC的中点，则12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以32AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0AM n ⋅= ，所以AM n ⊥ ，又AM ⊄平面1DBB ，∴//AM 平面1DBB .方法点睛：证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．21．已知函数32()f x x ax x b =-++在1x =处取得极值.（1）当2b =-时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若函数()f x 有三个零点，求实数b 的取值范围.【正确答案】（1）20x y --=（2）4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】先对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处取得极值，求出a ；（1）将2b =-代入()f x 解析式，再由导数的方法求出其在0x =处的切线斜率，进而可求出结果；（2）函数()f x 有三个零点，等价于方程322x x x b -+=-有三个不等实根，也即是函数()322g x x x x =-+与直线y b =-有三个不同的交点，由导数的方法研究函数()322g x x x x =-+的极值，即可得出结果.【详解】解：()2'321f x x ax =-+，由题意知()'10f =，所以3210a -+=，即2a =.所以()322f x x x x b =-++.（1）当2b =-时，()3222f x x x x =-+-，()2'341f x x x =-+，所以()'01f =，()02f =-，所以()f x 在0x =处的切线方程为()20y x --=-，即20x y --=.（2）令()0f x =，则322x x x b -+=-.设()322g x x x x =-+，则()y g x =与y b =-的图象有三个交点.()()()2'341311g x x x x x =-+=--，所以当x 变化时，()g x ，()'g x 的变化情况为x 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()'g x +0-0+()g x 增函数极大值减函数极小值增函数所以14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =.又当x →-∞时，y →-∞；当x →+∞时，y →+∞，所以4027b <-<，即4027b -<<.所以b 的取值范围是4027b b ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.22．如图，在六面体PABCD 中，PAB 是等边三角形，二面角P AB D --的平面角为30°，4PC AB ====.(1)证明：AB PD ⊥；(2)若点E 为线段BD 上一动点，求直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面θ，满足sin θ=利用换元法结合二次函数的最值即可求解.【详解】（1）证明：取AB 中点M ，连接,PM DM ，因为,PA PB DA DB ==，所以,PM AB DM AB ⊥⊥，且PM DM M = ，所以AB ⊥平面PMD ，又PD ⊂平面PMD ，所以AB PD ⊥.（2）连接CM ，则CM AB ⊥，由4AC BC AB ===，可得2CM =，于是22216CM PM PC +==，所以PM CM ⊥，又,PM AB AB CM M ⊥⋂=，所以PM ⊥平面ABC ，以M 为原点，,,MC MB MP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,M C B P ，由120CMD ∠= ，可得(D -，平面PAB 的法向量为()1,0,0n = ，设([]1,,0,1BE BD λλλ==--∈，则()2,22,CE CB BE λλ=+=--- ，设CE 与平面PAB 所成角为θ，则sin cos ,n CE θ=令[]2,2,3t t λ+=∈，则sin θ令()[]248368,2,3f t t t t=-+∈，由对称轴138t =知，当138t =，即23λ=时，min 5()4f t =，max (sin )5θ==，于是max (tan ) 2.θ=直线CE 与平面PAB 所成角的正切的最大值为2.。
2020年江苏省南京市区中学高二数学理上学期期末试卷含解析
2020年江苏省南京市区中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数的图像经过点，则的值为（）A．2 B．C．16 D．参考答案：B2. 等差数列{a n}中，，则此数列前20项和等于A．160 B．180 C．200 D．220参考答案：B3. 设，且，则( )A. 0B. 100C. －100D. 10200参考答案：B略4. 在高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为，则塔高为（）A．B． C． D．参考答案：A5. 已知等比数列，，，则A． B． C． D．参考答案：D6. 曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D．(－，－)参考答案：B略7. 已知数列，那么9是此数列的第（）项．A．12 B．13 C．14 D．15参考答案：C【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据题意，分析可得数列的通项公式为a n=，令a n==9，解可得n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列，则有a n=，若a n==9，解可得n=14，即9是此数列的第14项，故选：C．8. 等差数列{a n}的前10项和为30，前20项和为100，则它的前30项和是（）A．130 B．170 C．210 D．260参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的前n项和的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列．即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列．∴30+S30﹣100=2×（100﹣30），解得：S30=210．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9. 从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：号为（）A．23 B．37 C．35 D．17参考答案：A【考点】简单随机抽样．【分析】随机数表法也是简单随机抽样的一种方法，采用随机数表法读数时可以从左向右，也可以从右向左或者从上向下等等．应该注意的是，在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除．【解答】解：随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为39，然后是43，17，37，23，故选出来的第5个同学的编号是23，故选：A．10. 若以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，则b 等于（）A．B．1 C．D．2参考答案：B 【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，可得（1﹣c，）?（1+c，）=0，求出c，即可求出b．【解答】解：由题意，以双曲线﹣=1（b＞0）的左、右焦点和点（1，）为顶点的三角形为直角三角形，∴（1﹣c，）?（1+c，）=0，∴1﹣c2+2=0，∴c=，∵a=，∴b=1．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确求出c是关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。
江苏省南京市仙林中学高二数学理上学期期末试题含解析
江苏省南京市仙林中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. .下列直线中，与函数的图象在处的切线平行的是（）A. B.C. D.参考答案：B，,∴∴函数的图象在处的切线方程为与其平行的直线可以为：故选：B点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．2. “”是“直线和直线垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C略3. “平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的定义进行判断即可．【解答】解：若平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数，当常数小于等于两定点的距离时，轨迹不是椭圆，若平面内一动点P的轨迹为椭圆，则平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数成立，即“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义是解决本题的关键．比较基础．4. 设，则( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B【分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。
5. 双曲线虚轴的长是实轴长的2倍，则A.B. C. D. 参考答案：A略6. 函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R)，若f(a)=2,则f(-a)的值为（）A.3B.0C.-1D.-2参考答案：B7. 数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（）A BC D参考答案：B8. 已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(?R B)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求实数m的值．参考答案：略9. 某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A.①用随机抽样法，②用系统抽样法B.①用分层抽样法，②用随机抽样法C.①用系统抽样法，②用分层抽样法D.①用分层抽样法，②用系统抽样法参考答案：B略10. 函数在区间[1,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是（）A. [3,+∞)B. [－3,+∞)C. (－3,+∞)D. (－∞,－3)参考答案：B试题分析：，令即，当a≥0，x∈R；当a＜0时，解得，或；因为函数在区间（1，+∞）内是增函数，所以，解得a≥-3，所以实数a的取值范围是[-3，+∞）考点：函数导数与单调性二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 当时，有当时，有当时，有当时，有当时，你能得到的结论是：．参考答案：=略12. 复数z=（i为虚数单位）是实数，则实数a=_________．参考答案：-3略13. 已知函数（）在上恒正，则实数a的取值范围为▲．参考答案：14. 如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，，，，则AC'= ．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】2=（++）2，由此利用向量能求出AC′的长．【解答】解：∵在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=3，AD=4，AA′=4，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，=（++）2=9+16+16+2×3×4×cos60°+2×4×4×cos60°=69，∴AC′的长是．故答案为：．15. 某办公室共有4个人，他们的年龄成等差数列，已知年龄最大的为50岁，而4个人的年龄和为158岁，则年龄最小的为岁．参考答案：29【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】设四人的年龄从小到大依次为a1，a2，a3，a4，建立等差数列，利用等差数列求和公式解决．【解答】解：设四人的年龄从小到大依次为a1，a2，a3，a4，由题a1+a2+a3+a4=2（a1+a4）=2（a1+50）=158，∴a1=29，即年龄最小的为29故答案为：29．16. 在北纬45︒圈上的甲、乙两地，甲在东经30︒，乙在西经60︒处，若地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是参考答案：17. 若，其中、，是虚数单位，则．参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省南京市大厂中学高二数学理期末试卷含解析
江苏省南京市大厂中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若成等比数列，则函数的图像与轴交点个数是（）A．B．C．D．参考答案：A略2. “对任意的正整数，不等式都成立”的一个充分不必要条件是（）A . B. C. D. 或参考答案：B略3. “”是“直线(-2)x+3y+1=0与直线(+2)x+(-2)y-3=0相互垂直”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要参考答案：A4. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）,要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有A．420 B.360 C.400D.380参考答案：A 略5. 下列命题为真命题的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C.垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。
参考答案：C略6. 如果命题“”为假命题，则（）A．、均为假命题 B．、均为真命题C．、中至少有一个假命题 D．、中至少有一个真命题参考答案：D7. 设随机变量的分布列为，，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C略8. 已知函数，其导函数的图象如下图，则对于函数的描述正确的是A. 在上为减函数B. 在上为减函数C. 在处取得最大值D. 在处取得最小值参考答案：B9. 道路安全交通法规定,驾驶员血液酒精含量在20～80mg/100ml,属酒后驾车，血液酒精含量在80mg/100ml以上时，属醉酒驾车,2011年6月1日7:00至22:30,某地查处酒后驾车和醉酒驾车共50起，如图是对这50人的血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数大约为（）A．9 B．10 C．11 D．12参考答案：D10. 以3i－的虚部为实部，以－3＋i的实部为虚部的复数是()A．3－3i B．3＋I C．－＋i D.＋i参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个空间几何体的三视图如右图所示，其主视图、俯视图、左视图、均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是.参考答案：略12. 已知，，则______.参考答案：【分析】利用两角差的正切公式展开，代入相应值可计算出的值。
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南京市高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是．4．“x＞1”是“x2＞1”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为．6．函数f（x）=xe x的最小值是．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=．8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是．9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是．13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．17．（14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B （1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圆E的方程；（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为k AB，K AC．（1）求椭圆的标准方程；（2）求k AB•k AC的值；（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题．4．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为2x﹣y﹣1=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，代点求c值可得．【解答】解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，由直线过点（1，1）可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0，故答案为：2x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．6．函数f（x）=xe x的最小值是﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．【解答】解：求导函数，可得y′=e x+xe x，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增∴x=﹣1时，函数y=xe x取得最小值，最小值是﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于基础题．7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：当a=0或a=1时，不满足条件，舍去．两条直线的斜率分别为：，．∴l1⊥l2，∴k1k2==﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，属于基础题．8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是x﹣2y=0．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．则k l•k AB=﹣1，即可得出．【解答】解：过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．∴k l•k AB=﹣1，∴k l=．∴直线l的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则圆锥的高h=2×sin60°=．【点评】考查了学生的空间想象力．10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是（x ﹣1）2+（y﹣1）2 =2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，2），可得圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），求得半径AM的值，可得要求的圆的方程．【解答】解：圆C：（x+3）2+（y+3）2=18的圆心C（﹣3，﹣3）．根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，2），故圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），半径为AM=，故要求的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出棱锥的高，则顶点在底面的射影为底面中心，利用正方形的性质可求出底面中心到底面顶点的距离，借助勾股定理求出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：取底面中心O，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SO，AO，∵四棱锥S﹣ABCD为正四棱锥，∴SO⊥平面ABCD，∵AO⊂平面ABCD，∴SO⊥AO．∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AE=AB=1，∠OAE=∠BAD=45°，∴OE=AE=1，∵OE2+AE2=AO2，∴AO=，∵SA=，∴SO==1．V=•S ABCD•SO=•22•1=．故答案为．【点评】本题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于基础题．12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】题目给出的函数f（x）为抽象函数，没法代式求解不等式f（x）＞x，结合题目给出了对任意x∈R，f′（x）＞1这一条件，想到借助于辅助函数解决，令令g（x）=f（x）﹣x，然后分析g（x）在实数集上的单调性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）与0的关系求解不等式f（x）＞x的解集．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则，g′（x）=f′（x）﹣1，∵f′（x）＞1，∴g′（x）＞0，所以函数g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，又g（1）=f（1）﹣1=0，则由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，∴f（x）﹣x＞0的解集为（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集为（1，+∞）故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，解答此题的关键是引入辅助函数g（x）．13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．设Q（x0，y0），∵=2，∴（x0，y0﹣a）=2（﹣a﹣x0，﹣y0）．∴，解得．代入椭圆方程得+=1，化为=．∴e===．故答案：【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是∅．【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数图象，令f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，由函数函数f（x）=的值域为R，可得f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，要使函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点．【解答】解：函数y=的定义域是（0，+∞），令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函数y=在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故x=e时，函数y=取得最大值，最大值是，函数y=x2﹣4（x≤0）是抛物线的一部分．∴函数f（x）=的图象如下：令y=f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f （x）=2a+1，∵函数函数f（x）=的值域为R，∴f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞⇒a∈∅，故答案为∅【点评】本题考查了利用数形结合的思想求解函数的零点问题，同时也考查了函数的单调性及分类讨论思想，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）（2016秋•淮安期末）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；（2）若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a 的取值范围．【解答】解：（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，故△=4a2﹣12a≤0，解得：a∈[0，3]，故当a=1时，命题p为真命题；（2）若命题q：方程+=1表示双曲线为真命题，则（a+2）（a﹣2）＜0．解得：a∈（﹣2，2），若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，故a∈[0，2）．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．16．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1（2）只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：（1）证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，∵F为A1B1的中点，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C⊂B1CE，∴B1C∥平面FAC1（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F⊂面A1C1B1，∴A1A ⊥C1F，∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．17．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（1）设BC=x，求出AB，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．【解答】解：（1）连接OC，设BC=x，则y=2，（其中0＜x＜30），（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；∴V′=（900﹣3x2），令V′（x）=0，得x=10；因此V（x）=（900x﹣x3）在（0，10）上是增函数，在（10，30）上是减函数；∴当x=10时，V（x）取得最大值V（10）=，∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．18．（16分）（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圆E的方程；（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用待定系数法求△ABC外接圆E的方程；（2）分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l的方程；（3）求出P的轨迹方程，与圆E联立，即可得出结论．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=﹣2，E=﹣4，F=1，∴△ABC外接圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，联立，得或，弦长为2，满足题意．当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4=kx，即t=kx+4，联立，得（1+k2）x﹣（2k﹣2）x﹣2=0，△=[﹣（2k﹣2）]2+8（1+k2）=12k2+8k+12＞0，设直线l与圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），则，，∵弦长为2，∴=2，解得k=1，∴直线l的方程为x﹣y+4=0．∴直线l的方程为x=0，或x﹣y+4=0．（3）设P（x，y），∵PB2﹣2PA2=12，A（﹣1，2），B（1，4），∴（x﹣1）2+（y﹣4）2﹣2（x+1）2﹣2（y﹣2）2=12，即x2+y2+6x+16y+5=0．与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0相减可得2x+5y+1=0，与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0联立可得29y2+14y+9=0，方程无解，∴圆E上不存在点P，满足PB2﹣2PA2=12．【点评】本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．19．（16分）（2016秋•淮安期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为k AB，K AC．（1）求椭圆的标准方程；（2）求k AB•k AC的值；（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得求出椭圆的方程．（2）设切线方程为y=kx+1，则（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2（k1≠k2），k1•k2=1，由切线方程与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直线BD方程，进而得到直线．（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），k AB=k1，k AC=k2．设经过点A所作的圆的切线方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：x B，x C．y B，y C，k BC=．可得直线BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．∴椭圆的标准方程为=1．（2）A（0，1），设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．则=r，化为：（r2﹣1）k2+2k+r2﹣1=0，则k AB•k AC==1．（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），k AB=k1，k AC=k2．设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．联立，化为：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，∴x B=，x C==．y B=，y C=．∴k BC==．∴直线BC的方程为：y﹣=，令x=0，可得：y=．∴直线BC经过定点．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线方程、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）（2016秋•淮安期末）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出a的值即可；（3）即a≥，设g（x）=，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx+x，f′（x）=1+，f（1）=1，f′（1）=2，故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），即：2x﹣y﹣1=0；（2）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+a=，a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，无极值，a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，故f（x）的极大值是f（﹣）=ln（﹣）﹣1，若函数y=f（x）的极大值为﹣2，则ln（﹣）﹣1=﹣2，解得：a=﹣e；（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，即x∈[1，e]时，ax2﹣lnx﹣（a﹣2）x≥0恒成立．即a≥，设g（x）=，则g′（x）=，当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（1，+∞）上递增，∴当x∈[1，e]时，g（x）≤g（e）=，∴a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，∴实数a的取值范围为[，0）．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．。