高二数学-南京市2014-2015学年高二上学期期末学情调研测试数学(理)

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南京市数学高二上学期理数期末质量监测试卷D卷

南京市数学高二上学期理数期末质量监测试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）赋值语句M=M+3表示的意义（）A . 将M的值赋给M+3B . 将M的值加3后再赋给 MC . M和M+3的值相等D . 以上说法都不对2. （2分） (2016高三上·福州期中) 下列命题中正确的是（）A . 命题p：“∃x0∈R，”，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0B . “lna＞lnb”是“2a＞2b”的充要条件C . 命题“若x2=2，则或”的逆否命题是“若或，则x2≠2”D . 命题p：∃x0∈R，1﹣x0＜lnx0；命题q：对∀x∈R，总有2x＞0；则p∧q是真命题3. （2分）已知点G是ΔABC的重心，，,则的最小值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一下·渭南期末) 某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，则该检验方法为①：从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习情况，则该抽样方法为②，那么①和②的抽样方法分别为（）A . 系统抽样，分层抽样B . 系统抽样，简单随机抽样C . 分层抽样，系统抽样D . 分层抽样，简单随机抽样5. （2分） (2018高二下·扶余期末) 给出下列四个五个命题：①“ ”是“ ”的充要条件②对于命题，使得，则，均有；③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；④函数只有个零点；⑤ 使是幂函数，且在上单调递减.其中是真命题的个数为：（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·延安模拟) 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，若输入的，分别为和，则输出的（）A .B .C .D .7. （2分）(2019·惠州模拟) 两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且，则双曲线的离心率等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·浦城期中) 下列各组数中最小的数是（）A . 1111（2）B . 210（6）C . 1000（4）D . 101（8）9. （2分） (2017高二上·大连开学考) 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =2， =3，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（）A . =0.4x+2.1B . =2x﹣1C . =﹣2x+1D . =0.4x+2.910. （2分）(2017·临沂模拟) 斜率为2的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2019高一下·佛山月考) 某大型超市有员工人，其中男性员工人，现管理部门按性别采用分层抽样的方法从超市的所有员工中抽取人进行问卷调查，若抽取到的男性员工比女性员工多人，则 ________.12. （1分）(2018·南阳模拟) 若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为________．13. （1分）(2017·嘉兴模拟) 如图，已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长均相等，点E满足 =3 ，点P 在棱AC上运动，设EP与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为________．14. （1分） (2016高二上·绥化期中) 若椭圆的离心率为，则k的值为________．15. （1分） (2017高二上·长春期中) 经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2016高一下·龙岩期末) 国Ⅳ标准规定：轻型汽车的屡氧化物排放量不得超过80mg/km．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如表（单位：mg/km）A8580856090B70x95y75由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80mg/km”的车辆数为X，求X=1时的概率．17. （10分） (2017高二上·高邮期中) 已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣6m2≤0，m＞0．（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求m的取值范围．18. （10分） (2017高二上·钦州港月考) 假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）有以下统计资料：使用年限x23456维修费用y24567若由资料知y对x呈线性相关关系。

江苏省沭阳银河学校2014-2015学年高二上学期第二次学情调研测试(期中) 数学 Word版含答案

沭阳银河学校2014-2015学年度第一学期高二年级第二次学情调研测试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．） 1．在ABC ∆中，sin cos A Ba b=，则=∠B ； 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于； 3．在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则A = ； 4．不等式0122<--x x 的解集是；5．已知数列{}n a 的前n 项和为13-=n n S ，则通项公式=n a ；6．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60=A 2=a ，332=b ，则边c 的长为；7．已知数列4,,,121--a a 成等差数列，4,,,,1321--b b b 成等比数列，则212b a a -的值为； 8．若数列{}n a 满足111,1n n a na a n +==+，则8a = ； 9．已知正数y x ,满足118=+yx ，则y x 2+的最小值是； 10．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若11=a ,公差2=d ,242=-k k S S ，则k 的值等于； 11．等比数列{}n a 中，12435460,236a a a a a a a <++=，则35a a += ；12．已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-,03,05,03x y x y x 则y x z +=2的最大值为；13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，给出下列结论：①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>； ②若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为等边三角形； ③必存在,,A B C ，使C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++<成立； ④若︒===25,20,40B b a ，则ABC ∆必有两解．其中，结论正确的编号为；14．已知关于x 的一元二次不等式0112)2(2>+-+-x b x a 的解集为R ，若4≤a ，则ba ba +-2的取值范围是。

A01-2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷(带解析)

2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷一、填空题1．已知集合{}2,A x x x R =<∈，集合{}13,B x x x R =<<∈，则AB = .2．命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 .3．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = .4．下图是某算法的流程图，其输出值a 是 .5．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 .6．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 7．已知点(),P x y 在不等式0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是 .8．曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是 .9．在等差数列{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = .10．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD xAF yAE =+，,x y R ∈，则x y +的值为 .11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 .12．已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F是CD 的中点．若AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 .13．如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .14．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c == ()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 .二、解答题15．在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin ,n A ⎛= ⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角A 的大小；（2）若7a =，8b =，求ABC ∆的面积．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．（1）求证：//AP 平面MBD ；（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .17．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，右准线为32x =6()0y t t =>与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线310x y +=截得的线段长.19．已知无穷数列{}n a 中，1a 、2a 、、m a 构成首项为2，公差为－2的等差数列，1m a +、2m a +、、2m a ，构成首项为12，公比为12的等比数列，其中3m ≥，m N *∈. （1）当12n m ≤≤，m N *∈，时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n N *∈，都有2n m n a a +=成立． ①当27164a =时，求m 的值； ②记数列{}n a 的前n 项和为n S ．判断是否存在m ，使得432m S +≥成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数()2ln f x ax x =-（a 为常数）．（1）当12a =时，求()f x 的单调递减区间；（2）若0a <，且对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围.21．如图，OA 、OB 是圆O 的半径，且OA OB ⊥，C 是半径OA 上一点：延长BC 交圆O 于点D ，过D作圆O 的切线交OA 的延长线于点E .求证：45OBC ADE ∠+∠=.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵23a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:m x 20y --=，求实数a 、b 的值．23．在极坐标系中，求圆4sin ρθ=上的点到直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭24．解不等式211x x +--≤. 25．在底面边长为2，高为1的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点．（1）求异面直线1A E 、CF 所成的角；（2）求平面1A EF 与平面11ADD A 所成锐二面角的余弦值．26．将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和．（1）求2ξ=时的概率；（2）求ξ的概率分布及数学期望．2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷参考答案1．{}12,x x x R <<∈或()1,2 【解析】{}2,A x x x R =<∈，{}13,B x x x R =<<∈，{}12,A B x x x R ∴=<<∈.考点：集合的交集运算2．2,220x R x x ∃∈-+>【解析】由全称命题的否定知，命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是“2,220x R x x ∃∈-+>”.考点：命题的否定3【解析】1iz i =+，111i z i i i+∴==-+=-，z ==. 考点：复数的除法运算、复数的模4．31【解析】第一次循环，2113a =⨯+=，330a =>不成立，执行第二次循环；2317a =⨯+=，730a =>不成立，执行第三次循环；第三次循环，27115a =⨯+=，1530a =>不成立，执行第四次循环；第四次循环，215131a =⨯+=，3130a =>成立，跳出循环体，输出的a 值为31.考点：算法与程序框图5．13【解析】利用x 、y 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号，用(),x y 表示其中一个基本事件，则事件总体所包含的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个；事件“取出的两个球的编号大于5”所包含的基本事件有：()2,4，()3,4，共2个，所以事件“取出的两个球的编号大于5”发生的概率2163P ==. 考点：古典概型6．2π【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有122r r ππ=⇒=，故底面面积2211S r ππππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故圆柱的体积122V Sh ππ==⨯=. 考点：圆柱的体积7．4【解析】如下图所示，不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，在直线方程24x y +=，令0y =，解得4x =，得点A 的坐标为()4,0，作直线:l z x y =+，其中z 可视为直线l 在x 轴上的截距，当直线l 经过区域中的点()4,0A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 404z =+=.考点：线性规划8．2y x =或20x y -=【解析】sin y x x =+,1cos y x '∴=+，当0x =时，1cos02y '=+=，故曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是()020y x -=-，即2y x =或20x y -=.考点：利用导数求函数图象的切线方程9．2n【解析】设等差数列{}n a 的首项1a 与公差d 的方程组，则有418137715a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故()()2111222n n n d n n S na n n --⨯=+=+=.考点：等差数列的前n 项和10．52【解析】D 为BC 的中点，()11112222BD BC AC AB AC AB ∴==-=-，AD AB BD∴=+1111113322222222AB AC AB AB AC AF AE AF AE xAF yAE ⎛⎫=+-=+=⨯+⨯=+=+ ⎪⎝⎭，32x ∴=，1y =，35122x y ∴+=+=.考点：平面向量的基底表示 11．1±【解析】当0a ≥时，()213a f a =+=，解得1a =；当0a <时，0a ->，由于函数()f x 是偶函数，()()213a f a f a -∴=-=+=，解得1a =-，综上所述，1a =±.考点：函数的奇偶性12．()1,2【解析】法一：如下图所示，设BE x =，则03x <<，由勾股定理易得AE =3CE x =-，112122CF CD ==⨯=，EF ===AF ==AEF ∠为钝角，则cos 0AEF ∠<，则有222AE EF AF +-0<，即()()2224610102640x x x x x ++-+-=-+<，即2320x x -+<，解得12x <<； FE DCB A法二：如下图所示，设BC x =，则03x <<，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在的直线分别为x 轴、y轴建立平面直角坐标系xBy ，则()0,2A ，(),0E x ，()3,1F ，()()()0,2,0,2EA x x =-=-，EF =()()()3,1,03,1x x -=-，AEF ∴∠是钝角，则0EA EF ⋅<，即()()3210x x -⋅-+⨯<，整理得2320x x -+<，解得12x <<，且A 、E 、F 三点不共线，故有()()321x x -⨯≠-⨯，解得6x ≠.考点：余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积13【解析】由于AOP ∆为等腰三角形，且90AOP ∠=，故有AO OP a ==，则点P 的坐标为()0,a ，设点Q 的坐标为(),x y ，()()(),0,,PQ x y a x y a =-=-，()()(),0,,QA a x y a x y =--=---，PQ =2QA ，则有()22x a x y a y ⎧=⋅--⎨-=-⎩，解得233x a a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点Q 的坐标为2,33a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点Q 的坐标代入椭圆的方程得2222211133a a a b⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得225a b =，即()2225a a c =-，2245c a ∴=，c e a ∴==.考点：共线向量、椭圆的离心率14．()21,24【解析】如下图所示，由图形易知01a <<，13b <<，则()33log log f a a a ==-，()3log f b b =3log b =，()()f a f b =，33log log a b ∴-=，1ab ∴=，令21108033x x -+=，即210240x x -+=，解得4x =或6x =，而二次函数2110833y x x =-+的图象的对称轴为直线5x =，由图象知，35c <<，5d >，点()(),c f c 和点()(),d f d 均在二次函数2110833y x x =-+的图象上，故有52c d +=，10d c ∴=-，由于()21103338133f =⨯-⨯+=，当13x <<时，()33log log f x x x ==，30log 1x ∴<<，13b <<，()01f b ∴<<，()()f b f c =，()01f c ∴<<，由于函数()f x 在()3,5上单调递减，且()31f =，()40f =，34c ∴<<，()211010abcd cd cd c c c c ∴=⨯==-=-+()2525c =--+，34c <<，()22152524c ∴<--+<，即2124abcd <<.考点：函数的图象、对数函数、二次函数的单调性15．（1）60A =；（2）ABC S ∆=.【解析】（1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式1sin 02A A =，再利用弦化切的思想求出tan A 的值，最终在求出角A 的值；（2）解法一：在角A 的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出sin B 和cos B ，并利用()sin sin C A B =+结合和角公式求出sin C 的值，最后利用面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求出ABC ∆的面积；解法二：利用余弦定理求出c 的值，并对c 的值进行检验，然后面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求出ABC ∆的面积.（1）因为m n ⊥，所以0m n ⋅=，则1sin 022A A -=， 4分因为090A <<，所以cos 0A ≠，则tan A =60A = 7分（2）解法一：由正弦定理得sin sin a b A B=，又7a =，8b =，60A =，则84sin sin 607B ==，因为ABC ∆为锐角三角形，所以1cos 7B =， 9分因为()11sin sin sin cos cos sin 72C A B A B A B =+=+=+=， 12分所以1sin 2ABC S ab C ∆==分解法二：因为7a =，8b =，60A =，所以由余弦定理可知，214964282c c =+-⨯⨯，即28150c c -+=，解得3c =或5c =，当3c =时，222949640c a b +-=+-<，所以cos 0B <，不合乎题意；当5c =时，2222549640c a b +-=+->，所以cos 0B >，合乎题意；所以1sin 2ABC S bc A ∆== 14分考点：正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式16．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接AC ，找到AC 与BD 的交点O 为AC 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明//AP OM ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//AP 平面MBD ；（2）先证明AD ⊥平面PBD ，得到AD BD ⊥，再由已知条件证明BD PD ⊥，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明BD ⊥平面PAD .试题解析：（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以点O 为AC 的中点，又M 为PC 的中点，所以//OM PA ， 4分因为OM ⊂平面MBD ，AP ⊄平面MBD ，所以//AP 平面MBD 6分MODC BA P（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 8分因为AD PB ⊥，PD PB P =，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以AD ⊥平面PBD ，因为BD ⊂平面PBD ，所以AD BD ⊥， 10分因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥， 12分又因为BD AD ⊥，AD PD D =，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD 14分考点：直线与平面平行、直线与平面垂直17．当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.【解析】先将休闲广场的长度设为x 米，并将宽度也用x 进行表示，并将绿化区域的面积S 表示成x 的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为x 米，则宽为2400x米，绿化区域的总面积为S 平方米， ()240064S x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6分2400242446x x ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭ 360024244x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()6,600x ∈ 8分因为()6,600x ∈，所以3600120x x +≥，当且仅当3600x x=，即60x =时取等号 12分此时S 取得最大值，最大值为1944.答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米. 14分考点：矩形的面积、基本不等式18．（1）221124x y +=；（2）【解析】（1）先根据题中的条件确定a 、c的值，然后利用b =b 的值，从而确定椭圆C 的方程；（2）先确定点M 的坐标，求出圆M 的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题意知3c a =，2a c =，解得a =，则c =2b =，故椭圆C 的标准方程为221124x y += 5分（2）由题意可知，点M 为线段AB 的中点，且位于y 轴正半轴，又圆M 与x 轴相切，故点M 的坐标为()0,t ，不妨设点B 位于第一象限，因为MA MB t ==，所以(),B t t ， 7分代入椭圆的方程，可得221124t t +=，因为0t >，解得t =， 10分所以圆M的圆心为((223x y += 12分因为圆心M到直线10x +=的距离1d== 14分故圆M 被直线10x +=截得的线段长为=分考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理 19．（1）数列{}n a 的通项公式为24,11,122n m n n n m a m n m --+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）①m 的值为7或21；②详见解析.【解析】（1）根据数列的定义求出当12n m ≤≤时数列{}n a 的通项公式，注意根据n 的取值利用分段数列的形式表示数列{}n a 的通项；（2）①先确定164是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出m 的值；②在（1）的基础上，先将数列{}n a 的前2m 项和求出，然后利用周期性即可求出43m S +，构造()21312mf m m m =-++-，利用定义法求出()f m 的最大值，从而确定2m S 和43m S +的最大值，进而可以确定是否存在m N *∈，使得432m S +≥.试题解析：（1）当1n m ≤≤时，由题意得24n a n =-+， 2分当12m n m +≤≤时，由题意得12n mn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 4分故数列{}n a 的通项公式为24,11,122n m n n n m a m n m --+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 5分（2）①因为12164n -+=无解，所以164必不在等差数列内，因为611642⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以164必在等比数列内，且等比数列部分至少有6项，则数列的一个周期至少有12项， 7分所以第27项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内，若1272m ≤≤时，则272711264m a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，得21m =，若21274m m +≤≤，则2732727211264mm a a --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，得7m =，故m 的值为7或21 9分②因为221312m mS m m =-++-，12330a a a S ++==，所以2432123122312m m m S S a a a m m +⎛⎫=+++=-++- ⎪⎝⎭， 12分记()21312m f m m m =-++-，则()()()111212m f m f m m ++-=-+，因为3m ≥，所以()()10f m f m +-<，即()()1f m f m +<， 14分故3m =时，2m S 取最大，最大值为78，从而43m S +的最大值为74，不可能有432m S +≥成立，故不存在满足条件的实数m 16分考点：等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和、数列的周期性、数列的单调性20．（1）函数()f x 的单调递减区间为()0,1；（2）实数a 的取值范围是212,0e e e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭.【解析】（1）将12a =代入函数解析式并求出相应的导数，利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的单调递减区间；（2）构造新函数()()()2F x f x a x =--，将问题转化为“对任意[]1,x e ∈时，()0F x ≥恒成立”，进而转化为()min 0F x ≥，围绕()min 0F x ≥这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数a 的取值范围.试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()21212ax f x ax x x-'=-=，当12a =时，()21x f x x-'=， 2分由()0f x '<及0x >，解得01x <<，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1 4分（2）设()()()()22ln 2F x f x a x ax x a x =--=---，因为对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x ≥-恒成立，所以()0F x ≥恒成立，()()()()()2221121122ax a x ax x F x ax a x x x---+-'=---==，因为0a <，令()0F x '=，得11x a =-，2112x =<， 7分①当101a<-≤，即1a ≤-时，因为()1,x e ∈时，()0F x '<，所以()F x 在()1,e 上单调递减，因为对任意的[]1,x e ∈，()0F x ≥恒成立，所以[]1,x e ∈时，()()min 0F x F e =≥，即()2120ae a e ---≥，解得212e a e e -≥-，因为2121ee e ->--。

南京市中华中学2024-2025学年高二上学期9月学情调研数学试题及答案

10. 下列结论正确的是（）
D. 当 m 1时，直线 l 与直线 AB 平行
A. 已知点 P x, y 在圆 C : x 12 y 12 2 上，则 x y 的最大值是 4
B. 已知直线 kx y 1 0 和以 M 3,1, N 3, 2 为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为 2 k 1
B：由题意知， P A B P A PB P A P B ，故 B 错误；
C：事件 A 与 B 独立， A 、 B 分别是 A、B 的对立事件，
所以 A 与 B 独立，则 P AB P A P B ，故 C 正确； D： P A B P A PB P A PB
P A 1 PB P A 1 PB 1 PB P A PB ，故 D 错误．
A. P A B P A PB
B. P A B P A PB
C. P AB P A PB
D. P A B P A 1 P B
【答案】C 【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式与对立事件的定义，依次判断选项即可.
【详解】A：由题意知， P A B P A PB P A P B ，故 A 错误；
中华中学 2024-2025 学年度第一学期 9 月学情调研高二数学
本卷调研时间：120 分钟总分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
z 1 2i 已知复数 z 满足 1 i ，则
z
（
）
3
A
2
5
B.
2
（2）圆 C 过点 1, 0 且与 l1 相切于点 P ，求圆 C 的一般方程．
16. 已知以点 A1, 2 为圆心圆与______，过点 B 2, 0 的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点．从①直

江苏省南京市2014-2015学年度第一学期期末学情调研测试卷高二数学(理科)(无答案)

南京市2014—2015学年度第一学期期末学情调研测试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共计42分．）1．命题“x ∃∈R ，2x x ≥”的否定是．2．已知复数(43i)i z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为．3．直线l20y --=的倾斜角是．4．已知实数x ，y 满足条件10260x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤，则3x y +的最大值是．5．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值为．6．方程22112x y m m-=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是． 7．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ，则此双曲线的离心率为．8．已知函数1sin 2y x x =-，(0)x π∈，，则它的单调递减区间为． 9．已知圆1C ：2220x y x +-=与圆2C ：22()(4)16x a y -+-=外切，则实数a 的值为． 10．已知椭圆C ：221259x y +=上一点P 到右准线的距离为5，则点P 到椭圆C 的左焦点的距离为． 11．设函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，x ∈R ，(1)3f =，则(2015)f = ． 12．已知△ABC 顶点的坐标为(10)A ，，(30)B ，，(01)C ，，则△ABC 外接圆的方程是．13．下列命题正确的是．(填写所有正确命题的序号)①a ，b ，c 成等差数列的充分必要条件是2a c b +=；②若“x ∃∈R ，220x x a ++<”是真命题，则实数a 的取值范围是1a <；③0a >，0b >是方程221ax by +=表示椭圆的充分不必要条件；④命题“若1a ≠，则直线10ax y ++=与直线20x ay +-=不平行”的否命题是真命题．14．已知函数32()31f x ax x =-+在区间(02]，上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．）15．（本小题满分8分）已知△ABC 的顶点为(24)A ，，(02)B -，，(24)C -，．（1）求BC 边上的高所在直线的方程；（2）若直线l 经过点C ，且A ，B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．16．（本小题满分10分）已知半径为2的圆C 满足：①圆心在y 轴的正半轴上；②它截x 轴所得的弦长是．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(23)P -，，且与圆C 相切，求直线l 的方程．18．（本小题满分10分）如图，有一块钢板其边缘由一条线段及一段抛物线弧组成，其中抛物线弧的方程为222y x =-+(11)x -≤≤．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，切割时以边缘的一条线段为梯形的下底．（1）若梯形上底长为2x ，试求梯形面积S 关于x 的函数关系式；（2）求梯形面积S 的最大值．19．（本小题满分10分）已知2()ln f x x a x =-(0)a >．（1）当1a =时，求()f x 的单调递减区间；（2）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分10分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)经过点1)2，A ，B ．直线1l ：2x =-，直线2l ：2y =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上在x 轴上方的一个动点，直线AP 与直线2l 交于点M ，直线BP 与直线1l 交于点N ，求直线MN 的斜率的取值范围．。

2014-2015年江苏省淮安市清江中学高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∃x＜2，x2＞4”的否定是．2．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．3．（5分）在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．4．（5分）若复数z=a2﹣4+（a﹣2）i（a∈R）是纯虚数，则|z|=．5．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为．6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．7．（5分）已知曲线y=lnx在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为．8．（5分）一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为．9．（5分）已知等比数列{a n}中，有成立．类似地，在等差数列{b n}中，有成立．10．（5分）为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A、B、C三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每天至多安排一人，并要求A同学安排在另外两位同学前面．不同的安排方法共有种．（用数字作答）11．（5分）“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）12．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx﹣tx在[0，π]上单调递减，则实数t的取值范围是．13．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足PF=AF，则﹣2（lnb﹣lna）的范围是．14．（5分）函数f（x）=+x3（x∈R），其导函数为f′（x），则f（2015）+f′（2015）+f（﹣2015）﹣f′（﹣2015）=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设p：复数z=（1﹣2m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数g（x）=x3+mx2+（m+）x+6在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．16．（14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．17．（14分）对于一切n∈N*，等式×+×+…+×=a+（a∈R，b∈R）恒成立．（1）求a，b的值；（2）用数学归纳法证明上面等式．18．（16分）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（3）设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．19．（16分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；（ⅱ）求△AMN面积的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m﹣1的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．（5分）命题“∃x＜2，x2＞4”的否定是∀x＜2，x2≤4．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题“∃x＜2，x2＞4”的否定是：∀x＜2，x2≤4．故答案为：∀x＜2，x2≤4．2．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．3．（5分）在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为．【分析】根据方差的定义，首先求出数据的平均数，由公式求方差．【解答】解：=（84+84+86+84+87）=85S2=[3×（84﹣85）2+（86﹣85）2+（87﹣85）2]=所以所剩数据的方差为．4．（5分）若复数z=a2﹣4+（a﹣2）i（a∈R）是纯虚数，则|z|=4．【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z=a2﹣4+（a﹣2）i（a∈R）是纯虚数，∴，解得a=﹣2．∴z=﹣4i．则|z|=4．故答案为：4．5．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为15．【分析】根据分层抽样的定义以及概率的关系即可得到结论．【解答】解：∵个产品被抽到的概率为0.02，∴应从乙车间抽产品数量为750×0.02=15，故答案为：156．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是31．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：执行程序，有S=1，n=0，不满足条件S≥20，有n=1，S=4；不满足条件S≥20，有n=2，S=10；不满足条件S≥20，有n=3，S=19；不满足条件S≥20，有n=4，S=31；满足条件S≥20，输出S的值为31，故答案为：31．7．（5分）已知曲线y=lnx在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为y=．【分析】设P（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程求得切线方程，由切线经过原点，可得n=1，由切点在曲线上，求得m，即可得到切线方程．【解答】解：设P（m，n），y=lnx的导数为y′=，即有在点P处的切线斜率为k=，则切线方程为y﹣n=（x﹣m），又切线经过原点，即有n=1，由于lnm=n，解得m=e，则有切线方程为y=．故答案为：y=．8．（5分）一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为1﹣．【分析】以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1，其面积为﹣π，再用几何概型公式即得本题的概率．【解答】解：如图由已知，高为3，两底分别为3和6的直角梯形面积为，离四个顶点距离都大于1的区域是如图阴影部分，即以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在除此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1的部分，其面积为=﹣π，∴蚂蚁恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为P=．故答案为：1﹣．9．（5分）已知等比数列{a n}中，有成立．类似地，在等差数列{b n}中，有成立．【分析】在等差数列中，考查的主要是若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，那么对应的在等比数列中考查的应该是若m+n=p+q，则b m b n=b p b q．【解答】解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：．故答案为：．10．（5分）为了改善中午放学时校门口交通状况，高二年级安排A、B、C三名学生会干部在周一至周五的5天中参加交通执勤，要求每人参加一天但每天至多安排一人，并要求A同学安排在另外两位同学前面．不同的安排方法共有20种．（用数字作答）【分析】本题是一个分类计数问题，根据甲安排在另外两位前面可以分三类：甲安排在周一，甲安排在周二，甲安排在周三，写出这三种情况的排列数，根据加法原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，根据题意分三类：甲安排在周一，共有A42种排法；甲安排在周二，共有A32种排法；甲安排在周三，共有A22种排法．根据分类加法原理知共有A42+A32+A22=20．故答案为：20．11．（5分）“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【分析】当a=﹣1时，a+4=2﹣a=3，方程+=1是圆；由方程+=1表示椭圆，得，由此能求出“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．【解答】解：∵﹣4＜a＜2，∴，当a=﹣1时，a+4=2﹣a=3，方程+=1是圆，∴“﹣4＜a＜2”推不出“方程+=1表示椭圆”，∵方程+=1表示椭圆，∴，∴解得﹣4＜a＜﹣1或﹣1＜a＜2，∴“方程+=1表示椭圆”⇒“﹣4＜a＜2”，∴“﹣4＜a＜2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．12．（5分）函数f（x）=sinx﹣cosx﹣tx在[0，π]上单调递减，则实数t的取值范围是[2，+∞）．【分析】求出函数f（x）的导数f′（x）=cosx+sinx﹣t，函数f（x）在[0，π]上单调递增可转化为f′（x）≤0，即cosx+sinx﹣t≥0在区间[0，π]上恒成立，变成求函数的最值问题即可求解．【解答】解：∵函数f（x）=sinx﹣cosx﹣tx在[0，π]上单调递减，∴函数f（x）的导数f′（x）≤0，在区间[0，π]上恒成立，求得f′（x）=cosx+sinx﹣t，所以cosx+sinx﹣t≤0在区间[0，π]上恒成立即t≥cosx+sinx对x∈[0，π]总成立，记函数g（x）=cosx+sinx=2sin（x+），易求得g（x）在[0，π]的最大值为2，从而t≥2，故答案为：[2，+∞）．13．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足PF=AF，则﹣2（lnb﹣lna）的范围是[﹣ln，+∞）．【分析】求出椭圆的右焦点和右准线，求得AF的长，再由椭圆的性质，可得a ﹣c≤|PF|≤a+c，进而得到a≤2c，由a，b，c的关系，可得a，b的关系，令t=，（0＜t），则f（t）=t2﹣2lnt，运用导数判断单调性，即可得到所求范围．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），右准线为x=，由题意|PF|=|AF|=﹣c，由椭圆的性质可得a﹣c≤|PF|≤a+c，即有a﹣c≤﹣c≤a+c，即有c＜a+c且a﹣c≤c，则有a2≤4c2=4（a2﹣b2），即为0＜≤，则﹣2（lnb﹣lna）=（）2﹣2ln，令t=，（0＜t），则f（t）=t2﹣2lnt，由f′（t）=2t﹣在（0，]小于0，则有f（t）在（0，]递减，故f（t）的范围为[﹣ln，+∞）．故答案为：[﹣ln，+∞）．14．（5分）函数f（x）=+x3（x∈R），其导函数为f′（x），则f（2015）+f′（2015）+f（﹣2015）﹣f′（﹣2015）=4026．【分析】先化简f（x），再求出f（﹣x），得到f（x）+f（﹣x）=2014+2012=4026，然后求导，得到导函数为偶函数，问题得以解决．【解答】解：f（x）=+x3=+x3=2014﹣﹣x3，∴f（﹣x）=2014﹣﹣（﹣x）3=2012++x3，∴f（x）+f（﹣x）=2014+2012=4026∴f′（x）=﹣3x2，∴f′（﹣x）=﹣3x2，∴f′（x）=f′（﹣x）∴f（2015）+f′（2015）+f（﹣2015）﹣f′（﹣2015）=4026故答案为：4026二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设p：复数z=（1﹣2m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数g（x）=x3+mx2+（m+）x+6在R上有极大值点和极小值点各一个．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．【分析】先根据复数的定义，函数导数在极值点处的取值情况求出命题p，q下的m的取值范围，再根据p且q为真，对所得m的取值范围求交集即可．【解答】解：∵复数z=（1﹣2m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限，∴（1﹣2m）（m+2）＜0，即m＜﹣2或．…（5分）∵函数在R上有极大值点和极小值点各一个，∴有两个不同的解，即△＞0．由△＞0，得m＜﹣1或m＞4 …（10分）要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，…（12分）∴．∴m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．…（14分）16．（14分）高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．【分析】（1）根据频率和为1，求出低于50分的频率，计算对应的频数即可；（2）根据题意，计算成绩在80及以上的分数的频率即可；（3）求出“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数是多少，再利用古典概型计算对应的概率．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为：f1=1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10=0.1，…（3分）所以低于60分的人数为60×（0.1+0.15）=15（人）；…（5分）（2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组），频率和为（0.025+0.005）×10=0.3，所以，抽样学生成绩的优秀率是30%，…（8分）于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%；…（9分）（3）“成绩低于50分”及“[50，60）”的人数分别是6，9，所以从参加补考的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：P=1﹣=．…（14分）17．（14分）对于一切n∈N*，等式×+×+…+×=a+（a∈R，b∈R）恒成立．（1）求a，b的值；（2）用数学归纳法证明上面等式．【分析】（1）将n=1，n=2代入等式，求a，b的值；（2）用数学归纳法证明成立，证明时先证①当n=1时成立；②再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．【解答】解：（1）将n=1，n=2代入等式得：解得：…（6分）（2）由（1）得，下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=，右边=，等式成立；…（8分）②假设n=k时等式成立，即则n=k+1时，左边=×+×+…++=1﹣+=1﹣=右边即n=k+1时等式成立．…（12分）由①②知，等式成立．…（14分）18．（16分）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（3）设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【分析】（1）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（2）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（3）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（3）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）19．（16分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；（ⅱ）求△AMN面积的最大值．【分析】（1）求出抛物线的焦点，由题意可得a=2，再由离心率公式可得c，进而得到b，即有椭圆方程；（2）（i）设A（m，n），则B（m，﹣n）代入椭圆方程，通过直线方程求得交点M，代入椭圆方程的左边，检验即可得证；（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，设A（x1，y1），M（x2，y2），求得|y1﹣y2|，通过对勾函数的单调性，即可得到面积的最大值．【解答】解：（1）因为抛物线y2=8x的焦点为（2，0），又椭圆以抛物线焦点为顶点，所以a=2，又e==，所以c=1，b2=3，∴椭圆E的方程为=1．（2）（i）证明：由题意得F（1，0）、N（4，0）．设A（m，n），则B（m，﹣n）（n≠0），=1．AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）+（m﹣4）y=0，设M（x0，y0），则有，得x0=，由于==1，所以点M恒在椭圆C上；（ⅱ）解：设AM的方程为x=ty+1，代入=1，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，设A（x1，y1），M（x2，y2），解方程得，y1=．|y1﹣y2|=，令=λ（λ≥1），令=λ（λ≥1），则|y1﹣y2|=，因为函数y=3λ+在[1，+∞）上为增函数，所以，当λ=1即t=0时，y=3λ+有最小值4，S△AMN==，所以△AMN面积最大值为．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间（Ⅱ）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m﹣1的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（I）先求出其导函数，根据导函数的正负即可求出其单调区间；（II）先把问题转化为F'（x0）=≤恒成立；再结合二次函数即可求出结论；（III）先根据条件把问题转化为m=ln（1+x2）+x2+有四个不同的根；求出其导函数，找到其极值点，根据极值即可得到结论．【解答】解：（I）∵F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣，∴F'（x）=+=，（x＞0）；∵x＞0，a＞0，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上递增；（II）∵F'（x）=，（0＜x≤3），则k=F'（x0）=≤恒成立；即a≤（﹣2x0）在（0，3]上恒成立，当x0=1时，（﹣2x0）取到最小值﹣，∴a≤﹣．即a的最大值为﹣．（III）y=g（）+m﹣1=﹣x2+m﹣的图象与函数y=f（1+x2）=ln（1+x2）的图象恰有四个不同的交点，即，﹣x2+m﹣=ln（1+x2）有四个不同的根，亦即m=ln（1+x2）+x2+有四个不同的根；令G（x）=ln（1+x2）+x2+；则G'（x）=+x=；∴x＞0时，G′（x）＞0，G（x）递增，x＜0时，G′（x）＜0，G（x）递减，∴G（x）min=G（0）=＞0，∴不存在实数m，使得函数y=g（）+m﹣1的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同交点．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y fu=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2024-2025学年南京市六校高二数学上学期10月联合调研试卷附答案解析

2024-2025学年南京市六校高二数学上学期10月联合调研试卷全卷满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()i 12i 34z +=-，则z=（）A.B.C.3D.52.设a 为实数，已知直线()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=，若12l l ∥，则a =（）A.6B.3- C.6或3- D.6-或33.已知焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的焦距为6，则实数m 等于（）A.34B.214C.12D.12-4.已知cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A. B.3-C.D.35.设直线20x ay ++=与圆22:(2)16C x y +-=相交于,A B 两点，且ABC V 的面积为8，则a =（）A. B.1- C.1D.6.已知M 为直线:2310l x y ++=上的动点，点P 满足()2,4MP =-，则点P 的轨迹方程为（）A.3290x y -+=B.2249(2)(4)13x y -++=C.2390x y ++= D.2249(2)(4)13x y ++-=7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，118,2AB A B ==，图1中水面高度恰好为棱台高度的12，图2中水面高度为棱台高度的23，若图1和图2中纯净水的体积分别为12,V V ，则12V V =（）A.23B.65C.287208D.3872088.关于椭圆有如下结论：“过椭圆()222210+=>>x y a b a b 上一点()00,P x y 作该椭圆的切线，切线方程为00221x x y y a b +=.”设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 且垂直于x 轴的直线与C 的一个交点为M ，过M 作椭圆的切线l ，若切线l 的斜率1k 与直线AM 的斜率2k 满足1220k k +=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.33C.23D.22二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A.0.025a =B.高一年级抽测成绩的众数为75C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分10.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若//αβ，//m α，n β⊥，则m n ⊥B.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C .若m α⊥，//n β，//m n ，则αβ⊥ D.若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n⊥11.已知圆C ：22(2)4x y -+=，以下四个命题表述正确的是（）A.若圆221080x y x y m +--+=与圆C 恰有3条公切线，则16m =B.圆2220x y y =++与圆C 的公共弦所在直线为20x y +=C.直线()()2132530m x m y m +++--=与圆C 恒有两个公共点D.点P 为y 轴上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，且,A B 的中点为M ，若定点()5,3N ，则MN 的最大值为6三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______.13.已知P 为椭圆22:194x y C +=上的点，()1,0A ，则线段PA 长度的最小值为__________.14.已知()()()0,2,1,0,,0A B C t ，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤恒成立，则正整数t 的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin b A a B =.（1）求角A ；（2）若a ABC =△的面积为332，求ABC V 的周长.16.如图，圆柱1OO 中，PA 是一条母线，AB 是底面一条直径，C 是 AB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若24PA AB ==，求二面角A PB C --的余弦值.17.某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有,A B 两道题目，比赛按先A 题后B 题的答题顺序各答1次，答对A 题得2分，答对B 题得3分，答错得0分.已知学生甲答对A 题的概率为p ，答对B 题的概率为q ，其中01,01p q <<<<，学生乙答对A 题的概率为34，答对B 题的概率为23，且甲乙各自在答,A B 两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为13，得3分的概率为16.（1）求,p q 的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18.已知圆M 过点()3,3A ，圆心M 在直线250x y +-=上，且直线250x y -+=与圆M 相切.（1）求圆M 的方程；（2）过点()0,2D -的直线l 交圆M 于,A B 两点.若A 为线段DB 的中点，求直线l 的方程.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为121,2A A ､分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，126A F =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P Q ､两点（P Q ､在x 轴的两侧），记直线12,A P A P ，21,A Q A Q 的斜率分别为1234,,,k k k k .（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，问直线PQ 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.2024-2025学年南京市六校高二数学上学期10月联合调研试卷全卷满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数z 满足()i 12i 34z +=-，则z=（）A.B.C.3D.5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算可得12i z =--，结合复数的几何意义计算即可求解.【详解】由题意知，34i (34i)(12i)36i 4i 812i 12i (12i)(12i)5z ------====--++-，所以z ==故选：B2.设a 为实数，已知直线()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=，若12l l ∥，则a =（）A.6B.3-C.6或3-D.6-或3【答案】A 【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为12l l ∥，所以()318a a -=，解得：6a =或3a =-.当6a =时，12:6320,:6340l x y l x y +-=++=，平行；当3a =-时，12:3320,:6640l x y l x y -+-=-+=，可判断此时重合，舍去.故选：A3.已知焦点在x 轴上的椭圆2213x ym +=的焦距为6，则实数m 等于（）A.34B.214C.12D.12-【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，3,3m a b c >===，又222a b c =+，所以3912m =+=，即实数m 的值为12.故选：C4.已知cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.B.3-C.D.3【答案】B 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式和同角的商关系可得tan 2α=，结合两角和的正切公式计算即可求解.【详解】由cos πsin(4αα=-πcos )sin cos )sin cos 422αααααα=-=-=-，即tan 2α=，所以πtan 13tan(341tan 1ααα++===---.故选：B5.设直线20x ay ++=与圆22:(2)16C x y +-=相交于,A B 两点，且ABC V 的面积为8，则a =（）A. B.1- C.1D.【答案】C 【解析】【分析】利用三角形的面积公式可得π2ACB ∠=，由圆心(0,2)C 到直线20x ay ++=的距离d ，再利用点线距公式建立方程，解之即可.【详解】由三角形的面积公式可得214sin 82ABC S ACB =⨯∠= ，得sin 1ACB ∠=，由0πACB <∠<，得π2ACB ∠=，所以ABC V 为等腰直角三角形，所以圆心(0,2)C 到直线20x ay ++=的距离为π4sin4d ==，由点到直线的距离公式得d =1a =.故选：C6.已知M 为直线:2310l x y ++=上的动点，点P 满足()2,4MP =-，则点P 的轨迹方程为（）A.3290x y -+=B.2249(2)(4)13x y -++=C .2390x y ++= D.2249(2)(4)13x y ++-=【答案】C 【解析】【分析】由点P 坐标，得到M 坐标，代入直线方程即可.【详解】设点(),P x y ，因为()2,4MP =-，所以()2,4M x y -+，代入直线方程可得：()()223410x y -+++=，化简可得：2390x y ++=.所以P 的轨迹方程为2390x y ++=.故选：C7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，118,2AB A B ==，图1中水面高度恰好为棱台高度的12，图2中水面高度为棱台高度的23，若图1和图2中纯净水的体积分别为12,V V ，则12V V =（）A.23B.65C.287208D.387208【答案】D 【解析】【分析】根据棱台的体积公式，求出12,V V ，即可解出.【详解】设四棱台的高度为h ，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则((1211291291046425,43663323h h h h V V =++⋅==++⋅=，所以12387208V V =.故选：D.8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆()222210+=>>x y a b a b 上一点()00,P x y 作该椭圆的切线，切线方程为00221x x y y a b +=.”设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 且垂直于x 轴的直线与C 的一个交点为M ，过M 作椭圆的切线l ，若切线l 的斜率1k 与直线AM 的斜率2k 满足1220k k +=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.33C.23D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出点,M A 的坐标，再求出切线l 与直线AM 的斜率，列式求解即可.【详解】依题意，(,0),(,0)A a F c -，由x c =-代入椭圆方程得2b y a=±，不妨设2(,)b M c a -，则切线222:1b ycx a l a b-+=，即y ex a =+，切线l 的斜率1k e =，直线AM 的斜率22221()b ac a k e c a a a c -==-=---+，则2(1)0e e +-=，所以23e =.故选：C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A.0.025a =B.高一年级抽测成绩的众数为75C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分【答案】ABD 【解析】【分析】根据频率分步直方图､样本的数字特征等基础知识判断即可．【详解】对于A ：由()0.002520.0100.020.04101a ⨯++++⨯=，解得0.025a =，正确；对于B ：由频率分布直方图可知高一年级抽测成绩的众数为75，正确；对于C ：因为0.025a =，由()0.002520.0100.025100.4⨯++⨯=，()0.002520.0100.0250.04100.8⨯+++⨯=，所以70百分位数是3801087.54+⨯=，故错误；对于D ：高一年学生成绩的平均数约为450.04550.11650.18750.35850.22950.174⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分；高二年学生成绩的平均数约为450.025550.025650.1750.25850.4950.280.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分，因为7480.75<，故正确；故选：ABD10.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若//αβ，//m α，n β⊥，则m n ⊥B.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC.若m α⊥，//n β，//m n ，则αβ⊥D.若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n⊥【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，利用空间线线、线面、面面垂直或平行关系逐项判断即可.【详解】对于A ，由//m α，得存在过直线m 的平面与平面α相交，令交线为c ，则//m c ，而n β⊥，//αβ，则n α⊥，n c ⊥，因此m n ⊥，A 正确；对于B ，由//αβ，m α⊂，n β⊂，得,m n 是平行直线或异面直线，B 错误；对于C ，由//n β，得存在过直线n 的平面与平面β相交，令交线为l ，则//n l ，由//m n ，得//m l ，又m α⊥，则l α⊥，因此αβ⊥，C 正确；对于D ，αβ⊥，m α⊂，n β⊂，当,m n 都平行于,αβ的交线时，//m n ，D 错误.故选：AC11.已知圆C ：22(2)4x y -+=，以下四个命题表述正确的是（）A.若圆221080x y x y m +--+=与圆C 恰有3条公切线，则16m =B.圆2220x y y =++与圆C 的公共弦所在直线为20x y +=C.直线()()2132530m x m y m +++--=与圆C 恒有两个公共点D.点P 为y 轴上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，且,A B 的中点为M ，若定点()5,3N ，则MN 的最大值为6【答案】BCD 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；由两圆方程相减即为两圆公共弦所在直线方程，即可判断B ；求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M 恒有两个公共点，即可判断C ；易知直线AB 恒过定点(0,0)，由CM AB ⊥得出点M 的轨迹，结合点与圆的位置关系计算即可判断D.【详解】A ：由题意得：221080x y x y m +--+=的圆心为(5,4)，=该圆与圆22:(2)4C x y -+=有3条公切线，则两圆外切，所以2=，解得32m =，故A 错误；B ：两圆的圆心分别为(0,1),(2,0)-，半径分别为1和2，则211312-=<=+，所以两圆相交，2220x y y =++与22(2)4x y -+=相减得：20x y +=，故圆2220x y y =++与圆C 的公共弦所在直线为20x y +=，故B 正确；C ：(21)(32)530m x m y m +++--=变形为()235(23)0x y m x y +-++-=，令2350230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即直线(21)(32)530m x m y m +++--=恒过点()1,1，由于()221214-<+，点()1,1在圆M 内，所以(21)(32)530m x m y m +++--=与圆M 恒有两个公共点，故C 正确；D ：如图，圆(2,0)C ，半径为2，则圆C 与y 轴相切，切点为原点O ，即为A ，易知直线AB 恒过点(0,0)A ，又M 为AB 的中点，则CM AB ⊥，所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，圆心为(1,0)，半径为1，又(5,3)N ，所以MN 16=，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键点在于直线AB 恒过定点(0,0)，由CM AB ⊥得出点M 的轨迹为圆.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______.【答案】25##0.4【解析】【分析】由古典概型概率计算公式直接求解.【详解】从五张卡片中任取两张共有25C 10=，两张卡片上的数字之和是3的倍数有，()()()()1,2,1,5,2,4,4,5共4种，所以概率42105p ==.故答案为：2513.已知P 为椭圆22:194x y C +=上的点，()1,0A ，则线段PA 长度的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析】记线段PA 的长度为d ，表达d 的函数，利用0(P x ,0)y ；033x -≤≤，结合二次函数的性质即可求d 的最小值．【详解】设(1,0)A ，记线段PA 的长度为d ，P 是椭圆E 上任意一点，设0(P x ,0)y ,033x -≤≤,所以：d =．由于033x -≤≤，故095x =时，d 有最小值，且d 的最小值5，故答案为：514.已知()()()0,2,1,0,,0A B C t ，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤恒成立，则正整数t 的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】求出直线AC 的方程，设22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.由AD ≤，列不等式，利用判别式法求出t 的范围，即可求解.【详解】由题意知直线AC 的方程为22y x t =-+.因为点D 是直线AC 上的动点，所以可设22,D x x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为AD ≤≤，化简得：2282615024x x t t ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+⎭+≥⎝对任意x 恒成立,所以22244150862t t ⎛⎫⎛⎫-⨯∆⨯≤ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++，化简得224708t t +-=≤∆,解得121027t +≥或121027t -≤，结合t 为正整数得：t 的最小值为4.故答案为：4四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin2sin b A a B =.（1）求角A ；（2）若a ABC =△的面积为2，求ABC V 的周长.【答案】（1）π3A =（2）5+.【解析】【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化，即可求解，（2）根据面积公式可得bc 的值，结合余弦定理即可求解.【小问1详解】因为sin2sin b A a B =，所以2sin cos sin b A A a B =.根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B A A A B =，因为sin 0,sin 0B A ≠≠，所以1cos 2A =.又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】在ABC V 中，由已知11sin ,62222ABC S bc A bc bc ==⋅=∴= ，因为,π3A a ==由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即721()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭，即27()3b c bc =+-，又0,0b c >>,所以5b c +=.所以ABC V 的周长周长为5+.16.如图，圆柱1OO 中，PA 是一条母线，AB 是底面一条直径，C 是 AB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若24PA AB ==，求二面角A PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质可得,PA BC ⊥又AC BC ⊥，结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明；（2）如图，确定CEO ∠是二面角A PB C --的平面角，利用定义法求解即可.【小问1详解】因为PA 是一条母线，所以PA ⊥平面ABC ，而⊂BC 平面,ABC 则,PA BC ⊥因为AB 是底面一条直径，C 是 AB 的中点，所以90ACB ∠= ，即AC BC ⊥，又,PA AC ⊂平面PAC 且PA AC A = ，所以⊥BC 平面PAC ，而⊂BC 平面PBC ，则平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】设24PA AB ==，则PB =，因为C 是 AB 的中点，O 为底面圆心，所以CO ⊥平面PAB ，作OE PB ⊥，交PB 于点E 连接CE ，由,OE PB CE PB ⊥⊥可知，CEO ∠是二面角A PB C --的平面角.则PB OE PA BO ⋅=⋅，即5OE ==，在直角COE中，5CE ==.所以25cos 3355CEO ∠==.故二面角A PB C --的余弦值为23.17.某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有,A B 两道题目，比赛按先A 题后B 题的答题顺序各答1次，答对A 题得2分，答对B 题得3分，答错得0分.已知学生甲答对A 题的概率为p ，答对B 题的概率为q ，其中01,01p q <<<<，学生乙答对A 题的概率为34，答对B 题的概率为23，且甲乙各自在答,A B 两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为13，得3分的概率为16.（1）求,p q 的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.【答案】（1）21,32p q ==（2）1136.【解析】【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）记甲得分为i 分的事件为()0,2,3,5i C i =，乙得分为i 分的事件为()0,2,3,5i D i =，从而得到不低于8分的事件为355355E C D C D C D =++，再结合概率加法、乘法公式即可求解.【小问1详解】由题意得()13116pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21,32p q ==.【小问2详解】比赛结束后，甲､乙个人得分可能为0,2,3,5.记甲得分为i 分的事件为()0,2,3,5i C i =，乙得分为i 分的事件为()0,2,3,5i D i =，,i i C D 相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E ，则355355E C D C D C D =++，且355355,,C D C D C D 彼此互斥.易得()31,6P C =.()()()35532113211,,4363432P D P C P D ⎛⎫=-⨯===⨯= ⎪⎝⎭，所以()()()()()355355355355P E P C D C D C D P C D P C D P C D =++=++1111111162363236=⨯+⨯+⨯=所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为1136.18.已知圆M 过点()3,3A ，圆心M 在直线250x y +-=上，且直线250x y -+=与圆M 相切.（1）求圆M 的方程；（2）过点()0,2D -的直线l 交圆M 于,A B 两点.若A 为线段DB 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）22(2)(1)5x y -+-=（2）0x =或512240x y --=.【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）设(),A x y ，从而得到()2,22B x y +，由,A B 在圆上，代入方程求解即可解决问题.【小问1详解】设圆M 的方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆M 过点()3,3A ，所以222(3)(3)a b r -+-=①，又因为圆心M 在直线250x y +-=上，所以250a b +-=②，直线250x y -+=与圆M相切，得到r =由①②③解得：2,1,a b r ===M 的方程为22(2)(1) 5.x y -+-=【小问2详解】设(),A x y ，因为A 为线段BD 的中点，所以()2,22B x y +，因为,A B 在圆M 上，所以()()()()222221522215x y x y ⎧-+-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或24131613x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当()0,0A 时，由()0,2D -可知直线l 的方程为0x =；当2416,1313A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，由()0,2D -可得斜率162513241213k -+==-，故直线l 的方程为5212y x =-，即512240x y --=.综上，直线l 的方程为0x =或512240x y --=.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为121,2A A ､分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，126A F =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P Q ､两点（P Q ､在x 轴的两侧），记直线12,A P A P ，21,A Q A Q 的斜率分别为1234,,,k k k k .（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，问直线PQ 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.【答案】（1）2211612x y +=（2）（i ）34-；（ii ）直线l 恒过点()1,0D -.【解析】【分析】（1）由离心率及12A F ，列出,,a b c 的等式求解即可.（2）（i ）设直线方程x ty m =+，联立椭圆方程结合韦达定理和斜率公式即可求解；（ii ）由（i ）得到229.20PA QA k k =-结合韦达定理及斜率公式代入化简即可.【小问1详解】由于椭圆G22+22=1>>0的离心率为12，故12c a =，又126A F a c =+=，所以2224,2,12a c b a c ===-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.【小问2详解】（i ）设l 与x 轴交点为D ，由于直线l 交椭圆C 于P Q ､两点（P Q ､在x 轴的两侧）故直线l 的的斜率不为0，直线l 的方程为x ty m =+，联立2211612x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2223463480t y mty m +++-=，则22Δ12160,t m =-+>设()()1122,,,P x y Q x y ，则21212226348,3434mt m y y y y t t --+==++，又()()124,0,4,0,A A -故122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---，（ii ）由（i ）得123434QA QA k k k k ==-.因为()142353k k k k +=+，则()()232323232333535,44343k k k k k k k k k k +--=+-⋅=+.又直线l 交与x 轴不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即229.20PA QA k k =-所以()()121212129,2094404420y y y y ty m ty m x x ⋅=-++-+-=--，于是()()()221212920949(4)0,t y y t m y y m ++-++-=()()222223486920949(4)03434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++整理得2340m m --=，解得1m =-或4m =，因为P Q ､在x 轴的两侧，所以21223480,4434m y y m t -=<-<<+，又1m =-时，直线:1l x ty =-与椭圆C 有两个不同交点，因此1m =-，直线l 恒过点()1,0D -.。

2014年01月16日江苏省南京市2013～2014学年度第一学期期末考试高二理科数学试题参考答案

南京市2013－2014学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准(理科) 2014.01说明：1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)1.∃x ∈N ,x 2＝x2.y 2＝20x3.44.－15.66.27.528.14 9.(1,e) 10.充分不必要. 11.2 12.8 13.1 14.2二、解答题(本大题共6小题,共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解(1)因为复数z 1＝(m －1)＋(m ＋3)i 在复平面内对应的点在第二象限,所以⎩⎨⎧m －1＜0，m ＋3＞0．解得－3＜m ＜1,即m 的取值范围为(－3,1). ……………… 3分 (2)由q 为真命题,即复数z 2＝1＋(m －2)i 的模不超过10,所以12＋(m －2)2≤10,解得－1≤m ≤5. ……………… 5分由命题“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题得⎩⎨⎧p 为真命题，q 为假命题，或 ⎩⎨⎧p 为假命题，q 为真命题．所以⎩⎨⎧－3＜m ＜1，m ＜－1或m ＞5，或⎩⎨⎧m ≤－3或m ≥1，－1≤m ≤5，即－3＜m ＜－1或1≤m ≤5.所以m 的取值范围为(－3,－1)∪[1,5]. ……………… 8分 16.解 (1)曲线与y 轴的交点是(0,－3).令y ＝0,得x 2－2x －3＝0,解得x ＝－1或x ＝3.即曲线与x 轴的交点是(－1,0),(3,0). ……………… 2分设所求圆C 的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,则⎩⎪⎨⎪⎧9－3E ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得D ＝－2,E ＝2,F ＝－3.所以圆C 的方程是x 2＋y 2－2x ＋2y -3＝0. ……………… 5分 (2)圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝(5)2,所以圆心C (1,－1),半径r ＝ 5. ……………… 7分圆心C 到直线x ＋y ＋a ＝0的距离d ＝|1＋(－1)＋a |2＝|a |2. 由于d 2＋(12AB )2＝r 2,所以(|a |2)2＋12＝(5)2,解得a ＝±2 2 . ……………… 10分 17.解如图,以D 为坐标原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立坐标系. (1)由题意得A (2,0,0),D 1(0,0,a ),C 1(0,2,a ),F (0,1,0).故→AC 1＝(－2,2,a ),→D 1F ＝(0,1,－a ). …… 2分因为AC 1⊥D 1F ,所以→AC 1·→D 1F ＝0,即(－2,2,a )·(0,1,－a )＝0.从而2－a 2＝0,又a ＞0,故a ＝ 2. ……………… 5分 (2)平面FD 1D 的一个法向量为m ＝(1,0,0). 设平面EFD 1的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ),因为E (1,0,0),a ＝2,故→EF ＝(－1,1,0),→D 1F ＝(0,1,－2). 由n ⊥→EF ,n ⊥→D 1F ,得－x ＋y ＝0且y －2z ＝0,解得x ＝y ＝2z .故平面EFD 1的一个法向量为n ＝(2,2,1). ……………… 8分因为cos<m ,n >＝m ·n |m |·|n |＝(1，0，0)·(2，2，1)1×3＝23,且二面角E －FD 1－D 的大小为锐角,所以二面角E －FD 1－D 的余弦值为23. ……………… 10分18.解 (1)由题意知,今年的年销售量为1＋4(x －2)2 (万件).因为每销售一件,商户甲可获利(x －1)元,所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2](x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17,(1≤x ≤2). ……………… 4分(2)由(1)知y ＝4x 3－20x 2＋33x －17,1≤x ≤2, 从而y ′＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11).令y ′＝0,解得x ＝32,或x ＝116.列表如下：x (1,32) 32 (32,116) 116 (116,2) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )递增极大值递减极小值递增……………… 7分又f (32)＝1,f (2)＝1,所以f (x )在区间[1,2]上的最大值为1(万元).而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元),所以,商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.……………… 10分19.解(1)当a ＝0时,f (x )＝－2x ＋4ln x ,从而f ′(x )＝－2＋4x ,其中x ＞0. ……………… 2分所以f ′(1)＝2.又切点为(1,－2),所以所求切线方程为y ＋2＝2(x －1),即2x －y －4＝0. ……………… 4分 (2)因为f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ,ABC D CB A 1D 1E F(第17题图)z yx所以f ′(x )＝2ax －(4a ＋2)＋4x ＝2ax 2－(4a ＋2)x ＋4x ＝2(ax －1)(x －2)x,其中x ＞0.①当a ＝0时,f ′(x )＝－2(x －2)x,x ＞0. 由f ′(x )＞0得,0＜x ＜2,所以函数f (x )的单调增区间是(0,2)；单调减区间是(2,＋∞)； ……………… 6分②当0＜a ＜12时,因为1a ＞2,由f ′(x )＞0,得x ＜2或x ＞1a.所以函数f (x )的单调增区间是(0,2)和(1a ,＋∞)；单调减区间为(2,1a)；……………… 8分③当a ＝12时,f ′(x )＝(x －2)2x ≥0,且仅在x ＝2时,f ′(x )＝0,所以函数f (x )的单调增区间是(0,＋∞)；④当a ＞12时,因0＜1a ＜2,由f ′(x )＞0,得0＜x ＜1a或x ＞2,所以函数f (x )的单调增区间是(0,1a )和(2,＋∞)；单调减区间为(1a ,2).综上,当a ＝0时,f (x )的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,＋∞)；当0＜a ＜12时,f (x )的单调增区间是(0,2)和(1a ,＋∞),减区间为(2,1a )；当a ＝12时,f (x )的单调增区间是(0,＋∞)；当a ＞12时,f (x )的单调增区间是(0,1a )和(2,＋∞),减区间为(1a,2).……………… 10分20.解(1)设顶点A 的坐标为(x ,y ),则k AB ＝y x ＋2,k AC ＝yx －2, ………… 2分因为k AB ⋅k AC ＝－14,所以y x ＋2⋅ y x －2＝－14, 即x 24＋y 2＝1.(或x 2＋4y 2＝4).所以曲线E 的方程为 x 24＋y 2＝1(x ≠±2) . ……………… 4分(2)曲线E 与y 轴负半轴的交点为D (0,－1).因为l 1的斜率存在,所以设l 1的方程为y ＝kx －1, 代入x 24＋y 2＝1,得M (8k 1＋4k 2,4k 2－11＋4k 2),从而DM ＝(8k 1＋4k 2)2＋(4k 2－11＋4k 2＋1)2＝8∣k ∣1＋k 21＋4k 2. ……………… 6分用－1k 代k 得DN ＝81＋k 24＋k 2.所以△DMN 的面积S ＝12⋅8∣k ∣1＋k 21＋4k 2⨯81＋k24＋k 2＝32(1＋k 2)∣k ∣(1＋4k 2)(4＋k 2). ……………… 8分则S∣k ∣＝ 32(1＋k 2)(1＋4k 2)(4＋k 2), 因为k ≠0且k ≠±12,k ≠±2,令1＋k 2＝t ,则t ＞1,且t ≠54,t ≠5,从而S ∣k ∣＝32t (4t －3)(t ＋3)＝32t 4t 2＋9t －9＝329＋4t －9t,因为4t －9t ＞－5,,且4t －9t ≠－115,4t －9t ≠915.所以9＋4t －9t ＞4且9＋4t －9t ≠345,9＋4t －9t ≠1365,从而 S ∣k ∣＜8且S ∣k ∣≠8017,S ∣k ∣≠2017, 即 S ∣k ∣∈(0,2017)∪(2017,8017)∪(8017,8). ……………… 10分。

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南京市2014—2015学年度第一学期期末学情调研测试卷
高二数学（理科） 2015.01
一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共计42分．）
1．命题“x ∃∈R ，2x x ≥”的否定是．
2．已知复数(43i)i z =-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为．
3．直线l
20y --=的倾斜角是．
4．已知实数x ，y 满足条件10260x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩
≥≥≤，则3x y +的最大值是．
5．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值为．
6．方程22
112x y m m
-=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是． 7．中心在原点，焦点在x
轴上的双曲线的一条渐近线方程为y ，则此双曲线的离心率为．
8．已知函数1sin 2
y x x =-，(0)x π∈，，则它的单调递减区间为． 9．已知圆1C ：2220x y x +-=与圆2C ：22()(4)16x a y -+-=外切，则实数a 的值为．
10．已知椭圆C ：22
1259
x y +=上一点P 到右准线的距离为5，则点P 到椭圆C 的左焦点的距离为．
11．设函数()f x 满足1()(1)1()
f x f x f x ++=-，x ∈R ，(1)3f =，则(2015)f = ． 12．已知△ABC 顶点的坐标为(10)A ，，(30)B ，，(01)C ，，则△ABC 外接圆的方程是．
13．下列命题正确的是．(填写所有正确命题的序号)
①a ，b ，c 成等差数列的充分必要条件是2a c b +=；
②若“x ∃∈R ，220x x a ++<”是真命题，则实数a 的取值范围是1a <； ③0a >，0b >是方程221ax by +=表示椭圆的充分不必要条件；
④命题“若1a ≠，则直线10ax y ++=与直线20x ay +-=不平行”的否命题是真命题．
14．已知函数32()31f x ax x =-+在区间(02]，上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是．
二、解答题（本大题共6小题，共计58分．）
15．（本小题满分8分）
已知△ABC 的顶点为(24)A ，，(02)B -，，(24)C -，．
（1）求BC 边上的高所在直线的方程；
（2）若直线l 经过点C ，且A ，B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．
16．（本小题满分10分）
已知半径为2的圆C 满足：①圆心在y 轴的正半轴上；②它截x 轴所得的弦长是．
（1）求圆C 的方程；
（2）若直线l 经过点(23)P -，，且与圆C 相切，求直线l 的方程．
在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是11A B ，CD ，1B C 的中点．
（1）求直线EG 与直线AF 所成角的余弦值；
（2）求二面角1D AF D --的余弦值．
18．（本小题满分10分）
如图，有一块钢板其边缘由一条线段及一段抛物线弧组成，其中抛物线弧的方程为222y x =-+(11)x -≤≤．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，切割时以边缘的一条线段为梯形的下底．
（1）若梯形上底长为2x ，试求梯形面积S 关于x 的函数关系式；
（2）求梯形面积S 的最大值．
已知2()ln f x x a x =-(0)a >．
（1）当1a =时，求()f x 的单调递减区间；
（2）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．
20．（本小题满分10分）
已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)经过点1)2
，，其左、右顶点分别为A ，B ．直线1l ：2x =-，直线2l ：2y =．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设点P 是椭圆C 上在x 轴上方的一个动点，直线AP 与直线2l 交于点M ，直线BP 与直线1l 交于点N ，求直线MN 的斜率的取值范围．。