2021届江苏省南京市宁海中学高二第一学期数学期末考试试题
江苏省南京市2021版数学高二上学期理数期末考试试卷(II)卷
江苏省南京市2021版数学高二上学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·合肥开学考) 已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（）A . 或B .C . 或D .2. （2分）(2019·东城模拟) 南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“ 相等”是“ 总相等”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A . 6n-2B . 8n-2C . 6n+2D . 8n+24. （2分）(2018·徐汇模拟) 若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，（），则复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限．B . 第二象限．C . 第三象限．D . 第四象限．5. （2分）下列命题中假命题是（）A . 离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直B . 过点（1，1）且与直线x－2y+=0垂直的直线方程是2x + y－3=0C . 抛物线y2 = 2x的焦点到准线的距离为1D . +=1的两条准线之间的距离为6. （2分）抛物线的焦点到准线的距离是（）A . 1B . 2C .D .7. （2分）若实数x、y满足则S＝2x＋y－1的最大值为（）A . 6B . 4C . 3D . 28. （2分） (2017高二下·邢台期末) 给出下面三个类比结论：①向量，有| |2= 2；类比复数z，有|z|2=z2②实数a，b有（a+b）2=a2+2ab+b2；类比向量，，有（）2= 2 2③实数a，b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z1 ， z2 ，有z12+z22=0，则z1=z2=0其中类比结论正确的命题个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分） (2020高二下·河南月考) 下列求导运算正确的是（）A .B .C .D .10. （2分）已知－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，则2a＋3b的范围是（）A . (－，)B . (－，)C . (－，)D . (－，)11. （2分） (2017高二上·四川期中) 已知函数的图象上一点及邻近点，则（）A . 2B .C .D .12. （2分） (2019高三上·新疆月考) 设函数在上存在导函数，，有，在上有，若，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·嘉兴期中) 若的三边长为2，3，4，则的最大角的余弦值为________．14. （1分） (2016高二下·黑龙江开学考) 命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是________．15. （1分） (2020高三上·长春开学考) 等差数列中，，且，则公差 ________.16. （1分） (2015高二上·福建期末) 椭圆的左焦点为F1 ， P为椭圆上的动点，M是圆上的动点，则|PM|+|PF1|的最大值是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2020高一下·河西期中) 设z1是虚数，z2＝z1 是实数，且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω ，求证ω为纯虚数；（3）求z2﹣ω2的最小值．18. （10分） (2019高二上·石河子月考) 已知数列满足，， .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .19. （10分） (2019高二上·南阳月考) 已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，且是与的等差中项.（1）求此椭圆方程；（2）若点满足，求的面积．20. （5分） (2017高二上·安平期末) 命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实根，命题q：函数f（x）=logax 在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”真命题，求实数a的取值范围．21. （10分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数．22. （10分） (2019高三上·衡水月考) 设函数 f（x）=asinx-xcosx，x∈[0，] ．（Ⅰ）当 a=1 时，求证：；（Ⅱ）如果恒成立，求实数 a的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
江苏省南京市高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为()f x ()y f x =()y f x '=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据()f x ()f x ()f x '此可判断的图象.()f x '【详解】由的图象可知，在上为增函数，()f x ()f x (),0∞-且在上存在正数，使得在上为增函数， ()0,∞+,m n ()f x ()()0,,,m n +∞在为减函数，(),m n 故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化， ()f x '()0,∞+()f x '故排除A ，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C. ()f x (),0∞-()0f x '≥(),0∞-故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.2．函数的单调递增区间（ ）()(31)x f x x e =-A ．B ．C ．D ．1(,3-∞2(,3-∞-2(,)3-+∞1(,)3+∞【答案】C【分析】求导，令求解. ()0f x '>【详解】解：因为， ()(31)x f x x e =-所以，()(32)x f x x e =+'令，解得，()0f x '>23x >-所以函数的单调递增区间是，()f x 2(,)3-+∞故选：C3．如图，在正方体中，，，，若为的中点，在1111ABCD A B C D -AB a = AD b = 1AA c =E 1DDF 上，且，则等于（ ）BD 3BF FD =EFA ．B ．111332a b c --111442a b c --C ．D ．111442a b c -+ 111233a b c -+ 【答案】B【分析】利用空间向量的线性元素和空间向量的基本定理求解. 【详解】，11142=-=-EF DF DE DB DD ， ()11111142442=--=--AB AD DD a b c 故选：B4．直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角x y +=2222(1)x y a a +=+-,A B O AOB A 形，则实数的值为 a A ．1B ．-1C ．D ．1212-【答案】C【详解】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到(0,0)O r 直线的距离为，则d d 由条件得，整理得． r =2243d r =所以，解得．选C ． 222633(1)a a a =+-12a =5．已知函数有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）()2ln xf x ax ax x e =--A ．B ．C ．D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,e 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),e +∞【答案】D【分析】令，再参变分离得到，再求导分析的单调性，进()0f x =2ln x e a x x x =-()2ln xe g x x x x=-而得到函数图象，数形结合即可得实数a 的取值范围【详解】函数有两个零点，即有两根，又()2ln x f x ax ax x e =--()2ln 0xa x x x e --=，故可转换为有两根，令， 则()2ln ln 0x x x x x x -=->2ln x e a x x x =-()2ln xe g x x x x =-，令，则，故()()()()()()22222ln 2ln 111ln ln ln x x e x x x x x e x x x g x xx x xx x --++---'==--()1ln h x x x =--()1x h x x-'=在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时等号成立，故()h x ()0,1()1,+∞()()10h x h ≥=1x =在上，单调递减；在上，单调递增，所以()0,1()0g x '<()g x ()1,+∞()0g x '>()g x ，又当与时，故实数a 的取值范围为 ()()min 1g x g e ==0x +→x →+∞()g x ∞→+(),e +∞故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数解决函数的零点个数问题，需要根据题意参变分离，再求导分析单调性与最值，属于难题6．在平面直角坐标系中，已知点，若是抛物线上一动点，则到轴的距离xOy (1,2)A P 22y x =P y 与到点的距离之和的最小值为（ ） P A AB C ．D【答案】D【分析】根据题意画出图形，利用抛物线定义与三角形三边关系即可求解. 【详解】依题意，可得出如下图形：抛物线的方程为，22y x =抛物线的焦点为，，准线方程为，∴1(2F 0)l 12x =-设点在轴上的射影为点，延长交准线于点，连结， P y Q PQ l B PF 则长即为点到轴的距离，可得，PQ P y 12PB PQ =+根据抛物线的定义，得，||||PB PF =， 1122PQ PA PB PA PF PA ∴+=+-=+-根据平面几何知识，可得，得. PF PA AF +≥12PQ PA AF +≥-当且仅当､､三点共线时等号成立，P A F1122==当､､三点共线时，的最小值为∴P A F PQ PA +即到轴的距离与到点P y P A 故选：D.7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为R ()f x ()()0xf x f x '+>()12f =()2e e xxf >（ ） A ． B ． C ．D ．()0,+∞()ln2,+∞()1,+∞()0,1【答案】A【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式. ()()g x xf x =()2e e xxf >【详解】设，则， ()()g x xf x =()()()0g x xf x f x ''=+>故为上的增函数，()g x R 而可化为即， ()2e exx f >()()e e 211x x f f >=⨯()()g e 1x g >故即，所以不等式的解集为， e 1x >0x >()2e e xxf >()0,+∞故选：A.8．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系：{}n a {}n b ，数列的前项和为，则的值为（ ） 312123112n n n a a a a b b b b +++⋯+=-{}n b n n S 5S A ．454 B ．450 C ．446 D ．442【答案】A【分析】由已知可得，进而根据已知可推出当时，.进而得出21n a n =-2n ≥12n n n a b =()212n n b n =-⋅，求出前5项，相加即可得出答案.【详解】由题意可得：. 12(1)21n a n n =+-=-又①， 312123112n nn a a a a b b b b +++⋯+=-当时，②， 2n ≥311211231112n n n a a a a b b b b ---+++⋯⋯+=-①-②可得：， 111111222n n n n n a b -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭所以.()2212n nn n b a n ==-⋅又时，，可得，显然满足， 1n =11112a b =-12b =()212n n b n =-⋅所以.()212nn b n =-⋅所以. 512345S b b b b b =++++2345232527292454=+⨯+⨯+⨯+⨯=故选：A.二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有，则P ，A ，B ，C 四点共面111632OP OA OB OC =++C ．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底{},,a b c m a c =+{},,a b m D ．若，则是钝角 0a b ⋅<,a b 【答案】ABC【分析】对于A ，根据共线向量的概念理解判断；对于B ：根据且OP xOA yOB zOC =++u u u r u u r u u u r u u u rP ，A ，B ，C 四点共面，分析判断；对于C ：基底向量的定义是空间的一个1x y z ++=⇔{},,a b c基底不共面，分析判断；对于D ：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的,,a b c ⇔cos ,0a b < 范围分析判断．【详解】对于A ，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，所以A 正确；对于B ，若对空间中任意一点O ，有因为，111632OP OA OB OC =++ 1111632++=根据空间向量的基本定理，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以B 正确；对于C ，由于是空间的一个基底，则向量不共面{},,a b c ,,a b c∵，则共面m a c =+,,a c m ∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C 正确；,,a b m{},,a b m 对于D ，若，即，又，所以，所以Dcos ,0⋅=< a b a b a b cos ,0a b <[],0,π∈ a b π,,π2a b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 不正确． 故选：ABC ．三、单选题10．函数，下列对函数的性质描述正确的是（ ） 3()32()f x x ax a R -+∈=()f x A ．函数的图象关于点对称 ()f x ()0,2B ．若，则函数f （x ）有极值点0a ≤C ．若，函数在区间单调递减0a >()f x (,-∞D ．若函数有且只有3个零点，则a 的取值范围是 ()f x ()1,+∞【答案】AD【分析】利用函数的对称性即可判断选项A 是否正确；对函数求导，分别就和进行()f x 0a ≤0a >讨论，即可判断选项B 、C 是否正确；函数有三个不同的零点，根据函数3()32()f x x ax a R -+∈=的单调性，可知函数的极小值小于0，极大值大于0，列出不等式组，求出a 的取值范围，由()f x 此即可判断选项D 是否正确．【详解】对于选项A ，因为，所以，所以3()32()f x x ax a R -+∈=3()32()f x x ax a R --++∈=，所以函数的图象关于点对称，故选项A 正确；()()4f x f x +-=()f x ()0,2对于选项B ，由，当时，，函数在定义域内为增函()()22333f x x a x a '=-=-0a ≤()0f x '≥()f x 数，此时函数没有极值点，故选项B 错误；()f x 对于选项C ，当时，由，解得又∵时，，所以函0a>()0f x '=x =(x ∈-∞()0f x >′数在区间单调递增，故选项C 错误；()f x (,-∞对于选项D ，由，()()22333f x x a x a '=-=-当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意； 0a ≤()0f x '≥()f x当时，由，解得0a >()0f x '=x =又∵时，，时，，时，，(x∈-∞，()0f x >′(x ∈()0f x <′)x ∈+∞()0f x >′∴函数单调递增区间为和，单调递减区间为，()f x (,-∞)+∞(∴函数的极小值和极大值．22f=-+(22f =+∵函数有三个不同的零点，3()32()f x x axa R -+∈=∴，即 ， 解得，故选项D 正确． 000a f f⎧>⎪⎪>⎨⎪⎪<⎩01010a >⎧⎪>⎨⎪>⎩1a >故选：AD.【点睛】方法点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．四、多选题11．在平面直角坐标系中，三点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，7)，动点P 满足，则以下结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程为(x －3)2+y 2=8B ．△PAB 面积最大时，PA=C ．∠PAB 最大时，PA=D ．P 到直线AC 距离最小值为【答案】ACD【分析】根据可求得点轨迹方程为，A 正确；PA =P ()2238x y -+=根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为AB P AB (3,P ±，由此可确定B 不正确；当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C 错误； ∠PAB PA 求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D 正确.AC【详解】解：对于A ：设，由得：，即(),P x y PA =222PA PB =()()2222121x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简可得：，即点轨迹方程为，故A 正确； ()2238x y -+=P ()2238x y -+=对于B ：直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆AB ()2238x y -+=∴P AB的半径，即为，()2238x y -+=r，面积最大为，2AB = PAB ∴A 122⨯⨯=(3,P ±B 不正确；PA ∴==对于C ：当最大时，则为圆的切线，∠PAB PA ()2238x y -+=，故C 正确；∴PA ==对于D ：直线的方程为，则圆心到直线， AC 770x y -+=()3,0AC =点到直线D 正确.∴P AC -=故选：ACD.12．“已知函数，对于上的任意，，若______，则必有2()cos f x x x =-,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1x 2x ()()12f x f x >恒成立.”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是（ ） A ． B ．C ．D ．12x x >120x x +>2212x x >121x x >【答案】CD【分析】确定函数的奇偶性和单调性后再判断．【详解】，是偶函数，22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=-=()f x在上，是增函数，是减函数，因此是增函数， 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y x =cos y x =()f x 因此，四个选项中只有CD 能得出． 12x x >12()()f x f x ⇔>12x x >故选：CD ．五、填空题13．已知数列为等差数列，.若数列也为等差数列，则___________.{}n a 13a =2{}n a n a =【答案】3【分析】根据等差数列的通项公式与中项公式即可求解. 【详解】依题意，由数列为等差数列，设其公差为，且， {}n a d 13a =得，， 23a d =+332a d =+又数列也为等差数列，2{}n a 则，即，2222132a a a =+()()2223932d d +=++解得：. 0d =.3n a ∴=故答案为：3.14．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____()sin cos f x x x =+[]0,a a 【答案】0,4π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】利用辅助角公式进行化简解析式，再借助正弦函数的单调递增区间进行求解即可.【详解】由题意知，，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，22,242k x k k z πππππ-+≤+≤+∈解得， 322,44k x k k z ππππ-+≤≤+∈令可得，， 0k =344x ππ-≤≤所以为函数的一个单调递增区间，3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 因为函数在上单调递增，所以.()f x []0,a 04a π<≤故答案为：0,4π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用辅助角公式进行化简、利用正弦函数的单调区间求参数的取值范围；考查运算求解能力和整体代换的思想；熟练掌握辅助角公式和正弦函数的单调区间是求解本题的关键；属于中档题.六、双空题15．已知数列的各项均为正数，其前n 项和为，且，n ，则＝_______；{}n a n S 12n n n S a a +=N *∈4a 若＝2，则＝_______． 1a 20S 【答案】 4 220【分析】当时，利用， 即可得到 ，取即可.2n ≥1n n n a S S -=-n a 4n =利用已知递推公式，结合首项可以求得，进一步做差可以得出的奇数项和偶数项分别成22a ={}n a 等差数列，分组后利用等差数列求和公式即可. 【详解】根据①，得②， 12n n n S a a +=112n n n S a a --=①﹣②得， 112n n a a +--=()2n ≥又时，，可得 1n =1122a a a =⋅22a =故；4224a a =+=当＝2，，可得 ， 1a 22a =,1n n n a n n ⎧=⎨+⎩为偶数，为奇数即可求得201351924620=(++++)+(++++)S a a a a a a a a L L ． (220)10(2+20)10=22022+⨯⨯=+故答案为：4；220【点睛】本题主要考查了与的关系，数列的递推关系式，以及等差数列的定义和通项，属于n a n S 中档题.七、填空题16．已知函数为定义在R 上的增函数，且对，若不等式()f x ()()R,2x f x f x ∀∈+-=对恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 1()2ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()0,x ∀∈+∞【答案】 2,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由，可得，则不等式可转化为()()R,2x f x f x ∀∈+-=12ln (2ln )2(2ln )f f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对恒成立，根据函数为定义在R 上的增函数，可得，通()(2ln )f ax f x ≥()0,x ∀∈+∞()f x 2ln ax x ≥过分离参数，利用导数研究函数的单调性极值即可求得结果【详解】因为，()()R,2x f x f x ∀∈+-=所以，12ln (2ln )2(2ln )f f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭因为不等式对恒成立，1()2ln 2f ax f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()0,x ∀∈+∞所以对恒成立，()(2ln )f ax f x ≥()0,x ∀∈+∞因为函数为定义在R 上的增函数，()f x 所以，得在上恒成立，2ln ax x ≥2ln xa x ≥()0,x ∀∈+∞令，，则，2ln ()xg x x =()0,x ∈+∞22(1ln )()x g x x -'=当时，，当时，，0e x <<()0g x '>e x >()0g x '<所以 在上递增，在上递减，2ln ()xg x x =()0,e ()e,+∞所以当时，取得最大值，，e x =()g x max 2()(e)=e g x g =所以， 2e a ≥所以实数a 的取值范围是，2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭八、解答题17．记S n 为等比数列的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.{}n a （1）求的通项公式；{}n a （2）求Sn ，并判断Sn +1，Sn ，Sn +2是否成等差数列．【答案】（1）；（2）见解析.(2)n n a =-【详解】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利2q =-12a =-用等差中项证明Sn +1，Sn ，Sn +2成等差数列．试题解析：（1）设的公比为.由题设可得 ，解得，. {}n a q ()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩2q =-12a =-故的通项公式为.{}n a ()2n n a =-（2）由（1）可得. ()()111221133nn n n a q S q +-==-+--由于， ()()321214222212123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦故，，成等差数列.1n S +n S 2n S +点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18．已知E ，F 分别是正方体的棱BC 和CD 的中点．1111ABCD A B CD -(1)求与所成角的大小；1A D EF (2)求与平面所成角的余弦值．1A E 1B FB 【答案】(1)60°； (2).23【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；【详解】（1）以AB ，AD ，所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，1AA设正方体的棱长为，则，，，，1111ABCD A B C D -2a 1(0,0,2)A a (0,2,0)D a ()2,,0E a a (),2,0F a a 所以，，设与EF 所成角的大小为，1(0,2,2)A D a a =- (,,0)EF a a =- 1A D α则， 1111cos cos ,2A D EF A D EF A D EF α⋅====⋅ 因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°．(0,90⎤⎦ 1A D EF （2）设平面的法向量为，与平面所成角为，． 1B FB ()0000,,n x y z = 1A E 1B FB β0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ因为，，所以，，(2,0,0)B a 1(2,0,2)B a a (,2,0)BF a a =- 1(0,0,2)BB a = 所以，令，得为平面的一个法向量，又因为0000102020n BF ax ay n BB az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 02x =0(2,1,0)n = 1B FB ，1(2,,2)A E a a a =- 所以101010sin cos ,A E n A E n AE n β⋅====⋅ 所以． 2cos 3β==19．已知公差大于0的等差数列满足． {}n a 122311111+++⋅⋅⋅+=+n n n a a a a a a n (1)求的通项公式； {}n a (2)若，求数列的前21项和．1(1)n n n n b a a +=-{}n b 21S 【答案】(1)；n a n =(2).242-【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件列方程组解得，，即得；1a d （2）由题可得，然后分组求和法可得，结合条件进而即得.n b 2n S 【详解】（1）根据题意，当时，，即①，1n =12112a a =122a a =当时，，所以②， 2n =12231123a a a a +=236a a =设等差数列的公差为，{}n a (0)d d >由①②得，解得， 1111()2()(2)6a a d a d a d +=⎧⎨++=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以；11n a n n =+-=（2）因为，则，1(1)n n a a n n +=+1(1)(1)(1)n n n n n b a a n n +=-=-+所以，212(21)22(21)4n n b b n n n n n -+=--⋅++=所以, 22122124(1)4(12)222n n n n n S b b b b n n n -+=++++=⨯+++==+ 所以，又，20210020220S =⨯+=212122462b =-⨯=-故.21220462242S =-=-20．已知函数.2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =(1, (1))f （2）求的单调区间；()f x 【答案】（1）（2）详见解析=3y -【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；()1f ()1f '（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负()0f x '=01a <<1a =1a >得到函数的单调区间.【详解】（1），，， 1a = ()242ln f x x x x ∴=-+()224f x x x'∴=-+，又，()10f '∴=()1143f =-=-在处的切线方程为.()f x \()()1,1f =3y -（2）， ()()()()()()222122122210x a x a x a x a f x x a x x x x-++--'=-++==>令，解得：，.()0f x '=1x a =21x =①当时，若和时，；若时，；01a <<()0,x a ∈()1,+∞()0f x ¢>(),1x a ∈()0f x '<的单调递增区间为，；单调递减区间为；()f x \()0,a ()1,+∞(),1a ②当时，在上恒成立，1a =()0f x '≥()0,∞+的单调递增区间为，无单调递减区间；()f x \()0,∞+③当时，若和时，；若时，；1a >()0,1x ∈(),a +∞()0f x ¢>()1,x a ∈()0f x '<的单调递增区间为，；单调递减区间为；()f x \()0,1(),a +∞()1,a 综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 01a <<()f x ()0,a ()1,+∞(),1a 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；1a =()f x ()0,∞+当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.1a >()f x ()0,1(),a +∞()1,a 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.21．已知函数，.()ln f x kx x x =-R k ∈(1)当时，求函数的单调区间；2k =()f x (2)当时，恒成立，求的取值范围；01x <≤()f x k ≤k 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为()f x (0,e)(e,)+∞(2)，[1)∞+【分析】（1）直接对函数求导，利用导函数的正负即可求出单调区间.()f x （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可.k 【详解】（1）当时，，，，2k =()2ln f x x x x =-0x >()1ln f x x '=-由，解得；由，解得，()0f x ¢>0e x <<()0f x '<e x >所以函数单调递增区间为，单调递减区间为.()f x (0,e)(e,)+∞（2），故，()ln f x kx x x =-()1ln f x k x '=--当时，因为，所以，因此恒成立，1k ≥01x <≤10ln k x -≥≥()0f x '≥即在，上单调递增，所以（1）恒成立，()f x (01]()f x f ≤k =当时，令，解得，1k <()0f x '=1e (0,1)k x -=∈当，，单调递增；1(0,e )k x -∈()0f x ¢>()f x当，，单调递减，1(e ,)k x -∈+∞()0f x '<()f x 于是，与恒成立相矛盾，()1(e )1k f f k ->=()f x k ≤综上，的取值范围为，.k [1)∞+22．已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，面12,F F ()2222:10x y C a b a b+=>>M C 12MF F △积最大值为，离心率2e =（1）求椭圆的标准方程；C （2）若过点的直线与椭圆交于两点，问:是否存在实数，使得恒1F l C ,A B 1111AF BF t AF BF +=成立.如果存在.求出的值.如果不存在，说明理由.t 【答案】（1）；（2）存在实数． 22142x y +=2t =【分析】（1）根据离心率公式，三角形面积公式以及关系列方程组求解即可求出方程；,,ab c （2）讨论直线斜率是否存在，从而设直线方程代入椭圆方程，结合韦达定理得出两根关系，利用弦长公式代入条件化简求解即可求出结果．【详解】(1）由题意可得222122,2c e a c b a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得.2224,2,2a b c ===故椭圆的标准方程为； C 22142x y +=如图，由可知.()2()1())12,F F 当直线的斜率不存在时，l ，则 2111b AF BF a +==11112AF BF t AF BF +==当直线的斜率存在时，设其斜率为，l k 则直线的方程为， l (y k x =+()()1122,,.A x y B x y 联立 (22142y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩整理得， ()222221440k x x k +++-=则2121224421k x x x x k +=-=+从而1x -=故212214+421k AF BF AB x k ===++则())()221112122211221k AF BF k x x x x k +=++++=+因为， 1111+AF BF t AF BF =所以 ()221121124++421==22121k AF BF k t AF BF k k +=++综上，存在实数，使得恒成立．2t =1111AF BF t AF BF =+【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
2021-2022学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2021-2021学年江苏省南京市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．〔5分〕命题“假设a=b，那么|a|=|b|〞的逆否命题是．2．〔5分〕双曲线=1的渐近线方程是．3．〔5分〕复数为纯虚数，其中i是虚数单位，那么实数a的值是．4．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点〔4，3〕到直线3x﹣4y+a=0的间隔为1，那么实数a的值是．5．〔5分〕曲线y=x4与直线y=4x+b相切，那么实数b的值是．6．〔5分〕实数x，y满足条件那么z=2x+y的最大值是．7．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，那么点P的横坐标是．8．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2〔r＞0〕与圆M：〔x﹣3〕2+〔y+4〕2=4相交，那么r的取值范围是．9．〔5分〕观察以下等式：〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2=×1×2；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+sin〔〕﹣2=×2×3；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×3×4；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×4×5；…照此规律，〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+〔sin〕﹣2=．10．〔5分〕假设“∃x∈R，x2+ax+a=0〞是真命题，那么实数a的取值范围是．11．〔5分〕函数f〔x〕=〔x2+x+m〕e x〔其中m∈R，e为自然对数的底数〕．假设在x=﹣3处函数f 〔x〕有极大值，那么函数f 〔x〕的极小值是．12．〔5分〕有以下命题：①“m＞0〞是“方程x2+my2=1表示椭圆〞的充要条件；②“a=1〞是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行〞的充分不必要条件；③“函数f 〔x〕=x3+mx单调递增〞是“m＞0〞的充要条件；④p，q是两个不等价命题，那么“p或q是真命题〞是“p且q是真命题〞的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．〔5分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2c〔c＞0〕，左焦点为F，点M的坐标为〔﹣2c，0〕．假设椭圆E上存在点P，使得PM=PF，那么椭圆E 离心率的取值范围是．14．〔5分〕t＞0，函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=f〔f〔x〕﹣1〕恰有6个不同的零点，那么实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A〔7，8〕，B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕．〔1〕求BC边上的中线所在直线的方程；〔2〕求BC边上的高所在直线的方程．16．〔14分〕数列{a n}满足a1=1，〔a n﹣3〕a n+1﹣a n+4=0〔n∈N*〕．〔1〕求a2，a3，a4；〔2〕猜测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M 与直线x+y﹣1=0相切于点P〔2，﹣1〕．〔1〕求圆M的方程；〔2〕过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．〔16分〕某休闲广场中央有一个半径为1〔百米〕的圆形花坛，现方案在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形〔梯形ABCF和梯形DEFC〕构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径〔如图〕．设∠AOF=θ，其中O为圆心．〔1〕把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f〔θ〕；〔2〕当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．19．〔16分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率为，两个顶点分别为A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，点M〔﹣1，0〕，且3=，过点M斜率为k〔k≠0〕的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕假设BC⊥CD，求k的值；〔3〕记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．〔16分〕函数f〔x〕=ax﹣lnx〔a∈R〕．〔1〕当a=1时，求f〔x〕的最小值；〔2〕假设存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；〔3〕假设对任意的x∈[1，+∞〕，有f〔x〕≥f〔〕成立，求a的取值范围．2021-2021学年江苏省南京市高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．〔5分〕命题“假设a=b，那么|a|=|b|〞的逆否命题是假设|a|≠|b|，那么a≠b．【解答】解：命题“假设a=b，那么|a|=|b|〞的逆否命题是命题“假设|a|≠|b|，那么a≠b〞，故答案为：“假设|a|≠|b|，那么a≠b〞2．〔5分〕双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．〔5分〕复数为纯虚数，其中i是虚数单位，那么实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点〔4，3〕到直线3x﹣4y+a=0的间隔为1，那么实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．〔5分〕曲线y=x4与直线y=4x+b相切，那么实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P〔m，n〕那么有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；那么：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．〔5分〕实数x，y满足条件那么z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，那么当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A〔3，3〕．此时z=9，故答案为：9．7．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，那么点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的间隔与到准线的间隔是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2〔r＞0〕与圆M：〔x﹣3〕2+〔y+4〕2=4相交，那么r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．〔5分〕观察以下等式：〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2=×1×2；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+sin〔〕﹣2=×2×3；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×3×4；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×4×5；…照此规律，〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+〔sin〕﹣2=n〔n+1〕．【解答】解：观察以下等式：〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2=×1×2；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+sin〔〕﹣2=×2×3；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×3×4；〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+sin〔〕﹣2=×4×5；…照此规律〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+〔sin〕﹣2+…+〔sin〕﹣2=×n 〔n+1〕，故答案为：n〔n+1〕10．〔5分〕假设“∃x∈R，x2+ax+a=0〞是真命题，那么实数a的取值范围是〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕．【解答】解：假设“∃x∈R，x2+ax+a=0〞是真命题，那么△=a2﹣4a≥0，解得：a∈〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕，故答案为：〔﹣∞，0]∪[4，+∞〕11．〔5分〕函数f〔x〕=〔x2+x+m〕e x〔其中m∈R，e为自然对数的底数〕．假设在x=﹣3处函数f 〔x〕有极大值，那么函数f 〔x〕的极小值是﹣1．【解答】解：f〔x〕=〔x2+x+m〕e x，f′〔x〕=〔x2+3x+m+1〕e x，假设f〔x〕在x=﹣3处函数f 〔x〕有极大值，那么f′〔﹣3〕=0，解得：m=﹣1，故f〔x〕=〔x2+x﹣1〕e x，f′〔x〕=〔x2+3x〕e x，令f′〔x〕＞0，解得：x＞0，令f′〔x〕＜0，解得：x＜﹣3，故f〔x〕在〔﹣∞，﹣3〕递增，在〔﹣3，0〕递减，在〔0，+∞〕递增，故f〔x〕=f〔0〕=﹣1，极小值故答案为：﹣1．12．〔5分〕有以下命题：①“m＞0〞是“方程x2+my2=1表示椭圆〞的充要条件；②“a=1〞是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行〞的充分不必要条件；③“函数f 〔x〕=x3+mx单调递增〞是“m＞0〞的充要条件；④p，q是两个不等价命题，那么“p或q是真命题〞是“p且q是真命题〞的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，假设函数f 〔x〕=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．〔5分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的焦距为2c〔c＞0〕，左焦点为F，点M的坐标为〔﹣2c，0〕．假设椭圆E上存在点P，使得PM=PF，那么椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P〔x，y〕，由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒〔x+2c〕2+y2=2〔x+c〕2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，那么圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．〔5分〕t＞0，函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=f〔f〔x〕﹣1〕恰有6个不同的零点，那么实数t的取值范围是〔3，4〕．【解答】解：∵函数f〔x〕=，∴函数f′〔x〕=，当x＜，或x＜t时，f′〔x〕＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′〔x〕＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f〔x〕取极大值，函数f〔x〕有两个零点0和t，假设函数g〔x〕=f〔f〔x〕﹣1〕恰有6个不同的零点，那么方程f〔x〕﹣1=0和f〔x〕﹣1=t各有三个解，即函数f〔x〕的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=〔t﹣3〕〔2t+3〕2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈〔3，4〕，故答案为：〔3，4〕二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A〔7，8〕，B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕．〔1〕求BC边上的中线所在直线的方程；〔2〕求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：〔1〕由B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕，得BC中点D的坐标为〔6，0〕，…〔2分〕所以AD的斜率为k==8，…〔5分〕所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8〔x﹣6〕，即8x﹣y﹣48=0．…〔7分〕〔2〕由B〔10，4〕，C〔2，﹣4〕，得BC所在直线的斜率为k==1，…〔9分〕所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…〔12分〕所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1〔x﹣7〕，即x+y﹣15=0．…〔14分〕16．〔14分〕数列{a n}满足a1=1，〔a n﹣3〕a n+1﹣a n+4=0〔n∈N*〕．〔1〕求a2，a3，a4；〔2〕猜测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：〔1〕令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．〔2〕猜测a n=〔n∈N*〕．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，那么〔a k﹣3〕a k+1﹣a k+4=0，即〔﹣3〕a k+1﹣+4=0，所以a k=，即a k+1==，+1所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P〔2，﹣1〕．〔1〕求圆M的方程；〔2〕过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：〔1〕过点〔2，﹣1〕且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…〔2分〕由解得，所以圆心M的坐标为〔1，﹣2〕，…〔4分〕所以圆M的半径为r=，…〔6分〕所以圆M的方程为〔x﹣1〕2+〔y+2〕2=2．…〔7分〕〔2〕因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的间隔为d==，…〔9分〕假设直线l的斜率不存在，那么l为x=0，此时，圆心M到l的间隔为1，不符合题意．假设直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…〔11分〕整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…〔13分〕所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…〔14分〕18．〔16分〕某休闲广场中央有一个半径为1〔百米〕的圆形花坛，现方案在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形〔梯形ABCF 和梯形DEFC〕构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径〔如图〕．设∠AOF=θ，其中O为圆心．〔1〕把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f〔θ〕；〔2〕当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．【解答】〔此题总分值16分〕解：〔1〕作AH⊥CF于H，那么OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…〔2分〕那么六边形的面积为f 〔θ〕=2×〔AB+CF〕×AH=〔2cosθ+2〕sinθ=2〔cosθ+1〕sinθ，θ∈〔0，〕．…〔6分〕〔2〕f′〔θ〕=2[﹣sinθsinθ+〔cosθ+1〕cosθ]=2〔2cos2θ+cosθ﹣1〕=2〔2cosθ﹣1〕〔cosθ+1〕．…〔10分〕令f′〔θ〕=0，因为θ∈〔0，〕，所以cosθ=，即θ=，…〔12分〕当θ∈〔0，〕时，f′〔θ〕＞0，所以f 〔θ〕在〔0，〕上单调递增；当θ∈〔，〕时，f′〔θ〕＜0，所以f 〔θ〕在〔，〕上单调递减，…〔14分〕所以当θ=时，f 〔θ〕取最大值f 〔〕=2〔cos+1〕sin=．…〔15分〕答：当θ=时，可使得六边形区域面积到达最大，最大面积为平方百米．…〔16分〕19．〔16分〕在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率为，两个顶点分别为A〔﹣a，0〕，B〔a，0〕，点M〔﹣1，0〕，且3=，过点M斜率为k〔k≠0〕的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕假设BC⊥CD，求k的值；〔3〕记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：〔1〕因为3=，所以3〔﹣1+a，0〕=〔a+1，0〕，解得a=2．…〔2分〕又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…〔4分〕〔2〕设点C的坐标为〔x0，y0〕，y0＞0，那么=〔﹣1﹣x0，﹣y0〕，=〔2﹣x0，﹣y0〕．因为BC⊥CD，所以〔﹣1﹣x0〕〔2﹣x0〕+y02=0．①…〔6分〕又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…〔8分〕所以k==2．…〔10分〕〔3〕，设C〔x0，y0〕，那么CD：y=〔x+1〕〔﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1〕，由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4〔x0+1〕2=0．…〔12分〕又因为+y02=1，所以得D〔，〕，…〔14分〕所以===3，所以为定值．…〔16分〕20．〔16分〕函数f〔x〕=ax﹣lnx〔a∈R〕．〔1〕当a=1时，求f〔x〕的最小值；〔2〕假设存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；〔3〕假设对任意的x∈[1，+∞〕，有f〔x〕≥f〔〕成立，求a的取值范围．【解答】解：〔1〕f〔x〕=x﹣lnx〔x＞0〕的导数为f′〔x〕=1﹣=，当x＞1时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递增；当0＜x＜1时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递减．即有f〔x〕在x=1处获得极小值，也为最小值，且为1；〔2〕存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g〔x〕=，x∈[1，3]，那么g′〔x〕=〔1﹣lnx〕〔1+〕，当1＜x＜e时，g′〔x〕＞0，g〔x〕递增；当e＜x＜3时，g′〔x〕＜0，g〔x〕递减．那么g〔x〕在x=e处获得极大值，且为最大值e+；g〔1〕=2，g〔3〕=3〔2﹣ln3〕+＞2，那么a的取值范围是[2，e+]；〔3〕假设对任意的x∈[1，+∞〕，有f〔x〕≥f〔〕成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a〔x﹣〕≥2lnx，x≥1，令F〔x〕=a〔x﹣〕﹣2lnx，x≥1，F′〔x〕=a〔1+〕﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′〔x〕≥0在〔1，+∞〕恒成立，即有a〔1+〕﹣≥0，即a≥，由=＜=1，那么a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞〕．。
江苏省南京市2021届高二上学期数学期末考试试题
江苏省南京市2021届高二上学期数学期末考试试题一、选择题1．(,)P a b 为函数2()(0)f x x x =>图象上一点，当直线0x =，y b =与函数的图象围成区域的面积等于23时，a 的值为 A.12B.23C.1D.322．有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是（ ） A ．12 B ．17 C ．27 D ．373．设点M 为抛物线C ：24y x =的准线上一点（不同于准线与x 轴的交点），过抛物线C 的焦点F ，且垂直于x 轴的直线与C 交于A 、B 两点，设MA 、MF 、MB 的斜率分别为123k k k 、、，则132k k k +的值为 （ ） A.2B.22C.4D.4．已知||2a =，向量a 在向量b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．2π 5．命题2:,10p x R x ∀∈+≥，则p ⌝为（ ）A ．20,10x R x ∃∈+> B ．20,10x R x ∃∈+≤C ．20,10x R x ∃∈+<D ．2,10x R x ∀∈+<6．已知1a b c >>>，设M a =-N a =2(2a bP +=则M 、N 、P 的大小关系为（ ） A.P N M >>B.N M P >>C.M N P >>D.P M N >>7．若函数()2f x x =，设514a og =，151log 3b =，152c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系( )A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f c f a f b >>8．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,2]-∞-9．如图所示的数阵中，用()A m n ,表示第m 行的第n 个数，则依此规律(8,2)A 为（ ）A ．145B ．186C ．1122D ．116710．已知曲线321y x x =++在1x =处的切线垂直于直线230ax y --=，则实数a 的值为（ ）A.25-B.52-C.10D.10- 11．如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，M ，N 分别是BB '，CD 中点，则异面直线AM 与D N'所成的角是（ ）A.30°B.45︒C.60︒D.90︒12．三角形ABC 中，1,30a b A ===，则∠B 等于( )A ．60°B ．30°或150°C ．60°或120°D ．120°二、填空题13．,,x y z ∈R ，若()()()2221112x y z -+-++=，则x y z ++的最大值为______.14．已知函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,)2A πωϕ>><图象上一个最高点P 的横坐标为13，与P 相邻的两个最低点分别为Q ，R .若PQR ∆是面积为y =__________.15．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.16．已知函数()()21(xf x x ax e =++其中a R ∈，e 为自然对数的底数)，若函数()f x 在2x =处取得极值，则实数a 的值为______． 三、解答题17．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形，，．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）线段或其延长线上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．18．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）若，分别为曲线和上的任意点，求的最小值.19．为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度”分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）求抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数；（3）在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．20．已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.22．已知复数.（1）设，求；（2）如果，求实数，的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题13114．23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭15． 16．3- 三、解答题 17．（1）；（2）见解析【解析】【试题分析】（1）以为坐标原点、方向为轴、方向为轴、方向为轴建立空间直角坐标系.通过计算直线的方向向量和平面的法向量来求线面角的正弦值.（2）设点的坐标为，计算平面和平面的法向量，通过两个向量垂直数量积为零建立方程，求得的值.【试题解析】 （1）解：以为坐标原点、方向为轴、方向为轴、方向为轴建立空间直角坐标系，则点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，由，，，设平面的法向量为由，取，则故与平面所成角的正弦值．（2）证明：设点的坐标为，则，设平面的法向量为由，取，则， 若平面平面，则，解得：，故点在的延长线上，且．【点睛】本小题主要考查利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，和利用空间向量法探求面面垂直的问题.由于题目所给条件中以为顶点的三条直线相互垂直，故可以直接建立空间直角坐标系来求解.要求直线与平面所成的角，则只需计算出直线的方向向量，和平面的法向量，代入公式即可求得.18．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）利用消参法和极坐标公式得到曲线的普通方程和的直角坐标方程.(2) 设点为,再求出，再求|AB|的最小值.详解：（Ⅰ）由，得，代入，得的普通方程.由，得.因为，，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为（为参数）.可设点为，由点到直线的距离公式，得，其中，.由三角函数性质可知，当时，取得最小值.点睛：(1)本题主要考查参数方程和极坐标方程和直角坐标的互化，考查利用参数方程求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.19．（1）；（2）50；（3）【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图求得的值；（2）根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频数，再求和；（3）利用列举法求基本事件数，计算对应的概率值即可．试题解析：（1）由频率分布直方图，知，得.（2）根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频数，再求和；（3）记“在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件，在抽取的女生中，月“关注度”不少于25天的频率为，人数为人，分别记为，.在抽取的男生中，月“关注度”不少于25天的频率为，人数为人，分别记为，，，，则在抽取的80名学生中，共有6人月“关注度”不少于25天，从中随机抽取2人，所有可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，共15种，而事件包含的结果有，，，，，，，，共9种，所以.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.20．(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.【解析】【详解】（1）由点斜式方程得，，∴.（2）设的方程为，则由平线间的距离公式得，，解得：或.∴或考点：1.直线的方程；2.两直线位置关系；3.点到直线距离公式.21．（1）当时，在为增函数，在为减函数；当时,在为增函数，在为减函数；（2）.【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，对分类讨论，根据导数的正负即可得出函数的单调性；（2）法一：对任意，都有恒成立等价于在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可求得，从而可得实数的取值范围；法二：要使恒成立，只需，对进行和分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求出，即可实数的取值范围.试题解析：（1）由题知： ,当时,在时恒成立∴在上是增函数.当时, ,令，得；令,得.∴在上为增函数，在上为减函数.（2）法一：由题知：在上恒成立，即在上恒成立.令，所以令得；令得.∴在上单调递增，在上单调递减.∴ ,∴.法二：要使恒成立，只需,当时，在上单调递增.∴,即，这与矛盾，此时不成立. 当时,（i）若即时，在上单调递增，∴，即，这与矛盾，此时不成立.（ii）若即时，在上单调递增，在上单调递减 .∴即，解得.又∵∴ ,（iii）即时，在递减，则,∴又∵∴；综上所述可得： .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可构造新函数，转化为.22．(1) (2)【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到，进而求得参数.详解：（1）因为，所以.∴.（2）由题意得：；，所以，解得.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.。
南京市学年度第一学期期末检测卷(高二数学理)试卷终稿
南京市 2021－ 2021 学年度第一学期期末检测卷高二数学〔理科〕注意事 ：1．本 卷共4 ，包括填空 〔第 1~第 14 〕、解答 〔第 15 ~第 20 〕两局部． 本卷 分160 分，考120 分 ．2．答 前， 必将自己的姓名、学校、班 、学号写在答 卡的密封 内． 的答案写在答 卡 上 目的答案空格内．考 束后，交答复 卡．．．．一、填空 ：本大 共14 小 ，每小 5 分，共 70 分． 把答案填写在答 卡相 位置．．．．．．． 上1．命 “假设 a ＝ b ， |a |＝ |b| 〞的逆否命 是 ▲．2．双曲 x 2－y 2＝1 的 近 方程是▲．43．复数a ＋2i虚数，其中 i 是虚数 位， 数a 的 是▲．1－ i4．在平面直角坐 系xOy 中，点 (4， 3)到直 3x － 4y ＋ a ＝ 0 的距离1， 数 a 的 是▲ ．5．曲 y ＝x 4与直 y ＝4x ＋ b 相切， 数b 的 是 ▲．x ＋ y －2≥ 0，6． 数x ， y 足条件 x － y ≤0， z ＝ 2x ＋ y 的最大 是 ▲ ．y ≤ 3，7．在平面直角坐 系xOy 中，抛物 C ：y 2＝ 4x 的焦点 F ，P 抛物 C 上一点，且 PF＝ 5， 点 P 的横坐 是▲ ．8．在平面直角坐 系xOy 中， O:x 2＋ y 2＝ r 2 (r ＞ 0)与 M:(x －3) 2＋(y ＋ 4)2＝4 相交， r的取 范 是▲．9． 察以下等式：π－ 2 2π－24(sin ) ＋ (sin3)＝ ×1×2；3 3 π－ 22π－2 ＋ (sin 3π－ 2 4π－ 2 4(sin ) ＋ (sin 5) 5) ＋ (sin 5 ) ＝ ×2×3；5 3 π－ 2 2π－2 ＋ (sin 3π－ 2 6π－ 2 4(sin ) ＋ (sin 7 ) 7 ) ＋⋯＋ (sin 7 ) ＝ ×3×4；7 3 π－ 2 2π－2 ＋ (sin 3π－ 2 8π－ 2 4(sin ) ＋ (sin 9) 9) ＋⋯＋ (sin 9) ＝ ×4×5；9 3 ⋯⋯依此 律，当 n ∈N *， (sinπ) －2＋ (sin2π)－2 ＋ (sin3π )－ 2＋⋯＋ (sin 2n π )－ 2＝▲．2n ＋12n ＋ 12n ＋ 1 2n ＋ 110．假设 “ x ∈ R ， x 2＋ ax ＋ a ＝0〞是真命 ， 数 a 的取 范 是▲ ． 11．函数 f(x)＝ (x 2＋ x ＋ m)e x (其中 m ∈ R ，e 自然 数的底数)．假设在 x ＝－ 3函数 f (x)有极大 ， 函数 f (x)的极小 是▲ ．12．有以下命题：①“ m ＞ 0〞是“方程 x 2＋my 2＝ 1 表示椭圆〞的充要条件；②“ a ＝1〞是“直线 l 1:ax ＋ y －1＝ 0 与直线 l 2:x ＋ ay －2＝ 0 平行〞的充分不必要条件； ③“函数 f (x)＝ x 3＋ mx 单调递增〞是“ m ＞0〞的充要条件； ④ p ， q 是两个不等价命题，那么“ p 或 q 是真命题〞是 “p 且 q 是真命题〞的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是▲．2213．椭圆 E ：x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞0)的焦距为 2c(c ＞0)，左焦点为 F ，点 M 的坐标为 (－ 2c ，a b0)．假设椭圆 E 上存在点 P ，使得 PM ＝ 2PF ，那么椭圆 E 离心率的取值范围是▲．x(x － t)2， x ≤ t ，14． t ＞ 0，函数 f(x)＝ 1假设函数 g(x)＝ f( f(x)－ 1)恰有 6 个不同的零点，那么4x ， x ＞t ．实数 t 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文．．．．．．．． 字说明、证明过程或演算步骤． 15． (此题总分值 14 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC 三个顶点坐标为 A(7，8)，B(10，4)，C(2，－ 4)．(1)求 BC 边上的中线所在直线的方程； (2)求 BC 边上的高所在直线的方程．16． (此题总分值 14 分 )数列 { a n } 满足 a 1＝ 1，(a n － 3)a n ＋ 1－ a n ＋ 4＝ 0(n ∈N * ).(1)求 a 2， a 3， a 4；(2)猜测 { a n } 的通项公式，并用数学归纳法证明.17． (此题总分值14 分 )在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的圆心在直线y＝－ 2x 上，且圆M 与直线x＋ y－ 1＝ 0 相切于点P(2，－ 1)．(1)求圆 M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线 l 被圆 M 截得的弦长为6，求直线l 的方程．18． (此题总分值16 分 )某休闲广场中央有一个半径为 1(百米 )的圆形花坛，现方案在该花坛内建造一条六边形．．观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF 和梯形DEFC ) 构成的六边形ABCDEF区域，其中A、 B、 C、 D 、 E、 F 都在圆周上，CF 为圆的直径(如图 )．设∠ AOF＝θ，其中 O 为圆心．(1)把六边形ABCDEF 的面积表示成关于θ的函数f(θ)；(2)当θ为何值时，可使得六边形区域面积到达最大？并求最大面积．B ACθFOD E〔第 18 题图〕19． (此题总分值 16 分 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E：x2y23，两个顶点分a2＋b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为2→→，过点 M 斜率为 k(k≠ 0)的别为 A(－ a， 0)，B(a， 0)，点 M(－ 1， 0)，且 3 AM ＝ MB 直线交椭圆 E 于 C， D 两点，其中点 C 在 x 轴上方．(1)求椭圆 E 的方程；(2)假设 BC⊥ CD，求 k 的值；(3)记直线 AD ，BC 的斜率分别为k1， k2，求证：k1为定值．k2yCA M OB xD(第 19 题图 )20．〔此题总分值16 分〕函数 f(x)＝ ax－ln x(a∈R ).(1)当 a＝ 1 时，求 f(x)的最小值；f(x)(2)假设存在 x∈ [1，3] ，使得x2＋ lnx＝2 成立，求 a 的取值范围 ;(3)假设对任意的x∈ [1，＋∞)，有 f(x)≥ f(1x)成立，求 a 的取值范围 .高二数学期末调研〔理科〕第 4 页共 4 页。
江苏省南京市2020-2021学年高二第一学期期末数学(文科)试题
【市级联考】江苏省南京市2020-2021学年高二第一学期期末数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知命题:0p x ∀＞，x e ex ≥ ，写出命题p 的否定：__.2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x ＝的准线方程为__.3．已知()·sin x f x e x ＝，则()0f '的值为___. 4．已知复数z 满足 ()21z i i －＝＋(i 为虚数单位)，则z 的实部为__. 5．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆2214x C y :＋＝上一点．若点P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，则它到椭圆C 的右准线的距离为__.6．已知实数x ，y 满足1,3,2,y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =＋的最小值为___.7．在平面直角坐标系xOy 中，“0m >”是“方程221x my =＋表示椭圆”的__条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214x y -=的顶点到它的渐近线的距离为___. 9．已知函数() x e f x a x＝＋在 (0,)+∞上的最小值为2e ，则实数a 的值为__． 10．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0A ，点()0,2B ，平面内点P 满足15PA PB ⋅=，则PO 的最大值是___．11．在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点，过点2F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点．若190AF B ∠=，则该椭圆的离心率的值是__．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆221:()(21)C x a y a --+=-与圆222230:C x y x +--=有公共点，则实数a 的取值范围是___．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆22():11M x y －＋＝，点(3,1)A ，P 为抛物线22y x ＝上任意一点（异于原点），过点P 作圆M 的切线PB ，B 为切点，则PA PB ＋的最小值是___．14．已知()()3223640f x x a x a a a =--+>只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a 的取值范围为_________．二、解答题15．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，,m n 为实数．（1）若1n =，1z 为纯虚数，求12||z z +的值；（2）若()212z z =，求,m n 的值． 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(4,0)A ，（1）求椭圆E 的方程；（2）已知P 是椭圆E 上一点，1F ，2F 为椭圆E 的焦点，且122F PF π∠=，求点P 到y轴的距离．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过抛物线y =x 2−x −6与坐标轴的三个交点．（1）求圆C 的方程；（2）经过点p (−2,5)的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，若圆C 在A ，B 两点处的切线互相垂直，求直线l 的方程．18．如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x 的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB ，11A B 为母线卷成两个高均为x 的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V ．（1）将V 表示成x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和V 的最大值．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点．动直线l 过点2F ，且与椭圆C 相交于A ，B 两点（直线l 与x 轴不重合）．（1）若点A 的坐标为 ，求点B 坐标；（2）点(4,0)M ，设直线AM ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求证：120k k +=；（3）求1AF B ∆面积最大时的直线l 的方程．参考答案1．0x ∃>，x e ex <【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【详解】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p ：∀x ＞0，e x ≥ex ，的否定是：∃x ＞0，e x ＜ex ．故答案为0x ∃>，x e ex <．【点睛】本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．本小题主要考查命题的否定．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．2．12x =- 【分析】利用抛物线方程求出p ，即可得到结果．【详解】解：抛物线y 2＝2x 的焦点到其准线的距离为：p ＝1．抛物线的准线方程为：x 12=-． 故答案为12x =-【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3．1【解析】因为()(sin cos )x f x e x x =+' ，所以(0) 1.f '=点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4．3【分析】利用复数的除法运算法则得到z ，结合实部定义得到答案.【详解】解：由（z ﹣2）i ＝1+i 得，z ()21112221i i i i i i ++-+=+=+=+=-3﹣i ， 所以复数的实部为：3．故答案为3．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题． 5．3【分析】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可．【详解】椭圆C ：24x +y 2＝1，可得e = 由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C 的右准线的距离为d ，d ==．．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力．6．1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由实数x，y满足132y xxx y≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，作出可行域如图，由32xx y=⎧⎨+=⎩解得B（3，﹣1）．化z＝x+2y为y12=-x2z+，由图可知，当直线y12=-x2z+过B（3，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．必要不充分【分析】由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1表示椭圆”的充要条件为：1mm⎧⎨≠⎩＞，再判断“m＞0”与“1mm⎧⎨≠⎩＞”的关系【详解】解：由椭圆的性质有：“方程x 2+my 2＝1表示椭圆”的充要条件为：01m m ⎧⎨≠⎩＞， 又“m ＞0”是“01m m ⎧⎨≠⎩＞”的必要不充分条件， 所以，“m ＞0”是“方程x 2+my 2＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为必要不充分【点睛】本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题．8【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可．【详解】 解：双曲线24x -y 2＝1的一个顶点为A （2，0）， 双曲线的一条渐近线为y 12=x ，即x ﹣2y ＝0， 则点到直线的距离公式d ==． 【点睛】 本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础． 9．e【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a 的方程，解出即可．【详解】∵()xe f x a x ＝＋，∴()()21x e x f x x-'=， 令()0f x >′，解得1x >，令()0f x <′，解得01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，故()()12min f x f e a e ==+=，解得a e =，故答案为e ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，属于中档题．10．【分析】设P （x ，y ），由PA •PB =15，得点P 的轨迹是以C （2，1）为圆心，为半径的圆，得PO 的最大值为|OC |+半径．【详解】解：设P （x ，y ），则PA =（4﹣x ，﹣y ），PB =（﹣x ，2﹣y ）∵PA •PB =15，∴x （x ﹣4）+y （y ﹣2）＝15，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝20，∴点P 的轨迹是以C （2，1）为圆心，∴PO 的最大值为：|OC |+半径＝故答案为【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．111【分析】令x c =代入椭圆方程，先求出2 AF 的长，利用190AF B ∠=，建立方程22b c a=，然后化简方程构造出离心率求值即可.【详解】由2AF x ⊥轴可得，22221c y a b +=，得2b y a =±，即22 b AF a=，又∵190AF B ∠=，∴22b c a=，即：222ca a c =-， 可得2210e e +-=，∵01e <<，∴1e =，1．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小，属于中档题；常见的求椭圆离心率的方式有：1、直接求出,a c ，求解e ；2、变用公式c e a ==3、构造,a c 的齐次式，解出e 等.12．[-2,1]【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得2﹣1≤|C 1C 2|≤2+1， 即1≤（a ﹣1）2+（a +2）2≤9，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，圆C 1：（x ﹣a ）2+（y ﹣a ﹣2）2＝1，其圆心C 1为（a ，a +2），半径为r 1＝1，圆C 2：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝4，其圆心C 2（1，0），半径r 2＝2， 若两圆有公共点，则2﹣1≤|C 1C 2|≤2+1，即1≤（a ﹣1）2+（a +2）2≤9，变形可得：a 2+a +2≥0且a 2+a ﹣2≥0，解可得：﹣2≤a ≤1，即a 的取值范围为[﹣2，1]；故答案为[﹣2，1]．【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．13．3【分析】设P （x ，y ），可得y 2＝2x ，求得圆M 的圆心和半径，求得切线长|PB |，化简可得|PB |为P到y 轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值． 【详解】解：设P （x ，y ），可得y 2＝2x ，圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心M （1，0），半径为1，|PB |====|x |，即|PB |为P 到y 轴的距离，抛物线的焦点F （12，0），准线方程为x 12=-， 可得|P A |+|PB |＝|P A |+|PK |12-=|P A |+|PF |12-，过A 作准线的垂线，垂足为K ，可得A ，P ，K 共线时，|P A |+|PK |取得最小值|AK |72=， 即有|P A |+|PB |的最小值为3． 故答案为3．【点睛】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题． 14．()1,2. 【分析】对函数()y f x =求导，并求出极值点，列表分析函数()y f x =的单调性与极值情况，由题意得出()()0f x f a =-<极大值，由此可解出实数a 的取值范围. 【详解】()322364f x x a x a a =--+，()()()22333f x x a x a x a '∴=-=-+.令()0f x '=，得x a =-或x a =，当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：由于函数()y f x =只有一个零点，且该零点为正数， 所以，()()322640f x f a a a a =-=-+<极大值，0a >，化简得2320a a -+<，解得12a <<，因此，实数a 的取值范围是()1,2，故答案为()1,2. 【点睛】本题考查三次函数的零点问题，解题时要利用导数分析函数单调性与极值，结合题意转化为极值的符号等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．(1) 12 z z +=【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果． 【详解】（1）因为12z m i =－为纯虚数，所以0m =．又1n =，所以12z i =-，21z i =-，从而1213z z i +=-．因此12z z +== （2）因为()212z z =，所以()221m i ni -=+，即()2212m i nni -=-+．又m ，n 为实数，所以21,22,m n n ⎧=-⎨-=⎩解得 1.n ⎨=-⎩【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.16．（1）221164x y +=(2)3 【分析】（1）椭圆E 经过点A （4，0），可得 a ＝4． 椭圆E 的离心率e c a ==可得c ＝． 即可得椭圆E 的方程；（2）由∠F 1PF 22π=，所以1PF •2PF =0，可得x 2+y 2＝12，由2222121164x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得P 到y轴的距离． 【详解】（1）因为椭圆2222:1x y E a b+=经过点()4,0A ，所以2161a =，解得4a =． 又椭圆E的离心率c e a ==，所以c = 所以2224b a c =-=．因此椭圆E 的方程为221164x y +=．（2）方法一：由椭圆E 的方程221164x y +=，知()1F －，()22,0F ．设(),P x y ．因为122F PF π∠＝，所以120PF PF ⋅=，所以2212x y ＋＝．由221,16412x y +=⎪⎨⎪+=⎩解得2323x =．所以x =，即P 到y． 方法二：由椭圆E 的方程221164x y +=，知c =．设(),P x y ．因为122F PF π∠=，O 为12F F 的中点，所以OP c ==2212x y ＋＝． 由22221,16412x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得2323x =．所以3x =，即P 到y轴的距离为3． 方法三：由椭圆E 的方程221164x y +=，知c =，12F F =12F F =设(),P x y ． 因为122F PF π∠=，所以222121248PF PF F F +==．由椭圆的定义可知，1228PF PF a +==， 所以()()222121212216PF PF PF PF PF PF ⋅=+-+=，所以三角形的面积121·42S PF PF ==．又121·2S F F y ==，所以4y ＝，所以y =． 代入221164x y +=得，2323x =． 所以3x =，即P 到y轴的距离为3． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积．属于中档题．17．（1）x 2+y 2−x +5y −6=0（2）x =−2和4x +3y −7=0． 【分析】（1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D ，E ，F ，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y ＝0，可得D ，F ，再由抛物线与y 轴的交点，可得E ，即可得到所求圆方程； （2）求圆C 的圆心和半径，圆C 在A ，B 两点处的切线互相垂直，可得∠ACB =π2，求得C 到直线l 的距离，讨论直线l 的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程． 【详解】（1）方法一：抛物线y =x 2−x −6与坐标轴的三个交点坐标为(−2,0)，(3,0)，(0,−6)． 设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 则{4−2D +F =0,9+3D +F =0,36−6E +F =0, , 解得 {D =−1,E =5,F =−6, 所以圆C 的方程为x 2+y 2−x +5y −6=0． 方法二：设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0． 令y =0，得x 2+Dx +F =0．因为圆C 经过抛物线y =x 2−x −6与x 轴的交点， 所以x 2+Dx +F =0与方程x 2−x −6=0同解， 所以D =−1，F =−6．因此圆C:x 2+y 2−x +Ey −6=0．因为抛物线y =x 2−x −6与y 轴的交点坐标为(0,−6)，又所以点(0,−6)也在圆C 上，所以36−6E −6=0，解得E =5． 所以圆C 的方程为x 2+y 2−x +5y −6=0． （2）由（1）可得，圆：C:(x −12)2+(y +52)2=252，故圆心C(12,−52)，半径r =2．因为圆C 在A ，B 两点处的切线互相垂直，所以∠ACB =π2． 所以C 到直线l 的距离d =2×√22=52．① 当直线l 的斜率不存在时，l:x =−2 ，符合题意；② 当直线l 的斜率存在时，设l:y −5=k(x +2)，即kx −y +(2k +5)=0， 所以|12k+52+2k+5|√k 2+1=52，解得k =−43，所以直线l:y −5=−43(x +2)，即4x +3y −7=0． 综上，所求直线l 的方程为x =−2和4x +3y −7=0．方法三：①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −5=k (x +2)， A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将直线l 的方程代入圆C 的方程得： x 2+(kx +2k +5)2−x +5(kx +2k +5)−6=0， 即(1+k 2)x 2+(4k 2+15k −1)x +(4k 2+30k +44)=0 x 1+x 2=−4k 2+15k−11+k 2，x 1x 2=4k 2+30k+441+k 2．因为圆C 在点A ，B 两点处的切线互相垂直，所以CA ⊥CB ， 所以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即(x 1−12)(x 2−12)+(y 1+52)(y 2+52)=0， 所以(x 1−12)(x 2−12)+(kx 1+2k +152)(kx 2+2k +152)=0，即(1+k 2)x 1x 2+(2k 2+215k −12)(x 1+x 2)+4k 2+30k +1132=0，即4k 2+30k +44+(2k 2+215k −12)(4k 2+15k−11+k 2)+4k 2+30k +1132=0，(1+k 2)(16k 2+120k +201)−(4k 2+15k −1)2=0，即150k +200=0，解得k =−43，所以直线l ：y −5=−43(x +2)， 即4x +3y −7=0．②当直线l 的斜率不存在时，l ：x =−2，符合题意； 综上，所求直线l 的方程为x =−2和4x +3y −7=0． 【点睛】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．18．（1）()()31605V f x x x π==-.x ⎛∈ ⎝⎭（2）80π 【分析】（1）设半圆形铁皮的半径为r ，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，写出y 关于x 的函数关系，并写出x 的取值范围；（2）利用导数判断V （x ）的单调性，得出V （x ）的最大值． 【详解】（1）设半圆形铁皮的半径为r ，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为1r ，2r ． 因为半圆形铁皮的面积为15π，所以21152r ππ=，即230r =．因为12r π=1r =，同理22r π=，即2r =所以卷成的两个圆柱的体积之和()()()223121·605V f x r r x x x πππ==+=-．因为02x r <<=x 的取值范围是0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． （2）由()()31605f x x x π=-，得()()216015f x x π=-'，令()0f x '=，因为0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故2x =当()0,2x ∈时，()0f x '>；当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '< ，所以()f x 在()0,2上为增函数，在⎛ ⎝⎭上为减函数，所以当2x =时，()f x 取得极大值，也是最大值． 因此()f x 的最大值为()802f π=．答：两个圆柱体积之和V 的最大值为80π．【点睛】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．19．(1) 8(,55B - (2)见证明；(3) 1x = 【分析】（1）由已知得到直线l 的方程，与椭圆方程联立即可求得点B 的坐标；（2）设直线l 的方程为x ＝ty +1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k 1+k 2＝0；（3）△AF 1B 的面积S 12=|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|=2）中的根与系数的关系代入，可得S=f （x ）＝9x 1x+（x ≥1），利用导数可得f （x ）＝9x 1x+在[1，+∞）上单调递增，得到当t 2+1＝1，即t ＝0时，9（t 2+1）211t ++取最小值10．由此可得直线l 的方程为x ＝1． 【详解】（1）因为直线l 经过点()21,0F ，(A， 所以直线l 的方程为)1y x =-．由)221,1,43y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或8,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以8,5B ⎛ ⎝⎭． （2）因为直线l 与x 轴不重合，故可设直线l 的方程为1x ty =+． 设()11,A x y ，()22,B x y ．由221,1,43x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243690t y ty ++-=，所以122643t y y t +=-+，122943y y t =-+ ， 因为A ，B 在直线l 上，所以111x ty =+，221x ty =+ ， 所以1111143y y k x ty ==--，2222243y y k x ty ==-- ， 从而 ()()()121212121212233333ty y y y y y k k ty ty ty ty -++=+=----． 因为()12122296232304343t ty y y y t t t ⎛⎫⎛⎫-+=⋅--⋅-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以120k k +=．（3）方法一：1AF B ∆的面积12121212S F F y y y y =⋅-=-=由（2）知，122643t y y t +=-+ ，122943y y t=-+ ，故S ====， 设函数()()191f x x x x=+≥． 因为()2190f x x =->'，所以()19f x x x=+在[)1,+∞上单调递增， 所以当211t +=，即0t =时，()221911t t +++取最小值10．即当0t =时，1AF B ∆的面积取最大值，此时直线l 的方程为1x =．方法二：1AF B ∆的面积12121212S F F y y y y =⋅-=-= ．由（2）知， 122643t y y t +=-+，122943y y t=-+，故S =====因为2344t +≥，所以2110344t <≤+， 所以211344t =+，即0t =时，1AF B ∆的面积取最大值．因此，1AF B ∆的面积取最大值时，直线l 的方程为1x =． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及导数求函数的最值，考查计算能力，属难题．。
2021学年江苏高二上学期苏教版高中数学期末考试【含解析】
2021学年江苏高二上学期苏教版高中数学期末考试【含解析】姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共12题）1、设，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.2、已知向量，.若向量与向量平行，则实数的值是（）A. 6B. -6C. 4D. -43、已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.4、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（）A. 三分鹿之一B. 三分鹿之二C. 一鹿D. 一鹿、三分鹿之一5、已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，，则的值为（）A. 16B. 32C. 8D.6、下列不等式或命题一定成立的是（）①；②；③；④最小值为2.A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④7、已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8、设为数列的前项和，满足，则（）A. B. C. D.9、若正数、满足，设，则的最大值是（）A. 12B. -12C. 16D. -1610、正四面体的棱长为2，、分别为、的中点，则的值为（）A. -2B. 4C. 2D. 111、已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是（）A. B. C. D.12、当为正整数时，定义函数表示的最大奇因数.如，则( )A. 342B. 345C. 341D. 346二、填空题（共4题）1、命题“，都有”的否定：______.2、不等式的解集是______．3、已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为4、已知，那么的最小值为______.三、综合题（共1题）1、在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1.(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线交于，两点，求证：直线与直线的倾斜角互补.四、解答题（共5题）1、已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.2、已知，函数．（1）若对(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，解不等式．3、某种汽车购买时费用为14．4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．4、如图，在高为的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图，点为的中点，点在线段上(不同于，两点)，连接并延长至点，使.(1)证明：平面；(2)若，求二面角的余弦值.5、已知椭圆：()，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若，抛物线顶点在坐标原点，焦点为F．（1）求的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与和交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．============参考答案============一、选择题1、 B【解析】直接利用不等式性质：在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．【详解】，，，故选B．【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题．2、 D【解析】求出向量的坐标，利用向量共线定理即可得出．【详解】解：，又因为向量与向量平行所以存在实数，使得解得故选：【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3、 B【解析】椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为，故选B.4、 A【解析】本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列，其中，，要求，由等差数列的前项和公式易解得．详解：显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为，则，解得．故选A．点睛：本题考查等差数列的应用，考查数学文化，《九章算术》是我国古代的数学名著，书中集成了许多数学问题，它的出现，标志着中国古代数学体系的形成．5、 A【解析】利用等比数列的通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出．【详解】解：等比数列为单调递增数列，设其前项和为，，，，解得，，．故选：．【点睛】本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6、 C【解析】根据基本不等式的性质一一验证.【详解】解：①，由基本不等式可得当且仅当时取等号，故正确；②可以取负值，故不成立，故错误；③由基本不等式可得当且仅当时取等号，故正确；④当时故错误.故选：【点睛】本题考查基本不等式应用，属于基础题.7、 C【解析】由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.【详解】由题意知，关于的不等式的解集为.（1）当，即．当时，不等式化为，合乎题意；当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；（2）当，即时．关于的不等式的解集为.，解得．综上可得，实数的取值范围是．故选C．【点睛】本题考查二次不等式在上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.8、 D【解析】根据可求数列的通项公式，利用等比数列的前项和求.故选：【点睛】本题考查利用求，以及等比数列的前项和，属于基础题.9、 A【解析】根据则，将式子换元成关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意的取值范围.【详解】解：、解得当且仅当时取得最大值故选：【点睛】本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题.10、 D【解析】如图所示，，．代入，利用数量积运算性质即可得出．详解】解：如图所示，，．．故选：．【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质、平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11、 A【解析】由结合椭圆离心率的定义可得，可求得，而a-c≤PF≤a+c，从而可求得离心率的取值范围．2【详解】解：依题意，得，，，不等号两端同除以得，，，解得e≥-1，又，-1≤e<1．即故选：【点睛】本题考查椭圆的离心率及椭圆的简单几何性质，求得，利用a-c≤PF≤a+c2解决问题是关键，也是难点，属于中档题．12、 A【解析】，又，，故选A.二、填空题1、，使得【解析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【详解】解：命题是全称命题，则命题的否定是：，有；故答案为：，有【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2、【解析】将分式不等式转化为整式不等式，解得.【详解】解：故不等式的解集为：故答案为：【点睛】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.3、【解析】因为双曲线的离心率为2，所以1+=4，=3，又双曲线焦点与椭圆的焦点相同，即焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为．考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质．点评：基础题，圆锥曲线中A,b,c,e关系要熟悉，并做到灵活运用．4、 10【解析】先根据条件消掉，即将代入原式得，再裂项并用贴“1”法，最后运用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为，所以，，因此，≥，当且仅当：，即时，取“”，即的最小值为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，涉及消元，裂项，凑配，贴1等恒等变形，以及取等条件的确定，属于难题．三、综合题1、（1）；（2）见解析【解析】（1）利用抛物线定义“到定点距离等2于到定直线距离的点的轨迹”求动点的轨迹；（2）设直线与抛物线方程联立化为，．由于，利用根与系数的关系与斜率计算公式可得：直线与直线的斜率之和0，即可证明【详解】（1）曲线上的动点到点的距离减去到直线的距离等于1，所以动点到直线的距离与它到点的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线；（2）证明：设.联立，得，（）∴，,，∴直线线与直线的斜率之和：因为∴直线与直线的斜率之和为，∴直线与直线的倾斜角互补.【点睛】本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题1、【解析】（1）根据等差数列基本量的运算求得，故可得通项公式．（2）根据数列通项公式的特点利用裂项相消法求和．试题解析：（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得2、（1）；（2）.【解析】（1）分离参数a，构造函数利用均值不等式求最值即可；（2）分类讨论去绝对值，最后取并集即可．【详解】（1）∵f（x）≤2x对x∈（0，2）恒成立，∴a≤+2x对x∈（0，2）恒成立，∵+2x≥2，当且仅当=2x，即x=时等号成立，∴a（2）当a=1时，f（x）=1﹣，∵f（x）≥2x，∴1﹣≥2x，①若x＞0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x+1≤0，所以x∈∅；②若x＜0，则1﹣≥2x可化为：2x2﹣x﹣1≥0，解得：x≥1或x≤﹣，∵x＜0，∴x≤﹣，由①②可得1﹣≥2x的解集为：（﹣∞，﹣]【点睛】本题考查了不等式恒成立及分类讨论思想，属中档题．3、（1）;（2）12年.【解析】（I）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．【详解】（I==(Ⅱ)设该车的年平均费用为S万元,则有仅当n=12时,等号成立.汽车使用12年报废为宜.【点睛】本题主要考查等差数列的应用，读懂题意，转化为等差数列求和，利用基本不等式求最值是解题的关键，属于中点题.4、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，把证明平面的问题转化为证明，即可；（2）求出平面的法向量为和平面的一个法向量为，把求二面角的余弦值的问题转化为求与的夹角的余弦值的问题即可.【详解】(1)证明：由题设知，，两两垂直，所以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设的长为，则，，，，，).因为点为的中点，所以，所以，，.因为，，所以，，又与不共线，所以平面.(2)解因为，，所以，则，所以，.设平面的法向量为，由得令，则，，.易得平面的一个法向量为.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，则，即二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查利用空间向量的有关知识证明线面垂直及求二面角的平面角问题，求出平面的法向量是解决问题的关键，属常规考题.5、（1）；（2）或【解析】（1）由题设有，再根据可得的值，从而得到椭圆的标准方程.（2）因为，故，设直线方程为，分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去后利用韦达定理用表示，解出后即得直线方程.详解：（1）依题意可知，即，由右顶点为得，解得，所以的标准方程为.（2）依题意可知方程为，假设存在符合题意的直线，设直线方程为，，联立方程组，得，由韦达定理得，则，联立方程组，得，由韦达定理得，所以，若，则，即，解得，所以存在符合题意的直线方程为或.点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。
2020-2021学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（）A．∀a，b＞0，和至少有一个成立B．∀a，b＞0，和都不成立C．∃a，b＞0，和至少有一个成立D．∃a，b＞0，和都不成立2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（）A．，B．，C．，D．，4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH相交于点P，则（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面ABD内D．点P必在平面BCD内5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（）A．B．C．D．6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比k AP：k BQ＝（）A．B．﹣3C．D．7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（）A．[﹣1，0]B．C．D．8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线二、多项选择题（共4小题）.9．对下列命题的否定说法正确是（）A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝010．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．其中正确的是（）A．A B．B C．C D．D11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．其中所有真命题为（）A．A B．B C．C D．D12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（）A．B．C．D．三、填空题（共4小题）.13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p ∧q为真命题，则实数a的取值范围是．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 5415．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为．16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为．四、解答题（共70分）17．已知命题p：方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根；命题q：2m+1＜4．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立．（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率．19．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y＝2x﹣2，直线l与E的交点为A，B．同时|AF|+|BF|＝8，直线m∥l．直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P．（I）求抛物线E的方程；（Ⅱ）若，求|CD|的长．20．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用．个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：旧个税税率表（税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税级数每月应纳税所得额（含税）＝收税率（%）每月应纳税所得额（含税）＝收税率（%）入﹣个税起征点入﹣个税起征点﹣专项附加扣除1不超过1500元部分3不超过3000元部分32超过1500元至4500元部分10超过3000元至12000元部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元部分30超过35000元至55000元部分30……………随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2021年的人均月收入24000元．统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2：1：1：1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除．新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入．根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率．（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA垂直于底面ABCD，AB＝AC＝AD＝3，2AM＝MD，N为PB的中点，AD平行于BC，MN平行于面PCD，PA＝2．（1）求BC的长；（2）求二面角N﹣PM﹣D的余弦值．22．已知椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为（）A．∀a，b＞0，和至少有一个成立B．∀a，b＞0，和都不成立C．∃a，b＞0，和至少有一个成立D．∃a，b＞0，和都不成立解：根据含有量词的命题否定可知，∀a，b＞0，a+≥2和b+≥2至少有一个成立的否定为：∃a，b＞0，和都不成立．故选：D．2．已知a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由a+b＜0，可得a≤0，b＜0或a＞0，b＜﹣a，当a≤0，b＜0时，可得a|a|+b|b|＜0，当a＞0，b＜﹣a时，可得a|a|+b|b|＜0，故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分条件，由a|a|+b|b|＜0，可得当a≤0时，b＜0，或b＜﹣a，得a+b＜0；当a＞0时，可得b＜﹣a，得a+b＜0，故“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的必要条件，∴a，b∈R，则“a+b＜0”是“a|a|+b|b|＜0”的充分必要条件，故选：C．3．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010﹣2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010﹣2013年，2014﹣2016年，2017﹣2019年的数据分别建立回归直线方程、、，则（）A．，B．，C．，D．，解：回归直线分布在散点图附近，表示回归直线的斜率，表示回归直线在y轴上的截距，由题意可知，2010﹣2013年，y随x的增加而迅速增加，2014﹣2016年，y随x的增加而平缓增加，2017﹣2019年，y随x的增加而减少，故，由图可知，，故选：A．4．在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EF、GH 相交于点P，则（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面ABD内D．点P必在平面BCD内解：作图如下：因为EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，所以P在两面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．5．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长为1500nm（1nm＝10﹣9m），某次检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为（）A．B．C．D．解：sinφ＝＝，＝，当高铁以运行速度337.5km/h经过时，频移为≈8.998×109（1/h）；当高铁以运行速度375km/h经过时，频移为≈9.998×109（1/h）．则频移范围为9.998×109（1/h）至8.998×109（1/h），又检验中可测频移范围为9.500×109（1/h）至10.000×109（1/h），∴该高铁以运行速度（337.5km/h至375km/h）经过时，可测量的概率为P＝＝．故选：A．6．已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比k AP：k BQ＝（）A．B．﹣3C．D．解：由已知得双曲线Γ：a＝1，b＝，c＝2．故F（﹣2，0），A（﹣1，0），B（1，0）．设直线PQ：x＝my﹣2，且P（x1，y1），Q（x2，y2）．由消去x整理得（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0，∴，两式相比得①，∴k AP：k BQ＝＝＝②，将①代入②得：上式＝＝﹣3．故k AP：k BQ＝﹣3．故选：B．7．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则的取值范围为（）A．[﹣1，0]B．C．D．解：如图，＝（）•（）＝++＝0﹣（+）+0＝﹣（+），∵，∴∈[﹣]，∵OC＝OA＝，二面角A﹣BD﹣C的平面角的大小为，∴∈[]，∴∈[﹣1，]．故选：B．8．在矩形ABCD中，AB＝4，，点G，H分别为直线BC，CD上的动点，AH交DG于点P．若，（0＜λ＜1），则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线解：分别以MN和AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，M（2，0），N（﹣2，0），因为，（0＜λ＜1），所以，，所以直线AH的方程为，直线DG的方程为，联立这两条件直线方程可得点因为，则点P的坐标满足，所以点P的轨迹是以O为对称中心，N，M分别为左右焦点的椭圆，其中a＝4，，c＝2．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．对下列命题的否定说法正确是（）A．P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0B．P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∃x∈R，x2＞﹣1C．P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1D．P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0解：P：∀x∈R，x＞0；￢p：∃x∈R，x≤0，A正确；P：∃x∈R，x2≤﹣1；￢p：∀x∈R，x2＞﹣1，B错误；P：如果x＜2，那么x＜1；￢p：如果x＜2，那么x≥1，C正确；P：∀x∈R，使x2+1≠0；￢p：∃x∈R，x2+1＝0，D正确．故选：ACD．10．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法：A．P（A）＝P（B）＝P（C）；B．P（AB）＝P（AC）＝P（BC）；C.；D.．其中正确的是（）A．A B．B C．C D．D解：同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，则P（A）＝＝，事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，则P（B）＝＝，C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数或者同时出现偶数}，则P（C）＝＝，∴P（A）＝P（B）＝P（C），故A正确；∵A，B，C是相互独立事件，∴P（AB）＝P（AC）＝P（BC）＝＝，故B正确；∵A、B、C不是两两互斥事件，∴不正确，故C错误；∵P（A）＝P（B）＝P（C）＝，∴，故D正确．故选：ABD．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F分别在棱CC1，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：A．异面直线BE，CF所成角的余弦值为；B．过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；C．三棱锥B1﹣BEF的体积为；D．过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为．其中所有真命题为（）A．A B．B C．C D．D解：对于A．取A1B1的三等分点为F1，使A1F1＝2F1B1，又D1F＝2FC1，∴F1B1∥FC1且F1B1＝FC1，∴四边形FC1B1F1为平行四边形，∴FF1∥B1C1∥BC且FF1＝B1C1＝BC，∴四边形F1FCB为平行四边形，∴BF1∥CF，则∠F1BE为异面直线BE，CF所成的角，连接EF1，由题意得：BF1＝，BE＝，EF1＝，所以cos∠F1BE＝＝＝，故A正确；对于B．取B1B的三等分点为E1，使B1E1＝2E1B，又C1E＝2EC，∴BE1∥CE且BE1＝CE，∴四边形BE1EC为平行四边形，则E1E∥BC且E1E＝BC，又由A得，FF1∥BC且FF1＝BC，于是FF1∥EE1且FF1＝EE1，∴四边形EE1F1F为平行四边形，∴EE1∥F1F，取A1B1的中点为G，连接BG，又＝＝，∴E1F1∥BG∥EF，则四边形BEFG即为所求截面，由题意知：BE≠FG，故B不正确；对于C．S△B1BE＝×3×3＝，又C1F⊥面B1BE，C1F＝1，所以＝＝×C1F＝＝××1＝，故C正确；对于D．取CD的三等分点为H1，使CH1＝2DH1，取BC的三等分点为H，使CH＝2BH，∴HH1∥BD∥B1D1，则面B1D1H1H即为所求的截面α，建立如图所示的空间坐标系，则A（3，0，0），E（0，3，1），B1（3，3，3），D1（0，0，3），H1（0，1，0），＝（﹣3，3，1），＝（﹣3，﹣3，0），＝（﹣3，﹣2，﹣3），∵•＝0，•＝0，所以AE⊥平面B1D1H1H，由已知条件得，B1D1＝3，HH1＝B1D1＝2，B1H＝D1H1＝，等腰梯形B1D1H1H的高为h＝＝，所以截面面积为S＝×＝，故D正确．故选：ACD．12．已知椭圆M：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从F1，F2，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M的离心率的可能取值为（）A．B．C．D．解：由题意可得左右焦点和上下顶点可能构成直角三角形，这时b＝c，离心率e＝＝＝；或者长轴的点和短轴的点和一个焦点可能构成直角三角形，如图所示：这时AF22＝AB2+BF22，即（a+c）2＝a2+b2+a2，整理可得：e2+e﹣1＝0，可得e＝，故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题p ∧q为真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a＝1．解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”为真，则△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a＝1，故答案为：a≤﹣2，或a＝114．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号331、572、455．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 2583 92 12 06 7663 01 63 78 59 1695 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 4299 66 0279 54解：利用随机数表抽取是样本数据，找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455．故答案为：331，572，455．15．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝，|F1F2|＝4，则截口BAC所在椭圆的离心率为．解：由题意可得2c＝4，＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝6，所以离心率e＝＝＝，故答案为：．16．如图，在△ABC中，AB＝1，，，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长度为．解：过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使平面ABP⊥平面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则B（2，0，0），A（1，0，0），O（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），设Q（x，y，z），＝＝λ（﹣1，0，2），λ∈[0，1]，即（x﹣1，y，z）＝（﹣λ，0，2λ），∴Q（1﹣λ，0，2λ），D（1，1，0），＝（﹣λ，﹣1，2λ），＝（0，2，﹣2），|cos＜＞|＝＝，令f（λ）＝，λ∈[0，1]，∴f′（λ）＝，由f′（λ）＝0，λ∈[0，1]，得，λ∈[0，）时，f′（λ）＞0，λ∈（，1]时，f′（x）＜0，∴当时，f（λ）取最大值，此时PC与DQ所成角取得最小值，|AQ|＝||＝．故答案为：．四、解答题（共70分。
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2021届江苏省南京市宁海中学高二第一学期数学期末考试试题 2021.01一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若251=+a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．112．命题“()∞+∈∃，00x ，1ln 00-=x x ”的否定是 A ．()∞+∈∀，0x ，1ln -≠x x B ．()∞+∉∀，0x ，1ln -=x x C ．()∞+∈∃，00x ，1ln 00-≠x x D ．()∞+∉∃，00x ，1ln 00-=x x 3．若b a >，则A ．()0ln >-b aB ．ba33< C ．033>-b a D ．b a >4．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是：有两只老鼠从墙的两边分别 打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢A ．5B ．6C ．7D ．8 5．已知00>>y x ，，且19=+y x ，则yx 11+的最小值是 A ．10 B ．12 C ．14 D ．166．如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则→OG 等于A ．→→→++OC OB OA 313131 B ．→→→++OC OB OA 413121C ．→→→++OC OB OA 414121D ．→→→++OC OB OA 6141417．意大利数学家斐波那契（1770~1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞 燕草，万寿简等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也 有着广泛得应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11=a ，12=a ，n n n a a a +=++12，若k a a a a a a a =++++++5997532 ，则k =A ．2020B ．2021C ．59D ．608．已知双曲线C ：()0012222>>=-b a by a x ，的左、右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为x y 31±=，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：()1622=++y x 上一点，则2MF MN +的最小值为A ．8B ．9C ．10D ．11二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．9．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个 行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重.以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是A.在第三产业中，“批发和零售业”与“金融业”的生产总值之和同“其他服务业”的生 产总值基本持平B.若“租赁和商务服务业”生产总值为15000亿元，则“房地产业”生产总值为40000亿元C.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第三产业生产总值为262500亿元D.若“金融业”生产总值为42000亿元，则第一产业生产总值为45000亿元10．下面是关于公差0>d 的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有A ．数列{}n a 递增B ．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是递增的等差数列 C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且⎭⎬⎫⎩⎨⎧+c n S n 为等差数列，则0=c D ．若07=a ，则方程0=n S 有唯一的根13=n 11．设a >0， b >0，称2b a +为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，ba ab+2为a ，b 的调和平均数，称222b a +为a ，b 的加权平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且|AC|=a ，|CB|=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ， AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．取弧AB 的中点为F ，连接FC ，则在图中能体现出的不等式有A ．ab b a ≥+2B ．2222b a b a +≥+ C ．ab b a ab ≥+2 D ．ba ab b a +≥+2222 12．笛卡尔、牛顿都研究过方程()()()xy x x x =---321，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有A ．该曲线不关于y 轴对称B ．该曲线关于原点对称C ．该曲线不经过第三象限D ．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数x 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 13．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则=⋅2s x ▲ ．14．已知向量()312，，-=a ，()x b ，，24-= ，()21，，x c -=，若()c b a ⊥+，则=x ▲ ．15．已知正项等比数列{}n a ，21=q ，若存在两项m a ，n a ，使得21a a a n m =，则m n-9的最小值为 ▲ ．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC 、CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内一点（含边界），若A 1P ∥平面AEF ，点P 的轨迹长度为 ▲ ．直线A 1P 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的取值范围是 ▲ ．(第一空2分，第二空3分)．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知A ＝{x |211-+x ＜0}，B ＝{x |x 2－2x+1－m 2＜0，m>0}． （1）若m ＝2，求A ∩B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，且有AB =1，2=AP ，︒=∠120BAD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AC ⊥面BED ；（2）求二面角C AB E --的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）2020年9月份，南京出台了<南京市生活垃圾管理条例>，提出2020年11月1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度．为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量， 为此需征集一部分垃圾分类志愿者．已知某垃圾站的日垃圾分拣量(千克)与垃圾分类志愿者人数x (人)满足线性回归直线方程a bx y+=ˆ，数据统计如下： 志愿者人数x （人） 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量y （千克）25304045t(1) 已知405151==∑=i i y y ，9051=∑=i i x ，88551=∑=i i i y x ，根据所给数据求t 和线性回归直线方程a bx y+=ˆ． (2)用(1)中所求的线性回归方程得到与i x 对应的口垃圾分拣量的估计值i y ˆ．当分拣数据i y 与 估计值i yˆ满足i i y y -ˆ≤2时，则将分拣数据(i x ，i y )称为一个“正常数据”．现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率．参考公式：()()()∑∑==---=ni ini iix x yyx x b121ˆ，x b y aˆˆ-=．20．(本小题满分12分)已知抛物线C ：px y 22=的焦点坐标为F ，焦点到准线的距离与抛物线通经长度的和为29，过点P （1，0）的直线l 交C 于A ，B 两点． （1）求抛物线的方程；（2）请从以下条件中选择一个作为条件，求出直线l 的方程．条件：①3134=AB ②→→=PB AP 3③2=∆AOB S （若多做，则默认第一种选择作为答案）21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：21=a ，()*112N n a n n a n n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设nnn a b 2=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n n S S -2的最小值．22．（本小题满分12分）已知椭圆C 的方程为12422=+y x ，过点⎪⎭⎫⎝⎛032，Q 作直线与椭圆交于A ，B 两点． （1）求证：PA ⊥PB ； （2）求|PA |·|PB|的最大值．。