1高中数学北师大必修4课件：习题课 平面向量数量积的综合应用
高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修4
[解] (1)证明：∵a ·b ＝ 3×12＋(－1)× 23＝0.∴a ⊥b .
(2)∵x＝( 3，－1)－212， 23＝ 3－1，－1－ 3，
y＝－k( 3，－1)＋12， 23＝12－ 3k，k＋ 23.
假设存在
k
使
x ⊥ y ， ∴ x·y ＝ (
3 － 1) 12－
3k ＋ ( － 1 －
复习课件
高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示课件 北师大版必修4
§6 平面向量数量积的坐标表示
一、预习教材·问题导入 1．平面向量数量积的坐标运算如何表示？ 2．如何用坐标法计算向量的夹角？
二、归纳总结·核心必记
[类题通法] 进行数量积运算时，要正确使用公式 a·b＝x1x2＋y1y2，并能 灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
[针对训练] 已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求： (1)a·b； (2)(a＋b)·(2a－b)； (3)(a·b)·c.
[解] (1)a ＋2b ＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)
∴|a ＋2b |＝ －32＋－62＝3 5.
(2)∵b ＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a ，
∴a ＋b ＝－a ，∴(a ＋b )·c＝－a ·c＝52.
a ·c 设 a 与 c 的夹角为 θ，则 cos θ＝ ＝
|a ||c|
|a |＝________. 解析：a ＋c＝(3,3m)，由(a ＋c)⊥b ，可得(a ＋c)·b ＝0，即 3(m ＋1)＋3m＝0，解得 m＝－12，则 a＝(1，－1)，故|a|＝ 2. 答案： 2
高一必修4平面向量的数量积及平面向量的应用
平面向量的数量积及平面向量的应用一、目标认知学习目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.难点：用向量的方法解决几何、物理等问题.二、知识要点梳理知识点一：平面向量的数量积1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.要点诠释：1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为；当=180°时投影为.知识点二：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.1.2.3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或4.5.知识点三：向量数量积的运算律1.交换律：2.数乘结合律：3.分配律：要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc a=c.但是；2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.知识点四：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量，，2.设，则或3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).三、规律方法指导1.向量在几何中的应用：(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件(3)求夹角问题，利用(4)求线段的长度，可以利用或2.向量在物理中的应用：(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；(2)向量在速度分解与合成中的作用.经典例题透析类型一：数量积的运算1．已知下列命题：①；②；③；④其中正确命题序号是___________.思路点拨：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.解析：②、④ .2．已知； (2) ；(3) 的夹角为30°，分别求.解析：(1)当时，或.(2)当时，.(3)当的夹角为30°时，.举一反三：【变式1】已知，求.解析：总结升华：熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.类型二：模的问题3．已知向量满足，且的夹角为60°，求.解析：，且的夹角为60°；总结升华：要根据实际问题选取恰当的公式举一反三：【变式1】已知的夹角为，，，则等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1解析：，，解得，故选B.总结升华：涉及向量模的问题一般利用，注意两边平方是常用的方法.类型三：夹角问题4．①已知，求向量与向量的夹角.②已知，夹角为，则___________.解析：①，故夹角为60°.②题意得.总结升华：求两个向量的夹角，需求得，及，或得出它们的关系，在求解过程中要注意夹角的范围，同时要正确理解公式.5．已知是非零向量，若与垂直，与垂直，试求的夹角.解析：由条件知且∴①②由①-②得，代入①∴∴即所求向量的夹角为.举一反三：【变式1】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.解析：法一：将两边平方得，则，故的夹角为30°.法二：数形结合总结升华：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.【变式2】求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角.解析：设为等腰三角形，，AD、BE为两直角边BC、AC的中线，以两直角边BC、AC所在的直线分别为，轴，建立直角坐标系，如图所示，并设，，则，.∴，，∴，又，，设AD与BE所成的钝角为角，则为与的夹角.∴，故所求的角为.类型四：综合应用问题6．已知向量.(1) 若； (2)求的最大值 .解析：(1)若，则.(2)==，的最大值为.7．设AC是平行四边形ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，如图所示，求证：.思路点拨：由向量的数量积的定义可知：两向量、的数量积(其中是、的夹角)，它可以看成与在的方向上的投影之积，因此要证明等式可转化成：，而对该等式我们采用向量方法不难得证.解析：在中，，在中，∴，∴又∵在平行四边形ABCD中，，∴原等式左边右边.举一反三：【变式1】如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：.思路点拨：如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证.解析：以点D为坐标原点，DC所在直线为轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1，，则，，，，于是，，∵∴.学习成果测评基础达标：1.若·=0，，且则A. B. C. D．12.若=(1，1)，=2，，则=( )A．B．5 C．1 D．3.已知，是非零向量且满足，则与的夹角是( )A. B. C. D.4.在边长为1的正三角形ABC中，，则=________.5.设均为非零向量，则下面结论：①；②；③；④.正确的是_________.6.已知平面向量，=(3，-4)，=(2，x)，=(2，y)且//，，求以及和的夹角.7.已知(1)求与的夹角(2)求和(3)若作三角形ABC，求的面积.答案与解析：1.A2.A3.B4.5.①，③6.解：，解之，又与的夹角为90°.7.解：①解得：，又②③能力提升：1.已知向量=(x-5，3)，=(2，x)且则由x的值构成的集合是( )A. B. C. D.2.已知为非零的平面向量，甲:；乙:；则( )A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件.C．甲是乙的充要条件D．既不充分也不必要条件.3.已知向量且则向量等于A．B．C．D．4.若且，则向量与的夹角为( )A. B. C. D.5.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的( )A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点6.设，在上的投影为，在轴上的投影为2，且，则为( )A．B． C． D．7.已知且与的夹角为，k的值是_________.8.若两个向量与的夹角为，则称向量为“向量积”，其长度，令已知，则=_____.9.设向量满足及(1)求所成角的大小；(2)求的值.10.已知，且存在实数k和t，使得且，试求的最小值.答案与解析：1.C2.B3.解：设联立解得选D.4.C5.D6.B7.-58.39.(1)而则，故与所成的角为(2)10.由题意可得，，，故有由知：，即可得，故即当t=-2时，有最小值为综合探究：1.△ABC中，点O为BC的中点，过点O作直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若，则m+n=( )A．2 B．1 C．4 D．2.设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为( )A． B． C．D．3.△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D为边BC上一点，，则 =( )A． B．C． D．44.F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若，=( )A．9 B．6 C．4 D．35.若向量不共线，，且，则向量的夹角为( )A．0 B．C．D．6.已知，且.(1)求的最值.(2)是否存在k的值，使.答案与解析：1.A2.A 解：由与在方向上的投影相同，可得：，即，.选A.3.A4.B5.D6.解：(1)，又θ∈，∴令令，则则∴m在[，1]上为增函数∴(2)由条件知：又，∴由得，即故存在满足题意.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高中数学第二章平面向量6平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修4
＝．
【预习评价】
1．直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是( )
A．(2，－3)
B．(2,3)
C．(－3,2)
D．(3,2)
答案 D
2．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为 _____．
答案 x－3y＋5＝0
题型一 平面向量数量积的坐标运算 【例1】 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
题型二 平面向量的夹角问题 【例2】 已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，设C是直线OP
上的一点(其中O为坐标原点)． (1)求使C→A·C→B取得最小值时的O→C； (2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
解 (1)∵点C是直线OP上的一点， ∴向量O→C与O→P共线， 设O→C＝tO→P(t∈R)， 则O→C＝t(2,1)＝(2t，t)， ∴C→A＝O→A－O→C＝(1－2t,7－t)， C→B＝O→B－O→C＝(5－2t,1－t)， ∴C→A·C→B＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8. ∴当t＝2时，C→A·C→B取得最小值，此时O→C＝(4,2)．
π
π
A.6
B.4
π C.3 解析
π D.2 cos θ＝|OO→→AA|·|OO→→BB|＝1×1·1＋120＋×112＝12，
∵θ∈[0，π2]，∴θ＝π3.
答案 C
知识点2 直线的方向向量
(向1)向定量义．：与直线共l线
的非零向量m称为直线l的方
(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向(量1，为k)m
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
高中数学 北师大必修四 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2020/12/16
•7
思考：
已知向量a＝(x，y)，与向量a共线的单位
向量a0的坐标是什么？
提示：∵a0＝±|aa|＝± x21＋y2(x，y)，
∴a0＝(－
x2x＋y2，－
y x2＋y2)
或 a0＝( x2x＋y2， x2y＋y2)．
向量垂直和平行的坐标表示:
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角
复习引入
(1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
思考：我们学过两向量的和与差可以转
化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的 坐 标 表 示 a b呢 ？
x＝72， x＝32， 解得y＝－32或y＝72.
∴B72，－32或 B32，72.
课堂小结
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积 的 数量积 和，即a·b＝ x1x2＋y1y2
两个向 量共线
a//b⇔ x1y2=x2y1
(2)cos∠OAB＝cos〈 AO， AB〉＝ AO·AB . | AO|| AB|
其中 AO·AB＝－OA·AB
＝－(16,12)·(－21,3)
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故 cos∠OAB＝20×30105＝ 222.∴∠OAB＝45°.
总结：
利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为： (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用| |＝ x2＋y2求两向量的模． (3)代入夹角公式求 cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．
2019-2020学年高中数学北师大版必修4练习：习题课——平面向量数量积的综合应用
习题课——平面向量数量积的综合应用课后篇巩固探究1.已知a =(3,-2),b =(1,0),向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为( ).-B .C .-D .16161717λa +b 与a -2b 垂直,则(λa +b )·(a -2b )=0,又因为a =(3,-2),b =(1,0),故(3λ+1,-2λ)·(1,-2)=0,即4λ=0,解得λ=-.172.若△ABC 满足∠A=,AB=2,则下列三个式子:①,②,③中为定值的式子的个数为( )π2AB ·AC BA ·BC CA ·CB B .1C .2D .3因为=||||cos =0,AB ·AC AB AC π2所以为定值;AB ·AC 因为=||||cos B=||2=4,BA ·BC BA BC BA 所以为定值.BA ·BC 同理=||2,CA ·CB AC ||不是定值,故③不满足.故选C .ACABCD 中,AC 为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=( )AB AC AD ·BD B .-6C .6D .8·()=()·(-2)=[(1,3)-(2,4)]·[(1,3)-2(2,4)]=(-1)×(-3)+(-1)×(-5)=8.·BD =BC AD ‒AB AC ‒AB AC AB 4.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角的余弦值为sin ,则b ·(2a -b )等于( )317π3B .-1C .-6D .-18|a |=2|b |≠0,且关于x 的方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根,则a 与b 夹角的取值范围是( )A .B .[0,π6][π3,π]D .[π3,23π][π6,π]a ,b 的夹角为θ,由题意得Δ≥0,即|a |2≥4a ·b ,∴cos θ=,∴θ≥.a ·b|a ||b |≤|a |24|a ||b |=12π3θ∈[0,π],∴θ∈.[π3,π]6.已知△ABC 中,||=10,=-16,D 为BC 边的中点,则||等于( )B AB ·AC AD B .5C .4D .3D 为BC 边的中点,∴).AD =12(AB +AC ∴||=|.AD 12|AB +AC 又∵||=10,且,BC BC =AC ‒AB ∴||=10,即()2=100,AC ‒AB AC ‒AB 即||2+||2-2=100.AC AB AC ·AB ∵=-16,∴||2+||2=68,AC ·AB AC AB 故()2=68-32=36.AC +AB ∴||=6,即||=3.故选D .AB +AC ADa =(2,4),b =(1,-2),若c =a -(a ·b )b ,则|c |=.a ·b =2×1+4×(-2)=-6,∴c =a -(a ·b )b =a +6b =(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),∴|c |==8.82+(-8)22828.已知向量a =(2,1),b =(-1,2),若a ,b 在向量c上的投影相等,且(c -a )·(c -b )=-,则向量c 的坐标为 .52c =(x ,y ),c 与a 的夹角为α,c 与b 的夹角为β.由已知有|a |cos α=|b |cos β,即,即(a -b )·c =0,即a ·c|c |=b ·c|c |0①,由已知(c -a )·(c -b )=-,即x 2+y 2-x-3y+=0②,①②联立得x=,x=,即c =.52521232(12,32)(12,32)如图,A 是半径为5的圆O 上的一个定点,单位向量在A 点处与圆O 相切,点P 是圆O 上的一个动AB 点,且点P 与点A 不重合,则的取值范围是 .AP ·AB如图所示,以AB 所在直线为x 轴,AO 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.设点P (x ,y ),B (1,0),(0,0),则=(1,0),=(x ,y ),所以=(x ,y )·(1,0)=x.因为点P 在圆x 2+(y-5)2=25上,所以-5≤x ≤5,AB AP AP ·AB ≤5.所以应填[-5,5].AP ·AB 答案[-5,5]导学号93774081已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m ,-(3+m )).OA OB OC (1)若点A ,B ,C 不能构成三角形,求实数m 应满足的条件;△ABC 为直角三角形,求实数m 的值.∵=(3,-4),=(6,-3),=(5-m ,-(3+m )),若点A ,B ,C 不能构成三角形,则这三点共线.∵=(3,1),OA OB OC AB (2-m ,1-m ),∴,即3(1-m )=2-m ,∴m=.AB ∥AC 12(2)若△ABC 为直角三角形,且①A 为直角,则,∴3(2-m )+(1-m )=0,解得m=.②B 为直角,AB ⊥AC 74=(-1-m ,-m ),则,BC AB ⊥BC ∴3(-1-m )+(-m )=0,解得m=-.③C 为直角,则,∴(2-m )(-1-m )+(1-m )(-m )=0,解得m=.34BC ⊥AC 1±52综上所述,m=或m=-或m=74341±5导学号93774082已知AD ,BE ,CF 是△ABC 的三条高,求证:△ABC 的三条高交于一点.,设BE ,CF 交于点H ,=b ,=c ,=h ,AB AC AH则=h -b ,=h -c ,=c -b .BH CH BC ∵,BH ⊥AC ,CH ⊥AB ∴{(ℎ-b )·c =0,(ℎ-c )·b =0,即{ℎ·c -b ·c =0,①ℎ·b -c·b =0,②由①-②,得h ·(c -b )=0,即=0,∴,∴AH 的延长线过点D ,从而AD ,BE ,CF 相交于一点H.AH ·BC AH ⊥BC 12.导学号93774083已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C 是直线OP 上的一点(其中OP OA OB O 为坐标原点).(1)求使取到最小值时的;CA ·CB OC (1)中求出的点C ,求cos ∠ACB.因为点C 是直线OP 上的一点,所以向量共线.设=t ,OC 与OP OC OP 则=t (2,1)=(2t ,t ),OC =(1-2t ,7-t ),CA =OA ‒OC =(5-2t ,1-t ),CB =OB ‒OC =(1-2t )(5-2t )+(7-t )(1-t )=5t 2-20t+12=5(t-2)2-8,CA ·CB 当t=2时,取得最小值,此时=(4,2).CA ·CB OC (2)当t=2时,=(-3,5),=(1,-.CA CB 所以||=,||==-3-5=-8.CA 34CB 2,CA ·CBcos ∠ACB==-.CA CB |CA ||CB |-834×241717。
高一数学必修四课件时向量的数量积
计算两向量的夹角
01
与平面几何类似，可以通过向量数量积计算两个空间向量的夹
积为零，则两向量垂直。
计算向量的投影
03
向量在另一个向量上的投影长度同样可以通过向量数量积求得
。
典型例题解析
01
02
03
04
例题1
已知向量a和b的坐标，求a和 b的夹角。
例题2
判断向量a和b是否垂直。
动量定理
动量定理描述了物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化，即$vec{I}=Delta vec{p}$ 。其中，冲量是力对时间的积累，可以表示为力向量与时间向量的数量积。
向量数量积在电磁学中应用
01 02 03
电场强度与电势差的关系
电场强度$vec{E}$与电势差$V$之间的关系可以通过向量 数量积表示为$V=-int_{a}^{b} vec{E} cdot d vec{l}$，其 中$d vec{l}$是位移向量。该公式描述了电场中两点间电 势差与电场强度的关系。
洛伦兹力与安培力的计算
洛伦兹力$vec{F}=qvec{v} times vec{B}$和安培力 $vec{F}=Ivec{l} times vec{B}$的计算中涉及到向量外积 ，但外积的结果仍然是一个向量，其大小可以通过向量数 量积来计算。
电磁感应中的感应电动势
感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，即$e=frac{d Phi}{dt}$。其中，磁通量是磁感应强度$vec{B}$与 面积向量$vec{S}$的数量积，即$Phi=vec{B} cdot vec{S}$。
示。
向量的共线定理
向量$vec{a}$与向量$vec{b}$共 线的充要条件是存在唯一实数 $lambda$，使得$vec{a} = lambdavec{b}$。
高中数学第二章平面向量26平面向量数量积的坐标表示课件北师大版必修4
(2)当∠A＝90°时，A→B·A→C＝0，
所以 2×1＋3×k＝0，所以 k＝－23；
当∠B＝90°时，A→B·B→C＝0，
B→C＝A→C－A→B＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，所以 2×(－1)
＋3×(k－3)＝0，所以 k＝131；
当∠C＝90°时，A→C·B→C＝0，所以－1＋k(k－3)＝0，
C→A＝O→A－O→C＝(1－2t,7－t)， C→B＝O→B－O→C＝(5－2t,1－t)， C→A·C→B＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－ 2)2－8， 当 t＝2 时，C→A·C→B取得最小值，此时O→C＝(4,2)．
(2)当O→C＝(4,2)时，C→A＝(－3,5)，C→B＝(1，－1)，
【解】 (1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)， ∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a－2b|＝ 72＋32＝ 58. (2)∵a·b＝－6＋5＝－1， ∴c＝a＋b＝(1,6)， ∴|c|＝ 12＋62＝ 37.
规律方法 本题是平面向量的数量积和模的基本运算，只要 公式记忆熟练就不难求解．
设点 C 的坐标为(x，y)，则D→C＝(x＋1，y－4)， 从而有xy＋－14＝＝11，， 即xy＝＝05，， ∴点 C 的坐标为(0,5)． A→C＝(－2,4)，|A→C|＝ －22＋42＝2 5， 故点 C 的坐标为(0,5)，矩形 ABCD 的对角线的长度为 2 5.
规律方法 利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的 题型有：
【思路探究】 解决此题的关键是确定 D 点的位置，可知A→D 与B→C垂直，又 B，D，C 三点共线，利用向量平行与垂直的坐标 表示求解．
高中数学 平面向量数量积的坐标表示多媒体教学优质课件 北师大版必修4
（２）若向量 a b 与 2a b 垂直，求 的值.
解：（1） a b 4 (1) 3 2 2
又 | a | 42 32 5
| b | (1)2 22 5
cos a b 2
|a| |b| 5 5
第二十八页，共32页。
(2)a b (4 , 3 2)
5.给定两个向量 a (3, 4),b (2, 1) 若 (a xb)⊥ (a b), 则x _3_
若 (a xb)∥ (a b), 则x __1__
第二十七页，共32页。
6.已知向量 a (1，sin ), b (1，cos ) ，则 a b 的最大值为___2__ 7、已知向量 a (4,3),b (1, 2)
x1x2 y1 y2
这就是说，两个向量的数量(shùliàng)积等于它们对应坐标
的乘积的和a.即b x1x2 y1 y2
第十二页，共32页。
练习(liànxí)：求 值
设a (5, 7),b (6, 4),求a b. 解：x1 5, x2 6; y1 7, y2 4. a b x1x2 y1 y2
设a (x1, y1),b (x2 , y2 ), a与b的夹角为，则
cos a b
|a||b |
坐标(zuòbiāo)表示c为os：
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
第十五页，共32页。
典型(diǎnxíng)例题分 析
例1 已知 a 3, 2 ，b 1, 1 ，求向量a 与 b 的夹角
yM
C
o
x
特别地：如果圆心在坐标原点上，这时α=0,b=0 ，那么圆的 标准(biāozhǔn)方程为 x2+y2=r2.
高中数学 第二章第6节《平面向量数量积的坐标表示》课件 北师大版必修4
D . 63 65
4、已知向量 a(1， sin),b(1， cos)，则 a b 的最大值为___2 __
5、已知：a (c , so ) i b n , ( sc , so ) i 求证n ：s (ab)⊥
(ab)
提示：(ab)(ab) ( c o s c o s , s i n s i n ) ( c o s c o s , s i n s i n )
ab^b
第十页，编辑于星期五：十点 四十一分。
变式引申： 例2．已知 A1,2，B2,3，C2,5，求证 ABC是直角三角形.
证明：∵ A B 2 1 ,3 2 1 ,1
A C 2 1 ,5 2 3 ,3
∴ A B A C 1 3 1 3 0
ABC是直角三角形.
⑴交换律：_a__b___b__a
⑵数乘结合律：__(__a _)__b __ _ __(_a__b_)_ __a_(b)
⑶分配律：(_a___b_)_c___a__c__b__c
注意：数量积不满足结合律
即 :(ab)ca(bc) 第五页，编辑于星期五：十点 四十一分。
二、新课讲授：
思考：
设x轴上单位向量为 i，Y轴上单位向量为 j
请计算下 列式子： ① ii = ③ ij =
②
j
j
=
④ ji =
参考答案：①1；②1；③0；④0.
第六页，编辑于星期五：十点 四十一分。
学习指导一、平面向量数量积的坐标表示
问题1：已知 a(x1,y1)b,(x2,y2),怎样用 a , b
的坐标表 示 a b 呢？ 请同 学们思考！
解：由题 意 得 a x 1 i y 1 j , b x 2 i y 2 j a b ( x 1 i y 1 j ) ( x 2 i y 2 j ) x 1 x 2 i 2 x 1 y 2 i j x 2 y 1 i j y 1 y 2 j 2
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第3节 平面向量的数量积及平面向量应用举例 课件(64张)
B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角 为 0 时不成立).
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规定 零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0； 当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当 〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．