人教版九年级上册数学同步练习课件-第24章 圆-24.1.4 第5课时圆内接四边形的性质
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人教版九年级上册数学同步教学课件-第24章-24.1.4 圆周角
数学课堂教学课件设计
随堂即练
1.判断： （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ × ） （3）90°的角所对的弦是直径. （ × ） （4）同弦所对的圆周角相等. （ × ）
数学课堂教学课件设计
随堂即练
2.如图，AB是⊙O的直径， C，D是圆上的两点，∠ABD=40°，
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
21.1.4 圆周角
数学课堂教学课件设计
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点） 3.理解圆内接四边形及其性质.（重点） 4.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
证明：连结OB，OD. ∵∠A所对的弧为 BCD ，∠C所对的弧为 BAD ， 又 BCD 和 BAD 所对的圆周角的和是周角， ∴∠A+∠C=360°÷2=180°. 同理∠B+∠D=180°.
★圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
数学课堂教学课件设计
随堂即练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°， ∠B=80°，则∠C= 70 º，∠D= 100º . 2.⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则 ∠D= 90º .
数学课堂教学课件设计
新课讲解
推导与验证:
为了验证上面发现的猜想，分下列几种情况：
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O在∠BAC 的内部
数学课堂教学课件设计
圆心O在 ∠BAC 的外部
①圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
新课讲解
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
随堂即练
1.判断： （1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ √ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ × ） （3）90°的角所对的弦是直径. （ × ） （4）同弦所对的圆周角相等. （ × ）
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随堂即练
2.如图，AB是⊙O的直径， C，D是圆上的两点，∠ABD=40°，
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
21.1.4 圆周角
数学课堂教学课件设计
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点） 3.理解圆内接四边形及其性质.（重点） 4.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
证明：连结OB，OD. ∵∠A所对的弧为 BCD ，∠C所对的弧为 BAD ， 又 BCD 和 BAD 所对的圆周角的和是周角， ∴∠A+∠C=360°÷2=180°. 同理∠B+∠D=180°.
★圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
数学课堂教学课件设计
随堂即练
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°， ∠B=80°，则∠C= 70 º，∠D= 100º . 2.⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则 ∠D= 90º .
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新课讲解
推导与验证:
为了验证上面发现的猜想，分下列几种情况：
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O在∠BAC 的内部
数学课堂教学课件设计
圆心O在 ∠BAC 的外部
①圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
新课讲解
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第24章 圆 24.1.4 圆周角
B.BC=CD
C. =
D.∠BCA=∠DCA
关闭
B
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BCD=120°,则
∠BOD的大小是(
)
A.80°
C.100°
B.120°
D.90°
关闭
∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠A=180°-∠BCD=60°.
B.70°
D.35°
关闭
B
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
2.如图,BD是☉O的直径,A,C在圆上,∠A=50°,∠DBC的度数是(
A.50°
B.45°
C.40°
)
D.35°
关闭
C
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3如图,四边形ABCD内接于☉O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的
是(
)
A.AB=AD
∴∠DAB=30°,∴∠BOD=2∠DAB=60°.
又OB=OD,
∴△OBD是等边三角形.
∵☉O的直径为10,∴OB=5,∴BD=5.
∴∠BDC=90°.
在Rt△CAB中,BC=10,AB=6,
得 AC= 2 -2 =
102 -62 =8.
由∠CAD=∠BAD,易得CD=BD.
在Rt△BCD中,BC=10,CD2+BD2=BC2,
∴BD2=CD2=50,∴BD=CD= 5 2.
(2)连接OB,OD(图略).
C. =
D.∠BCA=∠DCA
关闭
B
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
4.如图所示,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠BCD=120°,则
∠BOD的大小是(
)
A.80°
C.100°
B.120°
D.90°
关闭
∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠A=180°-∠BCD=60°.
B.70°
D.35°
关闭
B
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
2.如图,BD是☉O的直径,A,C在圆上,∠A=50°,∠DBC的度数是(
A.50°
B.45°
C.40°
)
D.35°
关闭
C
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
7
3如图,四边形ABCD内接于☉O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的
是(
)
A.AB=AD
∴∠DAB=30°,∴∠BOD=2∠DAB=60°.
又OB=OD,
∴△OBD是等边三角形.
∵☉O的直径为10,∴OB=5,∴BD=5.
∴∠BDC=90°.
在Rt△CAB中,BC=10,AB=6,
得 AC= 2 -2 =
102 -62 =8.
由∠CAD=∠BAD,易得CD=BD.
在Rt△BCD中,BC=10,CD2+BD2=BC2,
∴BD2=CD2=50,∴BD=CD= 5 2.
(2)连接OB,OD(图略).
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.4 圆周角和圆心角、弧的关系(共20张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心 O在∠BAC的一条边上.
知2－讲
O A B O O C C A A C C A 1 2 B O C .
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（图 （2）（3）），将它们转化为第（1）种情况.从而得 到相同的结论（请你自己完成证明）.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
知1－练
1 (中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是( C)
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图所示，图中的圆周角共有___4___个，其中A⌒B 所对的圆周角是_∠__C__与_∠__D_____，C⌒D所对的圆周角 是_∠__A_与__∠__B___．
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心 O在∠BAC的一条边上.
知2－讲
O A B O O C C A A C C A 1 2 B O C .
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（图 （2）（3）），将它们转化为第（1）种情况.从而得 到相同的结论（请你自己完成证明）.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
知1－练
1 (中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是( C)
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图所示，图中的圆周角共有___4___个，其中A⌒B 所对的圆周角是_∠__C__与_∠__D_____，C⌒D所对的圆周角 是_∠__A_与__∠__B___．
24.1.4圆内接四边形课件PPT
共15张 1
导入新课
复习引入
问题1 什么叫圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都与圆 相交的角叫圆周角, 问题2 圆周角定理及推论
A
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900
的圆周角所对的弦是直径。
共15张 2
新课讲解：
2 A D O B
.
C
C O A B
11
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
共15张
9. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
1 证明：Q ACB AOB, 2
共15张 9
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如
果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
C O
（ C）
A 115° B 130°
B D 50°
A
D
C 65°
C
P B
6.如图，等边三角形ABC内接于⊙O， A P是AB上的一点，则∠APB= 120°.
共15张
10
7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= 130° ，∠ADB= 50° . 8.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是
第二十四章
学习目标
所有多边形都有外接圆．
圆
24.1.4 圆内接四边形
24.1 圆的有关性质
1、知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是
2．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决
导入新课
复习引入
问题1 什么叫圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都与圆 相交的角叫圆周角, 问题2 圆周角定理及推论
A
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900
的圆周角所对的弦是直径。
共15张 2
新课讲解：
2 A D O B
.
C
C O A B
11
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
共15张
9. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
1 证明：Q ACB AOB, 2
共15张 9
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如
果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是
C O
（ C）
A 115° B 130°
B D 50°
A
D
C 65°
C
P B
6.如图，等边三角形ABC内接于⊙O， A P是AB上的一点，则∠APB= 120°.
共15张
10
7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ACB= 130° ，∠ADB= 50° . 8.如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 则⊙O的半径是
第二十四章
学习目标
所有多边形都有外接圆．
圆
24.1.4 圆内接四边形
24.1 圆的有关性质
1、知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是
2．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
人教版九年级初中数学上册第二十四章圆PPT课件
课堂练习
3．如图，在 中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ B ）
条弦．
A.2
B.3
C.4
D.5
【详解】 解：图中的弦有AE、AD、CD这3条
课堂练习
4．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1
的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（ B ）
月亮
新知探究
尝试说出一些生活中常见的圆形？
画圆
方法一
新知探究
方法二
方法三
A
·O
利用图钉画圆
新知探究
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫做圆．
A
➢ 固定的端点O叫做圆心 ➢ 线段OA叫做半径 ➢ 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
注意：1）半径相等的两个圆是等圆； 2）同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
注意：1）等弧的长度一定相等； 2）长度相等的弧不一定是等弧。（你知道这是为什么吗？）
原因：大圆上一寸长的弧,与小圆上一寸长的弧,它们的圆心角是不同的,即它们的 弧度不同（曲率不同）,放在一起不能重合,所以不一定是等弧。
B
O·
O·
A
B A
新知探究
与圆有关的概念（优弧和劣弧）
小于半圆的弧（如图中的
⌒ AC
）叫做劣弧；
⌒ 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC
）叫做优弧.
O·
A
B
【注意】 1）弧分为是优弧、劣弧、半圆。 2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是
人教版九年级上册数学同步教学课件-第24章-24.1.1 圆
新课讲解
问题 从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于 定长r ． （2）到定点的距离等于定长的点都在 同一个圆上 ．
★圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长r的点的集合．
D
r
A
C
r O· r
r r
E
数学课堂教学课件设计
★圆的基本性质
A
容易看出： 等圆是两个半径相等的圆.
★等弧
A 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧
叫做等弧.
·O C ·O1 C
数学课堂教学课件设计
新课讲解
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
观察A⌒D和B⌒C是否相等？
A
B
O
D
C
数学课堂教学课件设计
新课讲解
例例22 如图.
(
( (( (
( ( ((
(1)请写出以点A为端点的劣弧及优弧；
数学课堂教学课件设计
课堂总结
同心圆
旋转定义
定义
要画一个确定的圆，关键是 确定圆心和半径
圆
同圆 等弧
集合定义
同圆半径相等
有关 概念
弦（直径） 劣弧
直径是圆中最长的弦
等圆
弧 半圆
半圆是特殊的弧
优弧 能够互相重合的两段弧
数学课堂教学课件设计
D E
O B
劣弧有 四 条．
2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为10cm, 则这个圆的半径是 7cm或3cm .
C F
数学课堂教学课件设计
随堂即练
3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧.
人教版数学九年级上册第24章圆章节复习课件(共38张)
（ （
并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，动点P是AB上的任意一
点，则PC+PD的最小值是
3.
C
D
A
B PO P
D’
图b
3 与圆有关的位置关系
【例3】如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心，OA长为
半径的☉O与BC相切于点M.
(1)求证：CD与☉O相切；
(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM ∵BC与☉O相切于点M, ∴ ∠OMC=90 °, ∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上. ∴AC是∠BCD的角平分线， ∴ON=OM， ∴ CD与☉O相切.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较
得到．
设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r d=r d＞r
点P在圆内； 点P在圆上； 点P在圆外.
【注意】点与圆的位置关系可以转化为 点到圆心的距离与半径之间的关系；反 过来，也可以通过这种数量关系判断点 与圆的位置关系．
2.扇形面积公式 半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= _n_3_6R_0_2_或__12__l_R_. 3.弓形面积公式
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个 扇形 . (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为 l ，
扇形的弧长为 2 r .
点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于 50° .
2 垂径定理
【例2】工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的
直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，
24.1.4 圆周角 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册
C
解：（1）如图
∵ AB 是直径，
A
O
∴∠ACB =∠ADB = 90°.
在 Rt△ABC 中，AB=10，AC=6
BC AB AC 10 6 8(cm).
2
2
2
2
D
B
C
（2）证明：连接 OD.
△ABD是等腰直角三角形，理由如下
∵ CD 平分∠ACB，
∴∠ACD =∠BCD.
∴∠AOD =∠BOD.
2y-2
O
D
2
B
C
A
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
几何语言
1
∠A= ∠BOC
2
圆周角定理推论1
（1）一条弧对应几个圆心角？
D
（2）一条弧对应几个圆周角？
同弧所对的圆周角相等
∠A= ∠D
圆周角定理推论1
A B
（1）如图，若 CD EF， ∠A 与∠B 相等吗？
90°的圆周角所对的弦是直径
几何语言
∵ AB直径
∴ ∠CAB= 90°
三、典型例题
40°
25°
40°
30°
例1如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm.∠ACB 的
平分线交⊙O 于点 D，（1）求 BC的长度；（2）判断△ABD 是
什么三角形，并说明理由；（3）求AD，BD 的长。
O
等弧所对的圆周角相等
C
F
D
同弧或等弧所对的圆周角相等.
几何语言
=
∵
∴ ∠A= ∠D
E
圆周角定理推论2
如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的除点 A、B
解：（1）如图
∵ AB 是直径，
A
O
∴∠ACB =∠ADB = 90°.
在 Rt△ABC 中，AB=10，AC=6
BC AB AC 10 6 8(cm).
2
2
2
2
D
B
C
（2）证明：连接 OD.
△ABD是等腰直角三角形，理由如下
∵ CD 平分∠ACB，
∴∠ACD =∠BCD.
∴∠AOD =∠BOD.
2y-2
O
D
2
B
C
A
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
几何语言
1
∠A= ∠BOC
2
圆周角定理推论1
（1）一条弧对应几个圆心角？
D
（2）一条弧对应几个圆周角？
同弧所对的圆周角相等
∠A= ∠D
圆周角定理推论1
A B
（1）如图，若 CD EF， ∠A 与∠B 相等吗？
90°的圆周角所对的弦是直径
几何语言
∵ AB直径
∴ ∠CAB= 90°
三、典型例题
40°
25°
40°
30°
例1如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm.∠ACB 的
平分线交⊙O 于点 D，（1）求 BC的长度；（2）判断△ABD 是
什么三角形，并说明理由；（3）求AD，BD 的长。
O
等弧所对的圆周角相等
C
F
D
同弧或等弧所对的圆周角相等.
几何语言
=
∵
∴ ∠A= ∠D
E
圆周角定理推论2
如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的除点 A、B
人教版九年级上册数学同步练习课件-第24章 圆-24.1.1圆
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆(第一课时)
名师点睛
▪ 知识点1 圆的意义及其表示 ▪ 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点
O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做 半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读 作“圆O”． ▪ 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和 半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大 2
(B )
A．π C．14π
B．12π D．2π
6
▪ 4. 如图，分别延长⊙O的弦AB与半径OC交
于点D，BD＝20O° A．若∠AOC＝120°，则∠D
的度数是________.
7
︵ 5．如图，半圆 O 的直径 AB＝8，半径 OC⊥AB，D 为AC 上一点，DE⊥OC， DF⊥OA，垂足分别为点 E、F，则 EF 的长为_4____.
▪ 知识点2 圆的基本元素 ▪ 弦：连接圆上任意两点的线段； ▪ 直径：经过圆心的弦； ▪ 弧(圆弧)：圆上任意两点间的部分； ▪ 优弧：大于半圆的弧； ▪ 劣弧：小于半圆的弧； ▪ 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧； ▪ 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成 3
▪ 【典例】下列说法中，正确的个数是
9
▪ 7．如图，AB、CD为⊙O的两条直径，点E、 F在直径CD上，且CE＝DF.求证：AF＝BE.
▪ 证明：∵AB、CD为⊙O的两条直径，∴OA ＝OB，OC＝OD．∵CE＝DF，∴OC－CE ＝OD－DF，即OE＝OF.又∵∠AOF＝ 10
()
▪ ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆； ④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．
▪ A．4
B．3
▪ C．2 D．1
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆(第一课时)
名师点睛
▪ 知识点1 圆的意义及其表示 ▪ 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点
O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做 半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读 作“圆O”． ▪ 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和 半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大 2
(B )
A．π C．14π
B．12π D．2π
6
▪ 4. 如图，分别延长⊙O的弦AB与半径OC交
于点D，BD＝20O° A．若∠AOC＝120°，则∠D
的度数是________.
7
︵ 5．如图，半圆 O 的直径 AB＝8，半径 OC⊥AB，D 为AC 上一点，DE⊥OC， DF⊥OA，垂足分别为点 E、F，则 EF 的长为_4____.
▪ 知识点2 圆的基本元素 ▪ 弦：连接圆上任意两点的线段； ▪ 直径：经过圆心的弦； ▪ 弧(圆弧)：圆上任意两点间的部分； ▪ 优弧：大于半圆的弧； ▪ 劣弧：小于半圆的弧； ▪ 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧； ▪ 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成 3
▪ 【典例】下列说法中，正确的个数是
9
▪ 7．如图，AB、CD为⊙O的两条直径，点E、 F在直径CD上，且CE＝DF.求证：AF＝BE.
▪ 证明：∵AB、CD为⊙O的两条直径，∴OA ＝OB，OC＝OD．∵CE＝DF，∴OC－CE ＝OD－DF，即OE＝OF.又∵∠AOF＝ 10
()
▪ ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆； ④圆上任意两点间的线段叫做圆弧．
▪ A．4
B．3
▪ C．2 D．1
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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角 第五课时 圆内接四边形的性质
名师点睛
▪ 知识点1 圆内接多边形
▪ 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做 多边形的外接圆．
▪ 知识点2 圆内接四边形的性质 ▪ 圆内接四边形的对角互补．
▪ 提示：由圆内接四边形的性质，可以很容易 得到一个推论：圆内接四边形的一个外角等
13
10
▪ 6．如图，在⊙O中，∠AOC＝140°， 20° ∠ACB＝50°，则∠BAC＝________.
11
▪ 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB、 DC的延长线相交于点E，AD、BC的50延° 长线 相交于点F，若∠A＝45°，∠E＝40°，则 ∠F的度数为________.
12
▪ 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O， 点E在对角线AC上，EC＝BC＝
角，
▪ ∴∠DAC＝∠DBC．
▪ ∵AD平分∠CAE，
▪ ∴∠EAD＝∠DAC，
▪ ∴∠EAD＝∠DBC．
▪ ∵四边形ABCD内接于⊙O，
▪ ∴∠DAB＋∠BCD＝180°.ห้องสมุดไป่ตู้
▪ 又∵∠EAD＋∠DAB＝180°，
4
▪ 点评：在理解“圆内接四边形对角互补”的 性质时，应首先理解“互补”的概念，实际 上，“互补”是指两个角之间的一种特殊的 数量关系，而不是位置关系，只要两个角的 度数之和等于180°，则这两个角就一定互 补．
DC．
▪ (1(1))若解：∠∵CBCB＝DDC＝，∴3∠9C°DB，＝∠求CB∠D＝B3A9°D.∵的∠B度AC＝数∠；CDB＝39°， ▪ (2)求证：∠1＝∠2. ∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°. (2)证
明 ： ∵ EC ＝ BC ， ∴ ∠ CEB ＝ ∠ CBE. 又 ∠ CEB ＝ ∠ 2 ＋ ∠ BAE ， ∠ CBE ＝ ∠ 1 ＋ ∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD．由(1)得∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
2
于它的内对角．这个推论在解题中的应用非
▪ 【典例】如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平
分∠CAE，求证：BD＝CD．
▪ 分析：先根据圆周角定理的推论得出∠DAC ＝∠DBC，再由角平分线的性质得出∠EAD 3
▪ 证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周
5
课时即练
▪ 1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°D， 则∠C＝ ( )
▪ A．20° B．30° ▪ C．70° D．110°
6
▪ 2．【2018·湖南邵阳中考】如图所示，四边
形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝ B
120°，则∠BOD的大小是
()
▪ A．80° B．120°
7
▪ 3．【辽宁锦州中考】如图，四边形ABCD是 ⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点 E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝ C 80°，∠F＝25°，则∠E的度数为 ( )
▪ A．55° B．50°
8
▪ 4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O 上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是 C
()
▪ A．150° B．120°
▪ C．105° D．75°
9
▪ 5．【2018·云南曲靖中考】如图，四边形 ABCD内接于⊙O，n E为BC延长线上一点， 若∠A＝n°，则∠DCE＝______°.
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角 第五课时 圆内接四边形的性质
名师点睛
▪ 知识点1 圆内接多边形
▪ 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做 多边形的外接圆．
▪ 知识点2 圆内接四边形的性质 ▪ 圆内接四边形的对角互补．
▪ 提示：由圆内接四边形的性质，可以很容易 得到一个推论：圆内接四边形的一个外角等
13
10
▪ 6．如图，在⊙O中，∠AOC＝140°， 20° ∠ACB＝50°，则∠BAC＝________.
11
▪ 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB、 DC的延长线相交于点E，AD、BC的50延° 长线 相交于点F，若∠A＝45°，∠E＝40°，则 ∠F的度数为________.
12
▪ 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O， 点E在对角线AC上，EC＝BC＝
角，
▪ ∴∠DAC＝∠DBC．
▪ ∵AD平分∠CAE，
▪ ∴∠EAD＝∠DAC，
▪ ∴∠EAD＝∠DBC．
▪ ∵四边形ABCD内接于⊙O，
▪ ∴∠DAB＋∠BCD＝180°.ห้องสมุดไป่ตู้
▪ 又∵∠EAD＋∠DAB＝180°，
4
▪ 点评：在理解“圆内接四边形对角互补”的 性质时，应首先理解“互补”的概念，实际 上，“互补”是指两个角之间的一种特殊的 数量关系，而不是位置关系，只要两个角的 度数之和等于180°，则这两个角就一定互 补．
DC．
▪ (1(1))若解：∠∵CBCB＝DDC＝，∴3∠9C°DB，＝∠求CB∠D＝B3A9°D.∵的∠B度AC＝数∠；CDB＝39°， ▪ (2)求证：∠1＝∠2. ∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°. (2)证
明 ： ∵ EC ＝ BC ， ∴ ∠ CEB ＝ ∠ CBE. 又 ∠ CEB ＝ ∠ 2 ＋ ∠ BAE ， ∠ CBE ＝ ∠ 1 ＋ ∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD．由(1)得∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
2
于它的内对角．这个推论在解题中的应用非
▪ 【典例】如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平
分∠CAE，求证：BD＝CD．
▪ 分析：先根据圆周角定理的推论得出∠DAC ＝∠DBC，再由角平分线的性质得出∠EAD 3
▪ 证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周
5
课时即练
▪ 1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°D， 则∠C＝ ( )
▪ A．20° B．30° ▪ C．70° D．110°
6
▪ 2．【2018·湖南邵阳中考】如图所示，四边
形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝ B
120°，则∠BOD的大小是
()
▪ A．80° B．120°
7
▪ 3．【辽宁锦州中考】如图，四边形ABCD是 ⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点 E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝ C 80°，∠F＝25°，则∠E的度数为 ( )
▪ A．55° B．50°
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▪ 4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O 上．若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是 C
()
▪ A．150° B．120°
▪ C．105° D．75°
9
▪ 5．【2018·云南曲靖中考】如图，四边形 ABCD内接于⊙O，n E为BC延长线上一点， 若∠A＝n°，则∠DCE＝______°.