华工2015下微积分试卷A

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[全程复习方略]2014_2015学年高中数学(人教A版选修2_2)练习_16_微积分基本定理__课时作业]

比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十一) 微积分基本定理

一、选择题(每小题3分，共18分) 1.(2013·江西高考)若s1=x2dx，s2=dx，s3=exdx则s1，s2，s3的大小

关系为( ) A.s1C.s2【解题指南】根据微积分基本定理，分别求出s1，s2，s3的值，进行比较即可.

2015级高数B(I)A套参考答案重庆工商大学期末真题试卷【高等数学1】

2015级高数B （I ）A 套参考答案－、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）1. 3e -；2. 3；3. 2(0)f '；4. (sin f '；5. (2,1)；6.()d f x x .二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）1.B ；2.D ；3.A ；4.C.三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共计56分）1. 20sin lim sin 2x x x x x →-20sin =lim 2x x x x x →-⋅201cos =lim 6x x x→-（4分） 0sin 1=lim 1212x x x →=（7分） 2. 令21(1)x y x=+，ln 2[ln(1)ln ]y x x x =+-，（1分） ++100ln(1)ln lim ln 2lim x x x x y x -→→+-=++2001112lim 2lim 01x x x x x x x -→→-+===-+，（5分）故+0++lim ln ln 000lim =lim 1x y y x x y e e e →→→===.（7分）3.2y '=+==（5分）dy =.（7分）4. 对函数取对数，得，ln sin ln y x x =⋅，（1分）两边对x 求导，得11cos ln sin y x x x y x'=⋅+⋅（5分）故sin 11(cos ln sin )=(cos ln sin )x y y x x x y xx x x x x '=⋅+⋅⋅+⋅.（7分） 5.方程两边对x 求导，得 1sin y y xy x y''=+-（4分）所以2sin sin 111y x y y x y xy xy x y--'==≠--（），（5分）又0x = 时，y e =，故2(0)y e '=.（7分） 6. cos 23sin x dx x +⎰1sin 23sin d x x =+⎰11(23sin )323sin d x x=++⎰（4分） 1ln |23sin |3x C =++.（7分）7.3ln x xdx ⎰ 41=ln 4xdx ⎰4411=ln ln 44x x x d x -⎰（3分） 4311=ln 44x x x dx -⎰（5分）4411=ln 416x x x C -+.（7分） 8.21=2⎰2=(1)x --（4分）C =.（7分）或令sin (||)2x t t π=<，（2分）则sin =cos sin cos t tdt tdt t=⎰⎰（4分）cos t C =-+C =.（7分）四、应用题（8分）设贮水池底圆半径为r 米，水池高度为h 米，由250r h π=，得250h rπ=. 用料最省就是圆柱体的表面积最小，设圆柱体的表面积为()S r ，则22100()=2=+,0S r r rh r r r πππ+>.（3分）因为2100()=2S r r r π'-，令0S r '=（），得唯一驻点r =（5分）又因为3200()=2S r rπ''+，0S π''>,所以r =()S r 的唯一极小值点，故为函数S x （）的最小值点，（7分）此时h 时，圆柱体的表面积最小，建造时用料最省.（8分）五、证明题（6分）令()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-，（1分）则21()ln(1)101f x x x '=++-≥+0x ≥（），且等号仅在0x =成立，所以当0x ≥时，()f x 严格单增，（4分）从而0x >时，()(0)0f x f >=，即(1)ln(1)arctan x x x ++>成立. （6分）。

2015全国高中数学联赛加试试题及答案(A卷)

1≤i ≤ n
n
i =1
n 个集 k
合（这里 X 表示有限集合 X 的元素个数）．证明：不妨设 | A1 |= k ．设在 A1 , A2 , , An 中与 A1 不相交的集合有 s 个，重新记为 B1 , B2 , , Bs ，设包含 A1 的集合有 t 个，重新记为 C1 , C2 , , Ct ．由已知条件，
A
三、（本题满分 50 分）如图，ABC 内接于圆 O ，P 为上一点，点 K 在线段 AP 上，使得 BK 平分 ∠ABC ．过 BC
K、P、C 三点的圆 Ω 与边 AC 交于点 D ，连接 BD 交圆 Ω
F K B E P
奥林
设 A1 = {a1 , a2 , , ak } ．在 A1 , A2 , , An 中除去 B1 , B2 , , Bs , C1 , C2 , , Ct 后，在剩
这里 S (m) 表示正整数 m 在二进制表示下的数码之和．由于 2 ( k −1) n +1 不整除
①
(kn)! (kn)! 等价于 ν2 ≤ (k − 1)n ，即 n! n!
kn −ν 2 ((kn)!) ≥ n −ν 2 (n !) ，进而由①知，本题等价于求所有正整数 k ，使得 S (kn) ≥ S (n) 对任意正整数 n 成立．我们证明，所有符合条件的 k 为 2a (a = 0, 1, 2,) ．一方面，由于 S (2a n) = S (n) 对任意正整数 n 成立，故 k = 2a 符合条件．
2015 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一、（本题满分 40 分）设 a1 , a2 , , an (n ≥ 2) 是实数，证明：可以选取

2015高中数学-1.6微积分基本定理-课件(人教A版选修2-2)

[解]
∵f(x)＝－ x
(12t＋
a
4a)dt
＝ (6t2＋ 4at)|x－ a ＝ 6x2＋ 4ax－ (6a2－ 4a2 )
＝ 6x2＋ 4ax－ 2a2，
∴ F(a)＝01[f(x)＋ 3a2 ]dx＝01(6x2＋ 4ax＋ a2)dx
＝ (2x3＋ 2ax2＋ a2 x)|10＝ a2＋ 2a＋ 2 ＝ (a＋ 1)2＋ 1≥ 1，
4
4.02(x2－23x)dx＝ ____3____.
第一章导数及其应用
B．01 (x＋ 1)dx D．0112dx
第7页，共30页。
栏目导引
第一章导数及其应用
求简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)121xdx；(2)02πsin xdx；(3)13(2x－x12)dx；
(4)0－
(cos
9＋2× 3
93－ 2
(4＋2× 3
43)＝ 2
27－(4＋16)＝53.
33
第11页，共30页。
栏目导引
第一章导数及其应用
计算分段函数的定积分
计算下列定积分：
(1)若 f(x)＝x2
x≤ 0
cos x－1 x＞0
，求－ π2
f(x)dx；
1
(2)12
[解]
|3－ (1)
2x|dx.
－ π2
第一章导数及其应用
1．6 微积分基本定理
第1页，共30页。
第一章导数及其应用
学习导航
学习目标
1.了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． (重点、难点)
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观学法了解微积分基本定理的含义．微积分基本定理不仅揭示指导了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定

2015真题与解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)下列反常积分收敛的是()2・t 工函数f x 齐叫1 ^x 》)t 在(」：，：：)内()a 1门x cos —p — 01 f 0 二 lim ------ x---- 二 lim x 4cos j10xX T x(A) :1 」x dx (B)(C)三丄dx2xlnx(D)::x2护【答案】(D) 【解析】=_(x 1)e_ ，则 ^dx = _(x 1)e*e-bo2，只有一个选项符合(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点有无穷间断点【答案】(B)(D) x 1 2sin t x 2Sin t — lim -------- 【解析】f(x)=1叫(1 ■—)t 二 &0,xt二e x ， x = 0，故f (x)有可去间断点x = 0 . ⑶设函数f x =x ：cos*,x 0G 0/ 0)，若f ' x 在x = 0处连续则：()(A)—>0(C)# >2 -T- < 2【答案】(A)【解析】x ：0时,f x ]=0 f_ 0 =0x 0时,二 x 4cos 丄 x _ ysinx1f x 在 x = 0 处连续则：f _ 0 = f. 0 = lim x - cos 0 得:-1 0xJ 0x 1 1 、•]f 0 = lim + f x = lim + :x A cos x^'Asi n =0 T T I x Hx HJ得：：•-] -1 0，答案选择A ⑷设函数f (x)在—：：，•二内连续，其中二阶导数 f “(X)的图形如图所示，则曲线y = f (x)的拐点的个数为【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解数f x, y 在D 上连续，则11 f x, y dxdy 二D(A) 0 【答(B) 1 (C) 2(C)(D)3【解析】根据图像观察存在两点, 为2个.⑸设函数f u,v 满足f x y=x 1 2 -y 2，则,:u u =1 v =1u =1 v =1 依次是 (A) 2,0 【答案】(D)(B) 0,舟(D)令 u = x y,vx从而 f(x y 」)二 x 2xo -y 变为因而fcuu -1 v =1Pl\2uv + v 」二 u^.故 -丄•故选(D ).2.:u(6)设D 是第一象限由曲线2u(1-v) 2u 2-：v2 ?(1 v)2xy = 1，4xy = 1 与直线 y =x ， y = . 3x 围成的平面区域，函JI二阶导数变号•则拐点个数(B)JT J 為d 日門2H f(rcos 日,rsin 日 ydr4；2sin2 (C) H 1-3dv sin i 2- f rcosv,rsin dr 4 2sin2-i (D) 匹 1启曲f(rcosO,rsin 日 pr 护sin 2 H【答案】【解析】（B ）根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为所以 =舟(r,8) — <0JT1 J_<r < 亠］3 ' 2sin 2二、sin 2=f(x,y)dxdy = 3d} D 1si；G f (r cosv,rsin = )rdr .2sin 2 d‘11 1 '*1、 ⑺设矩阵A = 1 2 a ,b = d J4 a丿 <d 2>故选B. •若集合门解的充分必要条件为 ( ) =「12，则线性方程组 Ax = b 有无穷多 (A) (B) (C) (D) 广11 1 1、r 1 1 11 、【解析】（A,b ） = 12 a d T 0 1 a-1 d-1J 4 2 a dje 0 (a-1)(a-2) (d-1)(d —2)」【答案】 (D) =T (A,b) ：：： 3，故 a =1 或 a = 2,同时 d =1或 d = 2 •故选(D ) 由 r(A) （8）设二次型f x 1,x 2, X 3在正交变换x = Py 下的标准形为2y 2y 2 y 3，其中P = （e 1,e 2,氏），若Q = （-氏，e 2）则f =（X 1,X 2,X 3）在正交变换x =Qy 下的标准形为（）（A ） 2yj -y ：住（B ） 2y f W2 2 2 2 2 2(C) 2y i -y 2 -y 3 (D) 2% g 七【答案】(A)【解析】由 x =Py ，故 f 二x T Ax 二 y T (P T AP)y =2y 2 y 2 - y 3(2 0 O' 且 P TAP = ：O 1 0 .(0 0 -b广1 00A由已知可得Q = P 00 1 = PC<0-10」<2 0 0A故 Q TAQ =C T(P TAP)C = 0-10 L0 0b所以 f = x T Ax = y T (Q T AQ) y = 2 y 2 - y ； y ；.选(A ) 二、填空题：9 14小题,每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸(10)函数f(x) =x 2公在x=0处的n 阶导数f n (0)二【答案】n n T In 2 ° 【解析】根据莱布尼茨公式得：f (n )(0 ) = C ：2(2x阳 =n(n T)2(l 门2厂=n(n- 1)(l n 2 )n X =O 2x 2(11)设 f x 连续，’ x l= ；0 xf t dt ，若1 =1^1 =5，【答案】2指定位置上.(9)《y 【答案】x =arctant-3t t 3d 2ydx 2t土48 【解析】= 48.d 2y d dx 2dx212^=12t(1 t 2)2FTx1 2 3x2 2 2【解析】已知(x) =x o f(t)dt，求导得「(x) f(t)dt 2x2f(X2)，故有1:⑴二0f(t)dt =1,:(1) =1 2f (1)=5,则f (1)=2.(12)设函数y = y x是微分方程y" • y' -2y =0的解，且在x=0处y x取得极值3,则y x= ----------- .【答案】e2x2e x【解析】由题意知：y0 =3，y 0 =0，由特征方程：，2…_2=0解得=1, = -2 所以微分方程的通解为：y=G e x•C2e°x代入y 0]=3，y 0]=0解得：G =2 C2=1 解得：y = 2e x■ e^x(13)若函数Z =z(x, y )由方程e x知卡z+xyz=1确定，则dz(0,0)= ________________ .1【答案】dx 2dy3【解析】当x = 0, y = 0时z =0，则对该式两边求偏导可得x 2y 3z zx 2y 3z(3e xy) yz -eex(3e x 2y 3z - xy)^ = -xz -2e x 2y 3z.将( 0,0,0)点值代入即有1 2 1则可得dz|(00)= __dx __ dy = __(dx + 2dy ).3 3 3(14)若3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，B =A2- A • E，其中E为3阶单位阵，则行列式B = _____ .【答案】21【解析】A的所有特征值为2,-2」.B的所有特征值为3,7,1所以|B | = 3 7 1 =21・三、解答题：15〜23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、.z:x (0,0) 1 _cz__3,石(0,0)证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)设函数 f(x)=x aln(1 x) bxsinx , g(x)二 kx 3 •若 f(x)与 g(x)在 x > 0 时是等价无穷小，求a, b,k 的值.【答案】^-1,^ —,b3【解析】方法一:那么,1=lim3=lim ix x aln(1>^)bxsinxx 0g(x) x fikxa 2 a 33(1 a)x (b )x 2x 3o(x 3)可得：b-a=0,2 a方法二: 由题意得= limJ 」 x 0kx 31 -lim x 0 g(x) 二 lim X —0x a ln(1 x) bx sin x kx 3 1 — bsinx bx cosx二 lim 2~ x ① 3kx 2由分母 lim 3kx 2 二 0，得分子 lim (1 a bsin x bxcosx) = lim (1 a) = 0，求得 x ]0 X 「0 ' 1 亠 x x >0X' c ; 是1二lim t g(x) 1 1 bsin x bx cosx 1 ■■ x =lim 1~x2 -------xQ 3kx x b(1 x)sin x bx(1 x)cosx 二 lim2x —3kx (1 x )_li m x +b(1 +x)s i nx +bx(1 +x)c oxxT3kx 2x 2x 3_ _ (3)因为 ln(1 x) = xo(x )， sin x =x3o(x 3)，所以, a = -1*b = —12, 1 k = I 3li m 1 + bsin x +b(1 +x)cosx +b(1 +x) cosx + bxcosx — bx(1 + x)sin x_x 06kx由分母lim 6kx = 0，得分子x ]0 I 叫1 bsin x 2b(1 x) cosx - bxcosx -bx(1 x) sin x] = lim (1 2b cosx) = 0， 1 求得b --—； 2 b 值代入原式进一步， f(x) 1 =lim x —0 g(x) 1 1 1 1 sin x -(1 x)cosx xcosx x(1 x)sinx Jim 2 2 2 x 「°6kx 1=lim - x )0 1 111 11 cosx - cosx (1 x)sinx cosx xsinx (1 x)sin x xsinx x(1 x)cosx2 2 2 2 2 2 6k 1-2 1 2，求得k 6k 3(16)(本题满分10分)设A>0 , D 是由曲线段y=Asin x(0乞x _ ?)及直线y = 0， 31^2所围成的平面区域，V 1， V 2分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若【答案】8【解析】由旋转体的体积公式，得Tt K o 2 二f 2(x)dx 二:二(Asinx)2dx 二-A亏1 一 cos2x ,2dx =n 22「xf (x)dx =-2二A 2 xd cox ^2A 0 0 0 由题V 1 =V2,求得A .JIV 2二(17)(本题满分11分) 已知函数 f (x, y)满足 fx ；(x, y) =2(y 1)e x，f x (x,O) x 2=(x 1)e ，f(0, y^y 2y ，求f (x,y)的极值. 【答案】极小值f(0, -1) = -1【解析】f xy (x, y)二2(y 1)e x两边对y 积分，得1 2 x 2 xf x (x, y)=2(—y y)e (x) =(y 2y)e (x),2故 f x (x,O) = ：(x) =(x 1)e x , 求得「(x)二 e x (x 1),故 f x (x, y) =(y 2 • 2y)e x e x (V x)，两边关于 x 积分，得 f (x, y) =(y 2 2y)e x 亠 i e x (1 x)dx二(y 2 2y)e x(1 x)de x=(y 22y)e x(1 x)e x- e xdx=(y 22y)e x(1 x)e x-e xC=(y 22y)e xxe xC由 f (0,y) =y 2 2y C =y 2 2y ，求得 C =0.所以 f (x, y) = (y 2 ■ 2y)e x xe x .f x = (y 22 y) e xe xxe xf ；=(2y+2)e x=0又 f xx =(y 2 2y)e x 2e x xe x ,f xy =2(v 1)e x, f yy=2e x,当 x =0,y =-1 时，A 二 f xx (0, -1)=1, B 二 f xy (0,-1) =0, C 二 f yy (0,-1) =2 ,2AC - B ・0, f(0, -1) = T 为极小值.(18)(本题满分10分)计算二重积分 nx(x y)dxdy ，其中 D - "x, y) x 2 y 2 _ 2, y _ x 2'DH 2 【答案】一-兰45【解析】iix(x y)dxdy 二x 2dxdyDD1 2/ 2=2 dx 2 x dyx2，求得丿x ==2 °x 6 7 8( 2 —x 2—x 2)dx2 u 謬t ：少=2:sin 22tdt蔦匚角n 2udu飞 (19)(本题满分11分)已知函数f X i ；二・t 2dt • X .1 tdt ，求f X 零点的个数? 【答案】2个【解析】f (x) = - 1 x 22x. 1 x 2= . 1 x 2(2x -1)令f (x) =0,得驻点为X ^1,211在(-：：,_) , f(x)单调递减，在(_,：：) , f (x)单调递增2 21 故f()为唯一的极小值，也是最小值. 2_______ 1 _________________ ___________________ _________________而 f ㈠二1. 1 t 2dt 亠 I 9 , 1 tdt 二 1. 1 t 2dt - 八 1 tdt222 4________________ 1二 1.1 t 2dt - 1 .1td - 1 -1 td2 2 4< .1 t ，故 1.1 t 2dt - 1 , 1 tdt < 02 26 1所以函数f （X ）在（-:：，）及（-，•：：）上各有一个零点，所以零点个数为 2.7 2（20）（本题满分10分）f(b) f(b) f(b) f(b)f(b)-f () f (b^ f ( ) f (b)「( ) f (b)f ()因为「(x)0所以f (x)单调递增所以 f (b) f ()所以怡一a 0，即X0 a ，所以a ■ x 0 ::: b ，结论得证=2 'x 2、2 -x 2dx -二5x • • 2sint71 4 2sin 2t2cos 2tdt1从而有f ( ) ::: 02lim f(x) = lim[ . 12t 2dt : .fldt]2x2-------t 2dt=+oC=Jim[ Fldt _「1 t 2dt]f / +tdt 2xJ1 +x2考虑lim _1X lim ，所以lim f(x)=::—.1 t2dt x心门x2 x心130min后该物体降至30 C，若要将该物体的温度继续降至21 C，还需冷却多长时间? 【答案】30min【解析】设t时刻物体温度为x(t)，比例常数为k( . 0)，介质温度为m,则dx k(x —m)，从而x(t) =Ce 上七m，dtx(0) =120, m =20，所以C TOO ,即x(t) =100e» 201 1又x(—) =30,所以k= 2ln10，所以x(t) 口202 100当x =21时，t = 1,所以还需要冷却3 0 min.(21)(本题满分10分)已知函数f x在区间[a,+ ：：1上具有2阶导数，f a]=0, f x 0, 设b a，曲线y = f x在点b, f b 处的切线与x轴的交点是x°,0 , a ：：： x0 :: b .【证明】根据题意得点(b, f(b))处的切线方程为y - f (b) = f (b)(x-b)令y =0，得x0 =bf (b)因为f (x) 0所以f (x)单调递增，又因为f(a) =0所以f (b) 0，又因为f (b)・0又因为x0 -a =b - a -丄型，而在区间(a,b)上应用拉格朗日中值定理有0 f (b)f(b) -f(a)b -a =f ( )/(a,b )所以-a =b _a f '' x ■ 0，I 21 12一-J22=E-AX E-A [=E = X =[E - A E - A i ；=仲 - A E - A2 」二 X 二 E - A -AS-11、 2E-A —A= -111 ，厂1-1 2」P -1 1M0 0^5-1 -1MD -1 0"-1 1 1M0 1 0 T 0 -1 1 M1 0 0 l —1 -1 2M0 0 1」<-1 -1 2M0 0 b广1 -1 -1M0 -1 0^-1 -1M0-1 0" T1-1M1 00 T0 1 -1M10 0<0 -21 M0 -1 h卫 0-1M2 - -1 b-1 0憧0-r『10 0M3 1-2T1 0M1 1 -1 T 0 1 0M11 -1<0 0 1憧 1 -b<0 0 1血 1 T 」12 1 -1 丿(23)(本题满分11 分)'a 1 0、设矩阵A =1 a -1 且 A 3=021 a >(1) 求a 的值；(22)(本题满分11分)(2⑵若矩阵X 满足X _ XA 2【答案】a = 0, X=-1a 1 01 0⑴ A 3=0二 A =0= 1 a -1 = 1-a 2a -10 1 a_a1 a【解析】=a = 0= a = 0 (II)由题意知 X -XA 2_AX AXA 2二E= X E _A 2-AX E _ A 2EE 为3阶单位阵，求X .-AX AXA 2- E-1(0 2 —3 计(1—2 0]设矩阵A = -1 3 -3 相似于矩阵B= 0 b 0J 一2 a 丿<0 3 1丿(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵P，使p二AP为对角阵.【答案】(1) a=4,b=5 ；(2)"2 -3 -1、P = 1 0 -1<0 1 1」【解析】(I) A ~ B = tr (A) =tr (B) = 3 a = 1 b 10 2 -3 1 -2 0A =B ―-1 3 -3 = 0 b 01 -2 a 03 1a -b = —1 1 a = 4{ 二彳2a-b=3 b=5S 2 -3^ ‘1 0 0、r-1 2 -3"(II) A =-1 3 -3 = 0 1 0 +-1 2 -3 =E+C J-23.<0 0 b J 一2 3」1 2 -3"C = -1 2 -3 = _1 (1-2 3)J -2 3」<1C的特征值\ -，2=0, ‘3 =4'_ 0时(0E -C)x =0 的基础解系为1=(2,1,0)T; 2 =(-3,0,1)T ■ =5时(4E-C)x=0 的基础解系为l=(T,T,1)TA的特征值扎A =1 +:1,1,5•2-3 -1、Z1令P =G,勺,J)= 1 0 _1 ，••• P，AP= 1<0 1 1」<51 1 1f x = ： x，cos 1 x sin 彳1(A) ：3d"sinjn f rcos^rsin^ rdr4 2sin 2 二已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120 C的物体在20 C的恒温介质中冷却,。

2014~2015学年第2学期期末试卷+答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2014~2015学年第2学期考试科目：高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设(1,2,3)=a ，=+b i j ，则⋅=a b。

2．设(,)z x y =22x y z z += 。

3．交换ln 1(,)ex I dx f x y dy =⎰⎰的积分顺序后可化为。

4．若级数1n ∞=p 的取值范围为。

5．若差分方程15t t y y t +-=的特解具有形式*t y = 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．平面230x y kz ++=与z 轴平行，则常数k 的值为（）A ．0； B ．1； C ．2； D ．32．偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微的（）A ．充分条件；B ．必要条件；C ．充要条件；D ．无关条件 3．设D:2216x y +≤，则(4Ddxdy -=⎰⎰ （） A．323π； B ．32π； C．643π； D ．64π 4．下列级数收敛的是（）A. 21(21)n n n ∞=-∑；B.1n ∞=C. 1n ∞=D.1n ∞=5．若2x y Ce x =+是微分方程()y py f x '+=的通解（p 为常数），则（）A . 2,()12p f x x ==+；B . 2,()12p f x x =-=-；C . 2,()12p f x x =-=+；D . 2,()12p f x x ==-三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）1. 求过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程。

2. 设ln()z y xy =，求222,z zx y y∂∂∂∂∂3. 求二元函数(,)xy z x y x =在点(1,1)处的全微分(1,1)dz4．计算二重积分：22Dx I dxdy y=⎰⎰，其中D 为由直线,2y x x ==及曲线1xy =所围成的闭区域。

信息工程高等数学试卷上2015 a

华南农业大学珠江学院期末考试试卷A 2014—2015学年上学期考试科目：高等数学（信工类各专业）考试年级： 2014 级考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题列出的四个备选项中只有一个正确，请将答案代码填写到下列表格中1. 极限21lim(1)kx x e x→∞-=，则=k 【】 A. 2 B. 2- C. 2-e D. 2e2. 极限sin 2lim x x x→∞=【】 A. 2 B. ∞ C. 不存在 D. 03. 函数231)(22+--=x x x x f ，下列说法正确的是【】. A. 1=x 为其无穷间断点 B. 1=x 为其可去间断点C. 2=x 为其跳跃间断点D. 2=x 为其可去间断点4. 函数||y x =在0=x 处的导数【】A. 不存在B. 1C. 0D. 1-5. 设sin =y x ，则y (8)=【】A. sin -xB. cos xC. sin xD. cos -x 6. 下列关于微分的等式中，正确的是【】 A. 21d()arctan d 1x x x=+ B. d(2ln 2)2d x x x = C. 211d()d x x x =- D. d(tan )cot d x x x =7.4d x x -=⎰【】 A.C x x+-221 B.C x +21 C.C x +2332 D.C x x +-23223 8.定积分 2x =⎰【】A. 0 ；B.π； C.2π ； D. 4π. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

9. 设函数2,0(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在0x =处连续，则a =___________. 10. 当0→x 时，22x x -与23x x -相比，_________________是高阶无穷小量.11.极限0x →.12. 函数3cos ln 2x y e x =+的微分d y =_____________.13. 函数()sin f x x =在[0,]π上满足罗尔中值定理的条件，则罗尔中值定理的结论中的ξ=_____________.14. 2 030sin d lim x x t t x →⎰=___________.15. 已知函数()=y f x 是由参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩确定，则d d y x =______________. 16. 22d 1x x x+⎰＝_______________________.三、计算题（本大题共5小题，每小题6分共30分）17. 求极限lim (arctan )2x x x π→+∞-18.设ln(y x =+求d y .19. 求由方程524351y x y x x +++=所确定的隐函数()y y x =的导数,y '和0|.x y ='20. 求cos d 2sin 1x x x +⎰21. 求ln d .x x ⎰四、综合应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 22．求函数3226187y x x x =---的单调区间，极值，凹凸区间和拐点坐标。

2015-2016-1高数A1 A卷参考答案

拟题学院（系）：数理学院适用专业：全校相关专业 2015-2016 学年 1 学期高等数学A1 （A 卷）试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1．1,1a b ==； 2．0x =； 3．3122y x =-； 4．22122()!n n n x x x o x n +++++；5．2．二、选择题（每小题3分，共15分）1．C ； 2．B ； 3．D ； 4．B ； 5．A . 三、计算题（每小题7分，共21分） 1. 解：原式200ln(1)sin ln(1)sin limlim sin ln(1)x x x x x xx x x →→+-+-==+ ----------------2分0001cos 1(1)cos 1(1)cos 1lim lim lim22(1)2x x x xx x x x x x x x x→→→--+-++===+----------------4分0cos (1)sin 1lim22x x x x →-++==- ----------------7分2. 解：因为()f x 在1x =处可导，所以()f x 在1x =处连续，故1(1)(1)1f f a b -+===++，所以b a =-，(1)1f =， -------------------2分又()()()111lim1x f x f f x --→-'=-111lim 11x x e x --→-==- ()()()111lim 1x f x f f x ++→-'=-21lim 1x ax ax a x +→-==- -------------------4分由()()11f f -+''=，得1a =， 1b =-，(1)1f '= --------------------6分1,1()21,1x e x f x x x -⎧<'=⎨-≥⎩ ---------------------7分拟题人：张菊芳书写标准答案人：张菊芳3．解：2322221221,21111dy t dx t t t dt t t dt t t -=-==-=++++--------------------2分12dy dy dt dx dx tdt==- -------------------4分 =22dx y d 2235211122241d t dt t t dx t t dt t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭==--+ ----------------------7分四、计算题（每小题7分，共21分） 1．解：11(2ln 1)arcsin arcsin (2ln 1)22ln 1d x dx xd x x x x ⎛⎫++=+⎪++⎭⎰⎰⎰ ---------------4分211(arcsin )ln |21|22x lnx C =+++ ---------------7分2．解：令tan , , 22x t t ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭ππ，则2sec dx tdt =，1,,43x t x t ====ππ-----------------1分23214sec tan sec tdtt t=⎰ππ----------------- 3分33244cos 1|sin sin tdt t t ==-⎰ππππ----------------- 6分=------------------7分或用倒代换：211= ----------------- 2分1= ----------------- 5分1==----------------- 7分3．解：cosxe xdx+∞-=⎰0sinxe d x+∞-⎰-----------------1分00sin sinx xe x e xdx+∞+∞--=+⎰-----------------3分000(cos)cos cos1cosx x x xe d x e x e xdx e xdx+∞+∞+∞+∞----=-=--=-⎰⎰⎰--------------6分故1cos2xe xdx+∞-=⎰----------------7分五、计算题（（第1小题8分，第2小题5分，共13分）1.解：函数的定义域为(0,)+∞，11()0,f xx'=-=得x e=-----------1分)(xf在(0,]e上单调增，在[,)e+∞上单调减，在x e=处取得极大值()2f e=--------------3分由于()20f e=>，而lim(),lim()xxf x f x+→+∞→=-∞=-∞，由零点定理，12(0,),(,)e e∃∈∃∈+∞ξξ，使1()0,f=ξ2()0,f=ξ- -------------7分又)(xf在(0,]e和[,)e+∞上单调，因此方程()0f x=只有2个实根，分别在(0,),(,)e e+∞内----------------8分2.解：21ln(1)2y x=+，定义域为(,)-∞+∞，21xyx'=+，222221(1)(1),(1)(1)x x xyx x--+''==-++令0,y''=得1,1,x x==--------------------2分列表如下：-------------------4分曲线的凸区间为(,1][1,)-∞-⋃+∞，凹区间为[1,1]-，拐点为11(1,ln 2),(1,ln 2)22- -------------------5分六、应用题（共10分）解：抛物线22yx =+与直线21y x =+的交点为(1,3) ----------------------1分1.所求平面图形的面积A 1202(21)x x dx ⎡⎤=+-+⎣⎦⎰ --------------------2分13= -----------------------3分 2．所求的体积为V 112220(2)(21)x dx xdx ππ=+-+⎰⎰-----------------------5分65π= -----------------------6分 3.抛物线22(01)yxx =+≤≤的弧长为1S =⎰----------------------7分221111012=-=+⎰⎰⎰ (110111ln(2|ln(2224S x ⎫=+=+⎪⎭ -----------------------8分直线21(01)y x x =+≤≤的长度为20S ==⎰分D 的边界总长度为12111ln(24S S S =++=----------------------10分七、证明题（共5分）证明：令()()xx e f x =ϕ，则()x ϕ在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，(, )a b ∃∈ξ，使()()()()b a b a '-=-ϕϕϕξ -----------------2分即 ()()()()()()b a e f b e f a e f f b a '-=+-ξξξ亦即 ()()()()b a e e ef f b a '-=+-ξξξ （1） -----------------3分又xe 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，(, )a b ∃∈η，使()b a e e e b a -=-η （2） -----------------4分由（1）（2）得()()()1e f f -'+=ξηξξ -----------------5分。

(整理)华工-2011高数下期末试卷.

华工2010-2011高数下期末试卷一、填空题1、函数z=4x2+9y2在点（2，1）的梯度为gradz= ；2、函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值点是；3、假设L为圆x2+y2=a2的右半部分，则∫； 4、设A=e x siny i+(2xy2+z)j+xzy2k，L ds=则divA｜(1,0,1)= ；5、设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是方程（x2-2x）y‘‘(x2-2)y’+(2x-2)y=6x-6的解，则方程的通解为。

二、计算三重积分（），其中Ω是由x2+y2+z2=1所围成的闭球体。

三、证明：f(x，y)=︱︱在点（0，0）处连续，f x(0,0)与f y(0,0)存在，但在（0,0）处不可微。

四、设函数u（x，y）有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式x=rcosθ，y=rsinθ，将x- y变换为r，θ下的表达式。

，其中L为：五、计算²²（1）圆周（x-1）²+(y-1)²=1(按反时针方向)；（2）闭曲线︱x︱+︱y︱=1（按反时针方向）。

六、计算，∑是平面x+y+z=4被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分。

七、计算曲面面积分I=，其中∑为上半球面z=²²的上侧。

八、求微分方程+ = 的通解。

九、求微分方程2y‘’+y‘-y=2e x的通解。

十、（非化工类做）求幂级数()121141-∞=-∑⋅-nnnnxn的收敛域。

十一、（非化工类做）将函数f(x)=展开成麦克劳林级数，并确²定其成立区间。

十二、（非化工类做）设函数f(x)是以2为周期的周期函数，它在-上的表达式为f(x)=，将其展成傅里叶级数，并确定其成立范围。

十（化工类做）求微分方程（3x2+6xy2）dx+（6x2y+4y3）dy=0的通解。

十一（化工类做）计算，其中L为直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界。

【备考2015】2015届全国名校高考数学试题分类汇编(12月第三期)L单元算法初步与复数(含解析)

【备考2015】2015届全国名校数学试题分类汇编（12月第三期）L单元算法初步与复数（含解析）目录L 单元算法初步与复数 ...................................... 错误！未定义书签。

L1 算法与程序框图 ..................................................... - 1 - L2 基本算法语句 ....................................................... - 5 - L3 算法案例 ........................................................... - 5 - L4 复数的基本概念与运算 ............................................... - 5 - L5 单元综合 ............................................................ - 8 -L1 算法与程序框图【数学理卷·2015届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试（201411）】11．已知b 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6的展开式中的常数项是_________．（用数字作答）【知识点】程序框图 L1【答案】【解析】540-解析：第一次循环：32b a ==，；第二次循环得：53b a ==，；第三次循环得：74b a ==，；第四次循环得95b a ==：，；不满足判断框中的条件，输出9b =．669bx x⎛⎛-= ⎝⎝的展开式的通项为：()()663166913rr r r r r r r T C x C x ---+⎛==- ⎝,令30r -=得3r =, ∴常数项为()363335401C =--⨯⨯故答案为：540-．【思路点拨】根据题意，分析该程序的作用，可得b 的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项.【数学理卷·2015届湖北省八校高三第一次联考（201412）】2．如图给出的是计算20141614121++++ 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是A ．2013≤iB ．2015≤iC ．2017≤iD ．2019≤i【知识点】程序框图 L1【答案】【解析】B 解析：由程序知道,2014,6,4,2 =i 都应该满足条件,2016=i 不满足条件,故应该选择B.【思路点拨】根据程序运算可直接代入数值求出结果.【数学理卷·2015届河北省唐山一中高三上学期期中考试（201411）】4. 已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为（）【知识点】程序框图几何概型L1 K3【答案】【解析】B 解析：设实数[]1,9x ∈，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥55，得x≥6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为=963918-=-，故选择B.【思路点拨】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．【数学理卷·2015届云南省部分名校高三12月统一考试（201412）】5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（）A．870B．30 C．6D．3【知识点】算法与程序框图L1【答案】D【解析】当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，【思路点拨】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算数列a n的各项值，并输出，模拟程序的运行结果，可得答案．【数学文卷·2015届重庆市重庆一中高三上学期期中考试（201411）word版】3.执行右图的程序，若输入的实数x=4( )A.4C.2【知识点】算法与程序框图. L1【答案】【解析】C 解析：因为x=4>1成立，所以执行2log 42y ==,所以输出结果为2，故选 C.【思路点拨】通过框图描述的意义得结果.【数学文卷·2015届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（201412）word 版】3．下图所示的算法流程图中，若输出的T= 720，则正整数a 的值为A ．5B ．6C ．7D ．8【知识点】算法与程序框图L1【答案】C【解析】当T=1，n=1时，进入循环体，T=1×1=1，n=1+1=2，不满足条件，进入循环体，T=2，n=3，不满足条件，进入循环体，T=6，n=4，不满足条件，进入循环体，T=24，n=5，不满足条件，进入循环体，T=120，n=6，不满足条件，进入循环体，T=720，n=7，满足输出的结果是720，结束程序，得到a=7，【思路点拨】首先要读懂框图，按照所给的条件进行循环，当不满足条件框中的条件时，继续循环，知道满足条件时才结束循环，依次做下去，得到结果．【数学文卷·2015届湖北省八校高三第一次联考（201412）word 版】5．如图给出的是计算20141614121++++ 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 A ．2013≤i B ．2015≤i C ．2017≤i D ．2019≤i【知识点】算法与程序框图. L1【答案】【解析】B 解析：由程序知道，2014,6,4,2 =i 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B ．【思路点拨】当循环到11112462014S =++++后，2016i =，此时不能再执行1S S i=+，所以应该选择B.L2 基本算法语句L3 算法案例L4 复数的基本概念与运算【数学理卷·2015届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考（201412）word 版】1．若复数iai -+12（a ∈R ）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为 A ．-2 B ．-1C ．1D ．2 【知识点】复数的基本概念与运算L4数a 的值．【数学理卷·2015届湖南省衡阳市五校高三11月联考（201411）】1．复数21i i =-【】 A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i --【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4 【答案】【解析】A 解析:原式=()()()2121111i i i i i i i --==--+-+--，故选A 。

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华南理工大学期末考试
2015-2016学年第二学期《微积分（下）》试卷（A 卷）
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；
2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共十二大题，满分100分，考试时间120分钟。

题号一二三四五六总分得分
评卷人
题号七八九十十一十二得分
评卷人
一、填空题（每小题4分，共20分）
1. 函数1
sin cos z x y
=
在处间断.
2. 函数22arctan z x y =+在点(1,0)处的全微分=z d ____________________. 3．函数()sin x z e yz =在点()1,1,1处沿方向{}2,1,2l =-的方向导数等于 . 4. 二次积分()1
0,x x
dx f x y dy ⎰⎰
改变积分次序后等于____________________.
5. 曲面∑的方程为()()2
21012
z x y z =
+≤≤，并且取下侧，关于坐标的曲面积分
Pdydz Qdxdz Rdxdy ∑
++⎰⎰化为关于面积的曲面积分的结果为
____________________.
_____________ ________
学号
学院专业座位号
( 密封线内不答题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………
二、（本题8分）讨论函数()222222
221arctan 0,00
xy
x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪++=⎨⎪
+=⎩
在()
0,0处的连续性，可导性和可微性.
三、（本题8分）设2
2
(,)x z f x y y =+, ),(v u f 有二阶连续偏导数, 求y
x z
∂∂∂2.
四、（本题8分）计算三重积分()sin()I xy z dv Ω
=+⎰⎰⎰, 其中Ω是由平面1,1x y =±=±
0z =及圆锥面22z x y =+所围成的闭区域.
五、（本题8分）设曲线L 的方程为sin 1cos x t t
y t
=-⎧⎨=-⎩，求力{},2y y F e x xe y =+-对从点
()0,0沿曲线L 运动到点(),2π的质点所做的功。

六、（本题8分）计算曲面积分()
222I x y z dS ∑
=++⎰⎰，其中∑为圆柱面方程为
()22402x y z +=≤≤.
七、（本题8分）计算()()2
81214
x y dydz y dzdx yzdxdy ∑
++--⎰⎰
，其中曲面∑为
()22113x z y y +=-≤≤，它的法向量与y 正方向夹角恒大于2
π。

八、（本题7分）求微分方程2tan cos y y x x '+=的通解.
九、（本题7分）求方程34e x y y y '''+-=的通解.
十、（非化工类做）（本题6分）如果交错级数11
(1)n n n u ∞
-=-∑满足条件：
（1）lim 0n n u →∞
=；（2）1n n u u +≤(1,2,)n =，
证明交错级数是收敛的，且其和1S u ≤．
十一、（非化工类做）（本题6分）将1,π0()3,0π
x f x x -≤<⎧=⎨≤<⎩
展开成傅里叶级数.
二、（非化工类做）（本题6分）求幂级数1
1n
n n x n ∞
=+∑的收敛域，并在收敛域内求出其和函数.
十、（化工类做）（本题6分）设()22z f x y =+，其中()f u 具有二阶连续导数，且满
足()222224z z
x y x y ∂∂+=+∂∂，求函数()f u .
十一、（化工类做）（本题6分）求函数()4422,2f x y x y x xy y =+---的极值.
十二、（化工类做）（本题6分）求函数ln 3ln z x y =+在条件2225x y +=下的极值.。