2017年春季新版湘教版八年级数学下学期第1章、直角三角形单元复习试卷5

合集下载

湘教版数学八年级下册第1章直角三角形测试题及答案

湘教版八年级数学下册第1章测试卷评卷人得分一、单选题1．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是()A．3个B．4个C．5个D．6个2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长度是()A．6B．8C．12D．163．如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则下列结论中不正确的是()A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．D是BE的中点4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是()A．8B．C．1522D．105．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为32，则符合题意的点P有()A．2个B．3个C．4个D．5个评卷人得分二、填空题6．若一个直角三角形斜边上的中线长为20，则斜边长为________．7．如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线上一点，PC∥OB，交OA于点C，CD⊥OB 于点D.若PC＝3，则CD的长为________．8．若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，且周长为60cm，则它的面积为________cm2. 9．如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要添加的条件是________或________．10．三角形的三边长为a，b，c，且满足(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是_______．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE 折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为_____．12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连接ME，MD，ED.设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为________．评卷人得分三、解答题13．如图，∠ACB＝∠CDE＝90°，B是CE的中点，∠DCE＝30°，AC＝CD.求证：AB∥DE.14．某地管辖A，B，C，D四个镇，其中C，A，D三个镇在一条直线上，相互两镇之间的公路里程如图所示，由于大山阻隔，原来从A，C两镇去D镇都需绕到B镇前往．为了发展经济，缩短A，C两镇到D镇的路程，现决定开凿隧道修通A，C两镇直达D镇的公路AD.公路修通后从A镇去D镇的路程比原来缩短了多少千米？(＝32，≈46.65)15．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，连接AD.(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)若BC＝10，求AB＋AE的长．16．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB.(1)求证：∠1＝∠2；(2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E，连接AE，BE.求证：CM＝EM.17．如图，将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证：AF＋EF＝DE.(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出旋转后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．参考答案1．A【解析】【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE．【详解】解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠C=∠BDF=∠BAD，∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，∴∠C=∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选A．【点睛】本题的关键是利用已知条件得出等角的余角相等，利用平行线的性质得出角相等.2．A【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB-BD计算即可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=2，∴BC=2BD=4，AB=2BC=2×4=8，∴AD=AB-BD=8-2=6．【点睛】本题考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题关键．3．D【解析】【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【详解】∵AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠A=∠A∴△ABE≌△ACF(AAS)，正确；∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；∵△ABE≌△ACF,AB=AC∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE(AAS)，正确；D.无法判定，错误；故选D.4．D【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据尺规作图可知AD平分∠CAB，根据角平分线的性质定理解答即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=45°，由尺规作图可知，AD平分∠CAB，DE⊥AB又，∠ACB=90°，∴DE=DC，又∠B=45°，∴△BDE的周长=BD+BE+DE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10，故选D．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及尺规作图，掌握等腰直角三角形的性质和基本尺规作图是解题关键．5．A【解析】试题解析：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=42，CD=22，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∵sin∠ABD=A A，∴AE=AB•sin∠ABD=42•sin45°=4＞3，＜3，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为3的点2个，故选A．6．40【解析】【分析】根据直角三角形的性质，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行计算．【详解】解：直角三角形斜边等于斜边上的中线的2倍，即40．故答案为:40【点睛】此题考查了直角三角形的性质．7．32【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠AOP=∠BOP ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OPC=∠BOP ，然后求出∠AOP=∠OPC ，再根据等角对等边可得OC=PC ，然后利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=12OC ．【详解】解：∵OP 是∠AOB 的平分线，∴∠AOP=∠BOP ，∵PC ∥OB ，∴∠OPC=∠BOP ，∴∠AOP=∠OPC ，∴OC=PC=3，∵∠AOB=30°，CD ⊥OB ，∴CD=12OC=32．故答案为32．【点睛】本题考查平行线是性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题关键．8．120【解析】【详解】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用由题意设三边长分别为5xcm 、12xcm 、13xcm ，根据周长即可求出x ，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，即可求出面积。

湘教版八年级数学下册《第一章直角三角形》测试卷-带参考答案

湘教版八年级数学下册《第一章直角三角形》测试卷-带参考答案一、选择题(每题3分，共30分)1.下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是()A.1，3，4B.2，3，4C.1，1，√3D.5，12，132.如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是()(第2题)A.40°B.45°C.50°D.60°3.如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A，B，C，D，且每个小正方形的边长都是1，下列选项中的线段长度为√13的是()(第3题)A.线段ABB.线段BCC.线段CDD.线段AD4.(母题：教材P16习题T2)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边.下列条件中，不能得出△ABC是直角三角形的是()A.b2＝a2－c2B.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C.∠C＝∠A－∠BD.a∶b∶c＝1∶√3∶√25.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AB于点D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是()(第5题)A.2√3B.2C.4√3D.46.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，当CP＋PQ取得最小值时，BQ的长是()(第6题)A.8B.10C.12D.167.若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定8.如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝√3，则△AOB 与△BOC的面积之和为()(第8题)A.√34B.√32C.3√34D.√39.如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P.若PM＝PC，则AM的长为()(第9题)A.3(√3－1)B.3(3√3－2)C.6(√3－1)D.6(3√3－2)10.“春节”是我国最重要的传统节日，在春节期间有很多习俗，贴对联、剪窗花、挂彩灯、吃饺子、守岁、放鞭炮等，为了增添节日的气氛，某同学家买了一串长52 cm的彩灯，按如图方式(从A绕到B)缠绕在圆柱体的柱子上，且柱子的底面周长为10 cm，则柱子高()(第10题)A.2√651 cmB.√69 cmC.12 cmD.48 cm二、填空题(每题3分，共24分)11.如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，若∠BPC＝130°，则∠A＝.(第11题)12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为.(第12题)13.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为.(第13题)14.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则此三角形的周长为.15.如图所示的象棋棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.(第15题)16.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4 dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为dm2.(第16题)17.如图，边长为2的等边三角形ABC的两个顶点A，B分别在两条射线OM，ON 上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是.(第17题)18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于.(第18题)三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，CD＝3.(1)求DE的长；(2)若AC＝6，BC＝8，求△ADB的面积.20.(母题：教材P16习题T2)如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题：(1)求△ABC的周长；(2)试判断△ABC的形状.21.海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水释放并加以利用.某市是全国首批16个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地(四边形ABCD，如图)，经测量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D＝45°，求该绿地的周长(结果保留根号).22.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB 于点E.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数.23.如图，学习了勾股定理后，数学兴趣小组的小红和小明对离教室不远的一个直角三角形空地斜边上的高进行了探究：两人在直角边AB上距离直角顶点B为9米远的点D处同时开始测量，点C为终点，小明沿D→B→C的路径测得所经过的路程为18米，小红沿D→A→C的路径测得所经过的路程为18米，这时小明说：“我能求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”小红说：“我也知道怎么求出这个直角三角形空地斜边上的高了.”你能求出这个直角三角形空地斜边上的高吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由.24.如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB＋BD.(1)写出AB与BD的数量关系；(2)延长BC到点E，使CE＝BC，延长DC到点F，使CF＝DC，连接EF，求证：EF⊥AB；(3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH.答案一、1.D 2.C3.B 【点拨】由题意得AB＝√12＋22＝√5，BC＝√22＋32＝√13，CD＝√12＋12＝√2，AD＝√12＋32＝√10，故选B.4.B 【点拨】根据三角形内角和等于180°判断B，C；根据勾股定理的逆定理判断A，D，即可得出答案.5.A6.C 【点拨】作点Q关于BD的对称点H，易知点H在直线AB上，连接PH，则PQ＝PH，BH＝BQ，∴CP＋PQ＝CP＋PH，∴当C，H，P三点在同一直线BC 上，且CH⊥AB时，CP＋PQ＝CH为最短.易得此时∠BCH＝30°，∴BH＝12×24＝12，∴BQ＝12.故选C.＝127.C8.C9.C 【点拨】∵四边形ABCD是边长为6的正方形∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°，∠ADM＝∠CDM＝45°.又∵DM＝DM∴△ADM≌△CDM(SAS)∴∠DAM＝∠DCM.∵PM＝PC，∴∠CMP＝∠DCM∴∠APD＝∠CMP＋∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM.又∵∠APD＋∠DAM＝180°－∠ADC＝90°∴∠DAM＝30°.设PD＝x，则AP＝2PD＝2x，PM＝PC＝CD－PD＝6－x∴AD＝√AP2－PD2＝√3x＝6，解得x＝2√3∴PM＝6－x＝6－2√3，AP＝2x＝4√3∴AM＝AP－PM＝4√3－(6－2√3)＝6(√3－1).10.D二、11.80°【点拨】∵∠BPC＝130°∴∠CBP＋∠BCP＝180°－∠BPC＝50°.∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠ABC＝2∠CBP，∠ACB＝2∠BCP∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠CBP＋∠BCP)＝100°∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.12.4 【点拨】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°.∵BC＝6，∴BD＝CD＝3.在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD＝√AB2－BD2＝√52－32＝4.13.314.12或7＋√715.√2【点拨】如图，第一步到①，第二步到②.故走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12＋12＝√2.16.2 【点拨】如图所示AD＝2√2 dm依题意，得OD＝√22OD＝√2 dm.OE＝12∴阴影部分的面积为OE2＝(√2)2＝2(dm2).17.1＋√3【点拨】取AB中点D，连接OD，DC∴OC≤OD＋DC，当O，D，C三点共线时，OC有最大值，最大值是OD＋CD.∵△ABC为边长为2的等边三角形，点D为AB中点∴AB＝BC＝2，BD＝1，CD⊥AB∴CD＝√BC2－BD2＝√3.∵△AOB 为直角三角形，点D 为斜边AB 的中点 ∴OD ＝12AB ＝1，∴OD ＋CD ＝1＋√3 即OC 的最大值为1＋√3.18.18.5 【点拨】∵正方形ACDE 和正方形AHIB 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝16，S 2＝25∴AC ＝4，AB ＝5.易得正方形CBGF 的面积＝CB 2＝AB 2－AC 2＝25－16＝9，∴BC ＝3.∴四边形ACBP 的面积＝S △ABC ＋S △ABP ＝12×3×4＋12×5×5＝18.5.三、19.【解】(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，∴DE ＝CD .∵CD ＝3，∴DE ＝CD ＝3.(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB ＝√62＋82＝10. ∵由(1)知，DE ＝CD ＝3∴S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×10×3＝15.20.【解】(1)∵AB ＝√22＋12＝√5，AC ＝√22＋42＝2√5，BC ＝√32＋42＝5，∴AB ＋AC ＋BC ＝√5＋2√5＋5＝3√5＋5，即△ABC 的周长为3√5＋5. (2)∵AB 2＋AC 2＝(√5)2＋(2√5)2＝25，BC 2＝52＝25，∴AB 2＋AC 2＝BC 2. ∴△ABC 是直角三角形.21.【解】连接AC ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，如图.∵AB ＝BC ＝20米，∠B ＝60° ∴△ABC 是等边三角形. ∴AC ＝AB ＝20米，∠BAC ＝60°. ∵AB ∥CD∴∠ACE ＝∠BAC ＝60°.又∵∠AEC ＝90°，∴∠CAE ＝30°.∴CE ＝12AC ＝10米.∴AE ＝√AC 2－CE 2＝10√3米.∵∠AED ＝90°，∠D ＝45°，∴∠EAD ＝45°. ∴DE ＝AE ＝10√3米.由勾股定理得AD ＝√AE 2＋DE 2＝10√6米. ∴该绿地的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝20＋20＋10＋10√3＋10√6 ＝50＋10√3＋10√6(米).22.(1)【证明】∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD .∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠CBD . ∴∠EBD ＝∠EDB .∴BE ＝DE .(2)【解】∵∠A ＝80°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝60°. ∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝30°. 由(1)知∠BDE ＝∠EBD ，∴∠BDE ＝30°. 23.【解】能.设BC ＝a 米，AC ＝b 米，AD ＝x 米，斜边AC 上的高为h 米，则9＋a ＝x ＋b ＝18，∴a ＝9，b ＝18－x .在Rt △ABC 中，由勾股定理得(9＋x )2＋a 2＝b 2 ∴(9＋x )2＋92＝(18－x )2，解得x ＝3，即AD ＝3米. ∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋9＝12(米)，AC ＝15米. ∴12×9×12＝12×15h ，解得h ＝365.答：这个直角三角形空地斜边上的高为365米. 24.(1)【解】∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝√2AB . ∵BC ＝AB ＋BD ，∴√2AB ＝AB ＋BD 即(√2－1)AB ＝BD .第 11 页共 11 (2)【证明】如图①，∵CE ＝BC ，∠2＝∠1，CF ＝DC ，∴△CEF ≌△CBD①∴∠E ＝∠DBC ，∴EF ∥BD ，∵BD ⊥AB ，∴EF ⊥AB .(3)【证明】如图②，延长BA ，EF 交于点M ，延长CH 交ME 于点G .②∵EF ⊥AB ，AC ⊥AB∴ME ∥AC ，∴∠CGE ＝∠ACG .∵CH 是∠ACE 的平分线∴∠ACG ＝∠ECG ，∴∠CGE ＝∠ECG∴EG ＝EC ＝BC ＝AB ＋BD .∵△CBD ≌△CEF∴EF ＝BD ，∴EG ＝AB ＋BD ＝AC ＋EF即FG ＋EF ＝AC ＋EF ，∴AC ＝FG .在△AHC 和△FHG 中{∠ACH ＝∠FGH∠AHC ＝∠FHG AC ＝FG∴△AHC ≌△FHG (AAS)∴AH ＝HF.。

湘教新版八年级下学期第1章直角三角形单元测试复习卷

湘教新版八年级下学期第1章直角三角形单元测试卷一．选择题（共9小题）1．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AD ⊥，垂足为点D ，有下列说法： ①点A 与点B 的距离是线段AB 的长； ②点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长； ③线段CD 是ABC ∆边AB 上的高； ④线段CD 是BCD ∆边BD 上的高．上述说法中，正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，2BE =，6BC =，则BDE ∆的周长为( )A ．6B ．8C ．10D ．143．如用，AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，24ABC S ∆=，4DE =，5AB =，则AC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．74．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，10AC cm =，:5:4AD CD =，则点D 到AB 的距离为( )cm ．A ． 5B ． 4C ．509D ．4095．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为( ) A ．75︒或15︒B ．30︒或60︒C ．75︒D ．30︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CA CB =，2AB =，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，则CD 的长为( )A ．14B ．12C ．1D ．27．已知非直角三角形ABC 中，45A ∠=︒，高BD 与CE 所在直线交于点H ，则BHC ∠的度数是( ) A ．45︒B ．45︒ 或135︒C ．45︒或125︒D ．135︒8．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，若:9:4AB AC =，则ABD ∆与ACD ∆的面积比等于( )A ．3:2B ．9:4C ．4:9D ．2:39．已知如图，//AD BC ，AB BC ⊥，CD DE ⊥，CD ED =，2AD =，3BC =，则ADE ∆的面积为( )A ．1B ．2C ．5D ．无法确定二．填空题（共6小题）10．如图，直角三角形ABC 中，90BAC AD BC ∠=︒⊥，AE 是BC 边上的中线，①若40C ∠=︒，则DAE ∠= ︒；②若20DAE ∠=︒，则C ∠= ︒．11．如图，△1A OM 是腰长为1的等腰直角三角形，以1A M 为一边，作121A A A M ⊥，且121A A =，连接2A M ，再以2A M 为一边，作232A A A M ⊥，且231A A =，则1A M = ，照此规律操作下去⋯则n A M = ．12．如图90CAD CBD ∠=∠=︒，E 是CD 的中点，3AE =，则BE = ．13．在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，90B ∠=︒，10AC =，则BC =14．如图，AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，2DE =，3AC =，则ADC ∆的面积是．15．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ，以AQ 为边作Rt ABQ ∆，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =．直线l 上有一点C 在点P 右侧，4PC cm =，过点C 作射线CD l ⊥，点F 为射线CD 上的一个动点，连结AF ．当AFC ∆与ABQ ∆全等时，AQ = cm ．三．解答题（共9小题）16．如图，在ABC ∆和DCB ∆中，90A D ∠=∠=︒，AC BD =，AC 与BD 相交于点O ．（1）求证：ABC DCB ∆≅∆；（2）OBC ∆是何种三角形？证明你的结论．17．如图，已知OC 平分AOB ∠，P 是OC 上任意一点，//PD OA 交OB 于点D ，PE OA ⊥于点E ，75OPE ∠=︒，如果6PE cm =，求OD 的长．18．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥于E ，3AB cm =， 2.5BC cm =，ABD ∆的面积为22cm ，求ABC ∆的面积．19．如图ABC ∆中，已知AB AC =，30C ∠=︒，AB AD ⊥，4AD cm =．求：（1）DAC ∠的度数．（2）BC 的长．20．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在AC 上，已知45BDC ∠=︒，BD =，20AB =．求A ∠的度数．21．如图，ABC ∆中90C ∠=︒，15B ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，8DB =，求AC 的长．22．如图，在ACB ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ．（1）求证：ACD B ∠=∠；（2）若AF 平分CAB ∠分别交CD 、BC 于E 、F ，求证：CEF CFE ∠=∠．23．已知：40MON ∠=︒，OE 平分MON ∠，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点(A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设OAC x ∠=︒．（1）如图1，若//AB ON ，则 ①ABO ∠的度数是；②当BAD ABD∠=∠时，x=．∠=∠时，x=；当BAD BDA（2）如图2，若AB OM∆中有两个相等的角？若⊥，则是否存在这样的x的值，使得ADB存在，求出x的值；若不存在，说明理由．24．已知40∠的平分线OM、ON，求MON∠∠和AOC∠=︒，分别作AOB∠=︒，100AOCAOB的大小．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AD ⊥，垂足为点D ，有下列说法： ①点A 与点B 的距离是线段AB 的长； ②点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长； ③线段CD 是ABC ∆边AB 上的高； ④线段CD 是BCD ∆边BD 上的高．上述说法中，正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据三角形的高的定义即可判断②③④，根据两点间的距离定义即可判断①．【解答】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A 与点B 的距离是线段AB 的长，∴①正确；②、点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长，∴②正确；③、根据三角形的高的定义，ABC ∆边AB 上的高是线段CD ，∴③正确； ④、根据三角形的高的定义，DBC ∆边BD 上的高是线段CD ，∴④正确．综上所述，正确的是①②③④共4个．故选：D ．【点评】本题主要考查对三角形的角平分线、中线、高，两点间的距离等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．2．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，2BE =，6BC =，则BDE ∆的周长为( )A ．6B ．8C ．10D ．14【分析】根据角平分线的性质得到CD DE =，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒，CD DE ∴=，BDE ∴∆的周长8BD DE BE BD CD BE BC BE =++=++=+=，故选：B ．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3．如用，AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，24ABC S ∆=，4DE =，5AB =，则AC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】作DF AC ⊥于F ，如图，根据角平分线定理得到4DE DF ==，再利用三角形面积公式和ADB ADC ABC S S S ∆∆∆+=得到11544822AC ⨯⨯+⨯⨯=，然后解一次方程即可．【解答】解：作DF AC ⊥于F ，如图，AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥， 4DE DF ∴==， ADB ADC ABC S S S ∆∆∆+=， ∴115442422AC ⨯⨯+⨯⨯=， 7AC ∴=．故选：D ．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 4．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，10AC cm =，:5:4AD CD =，则点D 到AB 的距离为( )cm ．A ． 5B ． 4C ．509D ．409【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，求出CD ，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，10AC cm =，:5:4AD CD =，4401099CD cm ∴=⨯=， 90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，409DE CD cm ∴==，即点D 到AB 的距离为409cm ．故选：D ．【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟记性质是解题的关键．5．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为( ) A ．75︒或15︒B ．30︒或60︒C ．75︒D ．30︒【分析】根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30︒角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．【解答】解：如图①：CD AB ⊥， 90ADC ∴∠=︒，12CD AC =30A ∴∠=︒， AB AC =，18030752B ACB ︒-︒∴∠=∠==︒；如图②：CD AB ⊥， 90ADC ∴∠=︒，12CD AC =， 30CAD ∴∠=︒， AB AC =， B ACB ∴∠=∠230DAC B ACB B ∴∠=∠+∠=∠=︒， 15B ACB ∴∠=∠=︒．这个三角形的底角为：75︒或15︒．故选：A ．【点评】本题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．6．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CA CB =，2AB =，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，则CD 的长为( )A ．14B ．12C ．1D ．2【分析】由已知可得Rt ABC ∆是等腰直角三角形，得出112AD BD AB ===，再由Rt BCD ∆是等腰直角三角形得出1CD BD ==．【解答】解：90ACB ∠=︒，CA CB =， 45A B ∴∠=∠=︒， CD AB ⊥，112AD BD AB ∴===，90CDB ∠=︒， 1CD BD ∴==．故选：C ．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系．7．已知非直角三角形ABC 中，45A ∠=︒，高BD 与CE 所在直线交于点H ，则BHC ∠的度数是( ) A ．45︒B ．45︒ 或135︒C ．45︒或125︒D ．135︒【分析】①ABC ∆是锐角三角形时，先根据高线的定义求出90ADB ∠=︒，90BEC ∠=︒，然后根据直角三角形两锐角互余求出ABD ∠，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②ABC ∆是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出BHC A ∠=∠，从而得解．【解答】解：①如图1，ABC ∆是锐角三角形时， BD 、CE 是ABC ∆的高线， 90ADB ∴∠=︒，90BEC ∠=︒，在ABD ∆中，45A ∠=︒， 904545ABD ∴∠=︒-︒=︒，4590135BHC ABD BEC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；②如图2，ABC ∆是钝角三角形时， BD 、CE 是ABC ∆的高线，90A ACE ∴∠+∠=︒，90BHC HCD ∠+∠=︒，ACE HCD ∠=∠（对顶角相等）， 45BHC A ∴∠=∠=︒．综上所述，BHC ∠的度数是135︒或45︒．故选：B ．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分ABC ∆是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．8．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，若:9:4AB AC =，则ABD ∆与ACD ∆的面积比等于( )A ．3:2B ．9:4C ．4:9D ．2:3【分析】过点D 作DE 垂直于AB ，DF 垂直于AC ，由AD 为角BAC 的平分线，根据角平分线定理得到DE DF =，再根据三角形的面积公式表示出ABD ∆与ACD ∆的面积之比，把DE DF =以及:AB AC 的比值代入即可求出面积之比．【解答】解：过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ． AD 为BAC ∠的平分线， DE DF ∴=，又:9:4AB AC =，11:():():9:422ABD ACD S S AB DE AC DF AB AC ∆∆∴===．故选：B ．【点评】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题．9．已知如图，//AD BC ，AB BC ⊥，CD DE ⊥，CD ED =，2AD =，3BC =，则ADE ∆的面积为( )A ．1B ．2C ．5D ．无法确定【分析】因为知道AD 的长，所以只要求出AD 边上的高，就可以求出ADE ∆的面积．过D 作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ，构造出Rt EDF Rt CDG ∆≅∆，求出GC 的长，即为EF 的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：过D 作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ， 90EDF FDC ∠+∠=︒， 90GDC FDC ∠+∠=︒， EDF GDC ∴∠=∠，于是在Rt EDF ∆和Rt CDG ∆中， F DGC EDF GDC DE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， DEF DCG ∴∆≅∆，321EF CG BC BG BC AD ∴==-=-=-=，所以，()2(21)21ADE S AD EF ∆=⨯÷=⨯÷=．故选：A ．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．二．填空题（共6小题）10．如图，直角三角形ABC 中，90BAC AD BC ∠=︒⊥，AE 是BC 边上的中线，①若40C ∠=︒，则DAE ∠= 10 ︒；②若20DAE ∠=︒，则C ∠= ︒．【分析】利用40C ∠=︒，可先求BAC ∠，再利用AE 是BAC ∠的角平分线，可求EAC ∠，在Rt ADC ∆中，可求DAC ∠，从而可求DAE ∠．【解答】解：①直角三角形ABC 中，90BAC AD BC ∠=︒⊥，AE 是BC 边上的中线40C ∠=︒， BE AE CE ∴==，40EAC C ∴∠=∠=︒，50DAC ∠=︒， 504010DAE DAC EAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，②20DAE ∠=︒， 70AEC ∴∠=︒35C EAC ∴∠=∠=︒，故答案为10︒，35︒．【点评】本题利用了三角形内角和定理、角平分线定理．三角形的内角和等于180︒．11．如图，△1A OM 是腰长为1的等腰直角三角形，以1A M 为一边，作121A A A M ⊥，且121A A =，连接2A M ，再以2A M 为一边，作232A A A M ⊥，且231A A =，则1A M =律操作下去⋯则n A M = ．【分析】根据勾股定理，探究规律，利用规律即可解决问题．【解答】解：根据勾股定理可得：1A M ==2A M =，3A M ==4A M =，⋯，n A M =【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、规律型图形变化类问题，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会探究规律、利用规律解决问题．12．如图90CAD CBD ∠=∠=︒，E 是CD 的中点，3AE =，则BE = 3 ．【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：90CAD CBD ∠=∠=︒，E 是CD 的中点， 12AE CD ∴=，12BE CD =，3BE AE ∴==，故答案为：3．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．13．在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，90B ∠=︒，10AC =，则BC = 5 【分析】根据直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】解：30A ∠=︒，90B ∠=︒， 152BC AC ∴==，故答案为：5．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．14．如图，AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，2DE =，3AC =，则ADC ∆的面积是 3 ．【分析】作DF AC ⊥于F ，根据角平分线的性质得到2DF DE ==，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DF AC ⊥于F ，AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥， 2DF DE ∴==， ADC ∴∆的面积132AC DF =⨯⨯=，故答案为：3．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ，以AQ 为边作Rt ABQ ∆，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =．直线l 上有一点C 在点P 右侧，4PC cm =，过点C 作射线CD l ⊥，点F 为射线CD 上的一个动点，连结AF ．当AFC ∆与ABQ ∆全等时，AQ 12或7．【分析】根据直角三角形的全等的判定解答即可．【解答】解：①当点A 在点P 左侧时，要使AFC ∆与ABQ ∆全等，则应满足90AB AC BAQ ACF AQ FC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，:3:4AQ AB =，AQ AP =，4PC cm =，设3AQ x =，4AB x =，则有434x x -=，4x ∴=，12()AQ cm ∴=，②当点A 在点P 右侧时，同法可得：344x x +=，47x ∴=， 123()7AQ x cm ∴==故答案为：12或127．【点评】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据SAS 证明三角形的全等．三．解答题（共9小题）16．如图，在ABC ∆和DCB ∆中，90A D ∠=∠=︒，AC BD =，AC 与BD 相交于点O ．（1）求证：ABC DCB ∆≅∆；（2）OBC ∆是何种三角形？证明你的结论．【分析】（1）根据已知条件，用HL 公理证：Rt ABC Rt DCB ∆≅∆；（2）利用Rt ABC Rt DCB ∆≅∆的对应角相等，即可证明OBC ∆是等腰三角形．【解答】证明：（1）在ABC ∆和DCB ∆中，90A D ∠=∠=︒ AC BD =，BC 为公共边，Rt ABC Rt DCB(HL)∴∆≅∆；（2）OBC ∆是等腰三角形 Rt ABC Rt DCB ∆≅∆ ACB DCB ∴∠=∠OB OC ∴=OBC ∴∆是等腰三角形【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．17．如图，已知OC 平分AOB ∠，P 是OC 上任意一点，//PD OA 交OB 于点D ，PE OA ⊥于点E ，75OPE ∠=︒，如果6PE cm =，求OD 的长．【分析】先过点P 作PF OB ⊥于点F ，由OC 平分AOB ∠，PE OA ⊥于点E ，易得PF PE =，由//PD OA ，可求得30PDF ∠=︒，然后由含30︒角的直角三角形的性质，求得答案．【解答】解：如图，过点P 作PF OB ⊥于点F ， OC 平分AOB ∠，PE OA ⊥， 6PF PE cm ∴==， PE OA ⊥，75OPE ∠=︒， Rt POE ∴∆中，15POE ∠=︒， OC 平分AOB ∠， 30AOB ∴∠=︒， //PD OA ，30PDF AOB ∴∠=∠=︒，15DPO EOP DOP ∠=∠=︒=∠， 212PD PF cm ∴==，DO DP =， 12OD cm ∴=．【点评】此题考查了角平分线的性质以及含30︒角的直角三角形的性质．此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．18．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥于E ，3AB cm =， 2.5BC cm =，ABD ∆的面积为22cm ，求ABC ∆的面积．【分析】在ABD ∆中利用三角形的面积计算方法求得线段DE 的长，然后利于角平分线的性质求得DF 的长，然后计算三角形BCD 的面积加上已知的三角形ABD 的面积即可得到三角形ABC 的面积．【解答】解：在ABD ∆中， 12ABD S AB DE ∆=，3AB cm =，22ABD S cm ∆=， ∴43DE cm =⋯ 过D 作DF BC ⊥于F ．BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥， DE DF ∴=， ∴43DF cm =⋯ 在BCD ∆中， 2.5BC cm =，43DF cm =∴215()23BCD S BC DF cm ∆==⋯ ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+， ∴25112()33ABC S cm ∆=+=⋯【点评】本题考查了角平分线的性质，利于角平分线的性质正确地作出辅助线是解题的关键． 19．如图ABC ∆中，已知AB AC =，30C ∠=︒，AB AD ⊥，4AD cm =．求：（1）DAC ∠的度数．（2）BC 的长．【分析】（1）由AB AC =，30C ∠=︒，可得B ∠的度数，利用三角形内角和可求得BAC ∠的度数，由AB AD ⊥，即可求出DAC ∠的度数；（2）由含30度角的直角三角形及等腰三角形的性质可求得BD 与DC 的长度，利用BC BD DC =+即可求解．【解答】解：（1）AB AC =，30C ∠=︒，30B ∴∠=︒，1803030120BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒，AB AD ⊥，1209030DAC ∴∠=︒-︒=︒，（2）4AD cm =，30B ∠=︒，90BAD ∠=︒8BD cm ∴=， 30DAC C ∠=︒=∠， 4DC AD cm ∴==， 12BC BD DC cm ∴=+=．【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用30度角的直角三角形的性质．20．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在AC 上，已知45BDC ∠=︒，BD =，20AB =．求A ∠的度数．【分析】首先在直角三角形BDC 中，利用BD 的长和45BDC ∠=︒求得线段BC 的长，然后在直角三角形ABC 中求得A ∠的度数即可；【解答】解：在直角三角形BDC 中，45BDC ∠=︒，BD =，sin 10BC BD BDC ∴=∠==90C ∠=︒，20AB =101sin 202BC A AB ∴∠===， 30A ∴∠=︒．【点评】本题考查了等腰直角三角形和含30︒角的直角三角形的知识，属于基础题，比较简单．21．如图，ABC ∆中90C ∠=︒，15B ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，8DB =，求AC 的长．【分析】根据线段的垂直平分线性质推出AD BD =，得出15B DAB ∠=∠=︒，求出30ADC ∠=︒，根据含 30 度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，8AD BD ∴==，15B DAB ∴∠=∠=︒，30ADC B DAB ∴∠=∠+∠=︒，90C ∠=︒，142AC AD ∴==，答：AC 的长是 4 ．【点评】本题主要考查对等腰三角形性质，含 30 度角的直角三角形，线段的垂直平分线性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能求出30ADC ∠=︒是解此题的关键．22．如图，在ACB ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ．（1）求证：ACD B ∠=∠；（2）若AF 平分CAB ∠分别交CD 、BC 于E 、F ，求证：CEF CFE ∠=∠．【分析】（1）由于ACD ∠与B ∠都是BCD ∠的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出90CFA CAF ∠=︒-∠，90AED DAE ∠=︒-∠，再根据角平分线的定义得出CAF DAE ∠=∠，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明CEF CFE ∠=∠．【解答】证明：（1）90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，90ACD BCD ∴∠+∠=︒，90B BCD ∠+∠=︒，ACD B ∴∠=∠；（2）在Rt AFC ∆中，90CFA CAF ∠=︒-∠，同理在Rt AED ∆中，90AED DAE ∠=︒-∠．又AF 平分CAB ∠，CAF DAE ∴∠=∠，AED CFE ∴∠=∠，又CEF AED ∠=∠，CEF CFE ∴∠=∠．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．23．已知：40MON ∠=︒，OE 平分MON ∠，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点(A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设OAC x ∠=︒．（1）如图1，若//AB ON ，则①ABO ∠的度数是 20︒ ；②当BAD ABD ∠=∠时，x = ；当BAD BDA ∠=∠时，x = ．（2）如图2，若AB OM ⊥，则是否存在这样的x 的值，使得ADB ∆中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．【分析】利用角平分线的性质求出ABO ∠的度数是关键，分类讨论的思想．【解答】解：（1）①40MON ∠=︒，OE 平分20MON AOB BON ∠∴∠=∠=︒//20AB ON ABO ∴∠=︒②20180120BAD ABD BAD AOB ABO OAB OAC ∠=∠∴∠=︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒ BAD BDA∠=∠，208018060ABO BAD AOB ABO OAB OAC ∠=︒∴∠=︒∠+∠+∠=︒∴∠=︒ 故答案为：①20 ②120，60（2）①当点D 在线段OB 上时， OE 是MON ∠的角平分线，1202AOB MON ∴∠=∠=︒， AB OM ⊥，90AOB ABO ∴∠+∠=︒，70ABO ∴∠=︒，若70BAD ABD ∠=∠=︒，则20x = 若1(18070)552BAD BDA ∠=∠=︒-︒=︒，则35x = 若70ADB ABD ∠=∠=︒，则18027040BAD ∠=︒-⨯︒=︒，50x ∴=②当点D 在射线BE 上时，因为110ABE ∠=︒，且三角形的内角和为180︒，所以只有BAD BDA ∠=∠，此时125x =．综上可知，存在这样的x 的值，使得ADB ∆中有两个相等的角，且20x =、35、50、125．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180︒，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．24．已知40AOB ∠=︒，100AOC ∠=︒，分别作AOB ∠和AOC ∠的平分线OM 、ON ，求MON ∠的大小．【分析】根据角平分线的定义求出AOM ∠和AON ∠的度数，根据不同的图形计算即可．【解答】解：如图1，40AOB ∠=︒，OM 平分AOB ∠，20AOM ∴∠=︒，100AOC ∠=︒，ON 平分AOC ∠，50∴∠=︒，AONMON∴∠=︒；70如图2，∠，∠=︒，OM平分AOBAOB40BOM∴∠=︒，20∠，∠=︒，ON平分AOCAOC100AON∴∠=︒，50MON∴∠=︒．30【点评】本题考查的是角平分线的定义，掌握角平分线的概念和性质、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．。

最新【湘教版】八年级数学下册：第1章《直角三角形》单元试卷(含答案)

11. 如图，
是
的平分线，
点到边
的距离为
C.
为
上的一点，
．
D. 于点，
，则
12. 如图，在
中，
，是边上的高，则图中与
相等的角是
．
13. 在
中，
，是底边上的高，为中点，则
．
14. 如图，在的长度是
中，．
，为的中点，
于点．
，
，则
15. 如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面
那么这棵树折断之前的高度是
D. 个，连接交
于点，连
接，下列结论不正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，
的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为
，
点的坐标为
，点为斜边
上的一动点，则
的最小值为 (
)
A.
B.
C.
9. 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若
有(
)① 平分
；② 长为
，平分
，
，
，则
的面积
20. 如图，是等边
中的一个点，
，
，
，则
的边长是
．
三、解答题（共 5 小题；共 65 分）
21. 已知在交
中，
的平分线
的延长线于，你认为
与的垂直平分线
交于点，
与之间有什么关系 ?试证明你的发现．
与，
22. 如图，在
中，
，是上一点，且
．求证：
．
23. 如图，在
中，
中，
，

(完整word版)湘教版八年级下册《第1章直角三角形》单元测试

湘教版八年级下册《第1章直角三角形》单元测试卷［时间：90分钟分值：120分］一、选择题（每小题3分，共30分）1 .在Rt△ ABC中，/ C= 90° / B = 30°斜边AB的长为2 cm，贝U AC的长为（）A . 4 cmB . 2 cm2 •下列四组线段中，能构成直角三角形的是A . a= 1, b= 2, c= 3C. a= 2, b = 4, c= 53 .如图1，若要用“ HL证明Rt A ABC也Rt△ABD ,A . Z BAC =Z BADC . AC = AD 且BC= BDC. 11 cm D. — cm2( ) B. a= 2, b = 3, c= 4D. a= 3, b= 4, c= 5则还需补充条件( ) B. AC = AD 或BC = BDD. 以上都不正确图1 图2 图3 图44•如图2，两个较小正方形的面积分别为9,16，则字母A所代表的正方形的面积为（）A • 5B • 10 C. 15 D• 255 .如图3，在锐角三角形ABC中，AD, CE分别是边BC, AB上的高，垂足分别是D , E, AD, CE 相交于点0,若/ B = 60°则/ A0E的度数是（）A. 60°B. 50°C. 70°D. 80°6. 如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C'上.若AB = 6, BC= 9，则BF的长为（）A . 4B . 3 .2 C. 4.5 D . 57. 如图5,BE,CF是△ABC的高，M为BC的中点，EF = 5, BC= 8，则AEFM的周长是（）A . 21B . 18 C. 13 D. 15fl8 .如图6，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东60。

方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置 B 处与灯塔P 之间的距离为（）A . 60海里B . 45海里C . 20・3海里D . 30、3海里9 •一个直角三角形的两边长分别为 3和4，则第三边的长为（）A . 5B. 7C. 5D . 5 或 710. 如图7,在厶ABC 中，/ C = 90° / B = 30° AD 平分/ CAB 交BC 于点D , E 为AB 上的一点，连接DE ，则下列说法错误的是（）A . Z CAD = 30 °B . AD = BD 、填空题（每小题3分，共24分）11. 如图8,为测得池塘两岸点 A 和点B 间的距离，一个观测者在C . BD = 2CDD . CD = EDC 点设桩，使Z ABC = 90 °并测得AC长50 m , BC长40 m，贝U A, B两点间的距离是______________ m.图8 图9 图10 图1112. 如图9,在厶ABC中，AB= AC, AD丄BC,垂足为D , E是AC的中点.若DE = 5,贝U AB的长为____________ .13. 如图10,有两棵树，一棵高12 m,另一棵高6 m,两树相距8 m, —只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行了 _______________ m.14. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长：①3, 4, 5;②6, 8,10;③5, 12, 13；④73 , 2, *5 •不能构成直角三角形的是 _________________ .（填序号）15. _______________________________________________________________________ 如图11, AC 丄BC, AD丄DB,要使△ ABC ◎△ BAD，还需添加条件______________________________ .（只需写出符合条件的一种情况即可）16. 已知直角三角形的两条直角边长为____________ 6, 8,那么斜边上的中线长为.17. 如图12, O为数轴原点，A, B两点分别对应—3, 3，作腰长为4的等腰△ ABC，连接OC ,以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴正半轴于点M，则点M对应的实数为_______________ .图12 图1318．如图13，四边形ABCD 的面积等于______________ ．三、解答题(共66 分)19. (10分)如图14,在厶ABC和厶DCB中，/ A =Z D = 90° AC = DB, AC与BD相交于点O.(1) 求证：△ ABC^A DCB.(2) △ OBC是何种三角形？证明你的结论.图1420. （10 分）如图15, Rt△ ABC 中，/ C= 90 ° AD 平分/ CAB , DE 丄AB 于E, AC= 6, BC = 8,3.（1）求DE的长；（2）求厶ADB的面积.图1521. （10 分）如图16,在Rt△ ABC 中，/ C = 90° / A= 30° E 是BC 边的中点，BF // AC, EFEF = 4 cm. CD =/ AB ，（1）求/ F的度数；⑵求AB的长.图1622. (12分)某学生参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南偏东45。

湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》单元试卷(含答案) (2)

初中数学湘教版八年级下册：第1章直角三角形一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P ( )A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 组成∠E的角平分线D. 组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为 ( )A. 14B. 12C. 1D. 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为 ( )A. 6B. 6√3C. 9D. 3√34. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是 ( )A. 6B. 7C. 8D. 95. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )A. 3，4，5B. 6，8，10C. √3，2，√5D. 5，12，136. 如图，已知点A(−1,0)和点B(1,2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有 ( )A. 2个B. 4个C. 6个D. 7个7. 如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是 ( )A. △AOB≌△BOCB. △BOC≌△EODC. △AOD≌△EODD. △AOD≌△BOC8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3,√3)，点C的坐标为(12,0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为 ( )A. √132B. √312C. 3+√192D. 2√79. 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a，则下列说法正确的个数有 ( )① DCʹ平分∠BDE；② BC长为(√2+2)a；③ △BCʹD是等腰三角形；④ △CED的周长等于BC的长．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图所示，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，则下列结论：① AE=BD；② AG=BF；③ FG∥BE；④ ∠BOC=∠EOC．其中正确的结论个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为cm．12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，则图中与∠A相等的角是．13. 在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE=．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30∘，AB=8，则DE的长度是．15. 如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．16. 一个三角形的三边之比为5:12:13，且周长为60cm，则它的面积是．17. 如图，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(−1,0)，B(0,2)，则点C的坐标是．18. 已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30∘．将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处．延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．19. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是．20. 如图，P是等边△ACB中的一个点，PA=2，PB=2√3，PC=4，则△ACB的边长是．三、解答题（共5小题；共65分）21. 已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系?试证明你的发现．22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．23. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）若EF=4，BC=10，求△EFM的周长；（2）若∠ABC=50∘，∠ACB=70∘，求∠MEF的度数．24. 如图，有两条公路OM，ON相交成30∘角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．25. 已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90∘，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，求一共需要投入多少元．答案第一部分1. D2. C3. C4. C5. C6. C7. A8. B9. C 10. D第二部分11. 412. ∠BCD13. 414. 215. 816. 120cm217. (−3,1)18. 4√3−419. 520. 2√7第三部分21. 结论：BM=CN．连接BD，CD．∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BMD与Rt△CND中{BD=CDDM=DN ∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL)，∴BM=CN．22. ∵∠ACB=90∘，∴∠A+∠B=90∘．∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90∘．∴∠ADC=90∘．∴CD⊥AB．23. （1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，∴EM=FM=12BC．∵EF=4，BC=10，∴△EFM的周长=EF+EM+FM=EF+BC=4+10=14．（2）∵EM=BM=FM=CM=12BC，∴∠ABC=∠BFM=50∘，∠ACB=∠CEM=70∘．∴∠BMF=180∘−50∘×2=80∘，∠CME=180∘−70∘×2=40∘．∴∠EMF=180∘−80∘−40∘=60∘．∴∠MEF=12(180∘−∠EMF)=12×(180∘−60∘)=60∘．24. （1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30∘，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米．（2）如图：在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得BD=√AB2−AD2=√502−402=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即1800060=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BD时需要60÷300=0.2（分钟）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为0.2分钟．25. 连接BD，在△ABD中∵∠A=90∘，AB=3m，DA=4m，∴利用勾股定理解得BD=5m．在△CBD中，∵BD=5m，BC=12m，CD=13m，∴根据勾股定理的逆定理得∠DBC=90∘．∴S△ABD=12AB⋅AD=12×4×3=6．∴三角形DBC的面积=12DB⋅BC=12×5×12=30．∴四边形ABCD的面积是36．∵每平方米草皮需要200元，∴总投入=36×200=7200元．。

湘教版八年级下册数学第1章直角三角形含答案

湘教版八年级下册数学第1章直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，，，的对边分别是，，，下列说法错误的是（）A.若，则是直角三角形B.若，则△是直角三角形 C.若，则是直角三角形 D.若，则不是直角三角形2、在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（）A. B. C. D.3、△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则cosA的值是（）A. B. C. D.4、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,若CD=3,则BD的长是( )A.7B.6C.5D.45、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠A的值为（）A. B. C. D.6、如图所示，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，可以推得Rt△ABC≌Rt△DCB，所用的判断定理简称是（）A.SASB.HLC.ASAD.AAS7、使两个直角三角形全等的条件是（）A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等8、如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A.PC⊥OA，PD⊥OBB.OC=ODC.∠OPC=∠OPDD.PC=PD9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（）A.13cmB.12cmC.10cmD.8cm10、在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，若OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A.P在⊙O内B.P在⊙O上C.P在⊙O外D.P与A或B重合11、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A. B.2 C.3 D. +212、如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为A. B. C. D.13、如图，菱形ABCD的边长等于2，∠CDA= 120°，则对角线AC的长为( )A. B.2 C.2 D.114、Rt△ABC中，已知∠C=90°, ∠A=30°，BD是∠B的平分线，AC=18，则BD 的值为（）A.4.9B.9C.12D.1515、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，若EA=2，则BE=（）A.3B.4C.6D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、在半径为2的⊙O中，弦AB＝2 ，连接OA，OB．在直线OB上取一点K，使tan∠BAK＝，则△OAK的面积为________．17、在平面直角坐标系中，，，，直线与分别交于点，若为四边形边上一点（不与点重合），且，则点的坐标为________．18、如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为________．19、如图，有正方形ABCD，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置.其中AD=4，AE=5，则BF=________.20、矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，于，若，，则________.21、如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x 轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（1，2），若点P是第一象限内的一点，且∠OPC=45°，则线段AP最长时的P点坐标为________.22、如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长________；23、如图，在矩形ABCD中，AD=4，E为线段DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在BC的垂直平分线上时，DE的长为________.24、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为________厘米．25、如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是________米.三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、已知等腰三角形的腰为2 cm，底边为4 cm，求这个等腰三角形的面积．28、如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN= m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．29、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，求BF．30、如图，，求证：．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、A4、B5、A6、A7、D8、D9、A10、A11、C12、B13、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。

湘教版八年级下册第一章直角三角形单元测试卷

湘教版八年级下册第一章直角三角形单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（） A ．a 2+b 2=c 2 B ．a=5，b=12，c=13 C ．∠A=∠B+∠C D ．∠A ：∠B ：∠C=3：4：52．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的边长为（）A ．64B ．16C ．8D ．43．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．4 4．下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）A ．2，3，4B ．3，4，5C ．6，8，12D 5．如图，有一张直角三角形纸片ABC ，两条直角边5AC =，10BC =，将ABC ∆折叠，使点A 和点B 重合，折痕为DE ，则CD 的长为（）A ．1.8B ．2.5C ．3D ．3.75 6．在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠所对的边分别是a 、b 、c ，若90A C ∠+∠=︒，则下列等式中成立的是（）A．222+=D．222-=+=C．222c a ba c bb c aa b c2+=B．2227．一架长10m的梯子斜靠在培上,梯子底端到墙的距高为6m．若梯子顶端下滑1m,那么梯子底端在水平方向上滑动了（）A．1m B．小于1m C．大于1m D．无法确定8．如图所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足为A，B，连接AB，下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB平分OP二、填空题9．已知直角三角形的两条边为5和12，则第三条边长为__________．10．如图，△ABC中，BE平分∠ABC，ED⊥AB，垂足为D，如果CE=3cm，那么DE=________cm．11．如图，三个正方形围成一个直角三角形，字母C所表示的正方形面积是100，字母B所表示的正方形面积是36，则字母A所表示的正方形面积为_____．12．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（Ⅰ）AC的长等于_____；（Ⅱ）在线段AC上有一点D，满足AB2=AD•AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____．13．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A处观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向160米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B 与船C之间的距离为________米．三、解答题15．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）作∠ACB的平分线交AB于D（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若AB＝10，AC＝6，求△ACD的周长．16．如图，AB⊥BC，AB=3，BC=4，CD ，AD=10，求四边形ABCD的面积．17．如图，AD是△ABC边BC上的高，用尺规在线段AD上找一点E，使E到AB的距离等于ED(不写作法，保留作图痕迹)参考答案1．D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、a2+b2=c2，是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C∴∠A=90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D、设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°∴∠C=5×15°=75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符号要求；故选：D．【点睛】本题考查勾股定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．2．C【解析】【分析】根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．【详解】解：由勾股定理得，正方形A的面积=289-225=64，∴字母A，故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么3．C【解析】【分析】作DE⊥AB于E，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.【详解】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC8，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，S△ABD＝12DE•AB＝12AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故答案为C．【点睛】本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键..4．B【解析】试题解析：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确；C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误；D、2+2≠2，故不是直角三角形，故此选项错误．考点：勾股定理的逆定理．5．D【解析】【分析】设CD=x，则BD=AD=10-x．在Rt△ACD中运用勾股定理列方程，就可以求出CD的长．【详解】解：设CD=x，则BD=AD=10-x．∵在Rt△ACD中，（10-x）2=x2+52，100+x2-20x=x2+25，∴20x=75，解得：x=3.75，∴CD=3.75.故选：D.【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．6．C【解析】【分析】判断出90°的角后，利用勾股定理即可得出答案．【详解】∵在△ABC中，∠A+∠C=90°，∴∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：a²+c²=b²．故选C【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．7．C【解析】【分析】根据题意作图，利用勾股定理即可求解．【详解】根据题意作图如下，AB=DE=10，CB=6,BD=1∴8AC==当梯子顶端下滑1m,则CE=7，CD= =∴6＞1m故选C．【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是根据题意作图分析求解．8．D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得P A=PB，再利用“HL”证明△AOP和△BOP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOP=∠BOP，全等三角形对应边相等可得OA=OB．【详解】∵OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，∴P A=PB，故A选项正确；在△AOP 和△BOP 中，∵PO PO PA PB =⎧⎨=⎩，∴△AOP ≌△BOP （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故B ，C 选项正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故D 选项错误，即不一定成立的是选项D ．故选D ．【点睛】本题考查了角平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并证明两三角形全等是解答本题的关键．9．13【解析】【分析】因为不确定哪一条边是斜边，故需要讨论：①当12为斜边时，②当12是直角边时，根据勾股定理，已知直角三角形的两条边就可以求出第三边．【详解】解：①当12为斜边时，则第三边；②当12是直角边时，第三边=13．故答案为：13.【点睛】本题考查了勾股定理的知识，难度一般，但本题容易漏解，在不确定斜边的时候，一定不要忘记讨论哪条边是斜边．10．3【解析】【分析】由题意根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，即可分析求出答案.【详解】解：由图可知△ABC 为直角三角形，90ACB ︒∠=，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∴由角平分线的性质得点E到AB的距离DE=CE，∵CE=3cm，∴DE=CE=3cm.故答案为：3.【点睛】本题主要考查角平分线的基本性质，熟练掌握角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键.11．64【解析】【分析】利用勾股定理可求得a2的值，继而可得字母A所表示的正方形的面积．【详解】解：由题意得，c2=100，b2=36，从而可得a2=c2﹣b2=64，即字母A所表示的正方形的面积为：64，故答案为64．【点睛】本题考查了正方形的面积公式与勾股定理，比较简单，准确识图是解题的关键．12．5 见解析．【解析】【分析】(1)由勾股定理即可求解；(2)寻找格点M和N，构建与△ABC全等的△AMN，易证MN⊥AC，从而得到MN与AC的交点即为所求D点.【详解】=；5(2)如图，连接格点M 和N ，由图可知:AB=AM=4，=，5=，∴△ABC ≌△MAN ，∴∠AMN=∠BAC ，∴∠MAD+∠CAB=∠MAD+∠AMN=90°，∴MN ⊥AC ，易解得△MAN 以MN 为底时的高为165， ∵AB 2=AD•AC ，∴AD=AB 2÷AC=165，综上可知，MN 与AC 的交点即为所求D 点.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中定点的问题，理解第2问中构造全等三角形从而确定D 点的思路.13．90【解析】根据条件易得ABC DEF ∆≅∆,所以,90,ABC DEF DEF DFE ∠=∠∠+∠=故∠ABC ＋∠DFE ＝90°．14．200【解析】【分析】根据已知条件得到∠BAC=90°，AB=160米，AC=120米，由勾股定理即可得到结论．【详解】解：根据题意得：∠BAC=90°，AB=160米，AC=120米，在Rt△ABC中，==200米．故答案为：200．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，会识别方向角是解题的关键．15．（1）作图见解析；（2）16．【解析】【分析】（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CA、CB于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，作过这点和点C的直线交AB于D点，则CD 平分∠ACB；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）如图所示，线段CD即为所求；（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠DCB，∴BD＝CD，∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC＝16．【点睛】此题主要考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉基本作图的作图方法，逐步操作．16．6．【解析】【分析】由题意连接AC ，根据勾股定理求出AC ，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD ＝90°，分别求出△ABC 和△ACD 的面积，即可得出答案．【详解】解：连接AC ，∵AB ⊥BC ，∴∠B=90°，由勾股定理得：AC ===5．∵在△ACD 中，AC=5，CD =，AD=10，∴AD 2=AC 2+CD 2，∴∠ACD=90°，∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ACD 1134522=⨯⨯+⨯=6+．【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，能根据题意求出△ACD 是直角三角形是解此题的关键．17．见解析.【解析】【分析】利用基本作图，作∠ABD 的平分线交AD 于E ，则E 到AB 的距离等于ED ．【详解】如图，点E 为所作．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．。

湘教版八年级下册数学第1章直角三角形单元测试

湘教版八年级下册数学第1章《直角三角形》单元测试一．选择题、1．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．2．三角形三条高的交点一定在（）A．三角形内部B．三角形外部C．三角形内部或外部D．三角形内部、外部或顶点3．下列说法中，正确的个数是（）①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．A．4B．3C．2D．14．下列说法错误的是（）A．两个面积相等的圆一定全等B．全等三角形是指形状、大小都相同的三角形C．斜边上中线和一条直角边对应相等的两直角三角形全等D．底边相等的两个等腰三角形全等5．如图，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD ⊥MN于点D，则以下结论错误的是（）A．AD+BC＝AB B．∠AOB＝90°C．与∠CBO互余的角有2个D．点O是CD的中点6．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点7．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，则CD＝（）A．3B．4C．5D．68．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是（）三角形．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形9．在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，点P是线段BC上一动点，则线段AP的长可能是（）A．1B．C．D．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，则AD的长是（）A．3B．4C．5D．4.511．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（）A．18B．14C．12D．612．在Rt△ABC中，斜边上的中线CD＝2.5cm，则斜边AB的长是（）A．2.5cm B．5cm C．7.5cm D．10cm二．填空题1．如图所示：在△AEC中，AE边上的高是．2．如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC与BD交于点O，则有△≌△，其判定依据是，还有△≌△，其判定依据是．3．如图所示在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，AB＝6厘米，则△DEB的周长是厘米．4．已知直角三角形一个角为55°，则这个三角形最小的角为．5．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为．6．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3cm和4cm，则它的面积是．三．解答题1．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2cm，S＝1.5m2，求BC和△ABD DC的长．2．数学课上，老师给出了如下问题：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，延长CB到点D，∠DBE＝45°，点F是边BC上一点，连结AF，作FE⊥AF，交BE于点E．（1）求证：∠CAF＝∠DFE；（2）求证：AF＝EF．经过独立思考后，老师让同学们小组交流．小辉同学说出了对于第二问的想法：“我想通过构造含有边AF和EF的全等三角形，因此我过点E作EG⊥CD于G（如图2所示），如果能证明Rt △ACF和Rt△FGE全等，问题就解决了．但是这两个三角形证不出来相等的边，好像这样作辅助线行不通．”小亮同学说：“既然这样作辅助线证不出来，再考虑有没有其他添加辅助线的方法．”请你顺着小亮同学的思路在图3中继续尝试，并完成（1）、（2）问的证明．3．如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）4．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC ＝60°，∠ECD＝15°．（1）直接写出∠ADB的度数是；（2）求证：BD＝AB；（3）若AB＝2，求BC的长．5．已知，如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D．（1）求证：BC AB．（2）求证：△ABC的面积为AB2．6．证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）7．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD是△ABC的高，P是线段AC（不包括端点A，C）上一动点，以DP为一腰，D为直角顶点（D、P、E三点逆时针）作等腰直角△DPE，连接AE．（1）如图1，点P在运动过程中，∠EAD＝，写出PC和AE的数量关系；（2）如图2，连接BE．如果AB＝4，CP，求出此时BE的长．。

八年级下册湘教版数学第一章-直角三角形测试题

八年级下册湘教版数学第一章直角三角形测试题考试时间：120分钟满分：120分第Ⅰ卷客观题阅卷人一、单选题（共10题；共30分）得分1.Rt△ABC中，∠C=90o ，∠A为30o，CB长为5cm，则斜边上的中线长是（）A. 15cmB. 10cmC. 5cmD. 2.5cm2.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（）A. 6B. 3C. 9D. 123.在△ABC内取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点（）A. 高B. 角平分线C. 中线D. 垂直平分线4.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC。

则AC：BD=（）A. 1：1B. 3：1C. 4：1D. 2：35.下面关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（）A. 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等D. 两个面积相等的直角三角形全等6.下列可使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一条边对应相等B. 斜边和一直角边对应相等C. 一个锐角对应相等D. 两个锐角对应相等7.如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若S四边形面积=9，则AB的长为（）A. 3B. 6C. 9D. 188.下列四个条件，能够证明两个直角三角形全等的是（）A. 两条边分别对应相等B. 一条边、一个锐角分别对应相等C. 两个锐角分别对应相等D. 两条直角边分别对应相等9.如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M，如果CM=4，FM=5，则BE等于( )A. 14B. 13C. 12D. 1110.如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON是（）A. 45ºB. 45º+∠AOCC. 60°－∠AOCD. 不能计算第Ⅱ卷主观题阅卷人二、填空题（共10题；共30分）得分11.如图所示，点D在AC上，∠BAD=∠DBC，△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有________个，△BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有________个．12.在直角三角形中，两个锐角的差为40°，则这两个锐角的度数分别为________．13.叙述点在角平分线上的判定是________．14.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，AC=10,则BD=________。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

《直角三角形小结与复习（二）》
1、在△ABC 中若∠A=25°，∠B=65°，此三角形为（）。

A. 等腰三角形；
B. 钝角三角形；
C. 直角三角形；
D. 锐角三角形；
2、如图（1），已知AD ∥BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，则∠E （）
A. 大于90°
B. 等于90°
C. 小于90°
D. 无法确定
3、如图（2），ΔABC 中，∠A=50°，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则∠BOC 的度数是（）
A. 115°
B. 110°
C. 105°
D. 130°
4、如图（3），ΔABC 中，AB=AC=4，P 是BC 上任意一点，过P 作PD ⊥AC 于D ，PE ⊥AB 于E ，若S ΔABC=6，则PE+PD=（）
A.1；
B. 2；
C. 3；
D. 4；
5、在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2cm ，则AC=（）。

A.
B.
二、填空题：
1、如图（4），已知∠ACB=∠BDA=90°，
要使△ACB ≌△BDA ，至少还需加上条件是。

2.直角三角形中，两锐角的平分线相交所
成的角的度数是_____________。

3.若∠A：∠B:∠C=2:3:5，则△ABC 是_________三角形。

4、在△ABC 中，∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,最短的边长为5，
则最长的边长为______
5、如图（5），在Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠CBA=60°, BD 是△ABC 的角平分线，如果CD=3
则AC 的长为________
三、解答题；
1、如图（6），在△ABC 中，AB=6，BC=AC=5
（1）求AB 边上的高CD ；（2）求BC 边上的高AE 。

（3）DF ⊥BC ，求DF
2、如图(7)，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
A B C D E (1) A B C O
(2) A B C D
E
F (3) B
A （5） A
B
C
D
E
F （6）
A B C D
E （7）
3、在一棵树的5米高的B 处有两只猴子，
其中一只爬下树走到离树15米处的池塘A 处，
另一只爬到树顶D 后直接跃向池塘A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，
问这棵树有多高？
4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．
（1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD=CE ，说明：BA ⊥AC ．
（2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．
参考答案：
一、1、C ；2、B ；3、A ；4、B ；5、A ；
二、1、AC=BD （答案不唯一）；2、135°；3、直角；4、10；5、9；
三、1、（1）CD=4；（2）由面积公式可得：AE=4.8；(3)也可由面积公式得：DF=1.2；
2、设CD=x ， DE=CD=x ，AB=10，AE=AC=6，∴BE=4，BD=8-x ，
在△BED 中，由勾股定理列方程，求解。

CD=3.
3、设BD=x ，CD=5+x ，AC=15，AD=BC+AC-BD=20-x
得：(5+x )2+152=(20-x )2，解得：x =3，∴树高：BC+CD=5+3=8米
4、证明：Rt △ABD ≌Rt △CAE(HL)
还能证明线段DE 、BD 、CE 之间的数量关系。

图①中：DE=CE+BD ，图②中：DE=CE-BD
A ·
B
C
D B A
E D C ② B A E D C ①。