线性规划(教案)

简单的线性规划【教学目标】（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力；（5）结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生勇于创新．【教学建议】一、知识结构教科书首先通过一个具体问题,介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例,介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法,并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．对学生来说,二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解故学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次:（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系,自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上,画不等式组所表示的平面区域,找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．难点是把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答．对许多学生来说,从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少,学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点,并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类:①不能正确理解题意,弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景,不能多方联想,形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本课设计为计算机辅助教学,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解；分析完题后,能够抓住问题的本质特征,从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外,利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法． 三、教法建议（1）对学生来说,二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念,不象二元一次方 程表示直线那样已早有所知,为使学生对这一概念的引进不感到突然,应建立新旧知识的联系,以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行,目的是为了分散难点,层层递进,突出重点,只要学生对旧知识掌握较好,完全有可能由学生主动去探求新知,得出结论．（3）要举几个典型例题,特别是似是而非的例子,对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想,尽管侧重于用“数”研究“形”,但同时也用“形”去研究“数”,这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．（5）对作业、思考题、研究性题的建议:①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大,主要用于拓宽学生的思维． （6）若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解）,应作适当的调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．如果可行域中的整点数目很少,采用逐个试验法也可．（7）在线性规划的实际问题中,主要掌握两种类型:一是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排,能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．线性规划教学设计方案（一）教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域． 重点难点了解二元一次不等式表示平面区域． 教学过程 【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集,那么在平面坐标系中,二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1．先分析一个具体的例子在平面直角坐标系中,以二元一次方程10x y +-=的解为坐标的点的集合{(,)|10}x y x y +-=是经过点(0,1)）和(1,0)的一条直线l （如图）那么,以y二元一次不等式（即含有两个未知数,且未知数的最高次数都是1的不等式）10x y +->的解为坐标的点的集合{(,)|10}A x y x y =+->是什么图形呢？在平面直角坐标系中,所有点被直线l 分三类:①在l 上；②在l 的右上方的平面区域；③在l 的左下方的平面区域（如图）取集合A 的点(1,1),(1,2),(2,2)等,我们发现这些点都在l 的右上方的平面区域,而点(0,0),(1,1)--等等不属于A ,它们满足不等式 10x y +-<,这些点却在l 的左下方的平面区域．由此我们猜想,对直线l 右上方的任意点(,)x y ,10x y +-<成立；对直线l 左下方的任意点(,)x y ,10x y +-<成立, 下面我们证明这个事实．在直线:10l x y +-=上任取一点00(,)P x y ,过点P 作垂直于y 轴的直线 0y y =,在此直线上点 P 右侧的任意一点(,)x y ,都有00,x x y y >= ∴00x y x y +>+于是00110x y x y +->+-=,所以10x y +->因为点00(,)P x y ,是l 上的任意点,所以,对于直线:10l x y +-= 右上方的任意点(,)x y ,10x y +->都成立同理,对于直线:10l x y +-=左下方的任意点(,)x y ,10x y +-<都成立所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式10x y +-> 的解为坐标的点的集点{|10}x x y +->. 是直线10x y +-=右上方的平面区域（如图）类似地,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式10x y +-< 的解为坐标的点的集合{|10}x x y +-<y是直线:10l x y +-= 左下方的平面区域．2．二元一次不等式0ax by c ++>和0ax by c ++<表示平面域．（1）结论:二元一次不等式0ax by c ++>在平面直角坐标系中表示直线0ax by c ++=某一侧所有点组成的平面区域．把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式0ax by c ++≥就表示的面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线．（2）判断方法:由于对在直线0ax by c ++=同一侧的所有点(,)x y ,代入ax by c ++,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点00(,)x y ,以00ax by c ++的正负情况便可判断0ax by c ++>表示这直线哪一侧的平面区域,特殊地,当0c ≠时,常把原点作为此特殊点． 【应用举例】例1.画出不等式260x y +-<表示的平面区域解:先画直线260x y +-=（画线虚线）取原点(0,0), 代入26x y +-, ∴260x y +-<∴原点在不等式260x y +-<表示的平面区域内, 不等式260x y +-<表示的平面区域如图阴影部分．例2.画出不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域分析:在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 解:不等式50x y -+≥表示直线50x y -+=上及右上方的平面区域,0x y +≥表示直线0x y +=上及右 上方的平面区域,3x ≤上及左上方的平面区域,所 以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．y课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）10x y -+< （2）2360x y +-> （3）25100x y +-> （4）43120x y --< （5）100x y x y +->⎧⎨->⎩总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法． 3．二元一次不等式组表示的平面区域． 布置作业1．不等式260x y -+>表示的区域在260x y -+=的（ ）A ．右上方B ．右下方C ．左上方D ．左下方 2．不等式3260x y +-<表示的平面区域是（ ）A B C D3．不等式组36020x y x y ++≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（ ）A B C D 4．直线210x y +-=右上方的平面区域可用不等式______________表示．5．不等式组004380x y x y <⎧⎪<⎨⎪++>⎩表示的平面区域内的整点坐标是_________．6．画出(21)(3)0x y x y ---+>表示的区域．答案:1．B 2．D 3．B 4．210x y +-> 5．（－1,－1）6线性规划教学设计方案（二）【教学目标】巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域,能用此来求目标函数的最值．【重点难点】理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．如何扰实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是教学难点． 【教学步骤】 一、新课引入我们知道,二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域,在这里开始,教学又翻开了新的一页,在今后的学习中,我们可以逐步看到它的运用． 线性规划 先讨论下面的问题设2z x y =+,式中变量x 、y 满足下列条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩① 求z 的最大值和最小值．我们先画出不等式组①表示的平面区域,如图中ABC ∆内部且包括边界．点(0,0)不在这个三角形区域内,当0,0x y ===0时,20z x y =+=,点(0,0)在直线0:20l x y +=上．作一组和0l 平等的直线:2,l x y t t R +=∈可知,当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>．即0t >,而且l 往右平移时,t 随之增大,在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l 的直线中,以经过点(5,2)A 的直线l ,所对应的t 最大,以经过点(1,1)B 的直线1l ,所对应的t 最小,所以max 25212z =⨯+= min 2113z =⨯+=在上述问题中,不等式组①是一组对变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y的一次不等式,所以又称线性约束条件． 2x y +是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫做目标函数,由于2z x y =+又是x 、y 的解析式,所以又叫线性目标函数,上述问题就是求线性目标函数2z x y =+在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．线性约束条件除了用一次不等式表示外,有时也有一次方程表示．一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题,满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域,在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域,其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解． 【应用举例】例 1.解下列线性规划问题:求2z x y =+的最大值和最小值,使式中的x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩解:先作出可行域,见图中表示的区域,且求得11(,),(1,1),(2,1)22A B C ---．作出直线0:20l x y +=,再将直线0l 平移,当0l 的平行线1l 过B 点时,可使2z x y =+达到最小值,当0l 的平行线2l 过C 点时,可使2z x y =+达到最大值． ∴min min 2(1)(1)3,22(1)3z z =⨯-+-=-=⨯+-=通过这个例子讲清楚线性规划的步骤,即: 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步:在可行域内找出最优解所对应的点；第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值．例2.解线性规划问题:求3z x y =+的最大值,使式中的23247600x y x y y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 解:作出可行域,见图,五边形OABCD 表示的平面区域．作出直线0:30l x y +=将它平移至点B ,显然,点B 的坐标是可行域中的最优解,它使3z x y =+达到最大值,解方程组72324x y x y -=⎧⎨+=⎩得点B 的坐标为(9,2)．∴max 39229z =⨯+=这个例题可在教师的指导下,由学生解出．在此例中,若目标函数设为3z x y =+,约束条件不变,则z 的最大值在点(3,6)C 处取得．事实上,可行域内最优解对应的点在何处,与目标函数(0,0)z ax by a b =+≠≠所确定的直线0:0l ax by +=的斜率ab-有关．就这个例子而言,当0l 的斜率为负数时,即0a b -<时,若23a b -=-（直线2324x y +=的斜率）时,线段BC 上所有点都是使z 取得最大值（如本例）；当203ab-<-<时,点C 处使z 取得最大值（比如: 3z x y =+时）,若0ab->,可请同学思考．二、随堂练习1．求725z x y =+的最小值,使式中的x 、y 满足约束条件251551000x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩2．求1015z x y =+的最大值,使式中x 、y 满足约束条件2243236010011x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩ 答案:1．5,1x y ==时,min 60z =． 2．6,9x y ==时,max 195z =． 三、总结提炼1．线性规划的概念． 2．线性规划的问题解法． 四、布置作业1．求3z x y =+的最大值,使式中的x 、y 满足条件23247600x y x y y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 2．求160252z x y =+的最小值,使x 、y 满足下列条件0704294530x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨+≥⎪⎪⎪⎩ 答案:1．3,6x y ==时,max 21z =2．在可行域内整点中,点(5,0)使z 最小,min 1034z =扩展资料为整数 为整数线性规划的解课本题中出现的线性规划都有唯一的最优解,其实线性规划的解有许多不同的情况,除了有唯一的最优解的情况外,还有 （1）无可行解,（2）有无穷多个最优解例2.已知x 、y 满足4335251x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,求4z x y =-的最大值我们用图解法求解．由于目标函数等高线和可行域的边界线43x y -=平行,沿着目标函数值增加方向平行移动目标函数的等高线,最终停留在直线43x y -=-上,所以线段AB 上的所有点都是最优解．线性规划如果有最优解,只会是有唯一最优解或者有无穷多个最优解这两种情况,不会出现其他情况,这就是下面的命题．命题1:如果线性规划有两个不同的最优解12P P ,那么对任意1201,(1)P P P λλλ<<=+-是最优解．这个命题的证明可以在任何一本线性规划的书中找到,这里就不再证明了．事实上证明是平凡的,只要注意到P 在线段12P P 上,利用线性性质,读者就可以自己证明． （3）有可行解,无最优解．例3.已知430x y x y -≥-⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,求2z x y =+的最大值. 我们用图解法求解．从图中可以 看出随着目标函数等高线的移动,目标函数值会越来越大,没有上界．有的书上称之为无界解．无界解的情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果可行域是闭区域,就一定是有界的,于是有命题2 如果统性规划可行域是闭区域,那么一定有最优解． 只要注意到线性函数是连续函数,上面的命题就是“有界闭区域上连续函数可以达到最大值或最小值”这一定理的一个推理．从上面的例子中我们可以看出,如果有最优解,那么就有可行域的顶点是最优解．所以也可以通过比较可行域顶点的目标函数值来求线性规划的最优解．例如:4335251x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,求2z x y =+的最大值,中的顶点(5,2)A 的目标函数值是12；(1,1)B 的目标函数值是3;(1,4.4)C 的目标函数值是6.4于是通过比较可以知道(5,2)A 是最优解． 线性规划的单纯形算法,就是一种从顶点到顶点并使得目标函数值不断改进的迭代算法,由于可行域的顶点只有有限多个,所以经过有限次送代就可以求出线性规划的最优解．单纯形算法可以求解一般的（变量多于两个）线性规划问题．许多实际问题中变量和约束的个数都很多,有些规模比较大的问题中变量和约束的个数甚至可以上万,这样的问题当然是无法用手工计算的,需要用计算机和专门的软件求解．对于规模不是太大（如几十个变量）的线性规划,现在常用的数学软件如Mathematica ,Matlab 都可以解．下面介绍如何用Mathematica 解线性规划． 用Mathematica 解线性规划用的是ConstrainedMax 或者ConstrainedMin 函数,这两个函数的格式如下:ConstrainedMin ［目标函数 {约束条件},{变量}］ConstrainedMax ［目标函数 {约束条件},{变量}］由于ConstrainedMin 软件是用C 语言编写的,所以它的函数带有C 语言的风格．｛｝表示表格, ConstrainedMax 和ConstrainedMin 函数中都有两个表格,第一个表格是约束条件的表,第二个表格是变量表,表格中的项用逗号分隔．要指出的是由于一般的线性规划中的变量都是非负变量,这两个函数的变量也要求有非负约束,但是非负约束可以不在约束条件表格中列出．例如求解线性规划v x y z =++的最小值 250,0,0x y x z x y z +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥≥⎩只要输入[2]:In ConstrainedMin =[,{2,5},{,,}x y z x y x z x y z +++>=+<=计算机就会给出计算结果[2]{2,{2,0,0}}Out x y x =->->->最优值2,最优解:2,0,0x y z ===斜体的[2]:In =和[2]Out Mathematica =自动加上的In 表示输入,Out 表示输出,[2]中的2表示行号．用Mathematica 求例l 中的规划问题,[3]:[2,{43,3525,1},{,}]In ConstrainedMin x y x y x y x x y =+-<=-+<=>= [3]{12,{5,2}}Out x y =->->在许多实际问题中都要求线性规划的最优整数解,课本中也出现了这样的例子和习题．但是笔者以为求最优整数解不应该成为教学的重点．因为求整数解的问题属于整数规划的范畴,而整数规划和线性规划是运筹学中两个不同的分支．教材的作者显然是知道这一点的,所以在教材的处理上回避了如何去求整数解这个问题．作者这样做一方面告诉大家求整数解不应该成为教学的重点,另一方面也给学生留下了一个自由发展的空间．事实上对于课本上出现的这样非常简单的问题只要在非整数优解的附近找出整数可行解,通过比较它们目标函数值的大小就可以求出最优整数解,学生完全可以自己想办法解决．在科普杂志《科学的美国人》()Scientific American 1981年第6期上有一篇介绍线性规划的文章,文章用了下面的一个例子（本文中的数量单位有改动）:某啤酒厂生产两种啤酒,其中淡色啤酒A 桶,啤酒B 桶．粮食、啤酒花和麦芽是三种有约束的资源,每天分别可以提供480斤、160两和11 90斤．假设生产一桶淡色啤酒需要粮食5斤、啤酒花4两、麦芽20斤；生产一桶啤酒需要粮食15斤、啤酒花4两、麦芽35斤．售出后每桶淡色啤酒可获利13元,每桶啤酒可获利23元．问A,B 等于多少时工厂的利润最大．这个例子的线性规划模型是max 1323z A B =+51548044160203511900,0A B A B A B A B +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩ 和课本中的例子相比较这个例子有两个优点,一是它的数据更接近实际数据,有真实感,同时由于数字较大求出的最优解不是整数的问题被相对淡化了；另一方面例子中三种约束的单位不同,这在实际问题中经常出现,例子可以告诉学生列规划时并不需要统一各种约束条件的单位．笔者建议在教学中可以使用类似的例子．探究活动利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元,1998年的利润为7万元,1999年的利润为81元,请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程,从而预2001年企业的利润,请问你帮该企业预测的利润是多少万？［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息:“1997年的利润为5万元,1998年的利润为7万元,1999年的利润为8万元”,在确定这三点坐标后,如何运用这三点坐标,是仅用其中的两点,还是三点信息的综合运用,运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．建立平面直角坐标系,设1997年的利润为5万元对应的点为A （0,5）,1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点B （1,7）和C （2,8）,那么①若将过A,B 两点的直线作为预测直线1l ,其方程为:25y x =+,这样预测2001年的利润为13万元．②若将过A,C 两点的直线作为预测直线2l ,其方程为:352y x =+,这样预测2001年的利润为11万元． ③若将过B,C 两点的直线作为预测直线3l ,其方程为:6y x =+,这样预测2001年的利润为10万元．④若将过A 及线段BC 的中点E 315(,)22的直线作为预测直线4l ,其方程为:553y x =+,这样预测2001年的利润为11．667万元． ⑤若将过A 及ABC ∆的重心F 20(1,)3（注:203为3年的年平均利润）的直线作为预测直线5l ,其方程为:553y x =+,这样预测2001年的利润为11．667万元． ⑥若将过C 及ABC ∆的重心F 20(1,)3的直线作为预测直线6l ,其方程为:41633y x =+,这样预测2001年的利润为10．667万元．⑦若将过A 且以线段BC 的斜率1BC k =为斜率的直线作为预测直线,则预测直线7l 的方程为:5y x =+,这样预测2001年的利润为9万元．⑧若将过B 且以线段AC 的斜率32AC k =为斜率的直线作为预测直线,则预测直线8l 的方程为: 31123y x =+,这样预测2001年的利润为11.5万元. ⑨若将过点C 且以线段AB 的斜率2AB k =为斜率的直线,作为预测直线,则预测直线9l 的方程为:24y x =+,这样预测2001年的利润为12万元．⑩若将过A 且以线段AB 的斜率AB k 与线段AC 的斜率AC k 的平均数为斜率的直线作为预测直线,则预测直线10l 的方程为:754y x =+,这样预测2001年的利润为12万元． 如此这样,还有其他方案,在此不—一列举．［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致,这是为什么？（2）第⑦种方案中, BC k 的现实意义是什么？（3）根据以上的基本解题思路,请你思考新的方案．如方案⑥中,过ABC ∆的重心F 20(1,)3,找出以m 为斜率的直线中与A,C 两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围,你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理,使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测,你能得出什么结果？习题精选一、填空题1．点P 到直线4310x y -+=的距离等于4,且在不等式230x y +-<表示的平面区域内,则点P 的坐标为＿＿。