一元二次方程复习题

一元二次方程的复习
知识框架
一元二次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程的应用 一元二次方程根的判别式⎪⎩
⎪⎨⎧⇔<-⇔=-⇔>-04040422
2
ac b ac b ac b
一元二次方程的根与系数的关系：若x 1、x 2是方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根，
则x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝ 。

要点回顾
1、方程的两边都是 ，只含有 ，并且未知数的最高次数是 的方程是一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是 。

2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① ，使方程左边为 项及 项，方程右边为 项；②二次项系数化为 ；③配方，即方程两边都加上 ，从而把方程化为(x ＋m) 2
＝n 的形式；④当n 时，用直接开平方法把二次方程 为一次方程；当n 时，方程无实数根，⑤解变形后的方程即为原方程的解。

3、一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式是 ，
用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把原方程化为 ，确定 的值；②计算 的值；③当 时，则代入求根公式求出方程的解；当 时，原方程无实数解。

4、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ，将方程的左边分解为 的乘积；②令每个因式分别为 ，得到两个 方程；③解这两个 方程，它们的解是原方程的解。

例题分析：
例1：⑴当k 时，关于x 的方程k x 2＋3x ＋2＝3（x ＋1）（x －2）是一元二次方程。

⑵已知关于x 的方程（a ＋1）x 2－4x ＋a 2＋2a ＋5＝0的一个根为1，则a 的值
为 。

⑶关于x 的方程（2m 2＋m －3）x 1
+m +5x ＝13是一元二次方程吗？为什么？
例2：用适当的方法解下列方程。

⑴2(x ＋3)2=x(x ＋3) ⑵x 2－25x ＋2＝5 ⑶2 x 2
＋8x －3＝0（用配方法解）
⑷（x ＋1）2
－3（x ＋1）＋2＝0 ⑸25（3x －4）2
＝16（x ＋3）2
例3：①已知关于x 的一元二次方程（1－2k ）x 2
－k x －1＝0有实数根，试求k 的取值范围。

②已知关于x 的方程mx 2
－2（3m －1）x ＋9m －1＝0有实数根，试求m 的取值范围。

③如果关于x 的方程（m ＋2）x 2
－2（m ＋1）x ＋m ＝0只有一个实数根，那么方程（m ＋1）x
2
－2mx ＋m －2＝0（ ）
A 、没能实数佷
B 、有两个不相等的实数根
C 、有两个相等的实数根
D 、不能确定
例4：①代数式4 x 2－12x ＋10的值（ ）
A ．恒为正数
B ．恒为负数
C ．可能为0
D ．不能确定
②若－x 2－4x ＋3有最大值，则当x ＝ 时，它有最大值，最大值为 。

例5：①已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0的一根为3＋5，试求方程的另一根与c 的值。

②已知关于x 的一元二次方程x 2
－（m －1）x ＋m ＋2＝0。

⑴若方程有两个相等的实数根，求m
的值；⑵若方程的两个实数根之积等于m 2
－9m ＋2，试求6 m 的值。

③若关于x 的方程2 x 2
－2 x ＋3 k －1＝0有两个实数根x 1、x 2，且x 1• x 2＞x 1＋x 2－4，则k 的取值范围是( )
A. k ＞－35
B. k ≤21
C. k ＜－35
D.－35＜ k ≤2
1
④设
是不小于
的实数，使得关于
的方程
有
两个不相等的实数根。

若
，求
的值。

⑸已知关于x 的方程x 2
－（m －2）x －4
2
m ＝0
⑴求证：无论m 为何实数，这个方程总有两个不同的实数根。

⑵若这个方程的两个实数根x 1、x 2满足｜x 2｜＝｜x 1｜＋2，求m 的值及相应的x 1、x 2。

例5：某中学有一块长为am ，宽为bm 的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都是2m 的互相垂直的道路，余下的4块矩形小场地修建草坪。

（如图所示）
⑴请分别写出每条道路的面积（用含a 或b 的代数式表示）； ⑵已知a ∶b ＝2∶1，并且4块草坪的面积之和为312m 2
，求原
矩形场地的长和宽各是多少米；
⑶在⑵的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时满足下述两个条件）。

条件①：在每块草坪上，各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必须与所在草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为13 m 2
；
条件②：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形。

请你画出符合上述设计方案的一种草图（不必说明画法依据），并求出每个菱形花圃的面积。

作业设计：
一、填空：
1、一元二次方程(1－3x)(x ＋3)=2x 2＋1的一般形式是 ， 它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 。

2、已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2+2x －k 2－2k+3=0的一个根为零，则k= 。

3、若方程x 2＋2x ＋m=0有两个相等实数根，则m= 。

4、已知x 1、x 2是方程2x 2＋3x －4=0的两个根，那么：x 1＋x 2= ；x 1·x 2= ；
5、某两位数的十位数字是方程x 2－8x ＝0的解，则其十位数字是 。

6、若a 为方程式(x -17)2=100的一根，b 为方程式(y -4)2=17的一根， 且a 、b 都是正数，则a -b 之值为 。

7、某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今年与明年两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材上投资的年平均增长率为x ，则可列方程 。

8、已知m 、n 为实数，且满足（m 2＋n 2）2－3（m 2＋n 2）－4＝0，则m 2＋n 2的值为 。

9、若两个连续正整数的平方和是313，则这两个连续整数的和是 。

10、某人把5000元按1年定期存入银行，到期后，连本带利再存一年后取出又得到利息102元，则该项储蓄的年利率是 。

二、解答题
11、选用合适的方法解下列方程
①(2y ＋1)2=3(2y ＋1)； ②x 2
－10x －9＝0； ③x 2
－8x ＝9984
12、方程x 2－mx ＋2=0的两根能否互为相反数，若能，求出m 的值，若不能，试说明理由。

13、用配方法证明：代数式－3x 2－x+1的值不大于1213。

14、在元旦前一天，某人编写了一条祝福的短信，发给了他的一些朋友，收到此短信的每个人都将短信转发给了同样多的人数，结果共有90人收到此短信。

问这个人给多少个朋友发了此条短信。

15、旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，现已使用3年，如果第1年的折旧率为20%，以后折旧率有所变化，现知第三年末这辆轿车值7.776万元，请你求出这辆轿车第2年、第3年平均每年的折旧率。

16、2002年8月20日至28日，第24届国际数学家大会在北京开幕，大会会标取材于我们古代的数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个形状、大小完全一样的直角三角形与中间的小正方形一个大正方形（如图所示）。

如果大正方形的面积是52，小正方形面积是4，则直角三角形的两条直角边长分别是多少？
17、已知关于x 的二次函数y ＝－x 2
＋（2m ＋3）x ＋4－m 2
的图象与x 轴交于A 、B 两点。

⑴若AB ＝7，求这个二次函数的解析式；
⑵若点A 在原点的左边，点B 在原点的右边，且4（OB －OA ）＝3OA •OB ，求这个二次函数的解析式
18、若最简二次根式72
-x 和28+x 能合并，试求x 的值。

19、已知a 、b 是方程x 2＋x －2009＝0的两个实数根，试求a 2＋2a ＋b 的值。

20、在长为80cm 、宽60cm 的长方形纸板的两角剪去两个边长相等的正方形，在另两角剪去两个
长方形可做一个有盖的长方体纸盒。

要求做成的长方体纸盒的底面积为1750cm 2
，试求纸盒的高。

21、设1x 、2x 是方程02)1(22
2
=+++-k x k x 的两个实根，且8)1)(1(21=++x x ．试k 的值．
22、若x 1、x 2是方程x 2＋11x ＝－16的两根，求下列各式的值 ①｜x 1－x 2｜；②21x x ＋1
2
x x
23、有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少尺？（17≈4.12 精确到0.1尺）
24、若x 2
＋xy ＋y ＝14，y 2
＋xy ＋x ＝28，试求x ＋y 的值。

25、象棋比赛中，每一个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分。

如果平局，两个选手各记1分。

今有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979、1980、1984、1985。

经核实，有一位同学统计无误。

试计算这次比赛共有多少个选手参加？。