高等数学(经管类)教案

第一章 极限与连续

一、教学目的

1.复习函数的定义及有关性质.

2.理解极限的定义，无穷大、无穷小的概念，闭区间上连续函数的性质；掌握极限的性质及

四则运算法则，并会利用它们求极限.

3.掌握无穷小的比较，用两个重要极限求极限.

二、教学重点

1.极限的概念及其运算，连续的概念及性质.

2.无穷大与无穷小的概念及比较.

3.两个重要的极限公式.

三、教学难点

1.极限的定义及连续的概念.

2.两个重要的极限公式.

四、课时安排 约12学时

1.1 函数

◆1.1.1函数概念

◆1.1.2函数的几种特性

◆1.1.3反函数与复合函数

◆1.1.4基本初等函数

◆1.1.5 内容小结

1.1.1函数概念

定义1.1.1设x ，y 是两个变量，若当变量x 在非空数集D 内任取某一数值时，变量y

按照某一规则f 总有一个确定的数值与之对应则称y 为x 的函数,简记为(),y f x x D =∈

其中x 称为自变量, D 称为定义域.y 称为因变量，y 值的集合称为函数的值域.

例1 求函数412--=x x

y 的定义域. 解 要使函数有意义, 必须0x ≠, 且2

40x -≥.

解不等式得2x ≥. 所以函数的定义域为{2}D x x =|≥, 或(,2][2,)D =-∞+∞

例2 函数 2y =. 其定义域为(,)D =-∞+∞, 值域为{2}R =图形为一条平行于x 轴

的直线.

例 3 函数⎩⎨⎧<-≥==0 0 ||x x x x x y . 称为绝对值函数. 其定义域为(,)D =-∞+∞, 值域为[0,)R =+∞.

例4 函数⎪⎩

⎪⎨⎧<-=>==01000 1s g n x x x x y . 称为符号函数. 其定义域为(,)D =-∞+∞, 值域为

{1,0,1}R =-.

例5 设x 为任意实数不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[]x .

函数[]y x =称为取整函数. 其定义域为(,)D =-∞+∞, 值域为R Z =. 例如：0]7

5[=, 1]2[=,[]3,[1]1,[ 3.5]4π=-=--=-. 例6 产某种产品的固定成本为48000元，每生产一件产品成本增加2400元，则该种

产品的总成本y 与产量x 的函数关系可表为

240048000y x =+

定义1.1.2在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函

数.

例7 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤=1

110 2x x x x y , 其定义域为[0,1](1,)[0,)D =+∞=+∞ . 当01x ≤≤时, x y 2=; 当1x >时, 1y x =+ . 例如22

12)21(==f ; 2 1 2)1(==f ;(3)134f =+=. 1.1.2 函数的几种特性

1.函数的有界性

设函数()y f x =的定义域为D .如果存在正数M 使对任一x D ∈, 有()f x M ≤, 则

称函数()f x 在D 上有界; 如果这样的M 不存在, 则称函数()y f x =在D 上无界.

注意1：函数的有界与否和讨论的区间密切相关.

注意2：函数如果有界，其界不唯一.

2.函数的单调性

设函数()y f x =的定义域为D , 区间I D ⊂. 如果对于区间I 上任意两点 1x 及2x ,当12x x <时, 恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的.

如果对于区间I 上任意两点1x 及2x , 当12x x <时, 恒有 12()()f x f x >, 则称函数

()y f x =在区间I 上是单调减少的.

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

3.函数的奇偶性

设函数()f x 的定义域D 关于原点对称 (即若x D ∈, 则x D -∈).

如果对于任意的x D ∈, 有()()f x f x -=, 则称()f x 为偶函数.

如果对于任一x D ∈, 有()()f x f x -=-, 则称()f x 为奇函数.

偶函数的图形关于y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称.

4.函数的周期性

设函数()f x 的定义域为D . 如果存在一个正数l , 使得对于任意x D ∈有()x l D +∈, 且 ()()f x l f x +=，则称()f x 为周期函数.l 称为()f x 的周期.

注意：一个函数如果有周期，其周期不唯一.我们把所有周期中的最小正值称为最小正周期，简称周期.

周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状.

1.1.3反函数与复合函数

定义 1.1.3设函数对每个()y f D =, 有唯一的x D ∈, 使得()f x y =，于是有 1()f y x -=，1f -为函数f 的反函数.

由于人们习惯上自变量用x 表示, 因变量用y 表示, 于是()y f x =,x D ∈的反函数记成1()y f x -=,()x f D ∈.

若f 是定义在D 上的单调函数,容易证明1f -也是()y f D =上的单调函数.

定义 1.1.4设函数()y f u =的定义域为1D ,函数()u g x =在D 上有定义且1()g D D ⊂, 则由下式确定的函数[()],y f g x x D =∈ 称为由函数()u g x =和函数()y f u =构成的复合函数, 它的定义域为D , 变量u 称为中间变量.

1.1.4.基本初等函数

常数函数：a y = (a 为常数)；

幂函数:(y x R μ

μ=∈是常数);

指数函数: (01)x y a a =>≠且;

对数函数:log (0,1a y x a a =>≠,特别当a e =时, 记为ln y x =);

三角函数:sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======;