高数大一上期末复习资料经管类

x 1 x 1
在点 x 1 连续，求常数 a, b 。
；
ax b , 2.函数 f ( x) 3x 1 x 3 4,
闭区间上连续函数的性质
1.证明方程 e x x 2 在区间 (0, 2) 内至少有一个实根． 2.证明方程 x a sin x b (a 0, b 0) 至少有一个不超过 a b 的正根． 3.若函数 f ( x ) 在闭区间 [0, 2a ] 上连续，且 f (0) f (2a ) ，证明在闭区间 [0, a ] 上至少 有一点 使 f ( ) f ( a) ． 4.若 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续，且 a c d b ，对任何正数 m, n ． 证明在闭区间
37.求极限 lim n[(
n
n 1 n ) e] . n
解：原式
1 n ln 1 n
lim n[e
n
e] lim
e
1 n ln 1 n
e
n
1 n
e lim
e
1 n ln 1 1 n
1
n
1 n
4. lim
x2 x2 3 2x 2x 4 1
x
1 3 4 2 x x 1 解： I lim x 2 1 2 2 4 x x 1
1 e3 x 1 x 2 3e x 2
5. lim
e2x ex x 2e 2 x 3e x
f ( x ) 的可去间断点．
x1 1 x 0 的间断点，并说明其类型。 4.判断 f ( x) e , ln(1 x) 1 x 0
连续函数的运算与初等函数的连续性 1.填空题
1 x sin （1）函数 f ( x) x 2 a x

3 abc .
17. lim(2 x)
x 1
tan x 2
________ .
sin cos
解：原式= lim 1 (1 x)
x 1
tan x 2


2 2
, lim(1 x)
x 1
x x
lim
x 1
1 x cos

2
x

L
2
2
.原式= e .
1 1 2 n sin t t 1 原式= lim 1 n sin 1 , lim n sin 1 n lim ，所以为 e 6 . 3 n n t 0 n n t 6
n2
n2
t
1
1
x a1 x a1 2 23.求 lim 1 x n
解：原式= lim 1 n
n
n ln n n ln n ln n , n ln n
n
lim
n
2 ln n n 2 lim 2 ，原式= e 2 . n ln n n ln n ln n 1 n
1 21. lim n sin ________ . n n
nx
t
t
t an n
e x
lim
a 1 a 1 a 1
t 1 t 2 t n
t
e
ln a1a2
an
a1a2
an .
e x e sin x 27. lim . x 0 ln(1 sin 3 x)
解： I = lim
esin x (e x sin x 1) x sin x 1 lim esin x lim . 3 x 0 x 0 x 0 x x3 6
1 x2
ln 3 .
3
36.求极限 lim tan
x
x x sin( ). 2 2
x sin( ) x x x 2 解： lim tan sin( ) lim sin lim . x x 2 2 2 x sin( x ) 2 2
x a1 n . nx
nx
x x a1 x a1 a1 1 2 n n 解：原式= lim 1 1 ,令 t , 由重要极限得 x n x
a a 1x x x lim 1 2 a1 a1 a1 2 n n x t lim 1 e x n
3
.
。
ex 1 sin( x n ) tan x sin x （28） lim lim （26） lim （ 27 ） x 0 x 0 (sin x)m x 0 1 cos x (1 cos x ) sin 3 x
（29） lim
x 0
(sin x x)(3 1 2 arctan x 1) (e
（23）极限 lim
x 0
1 x sin x 1 (e x 1) ln(1 x)
1 2 3
（24）当 x 0 时， (1 ax ) 1 与 cos x 1 是等价无穷小，则常数 a （25）设 x 0 时， e sin x e x 与 x n 同阶无穷小，则 n 为
1 e e lim n[n ln(1 ) 1] . n n 2
函数的连续性与间断点 1．填空题
x 1 （1） 函数 f ( x) 2 的可去间断点为 x x x2
2
x 2 . （2）y 2 的间断点是 x ( x 1)
，间断点类型：
cos

，
间断点类型：
n
x2
x2 x 2 x 2 3x 2
( x h) 2 x 2 1 x 1 （5） lim （6） lim h 0 x 0 h x
（8）lim
x a
（7） lim
x 1
x 1 x2 3
3x 2 2 x sin x 3 1 x a 1 (a 0) （9） lim (2 sin )(1 e x ) （10）lim x x 2x2 7 x 1 x xa xn 1 xm 1
（32）已知 lim [ x x 1 (ax b)] 0 ，试求常数 a 、 b 的值.
2 x
补充竞赛题（第三部分有关极限）
1
3. lim
4x 2 x 1 x 1 x 2 sin x
x 4
x
；
解： I lim
x
1 1 1 1 1 x 1 4 2 1 x x2 x x x 1. lim x sin x sin x x 1 2 1 2 x x
1
1 x
2 35.求极限 lim x (3 x 3 x 1 ) .
解： lim x (3 3
2 x
1 x
1 x 1
) lim x 2 3
x
1 x 1
(3
1 1 x x 1
1) lim 3
x
1 x 1
lim
3
1 1 x x 1
1
x
n2
_______ .
n2
1
1 1 1 1 2 2 e 解：原式= lim1 cos 1 ， lim(cos 1)n 2 lim ，结果为 . n n n n 2n 2 n n 2
2
n ln n ln n 20. lim _______ . n n ln n
期末复习题 极限有关的题型 1.求极限（1） lim[
n
1 1 1 1 1 1 1 ] （2） lim(1 2 n1 ) n 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 2 2 2
n
（3） lim(1 x)(1 x 2 )(1 x 4 ) (1 x 2 ) （ x 1 ） （4） lim
x0 x0
要使 f ( x ) 在 (, ) 连续， a
；
sin x , x0 （2）设 f ( x) x 在 x 0 处连续，则常数 a a cos x, x 0
4
；
sin x 1 ,x 1 （3）设 f x x 1 在 x 1处连续，则常数 a x a e ,x 1
n
解: I lim
15. lim(
n
a n bn c n ) (a 0, b 0, c 0) 3
n
n
lim a n b n c 3 n 解： I lim(1 ) en n 3
a 1 n b 1 n c 1 n 3
e
1 [ lim n ( n a 1) lim n ( n b 1) lim n ( n c 1)] n n 3 n
1 2 x sin x x0 （4）设 f ( x) ，要使 f ( x ) 在 x 0 点连续，则 b x sin 2 b x x 0
（5）函数 f ( x)
；
ຫໍສະໝຸດ Baidu
；

e x a, x0 在（-1，1）上连续，则 a 2 cos x sin 2 x, x 0

(cos x ) x . 18. lim
x 0
1
解： I lim (1 cos x 1)
x 0
cos x 1
(cos x 1)

x
e
x0
lim (cos x 1)

x
e
x0
x lim 2 x
e


2
.
1 19. lim cos n n
（12） lim
x 1
（11） lim
x 1
x x2 xn n 1 （13） lim( x 1) sin x x 1 x
（14） lim 2 n tan
n
x 2n
（15） lim
x 0
arctan x 1 1 （16） lim(1 2 ) n n x n n
3n
（17） lim(
x
x7 x ) x7
2 x 3 x 1 n 2 1/ x （18） lim( （19） lim(cos x) （20） lim ) n n 1 x 0 x 2 x 1
（21）若 lim(
x
2x2 1 2 x 2a x sin （22） lim ) 8 ，求常数 a ； x 3 x 1 x xa
x2
1) ln(1 tan x)
2
（30） lim
x 0
1 tan x 1 sin x x 1 sin 2 x x
（31）若极限 lim f ( x) 存在，且 lim
x 0
x 0
1 f ( x) tan x 1 3 ，求 lim f ( x) 。 x 0 e2 x 1
（3） y
x 的间断点是 tan x
2．找出函数 f ( x)
1 1 2
x 1 x
的间断点，并且说明它属于哪一类间断点．
ex b 3． 设函数 f ( x) ， 求 a , b 的值， 使得 x 0 为 f ( x ) 的无穷间断点，x 1为 ( x a)( x 1)
[ a, b] 上内至少有一点 使 mf (c) nf (d ) (m n) f ( ) ．
5 ．若函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续，且 a x1 x2 xn b ，证明在闭区间
2 cos 1 x
34.求极限 lim x (e
x
e 1 ) .
解：原式= lim x (e
x
2
1cos
1 x
1 1 1 1 1 1 1)e1 lim x 2 1 cos lim x 2 2 . x e x x e 2 x 2e