大一高数期末复习重点 .ppt
高数期末知识点大一上学期
高数期末知识点大一上学期高等数学是大一上学期的一门重要课程，主要涵盖了微积分的基础知识。
在期末考试前，理解和掌握好以下几个重要的知识点对于取得好成绩至关重要。
1. 函数与极限函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的依赖关系。
函数的概念和性质是微积分的基础，包括函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
在函数的研究中，极限是一个关键的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
学习中需要关注极限的定义、性质和计算方法，包括数列的极限和函数的极限。
2. 导数与微分导数是函数变化率的一种度量，可以理解为函数在某一点的瞬时变化速率。
导数的计算方法主要有基本的导数公式、求导法则和高阶导数的计算方法。
微分是导数的一种应用，通常可以用来求函数的增减性、极值点和函数的曲线图。
3. 不定积分与定积分不定积分是求原函数的反向运算，也称为不定积分或者积分常数。
学习不定积分时，需要掌握基本的积分公式和求积分的方法，如分部积分法和换元积分法。
定积分是求函数曲线下的面积，具有几何和物理上的应用，需要学习积分的定义、性质和计算方法。
4. 微分方程微分方程是描述变化过程的数学方程，它是应用数学中的重要工具之一。
学习微分方程时，需要了解一阶和二阶微分方程的基本形式、求解方法和初值问题的求解步骤。
掌握微分方程的解法，可以应用于许多实际问题的求解，如生物学、物理学和工程学等领域。
5.级数与数项级数级数是无穷个数的和，数项级数是级数的一种常见形式。
学习数项级数时，需要了解级数的定义、性质和收敛判别法。
特别是数项级数的常用收敛判别法，如比值判别法、根值判别法和积分判别法等。
以上是高等数学高数期末考试中的重要知识点，希望同学们能够认真复习，理解掌握这些知识点，并通过大量的习题练习加深对知识的理解和记忆。
只有牢固掌握了基础知识，才能更好地应对考试，取得优异的成绩。
祝同学们顺利通过高数期末考试！。
《高数复习》课件
学习一些常用的解题技巧，如应用合适的代数运算、化简复杂表达式等，以解决更具挑 战的数学问题。
典型例题讲解
极限
通过解析典型的极限题目，了解 极限的计算方法和性质，增加对 极限概念的理解和应用能力。
积分
通过讲解经典的积分题目，提供 不同的积分计算方法和技巧，帮 助学生掌握积分的运算。
微分方程
总结和答疑
课程总结
对本次复习课程进行总结，强调重点内容和易错题，以及给出备考建议和考试注意事项。
答疑时间
为学生提供答疑时间，回答学生在课程中遇到的问题，并提供进一步的辅导和指导。
《高数复习》PPT课件
高数复习的目的是帮助学生系统地回顾高等数学知识，并为即将到来的考试 做准备。这份PPT将覆盖复习的重点、解题技巧和例题讲解等内容。
适用于谁？
大学生及相关专业学生
此PPT适用于正在学习高等数 学以及相关专业的大学生， 可以帮助他们等数学考试的人 士
若你正在准备高等数学考试， 这份PPT可以帮助你复习重点 内容，提供解题技巧，以增 加你的考试得分。
对高等数学感兴趣的人
即使你不是学习高等数学的 学生，但对于数学有兴趣， 这个PPT也可帮助你理解高等 数学中的概念与公式。
复习重点：概念和公式
1
重要概念
回顾高等数学中的重要概念，如导数、积分、微分方程等，深入理解它们的含义和应用。
通过解决各类型微分方程问题， 加深对微分方程理论和解题方法 的理解和掌握。
习题讲解和练习
1
习题讲解
解析习题中可能遇到的难点，探讨解题
自我练习
2
思路和方法，并解答学生在习题中遇到 的疑问。
为学生提供一些练习题，供学生在课后
大学高数复习内容ppt课件
x0
x x0
lim f ( x)不存在或lim f ( x)不存在的间断点
x x0
x x0-
称为第二类间断点。
常见的有无穷间断点和振荡间断点.
1、导数的定义
y
y
x x0
lim
x0
x
lim x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
例
( P36)
1
f ( x
例 求y=sinx在点( , 1)
处的切线
方程所. 求的切线方程6为2y 1 3 ( x 1).
22 2
(2)物理意义
s=s(t)在点t0的导数是作变速直线
在时刻t0的瞬时速度，即 v(t ) s(t ).
4、导数的应用问题 P49-50
例
从水平场地正在垂直上升的一个热气球被距离起
dt
4
4
在该瞬间气球以速率140米/分上
5、导数的计算 (1)(u v) u v;
(2)(u
(4)设
v) uv
y f (u),
uv;
u
(3) u
(
v
x),
uv uv v2
,(v
0).
y'x y'u u'x
或
解 ( xy)x (e y2 )x ( x)x (e x y )x 0 y xy e y2 ( y2 ) 1 e x y ( x y) 0
y xy e y2 2 y y 1 e x y ( x y) 0
飞点500米远处的测距器所跟踪.在测距器的仰角为π/4
大一上学期 高数复习要点整理
高数解题技巧。
高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。
（高等数学、考研数学通用）高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。
大一高数期末复习课提纲(很有用)
求微分 dy = f ʹ′( x0 )dx 可导与微分的关系
可导 ⇔ 可微
13
⎧ ⎪ ⎪ 按定义求导 ⎪ ⎪ 复合函数求导 求导数方法⎪ ⎪ ⎪ 隐函数, 参数方程求导 ⎨ ⎪ ⎪ 对数法求导 ⎪ ⎪ ⎪ 分段函数在分段点求导 ⎪ 1 x !) ⎪ 高阶导数 (sin x, cos x,e , ⎩ 1− x
x x n x ln(1 + x ) = x − + − ! + ( −1) + o( x n+1 ) 2 3 n+1
2
3
n+1
19
1 2 n n = 1 + x + x + ! + x + o( x ) 1− x m( m − 1) 2 (1 + x ) = 1 + mx + x +! 2! m( m − 1)!( m − n + 1) n n + x + o( x ) n!
9
( 2) 在x = 1处，
1 1 lim y = lim[ 1 + sin( x − 1) sin ]= x →1 x →1 x −1 3 x 2 +1 2 −1
1 x
即在x = 1处函数的左右极限都存在且相等， 所以x = 1是函数的第一类间断点, 且是可去间断点.
10
例 设函数
f ( x) =
7
(1 + x ) sin x 的间断点, 例求 f ( x) = 并判别其类型. x ( x + 1)( x − 1)
解 x = −1, x = 1, x = 0是间断点,
1 (1 + x ) sin x = sin 1 , x = −1, xlim → −1 x ( x + 1)( x − 1) 2
大一高数复习知识点
大一高数复习知识点一、函数与极限1. 函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了输入与输出之间的关系。
一般来说，我们把输入称为自变量，输出称为因变量。
2. 极限的概念极限是函数中的一个重要概念，用来描述函数在某一点上的趋近性。
简单来说，一个函数的极限可以看作是函数在该点附近的稳定值。
3. 基本的极限运算法则- 常数乘以函数的极限等于函数的极限乘以该常数。
- 两个函数的和的极限等于两个函数的极限之和。
- 函数的极限与自变量无关。
二、导数与微分1. 导数的定义导数描述了函数在某一点上的变化率。
在数学上，导数可以通过极限来定义，即函数在某一点上的极限值。
2. 常见函数的导数公式- 常数函数的导数为0。
- 幂函数的导数可以通过幂函数的指数减1再乘以导数来计算。
- 指数函数和对数函数的导数可以通过指数函数或对数函数自身来计算。
3. 微分的概念微分描述了函数在某一点上的局部线性逼近。
它是导数的一种应用。
三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理指出，如果一个函数在某一闭区间上连续，在该区间的两个端点处取得相同的函数值，那么在这个区间内，存在至少一点使得函数的导数等于零。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是导数中值定理的一种情况，它表示在一个开区间上，函数存在至少一点处的导数等于该区间上函数的平均斜率。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义不定积分是函数逆运算的一种形式，使用一个表示无穷小的符号 "dx" 来表示。
不定积分可以求出一个函数的原函数。
2. 常见函数的不定积分公式- 幂函数的不定积分可以通过幂函数的幂次加1再除以幂次来计算。
- 指数函数和对数函数的不定积分可以通过指数函数或对数函数自身来计算。
3. 定积分的定义定积分用来计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的弧长。
定积分可以看作是不定积分的一种应用。
五、常微分方程1. 常微分方程的定义常微分方程是含有未知函数的导数的方程，其中未知函数是变量的函数。
高数知识点总结PPT课件
时,为右导数 时,为左导数
可微
第9页/共33页
第
二
章
导数 与 微分
• 应用:
(1) 利用导数定义解决的问题 求分段函数在分界点处的导数 由导数定义证明一些命题
(2) 用导数定义求极限 (3) 求曲线的切线与法线 (4) 微分在近似计算与误差估计中的应用
第10页/共33页
第
二
章
导数 与 微分
二、导数和微分的求法
第
一
章
函数 与 极限
一、函数
1. 特性 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 2. 反函数 3. 复合函数 4. 初等函数
第1页/共33页
第
一
章
函数 与 极限
二、 极限
1. 极限定义的等价形式
(以 x x0为例 )
" "
(即 f ( x) A为无穷小)
有
第2页/共33页
第
一
章
函数 与 极限
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的Байду номын сангаас质; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x,
1 cos x ~ 1 x2, 2
arcsin x ~ x,
ex 1 ~ x,
(1 x) 1 ~ x.
第3页/共33页
第
一
章
函数 与 极限
4. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
第4页/共33页
3. 有关中值问题的解题方 法 利用逆向思维，设辅助函数. 一
般解题方法: (1) 证明含一个中值的等式或根的存在,多 用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数. (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函 数，可考虑用柯西中值定理 .
《高数期末复习》PPT课件
3、掌握幂级数的收敛半径(bànjìng)、收敛域及和函数的求 法 ，理解Abel定理
第十四页，共三十七页。
4、熟 悉 1 、e x、sin x、cos x的 麦克劳林展开式， 1 x
会利用(lìyòng)间接展开法将一些函数展开成幂级数，并写出 收敛域。
则divA 2x 2 y 2z, rot A 0
第十页，共三十七页。
例2 计算曲面(qūmiàn)积分 ( z 2 x 4 y)dS
其 中为 平 面 x
y
z
3
1在 第 一 卦 限 部 分
2 34
解：Σ的方程
为 (fāngchéng)
z 4(1 x y ) 23
D: x y 1 23
解
1 1 ,而 1 发散,
n ln n n n1 n
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数(jíshù)非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理(dìnglǐ)：
n1 n ln n
lim ln n n n 1
ln x lim x x
1 lim x x
补充 1 : z 1 ( x 2 y2 1)
取上侧，
1
原式 x2dydz y2dzdx z2dxdy
1
1
2 ( x y z)dv dxdy 2 zdv
Dxy
2
2
d
1
rdr
1
zdz
2
1
0
0
r2
3
3
第十三页，共三十七页。
无穷(wúqióng)级数（30%左右） 1、 掌握正项级数敛散性的比值(bǐzhí)、根值、比较判别法。
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定理(第二充分条件)
设 f ( x)在 x0 处具有二阶导数, 且 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则 (a) 当 f ( x0 ) 0, f ( x)在 x0 处取得极大值, (b) 当 f ( x0 ) 0, f ( x)在 x0 处取得极小值.
23
求极值的步骤:
第一章 极限与连续
极限存在准则
单调有界必有极限
夹逼定理
lim sin x 1
两类重要极限
x0 x
lim (1
x
1 )x x
e
无与穷小性质有无限穷个小无与穷有小界的量和的,积积仍仍是是无无穷穷小小 无穷大比较 (高阶, 低阶,同阶, 等价, k 阶)
1
常用等价无穷小
ex 1 ~ x sinx ~ x tan x ~ x ln(1 x) ~ x 1 cos x ~ x2
x(ex 1) e x 1 x
lim
x0
e
x
1 xe ex 1
x
1
lim
x0
xe x ex 1
x 0时，ex 1 ~ x
1 lim e x
上 式 e x0 e2
31
第四章 不定积分
基本概念
(原函数,不定积分
f
( x)dx
)
基本性质(与求导, 微分运算间关系;线性可加性)
积
分 法
换 分部 元积 积分 分法 法第 第二 一类 类换 换元 元((三凑角微代分换法),倒代换) 有理函数的积分可四化种为基有本理形函式数的的积积分分
32
例
x2 1 x4 1 dx
分子分母同除以 x 2
解
原式
1
1 x2 dx
x2
1 x2
d( x 1 ) x
(x 1 )2 2 x
1
x 1 arctan x C
2
2
1 2
arctan
x
2 1 2x
C
33
例
x
1 4
1
dx
1 2
(
x
2
1) ( x x4 1
2
1)
dx
x0
x0
lim arctan 1 , lim arctan 1 .
x0
x
2 x0
x2
一类需要注意的极限
lim
x2 1 1,
lim
x2 1 1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx x
x x
5
连续的定义
左xlim连x0 f续( x、) 右f连( x续0 )
间断点的分类
第一类间断 第二类间断
(可去型, (无穷型,
跳跃型) 振荡型)
极值存在的充分条件
函数的凹凸性 (拐点,凹凸性和判别法)
函数的最大最小值
函数的渐近线
(水平,垂直)
17
带Peano型余项的泰勒公式
设 f ( x) 在含 x0 的区间(a, b)内有 n 阶连续 导数, 则对于 x (a, b), 有
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
解 : 可知 x 0，x 1是可能的间断点. (1) 在x 0处，
lim y 1 sin2(1)，lim y 1 sin2(1)
x0
x0
因在x 0处的左右极限都存在,但不相等，
所以x 0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.
9
(2) 在x 1处，
1
lim
x1
y
lim[
x1
2
x 1
1
1
1 x2
dx 1
1
1 x2
dx
2
x2
1 x2
2
x2
1 x2
1
1
1 2
d( x ) x
(x 1 )2
2
1 2
d( x ) x
(x 1 )2
2
x
x
1
x 1 arctan x
22
2
1 2
1 22
ln
x x
1 x 1
x
2 2
C ( x 304 )
例 求 max{1, x }dx.
12
第二章 导数与微分
导数
定义导左数导存数在f的( x0充), 要 右条 导件 数
f(
几何意义
切线斜率k
f ( x0 )
x0
)
可导性与连续性的关系 可导 连续
微分
求微分
dy
f ( x0 )dx
可导与微分的关系
可导 可微
13
按定义求导
求导数方法
复合函数求导
隐函数,
参数方程求导
20
洛必达法则
基本类型： 变型: 法则：
0 型, 型
0
0 , , 00, 1 , 0型
lim f ( x)
f ( x)
lim
.
g( x)
g( x)
注 (1) 当上式右端极限存在时, 才能用此法则, (2) 在求极限过程中,可能要多次使用此法则, (3) 在使用中, 要进行适当的化简, (4) 在使用中, 注意和其它求极限方法相结合.
x 1,
x = –1为第一类可去间断点
lim f ( x) ,
x 1
x = 1为第二类无穷间断点
x 0, lim f ( x) 1, lim f ( x) 1.
x 0
x 0
x = 0为第一类跳跃间断点
8
1
例
求y
2x
1
1 sin( x 1)sin 1 的间断点, x1
2x 1
并判断其类型.
x 1, 已知函数在 x1
2.
lim
x
x
x2
ln( 1
1 x
)
3.求 极 限
ex sin x x(1 x)
(1) lim x0
x3
1
(2) lim (e x 1 x)ln x x0
26
计算题解答
1. 由连续性, 有 lim f ( x) lim f ( x) f (1)
x1
x1
闭区间连续函数的性质
最大,最小值定理 有界性
介值定理, 零点定理
6
例 求 f (x)
1
x
的 间 断 点, 并指出其类型.
1 e1 x
解 当x 0, x 1时,函数无定义,是函数的间断点.
x 0,
由于
lim
x0
f
(x)
lim
x0
1
x
1 e 1x
,
所以 x 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
x 1,
由于
lim f
x 1
(x)
lim
x1
1
x
1 e 1x
0
lim f
x 1
(x)
lim
x1
1
x
1 e 1x
1
所以 x 1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型. 7
例求
的间断点,并判别其类型.
解 x 1, x 1, x 0是间断点,
x 1,
lim
x 1
(1 x)sin x 1 sin1, x ( x 1)( x 1) 2
x
lim e x
x0
lim
x0
cos x 3x2
1
lim
x0
ex 2x
1
1 1 1 62 3
30
1
(2) lim (ex 1 x)ln x (00 ) x0
ex 1
ln( e x 1 x ) lim
lim e x 1 x x0 1
e x0 ln x e
x
e e e lim x0
~ 当 x 0, etanxsin x 1 tan x sin x,
故原式
1 2
lim
x0
tan x sin x e (e sin x tan xsin x 1)
1
tan x sin x
1
2
lim
x0
esin
x
(tan
x sin x)
2
4
两对重要的单侧极限
1
1
(a 1) lim a x 0, lim a x ,
f
( x0 2
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( 2
x0
)
(
x
x0
)n
o[(
x
x0
)n
].
18
常用函数的麦克劳林公式
sin x x x3 x5 (1)n x2n1 o( x2n2 )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n o( x2n )
x ( , )
则函数 f ( x)的曲线有水平渐近线 y a.
(b) 垂直渐近线 若函数 f ( x)满足
lim f ( x) ,
x x0 ( x0 , x0 )
则函数 f ( x)的曲线有垂直渐近线 x x0.
25
计算题
1. 设
y
f (x)
2 1 x2
ax b
x 1处可导, 确定 a, b.
2x
1 1
sin( x
1) sin
x
1
] 1
1 3
即在x 1处函数的左右极限都存在且相等，
所以x 1是函数的第一类间断点,且是可去间断点.
10
例 设函数
a (1 cos x) x2