大一高数知识点PPT课件
大一高数知识点总结ppt6
大一高数知识点总结ppt6第一章：导数与微分在大一的高数课程中，导数与微分是一个非常重要的知识点。
导数可以理解为函数在某一点处的变化率，而微分则是对函数进行近似的线性逼近。
通过学习导数和微分，我们可以更好地理解函数的性质和行为。
1. 导数的定义导数的定义是极限的概念。
对于一个函数f(x)，在某一点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
其定义可以表述为：f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]其中，h表示取极限的无穷小量。
导数的意义在于反映函数在某一点处的瞬时变化率。
2. 导数的计算法则在实际计算导数时，我们可以利用一系列的计算法则来简化计算过程。
其中，常见的导数计算法则有：- 常数法则：如果f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。
- 幂法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
- 和差法则：如果f(x) = g(x) ± h(x)，则f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
- 乘法法则：如果f(x) = g(x) * h(x)，则f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
- 商法则：如果f(x) = g(x) / h(x)，则f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]^2。
这些导数计算法则可以帮助我们更快地计算出函数的导数，并且减少计算错误的可能性。
3. 微分的定义与应用微分是导数的一种应用。
通过微分，我们可以对函数进行近似的线性逼近，从而研究函数的性质。
微分的定义可以表述为：df(x) = f'(x) * dx其中，df(x)表示函数f(x)在dx范围内的微小变化量。
在实际应用中，微分可以用于求函数在某一点处的斜率、切线方程以及近似计算等问题。
大学高数第一章函数和极限ppt课件
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
大一高数知识点PPT课件
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
.
16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
.
6
M 1 P x 2 x 1 , PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
.
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
.
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
由图分析可知
a a x y ||a a ||c co o向 量 的ss
大一高数上_PPT课件_第一章
几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集。 子集: 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集, 记 为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。
的上方。
y y=f(x) O x
y=K2
如果存在数 M,使对任一 xX，有 | f(x) |M， 则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在， 则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M ，总存在 x1X，使|f(x)|>M。 有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M y 的之间。
高等数学研究的主要对象是函数，主要研 究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和 分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。 那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方 法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方 法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数 学的一个显著标志。 由于高等数学的研究对象和研究方法与初 等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出 以下显著特点：
周期函数的图形特点：
y
y=f(x)
-2l
-l
O
l
2l
x
四、反函数与复合函数
1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 对于任一数值 yW，D上可以确定唯一数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按 照函数的定义就得到一个新的函数，这个 新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=f -1(y)。
什么样的函数存在反函数？
高数大一上知识点总结ppt
高数大一上知识点总结ppt一、导论高等数学是大一上学期的一门重要的基础课程。
本次总结将通过PPT的形式逐个介绍高数大一上学期的知识点。
二、数列与极限1. 数列的概念与性质- 数列的定义- 数列的分类- 数列的性质2. 极限的概念与运算法则- 极限的定义- 极限的运算法则- 极限存在的判定方法三、函数与连续1. 函数的概念与性质- 函数的定义- 函数的性质- 函数的分类2. 连续性与间断点- 连续性的概念- 连续性的判定方法- 间断点的分类四、导数与微分1. 导数的概念与基本性质- 导数的定义- 导数的基本性质- 导数的计算方法2. 微分与微分中值定理- 微分的定义- 微分中值定理的原理- 微分中值定理的应用五、不定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义- 不定积分的基本性质- 基本积分表2. 定积分与定积分的性质- 定积分的概念- 定积分的性质- 定积分的计算方法六、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质- 多元函数的定义- 多元函数的性质- 多元函数的分类2. 偏导数与全微分- 偏导数的定义- 偏导数的计算方法- 全微分的概念与计算方法七、二元函数与二重积分1. 二元函数的概念与性质- 二元函数的定义- 二元函数的性质- 二元函数的分类2. 二重积分的概念与计算方法- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法- 二重积分的应用八、向量与空间解析几何1. 向量的概念与运算- 向量的定义- 向量的运算法则- 向量间的关系2. 空间解析几何的基本概念与性质- 点、直线的表示与方程- 平面的表示与方程- 空间几何中的距离与角度九、作业与课堂练习通过本次PPT的学习，我们对高等数学大一上学期的知识点进行了系统的总结。
接下来，我们将通过作业和课堂练习进一步巩固和深化所学内容。
结语通过本次总结PPT，我们回顾了高数大一上学期的重要知识点。
希望这个PPT对你巩固和扩展数学知识有所帮助。
祝你在高等数学学习中取得出色的成绩！。
大学高等数学第一节PPT
a a≥0 a = − a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
4.绝对值: 4.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a − b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
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(3)并集 并集 由属于A或属于 的所有元素组成的 由属于 或属于B的所有元素组成的 或属于 集称为A与 的并集记作A∪ ， 的并集记作 集称为 与B的并集记作 ∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B} ∪ ∈ 或 ∈ (4)交集 交集 由同时属于A与 的元素组成的集称 由同时属于 与B的元素组成的集称 的交集， 为A与B的交集，记作 与 的交集 记作A∩B，即 ， A∩B={x|x∈A且x∈B} ∈ 且 ∈ 不相交， 若A∩B=∅，则称 与B不相交， ∅ 则称A与 不相交 相交。 若A∩B≠∅，则称 与B相交。 ∅ 则称A与 相交
f : A → B , 或 f : x |→ y , x ∈ A
称y为x在映射 下的像， x称为 在映射f下的原像,集 为 在映射f下的像 称为y在映射 下的原像 集 在映射 下的 称为 在映射 下的原像 称为映射f 定义域, 中所有元素 的像y的全体 中所有元素x的像 合A称为映射 的定义域,A中所有元素 的像 的全体 称为映射 记作f 所构成的集合称为f 值域,记作 即 所构成的集合称为 的值域 记作 (A).即
第一章 第二章 第七章
第三章
第八章
第四章
第九章 第十章
第五章
第六章
第十一章
Байду номын сангаас
完整高数(一)PPT课件
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
.
22
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数 ;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o
x
x
偶函数
.
23
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数 ;
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u)的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z, 若D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
.
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x 2 1 1,
综上所述
ex2,
f
[
(
x)]
x 2, e x2 1 ,
x2 1,
x 1 1 x 0
. 0 x 2
x 2
1 x 0; x 2;
.
50
三、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
双曲正弦 sinh x e x ex 2
4321
-4 -3 -2 -1
o -1 1 2 3 4 5
x
-2 -3 -4
阶梯曲线
.
13
(3) 狄利克雷函数
y
D(
x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
大一高数期末复习重点-PPT
)
闭区间连续函数的性质
最大,最小值定理 有界性
介值定理
零点定理
,
6
例 求 f ( x) 1 x 的间断点, 并指出其类型. 1 e1 x
解 当x 0, x 1时,函数无定义, 是函数的间断点.
x 0, 由于 lim f ( x) lim
1 x ,
x0
1 e x0
1 x
所以 x 0是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
1 的间断点, x1
2x 1
并判断其类型.
解 : 可知 x 0，x 1是可能的间断点. (1) 在x 0处，
lim y 1 sin2(1)，lim y 1 sin2(1)
x0
x0
因在x 0处的左右极限都存在, 但不相等， 所以x 0为函数的第一类间断点,且是跳跃间断点.
9
(2) 在x 1处，
x( , )
则函数 f ( x)的曲线有水平渐近线 y a. (b) 垂直渐近线 若函数 f ( x)满足
lim f ( x) ,
x x0 ( x0 , x0 )
则函数 f ( x)的曲线有垂直渐近线 x x0.
25
计算题
1. 设
y
f
(
x
)
1
2 x
2
ax b
x 1处可导, 确定 a, b.
x)
a 2
f (0 ) lim ln (b x2 ) ln b x0
a 1 ln b 2
1 cos x ~ 1 x2 2
11
例
讨论
f (x)
x2 sin
1, x
x0
0,
x0
在x 0处的连续性与可导性 .
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.
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y 2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
.
21
例2 求(1)
a向 量(3m,5,a1),bbc(;2(2,2) ,m3)在, cy轴(4上,的1,投3影) ,
及在 z 轴上的分向量.
或
M1M20
零向量：模长为0的向量. 0
.
9
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量.a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量. OM
.
10
向 a 平 量 b ,即 行 a /b / 于
向量的共线、共面 向a 量 与 b 的夹角，垂直
空间两向量的夹角的概念：
a0,
b0,
向量a与向量b的夹角
b
a
(a ,b )(b ,a ) (0)
.
11
四、向量的线性运算
[1] 加法：符合平行四边形法则，也称为三角形法则
[2] 减法
[3] 数乘
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1)0, a 与 a 同 向 ， |a ||a |
.
15
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量： a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a { a x ,a y ,a z}
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 . z
2
2
2
B
AM o
y
.
x
8
三、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2
向量表示：a或 M1M2
M 1
以 M 1为 起 点 ， M 2为 终 点 的 有 向 线 段 .
向量的模： 向量的大小.| a|或 | M1M2|
单位向量：模长为1的向量. a 0
由图分析可知
a a x y ||a a ||c co o向 量 的ss
y a z |a |co方 向s
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
余 弦
M 1 M 2M 1 P 2 M 1 Q 2 M 1 R 2
|a |a x 2 a y 2 a z2向量模长的坐标表示式
.
18
向量方向余弦的坐标表示式
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
.
4
空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
d OM x2y2z2.
.
7
结论：设 A( x1 , y1 , z1 )和 B( x2 , y2 , z2 )为两已知
点，点 M 为线段 AB上的一个点，且 AM ，
MB
则 M(x, y, z)的坐标分别为：
x x1 x2 ,
y y
y 1
2,
z z
z 1
2.
1
1
1
M 为 有 向 线 段 A 的 定 B 比 分 点 .M为 中 点 时 ，
使 ba,即 bx by bz .
ax ay az
.
13
五、向量的坐标
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A和终点B 在
轴u上的投影分别为A, B那
么轴u上的有向线段AB的
值，称为向量在轴u 上的投影.
向 量 A 在 轴 u B 上 的 投 影 记 为 PrjuAB
.
14
以 i,j,k 分 别 表 示 沿 x ,y ,z 轴 正 向 的 单 位 向 量 .
(2)0, a 0
(3)0, a 与 a 反 向 ， |a | | ||a |
.
12
数乘符合下列运算规律：
（1）结合律： (a ) (a ) ()a
（2）分配律：( ) a a a
( a b ) a b
两个向量的平行关系
定 理 设 向 a量 0,则 向 b//a 量 存 在 唯 一 ，的
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
特殊地：O M {x ,y ,z}
.
16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
.
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
第八章 空间解析几何
.
1
第一节 空间向量及其线性运算
.
2
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向符合 右手系.
z竖轴
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
手指从正向 x轴以
2
角度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
定点 o•
y纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
.
3
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z
a a x i a y j a z k
R
向向 向
•M 2
量量 量
k M 1•
P
o
j
Q 在x 在y 在z
N y轴 轴 轴
上上 上
xi
axx2x1
的 投
的 投
的 投
ayy2y1 azz2z1 影 影 影
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
.
6
M 1 P x 2 x 1 , PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
当 ax2ay2az20时，
cos
ax
,
ax2ay2az2
cos
ay
,
ax2ay2az2
cos
az
.
ax2ay2az2
.
19
方向余弦的特征
c2 o s c2 o s c2 o 1 s
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0
Байду номын сангаас
|
a a
|
{c,c oo ,s cso }.s
.
20
例 1 求平行于向量 a (1,2,2)的单位向量.