大学高数同济大学版PPT
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同济高等数学课件(完整版)详细
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x
( x0 )
x0 ).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
例8
讨论函数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
1
但在x 0处有 y (0 x)sin 0 x 0 sin 1
h0
h
三、证明：若 f ( x)为偶函数且 f (0) 存在，则 f (0) 0 .
四、
设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件， f ( x)在 x 0处 (1)连续； （2）可导；
（3）导数连续.
五、
设函数
f
(x)
x2
,
x
1
,为了使函数
ax b , x 1
f ( x)在 x 1处连续且可导，a , b应取什么值.
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
同济大学版本高数精品课件全册
1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
《同济版高数下》PPT课件
L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2
2
例 求柱面 x3 y3 1在球面 x2 y2 z2 1内
的侧面积.
2019/5/6
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线
联计
联计 面
积
系算
系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
其中 L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y 0.
2019/5/6
24
例 计算
L
xdy 4x2
yyd2x，其中L是以
1,
0
为
为中心，R为半径 R 1的圆，逆时针方向
《同济版高数》课件
数学是一门美丽而强大的学 科，它存在于生活的方方面 面，深深影响着我们的世界。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
探索《同济版高数》的世界，与高数的魅力相遇。让我们一起学习，展现数 学的美妙与力量。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
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第一课同济大学高等数学上预备知识ppt课件
例 设 X 1 ,2 ,3 ,Y 2 ,4 ,6 ,8 ,
T
X Y,
x
2 x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1 ,1 ,Y , ,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
xx
域内是无界函数.
解 只要证明在 x 0 的任何空心邻域内，无论对怎样的
正数 M 0，总是存在该邻域内一点 x 0 ，使得
f x0 M.
1
现设
M
0，取
x0
2n
/
，
2
其中取
n
1
2
M
2
的正整数，
并且使得 x 0 在空心邻域内，
例：设 X R ,Y 1 ,1 ,Z 0 ,1 ,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z, T x(sinx)2.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
同济大学 高等数学 第一册 函数 课件
证明: 证明: 任 x1， 2 ∈(0,+∞ 且 1 < x2， ) x 取 x 则
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.
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(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x0 x0
可表为 y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
( 自学, P17 – P20 )
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
直积 A B (x, y) x A, y B
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函数;
y
若
则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当 x O x x
f (x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数
例如 ,
O
x
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
对称 .
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(2) 复合函数
设有函数链
y f (u), u Df
①
且 Rg D f
②
则
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
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( n 1, 0! 1)
( n) 设 y sin x , 求 y . 例5 解：y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu )
( n 1)
( n)
Cu
( n)
(3) (u v)
(n)
u v nu
(n)
n(n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n(n 1) (n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k!
x0
2.
x ( n) 设 y a ( a 0 , a 1 ), 求 y . 例2
解： y a ln a,
x
y a ln a,
x 2
y a ln a,
x 3
（a ） a ln a
x ( n) x n
特殊地： （e ） e
x ( n)
x
例3
设 y x ( R), 求y ( n) .
f ( x) f (0) f (0) lim x 0 x0 lim ( x 1)( x 2) ( x 99) 99!
x 0
方法2 利用求导公式.
f ( x) ( x)
x
f (0) 99!
x, 3.设 f ( x ) ln( 1 x ),
1 y d dx d dy dy dy
d2x 2 dy
1 d y dx dx dy
y 1 y 2 3 g( x ) y y y
y d 3 3 2 y dx d x d d x 3 2 dy dy dy dx dy
1 x
1 x
2 2x 2 ( 3 x 1 ) y ( ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3 2x f (0) 2 2 x 0 0; (1 x )
(1 x ) 2
2( 3 x 2 1) f (0) (1 x 2 ) 3
x ( n) x n
a ln a
x ( n)
e
x
(5) (ln x )
( n)
( 1)
n 1
( n 1)! xn
1 ( n) n n! ( ) ( 1) n 1 x x
1 (5) 例7 设 y 2 , 求y . x 1
1 1 1 1 ) 解： y 2 ( x 1 2 x 1 x 1
k ( nk ) ( k ) Cn u v k 0 n
莱布尼兹公式
(uv) uv uv 特别地 (uv) uv 2uv uv
2 2x ( 20 ) 设 y x e , 求 y . 例6
设u e , v x , 则由莱布尼兹公式知 解：
f ( x) f (a) ( x a ) ( x) f (a ) lim lim x a x a xa xa
lim ( x) (a)
x a
2. 设 f ( x) x ( x 1)( x 2)( x 99), 求 f (0). 解: 方法1 利用导数定义.
(a x ) a x ln a 1 (loga x ) x ln a
(e x ) e x (l n x )
2
(arcsin x )
1
1 x 1 (arctan x ) 1 x2
(arccos x )
1 x 1
1 x2 1 ( arccot x ) 1 x2
y
3
y y 3 y y 1 6 y y
2
3 y yy . 5 y
2
第四节 隐函数及其由参数所确定
的函数的导数 相关变化率
主要内容
1.隐函数的导数 2.由参数方程所确定的函数的导数 3.相关变化率
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) . 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ( x ), y , 2 或 2 dx dx
一般地 , 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为 函数f ( x )的n阶导数 , 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
二、 高阶导数求法举例
☻直接法:
由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0). 2x 1 1 解： y y ( ) 2 2 2
若 为自然数n, 则
y
( x ) n! , y
n ( n)
( n 1)
(n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法可证明)
例4 设 y ln(1 x ), 求y .
( n)
1 解： y 1 x
y
(n)
（sin x） sin( x n
(n)
同理可得 (cos x ) ( n )
( n)
2 cos( x n ) 2
)
（sinkx） k sin( kx n
n
2
)
☻高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)
( n)
7
函数与极限
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即 f ( x x) f ( x) ( f ( x)) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数 .
2 2 (1 x ) 3! (4) y (1 x ) 4
( n) n 1 ( n 1)! ln(1 x ) (1) n
ln x ( n)
(1 x ) n 1 ( n 1)! ( 1) ( n 1, 0! 1) n x
y
( 5)
1 5! 5! 5 5 [(1) (1) ] 6 6 2 ( x 1) ( x 1)
1 1 60[ ] 6 6 ( x 1) ( x 1)
dx 1 d2x d3x 已知 ，求 2 , . 3 dy y dy dy
分 析：
本题应视x为y的函数 ,即x x( y), 在此观点下 , y y( x ) y[ x( y)]应视为 以y作自变量 , x为中间变量的复合函数 . 利用复合函数求导法即 可.
2x 2
y
( 20 )
(e ) x 20(e ) ( x ) 20(20 1) 2 x (18) 2 (e ) ( x ) 0 0 2!
2 x ( 20 ) 2 2 x (19 ) 2
20 19 18 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u( x ), v v ( x )可导，则 （1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)
v uv u u （3）( uv ) u v uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v 3.复合函数的求导法则 设y f ( u), 而u ( x )则复合函数 y f [ ( x )]的 dy dy du 导数为 或 y( x ) f ( u) ( x ). dx du dx
第二章
导数与微分
复习
1.常数和基本初等函数的导数公式
( x ) x 1 (cos x ) si n x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
(C ) 0 (si nx ) cos x
2 (tan x ) se c x (se cx ) se cx tan x
x0 x0
, 求f ( x ).
解 当x 0时, f ( x ) 1,
ln(1 x h) ln(1 x ) 当x 0时, f ( x ) lim h 0 h 1 1 h lim ln(1 ) h 0 h 1 x 1 x
(0 h) ln(1 0) 当x 0时, f (0) lim h 0 h
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函数与极限
一、隐函数的导数
2 2 x y
隐函数
dy 问题： x y 1, xy e e 0, 如何求 ? dx
隐函数：F ( x, y) 0
显函数：y f ( x )
隐函数的显化
隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
dy 例1 x y 1, 求 . dx 2 2 解：方程两边对x求导, x ( y( x )) 1