清华大学微积分高等数学第13讲不定积分一PPT课件
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不定积分(PPT课件)
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
定理8.4（1）设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
x0
x C , x 0
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
第二节 换元积分法和分步积分法
• 一、换元积分法 • 二、分步积分法
一、换元积分法
问题1 cos2xdx sin 2x C,
第八章 不定积分
•第一节 不定积分概念与基本积分公式 •第二节 换元积分法与分部积分法 •第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积 分
第一节 不定积分概念与基本积分式
一、原函数与不定积分 二、基本积分表 三、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
定理8.4（1）设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d
dx
f ( x)dx
f ( x),
d[ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
x0
x C , x 0
但F ( x)在x 0处不可微， 故假设错误
所以 f ( x) 在 (, ) 内不存在原函数.
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
第二节 换元积分法和分步积分法
• 一、换元积分法 • 二、分步积分法
一、换元积分法
问题1 cos2xdx sin 2x C,
第八章 不定积分
•第一节 不定积分概念与基本积分公式 •第二节 换元积分法与分部积分法 •第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积 分
第一节 不定积分概念与基本积分式
一、原函数与不定积分 二、基本积分表 三、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的 导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x) 或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
不定积分 ppt
x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,
x11 x11
dx
t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C
(1 x ) 102
(1 x ) 101
C
解二
x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx
x)
dx
(1
101
100
x)
dx
(1 x ) 102
102
(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C
1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一
ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx
dx 2 co s
2
d x 2
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
清华大学微积分高等数学课件第13讲不定积分一43页PPT
(2) 求f(x)过(0, 1)点的积分曲 . 线
[解] (1) 不是！
因为 g(x)在点 x0处不连续
02.04.2020
10
(2) 首先要f求 (x)的积分曲线族
分段积分，得 G(x)c12ox2sxCC21
x0 x0
若G(x)是f(x)在R上的原函数
G(x)在x0连续
x l 0 i G m (x ) x l 0 i G m (x ) G (0 ) C21C1
记作:
积 分 号
被积函数
积
分
f(x)dx F (x)C常数
积分变量
02.04.2020
8
积分曲线与积分曲线族
y
yF(x)
积分曲线
yF(x)C 积分曲线族
o
02.04.2020
x
x9
[例3] 设f(x) sxinx
x0 x0
co sxC g(x)12x2 C
x0 x0
(1) 问：g(x)是f(x)的不定积分吗
(3) sinxdx coxsC
(4) coxsdxsinxC
02.04.2020
17
(5) axdx 1 a x C ln a
(6) exdxex C (7) se2cxdxtan xC
(8) cs2cxdxcoxtC
(9) shxdxchxC
(10) chxdxshxC
02.04.2020
02.04.2020
k1 f1(x)d xk2 f2(x)dx
15
怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式
微分法——积分法
高等数学-不定积分课件
贰
请在此添加较简洁标题内容
在区间 I 上的一个原函数 .
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理.
01
存在原函数 .
02
初等函数在定义区间上连续
则
原式
例19. 求
原式
解: 原式
例20. 求
解: 原式 =
例21. 求
例22. 求
解: 令
得
原式
CONTENTS
思考与练习
壹
下列积分应如何换元才使积分简便 ?
单击此处添加文本具体内容
贰
叁
肆
第三节
由导数公式
积分得:
分部积分公式
或
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分法
第四章
解: 令
03
4.5 1,2,3,4,
05
4.2 1(1,2,4,6,7,9,12,15,16,18) 4 5
02
4.4 1,3,5,7,9,11
04
作业 P218
得 0 = 1
下述运算错在哪里? 应如何改正?
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .
第四节
有理函数的积分
第四章
一、有理函数的积分
有理函数: 时, 多项式 + 真分 式 分解 若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A
有理函数
B
相除
C
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: 用拼凑法
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
《不定积分》课件
幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（b）原函数的结构问题
15.11.2020
6
[定理1] 若F(x)是f(x)在区I间 上的一个 原函,数则F(x)C 是f(x) 的全体 原函,数 其中 C为任意常 . 数
[证] （ 1） 证 F(x明 )C是 f(x)在 I上 的
一个原函数
[ F ( x ) C ] F ( x ) f ( x ) x I
2
一、原函数与不定积分概念
（1） 从运算与逆运算看
初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方等，都是互逆的运算。
微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽？
问题：已知函f数 (x),要求这样一个函
F(x),使F(x)的 导 函 数 正 f (是 x).
这就是求原函数和不定积分的运算。
(2) 求f(x)过(0, 1)点的积分曲 . 线
[解] (1) 不是！
因为 g(x)在点 x0处不连续
15.11.2020
11
(2) 首先要f求 (x)的积分曲线族
分段积分，得 G(x)c12ox2sxCC21
x0 x0
若G(x)是f(x)在R上的原函数
G(x)在x0连续
x l 0 i G m (x ) x l 0 i G m (x ) G (0 ) C21C1
15.11.2020
3
（2） 从物理问题看
已知运动S规律 S(t),要求瞬时速 v(t)?
求导数v(： t)S(t)
反 问 题: 已 知 瞬 时 速v(度t),要 求 运 动 规 律
S S(t) ? 求 原 函 数 : S(t), 使 S(t) v(t)
15.11.2020
4
（一）原函数的定义
15.11.2020 在区间 (1, 1)上的一个原. 函数 5
cR, (x3c)3x2 (x3 c)也 是 3x2在R上 的 原.函 数
一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。
关于原函数有两个理论问题:
（a）原函数的存在问题
结论: 若函数 f(x)在区间 I上连,续
则f(x)在区间 I上存在 原函 . 数
由拉格朗日中值定理的推论知 G (x ) F (x ) C x I
即 G ( Байду номын сангаас ) F ( x ) C x I
15.11.2020
8
（二）不定积分的定义
设f(x)在 区I间 上 存 在 原F函 (x),数
则其 原 函 数 的 F(全 x)体 C 称 为 f(x)
在 区I间 上 的 不 定. 积 分
(3) sinxdx coxsC
(4) coxsdxsinxC
15.11.2020
18
(5) axdx 1 a x C ln a
(6) exdxex C (7) se2cxdxtan xC
(8) cs2cxdxcoxtC
(9) shxdxchxC
(10) chxdxshxC
15.11.2020
F(x)C是f(x)在I上 的 一 个 原函数
15.11.2020
7
（2） 证 明 f (x)在I 上 的 任 意 一 个 原 函 都 可 以 表 示 F(x为) C的 形 式
设G(x)是f (x)在I 上 的 任 何 一 个 原
[G (x ) F (x )] G (x ) F (x ) f(x )f(x ) 0 x I
coxsC x0
15.11.2020
G(x)12x21C
x0
12
当 x 0 时 , G (x ) six n
当 x0 时 , G (x)x
又G (0)x l i0m cox x s10
1x211 G(0)0
G(0)xl im 0 2 x
0
于 G ( x ) 在 是 ( , ) 上 ,且 可 G ( x ) f( 导 x )
（1） 不定积分与微分互为逆运算
(1) (f(x)d)xf(x) d(f(x)d)xf(x)dx
(2) f(x)d xf(x)C
d(fx)f(x)C
15.11.2020
15
（2） 线性运算性质
(3 )[f(x ) g (x )d ] x g (x ) d x g (x ) d
(4)k(fx)d xkf(x)dx 综合(3)(4) [k1f1(x)k2f2(x)d] x
coxsC x0
15.11.2020
f(x)dx12x21C
x0
13
c oxsC 即yG(x) 1 2x21C
是f ( x)的积分曲线族
x0 x0
令 x0,G (0)1 ,得C0
coxs yF(x)12x21
x0 x0
是f(x)过(0, 1)点的积分曲线
15.11.2020
14
（三）不定积分的性质
设f (x)在区间I上有定义 .若另有一个 可导函数 F(x), 使xI, 都有
F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx 则称F(x)是f (x)在I上的一个原函. 数
[例1] F(x) x3 是f(x)3x2 在区间(, )上的一个原.函数
[例2] F(x)arcsxin是f(x) 1 1x2
19
( 11 )
1
dx arcxs iC n
1 x2
( 12 )
1 dx arcx coCs
1 x2
( 13 )
1 1 x 2 dx
arctxa C n
作业
P129 习题5.2 1(1). 6. 9.
P133 习题5.3 1(3)(6)(9). 2(3)(5)(11). 3(3)(7)(9)(10). 4(3)(8).
预习：P135—141
15.11.2020
1
第十三讲 不定积分（一）
一、原函数与不定积分概念 二、基本积分表 三、凑微分法
15.11.2020
15.11.2020
k1 f1(x)d xk2 f2(x)dx
16
怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式
微分法——积分法
反想
逆运算
15.11.2020
17
二、基本积分表
(1) xdx x 1 C
1
(2)
1 dx ln x C x
(1)
记作:
积 分 号
被积函数
积
分
f(x)dx F (x)C常数
积分变量
15.11.2020
9
积分曲线与积分曲线族
y
yF(x)
积分曲线
yF(x)C 积分曲线族
o
15.11.2020
x
x10
[例3] 设f(x) sxinx
x0 x0
co sxC g(x)12x2 C
x0 x0
(1) 问：g(x)是f(x)的不定积分吗