高数定积分讲解ppt
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《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
定积分的概念课件
y f ( x)
a
b
x
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a f (t)dt a
(3)
b
b
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
b
a
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y f ( x)
高中数学选修2-2第一章《定 积分》
温故知新 ＊ 曲边梯形的定义：
我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲 线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。 ＊ 求曲边梯形面积的步骤： 分割区间 过剩估计值 不足估计值
逼近所求面积
（一）、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
1
梯形 的面积。 成的图形的面积，即_______
2
容易知道，梯形的面积是 3 ，所以 y y 2 y=2
1
3 1 yxdx x 2
2
o
x
1
o
1
x
2
由图可知， y 1 x 2 表示的是单位圆在 x 轴上
方的半圆。 所以 1
积。
《高等数学教学课件》07定积分
n
Ak f (k ) xk A Ak f (k ) xk
k 1
k 1
(1) 划分区间，求近似值
在[a, b]区 间 任 意 插 入 分 点:
a x0 x1 xi1 xi xn b
将[a, b]分成n个子 区间[ xk1, xk ] (k 1, 2, , n) 将 曲 边 梯 形 分 成n 个 小 曲 边 梯 形
n
n
f (k )xk Cxk
k 1
k 1
n
C xk C(b a)
n
k 1
lim
0 k 1
f (k )xk
C(b a)
即
b
b
f ( x)dx C dx C(b a)
a
a
(常数)
[例2] 证 明Dirichlet函 数
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
n
lim
0
[c1
i1 n
fHale Waihona Puke (i)c2 g(i
)]xi
n
=c1 lim 0 i1
f (i )xi
c2
lim
0
i 1
g(i )xi
性质二：关于区间的可加性
设c (a, b), 若 f R[a, c], f R[c, b],
则 f R[a, b],并且有
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
积分上限
记作:
b
n
a
f
( x)dx
lim
0 k1
f (k ) xk
积分下限 定积分是 :
[a, b] 称为积分区间 积分和式的极限
Ak f (k ) xk A Ak f (k ) xk
k 1
k 1
(1) 划分区间，求近似值
在[a, b]区 间 任 意 插 入 分 点:
a x0 x1 xi1 xi xn b
将[a, b]分成n个子 区间[ xk1, xk ] (k 1, 2, , n) 将 曲 边 梯 形 分 成n 个 小 曲 边 梯 形
n
n
f (k )xk Cxk
k 1
k 1
n
C xk C(b a)
n
k 1
lim
0 k 1
f (k )xk
C(b a)
即
b
b
f ( x)dx C dx C(b a)
a
a
(常数)
[例2] 证 明Dirichlet函 数
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
n
lim
0
[c1
i1 n
fHale Waihona Puke (i)c2 g(i
)]xi
n
=c1 lim 0 i1
f (i )xi
c2
lim
0
i 1
g(i )xi
性质二：关于区间的可加性
设c (a, b), 若 f R[a, c], f R[c, b],
则 f R[a, b],并且有
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
积分上限
记作:
b
n
a
f
( x)dx
lim
0 k1
f (k ) xk
积分下限 定积分是 :
[a, b] 称为积分区间 积分和式的极限
高中数学 定积分的概念课件PPT课件
5
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
6
7
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
8
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
9
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
14
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
15
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2,L xi1, xi ,L ,xn1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
yf (x)
24
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的
面积?
y
yf (x)
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
b
S1
ya
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
25
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
1.5.3 定积分的概念
1
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
4
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
6
7
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
8
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
9
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
14
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
15
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2,L xi1, xi ,L ,xn1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
yf (x)
24
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的
面积?
y
yf (x)
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
b
S1
ya
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
25
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
1.5.3 定积分的概念
1
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
4
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
《定积分的性质》课件
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
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原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
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3. 在定积分的定义中, 有a<b , 为了今后计算方便， 我们规定:
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第五章 定积分及其应用
(三) 定积分的几何意义
第一节 定积分及其计算
: 介于曲线f(x) , x轴及两条直线x=a,x=b之
间的各部分面积的代数和
作以
为底 ,
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
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第五章 定积分及其应用
3) 求和
4) 取极限 令
第一节 定积分及其计算
则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )x
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积. 观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形
面积和与曲边梯形面积的关系 .
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
积 分 和
式
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
1. 闭区间上的连续函数是可积的; 闭区间上只有有 限个间断点的有界函数也是可积的．
2. 定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x) 和积分区间[a,b]，而与积分变量使用的字母的选取 无关，即有
则称函数 f(x) 在[a, b] 上可积, 并称这个极限为函数
f(x) 在区间[a,b]上的定积分，记作
,即
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第五章 定积分及其应用
积分上限
第一节 定积分及其计算
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
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第五章 定积分及其应用
(二) 定积分的概念
第一节 定积分及其计算
定义5.1.1 设函数 f(x)在区间[a,b]上有定义, 分割:
任取分点
把区间
[a,b] 分割成 n个小区间 [xi-1, xi] , 第i个小区间的长度
观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面 积和与曲边梯形面积的关系.
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播幻灯片 75放
第五章 定积分及其应用
解决步骤: 1) 分割 2) 取近似
第一节 定积分及其计算
3) 求和 4) 取极限
n
A lim 0 i1
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第五章 定积分及其应用
一.积分的概念与性质
(一)定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
第一节 定积分及其计算
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设A为曲边梯形面积, 则
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各部分面积的代数和
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
例1 利用定积分的几何意义, 证明 1 1 x2 dx
1
2
令
，显然
则由
和直线x=-1,x=1,y=0所围成的曲边
梯形是单位圆位于x轴上方的半圆. 因为单位圆的面积，所以半圆 的面积为/2 .
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
在 [T1 , T2 ]
上连续,
求在运动时间 [T1 , T2 ] 内物体所经过
的路程 s .
解决步骤:
1) 分割
将它分成
n 个小段
在每个小段上物体经
过的路程为
2) 近似
得
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第五章 定积分及其应用
3) 求和 4) 取极限
第一节 定积分及其计算
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
为
，记．Βιβλιοθήκη 近似: 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 i (i=1, 2 … n)
求和：作和式
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
取极限：当0时, 若极限
存在(这
个极限值与区间 [a, b] 的分法及点 i 的取法无关 ) ，
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
在 [T1 , T2 ]
上连续,
求在运动时间 [T1 , T2 ] 内物体所经过
的路程 s .
解决步骤:
1) 分割 2) 取近似 3) 求和 4) 取极限
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f (i )x
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
解决步骤 : 1) 分割 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 取近似 在第i 个窄曲边梯形上任取
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算 第二节 定积分在几何上的应用 第三节 定积分在物理上的应用
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
第一节 定积分及其计算
本节主要内容:
一.定积分的概念与性质 二.微积分基本公式 三.定积分的积分法 四.反常积分
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第五章 定积分及其应用
(三) 定积分的几何意义
第一节 定积分及其计算
: 介于曲线f(x) , x轴及两条直线x=a,x=b之
间的各部分面积的代数和
作以
为底 ,
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
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第五章 定积分及其应用
3) 求和
4) 取极限 令
第一节 定积分及其计算
则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )x
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积. 观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形
面积和与曲边梯形面积的关系 .
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
积 分 和
式
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
1. 闭区间上的连续函数是可积的; 闭区间上只有有 限个间断点的有界函数也是可积的．
2. 定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x) 和积分区间[a,b]，而与积分变量使用的字母的选取 无关，即有
则称函数 f(x) 在[a, b] 上可积, 并称这个极限为函数
f(x) 在区间[a,b]上的定积分，记作
,即
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第五章 定积分及其应用
积分上限
第一节 定积分及其计算
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
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第五章 定积分及其应用
(二) 定积分的概念
第一节 定积分及其计算
定义5.1.1 设函数 f(x)在区间[a,b]上有定义, 分割:
任取分点
把区间
[a,b] 分割成 n个小区间 [xi-1, xi] , 第i个小区间的长度
观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面 积和与曲边梯形面积的关系.
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第五章 定积分及其应用
解决步骤: 1) 分割 2) 取近似
第一节 定积分及其计算
3) 求和 4) 取极限
n
A lim 0 i1
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第五章 定积分及其应用
一.积分的概念与性质
(一)定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
第一节 定积分及其计算
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设A为曲边梯形面积, 则
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各部分面积的代数和
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
例1 利用定积分的几何意义, 证明 1 1 x2 dx
1
2
令
，显然
则由
和直线x=-1,x=1,y=0所围成的曲边
梯形是单位圆位于x轴上方的半圆. 因为单位圆的面积，所以半圆 的面积为/2 .
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
在 [T1 , T2 ]
上连续,
求在运动时间 [T1 , T2 ] 内物体所经过
的路程 s .
解决步骤:
1) 分割
将它分成
n 个小段
在每个小段上物体经
过的路程为
2) 近似
得
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第五章 定积分及其应用
3) 求和 4) 取极限
第一节 定积分及其计算
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第一节 定积分及其计算
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
为
，记．Βιβλιοθήκη 近似: 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 i (i=1, 2 … n)
求和：作和式
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
取极限：当0时, 若极限
存在(这
个极限值与区间 [a, b] 的分法及点 i 的取法无关 ) ，
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
在 [T1 , T2 ]
上连续,
求在运动时间 [T1 , T2 ] 内物体所经过
的路程 s .
解决步骤:
1) 分割 2) 取近似 3) 求和 4) 取极限
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f (i )x
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
解决步骤 : 1) 分割 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 取近似 在第i 个窄曲边梯形上任取
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第一节 定积分及其计算
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第一节 定积分及其计算 第二节 定积分在几何上的应用 第三节 定积分在物理上的应用
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第一节 定积分及其计算
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一.定积分的概念与性质 二.微积分基本公式 三.定积分的积分法 四.反常积分