第六章不定积分 《高等数学》课件
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不定积分 ppt
x11 x11
dx
x 1 t,
则
x1 t
2
,
d x 2 td t
2 t1
,
x11 x11
dx
t1 t1
4t t1
2 td t
(1
)2 td t
4
(2t
2
)d t
(2t 4
t1
)d t
t 4 t 4 ln | t 1 | C 1
101
(1 x )
102
C
(1 x ) 102
(1 x ) 101
C
解二
x (1 x )
100
dx
(1 x 1)(1 x )
(1
101
100
dx
x)
dx
(1
101
100
x)
dx
(1 x ) 102
102
(1 x ) 101
ln
t 1 t 1
C
1 2(ln 3 ln 2)
ln
3 2
x
x x
3 2
x
C.
例2 解一
ln x ln( x 1) x ( x 1)
dx
1 x ( x 1)
注意到 [ln x ln( x 1 ) ]
ln x ln( x 1 ) x ( x 1) dx
dx
1 co s x
dx
dx 2 co s
2
d x 2
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
第六章不定积分 《高等数学》课件
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例求co2s2xdx.
解
cos2
x 2
dx
1c2osxdx
12(dxcoxsdx)
1(xsinx)C 2
例求tan2xd.x
解 tan2xdx(se2xc1)dx
se2x cdx dx ta x x n C
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例 求不定积分
1 d x. x3 x
证明：
[ k f ( x ) d x ] k [ f ( x ) d x ] k f ( x ) [ k f ( x ) d x ] .
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五、积分的应用模型实例
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由于经济函数的边际就是经济函数的导数，所以， 由经济函数的边际通过计算不定积分，即可求出经济函数。 步骤如下：
证明： f(x )d x F (x ) C , ( F (x ) C ) f(x ) 结论性质：2 F (x )d x F (x ) C , d(F x)F (x)C .
注：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.两个运算在一起时，
d 完全抵消， d 抵消后相差一常数。
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(12)
dx co2sx
se2cxdxtaxn C;
(13)
dx sin2 x
cs2cxdxco x tC ;
(1)4sexc taxndxsexcC;
(1)5csxcoxtdxcsxcC.
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四、不定积分的性质
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由不定积分的定义知，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 的原函数，即
例求co2s2xdx.
解
cos2
x 2
dx
1c2osxdx
12(dxcoxsdx)
1(xsinx)C 2
例求tan2xd.x
解 tan2xdx(se2xc1)dx
se2x cdx dx ta x x n C
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例 求不定积分
1 d x. x3 x
证明：
[ k f ( x ) d x ] k [ f ( x ) d x ] k f ( x ) [ k f ( x ) d x ] .
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五、积分的应用模型实例
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由于经济函数的边际就是经济函数的导数，所以， 由经济函数的边际通过计算不定积分，即可求出经济函数。 步骤如下：
证明： f(x )d x F (x ) C , ( F (x ) C ) f(x ) 结论性质：2 F (x )d x F (x ) C , d(F x)F (x)C .
注：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.两个运算在一起时，
d 完全抵消， d 抵消后相差一常数。
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(12)
dx co2sx
se2cxdxtaxn C;
(13)
dx sin2 x
cs2cxdxco x tC ;
(1)4sexc taxndxsexcC;
(1)5csxcoxtdxcsxcC.
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四、不定积分的性质
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由不定积分的定义知，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 的原函数，即
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
高等数学课件 不定积分
启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论
既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.
1
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x dx
C kdx kx 1
( k是常数);
( 1);
dx x ln x C ; dx ln x C , 说明： x 0, x 1 1 ( x ) , x 0, [ln( x )] x x dx dx ln( x ) C , ln | x | C , x x dx ln x C . 简写为 x
y F ( x) C ； 4、由 F ' ( x ) f ( x ) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y F ( x ) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点 处作切线，这些切线彼此是______的； 5、若 f ( x ) 在某区间上______，则在该区间上 f ( x ) 的 原函数一定存在；
已知一曲线 y f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的
切线斜率为sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解
dy sec 2 x sin x , dx y sec 2 x sin x dx
tan x cos x x 是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0)
1 ln x 是 在区间( 0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式.
1
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x dx
C kdx kx 1
( k是常数);
( 1);
dx x ln x C ; dx ln x C , 说明： x 0, x 1 1 ( x ) , x 0, [ln( x )] x x dx dx ln( x ) C , ln | x | C , x x dx ln x C . 简写为 x
y F ( x) C ； 4、由 F ' ( x ) f ( x ) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族 y F ( x ) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点 处作切线，这些切线彼此是______的； 5、若 f ( x ) 在某区间上______，则在该区间上 f ( x ) 的 原函数一定存在；
已知一曲线 y f ( x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的
切线斜率为sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
解
dy sec 2 x sin x , dx y sec 2 x sin x dx
tan x cos x x 是cos x 的原函数.
ln x 1 ( x 0)
1 ln x 是 在区间( 0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
不定积分的定义和性质-PPT课件
C.
7
例4 求积分 3x e x dx.
2 根据积分公式（2）
解 3x e xdx (3e)xdx l(n3(e3x)ex)dxCx1311xlenx3C C
对被积函数稍加变形，化为指 数函数形式。据公式（13）
(13) axdx ax C; lna
(2) xdxx1 1C (1);
(3) dxxln| x|C;
说明： x
0
dx x
ln
x
C,
x0,[ln(x)] 1 ( x) 1
x
x
dxx ln(x)C,
dx x
ln|
x|
C.
(4) 11x2dxarctanxC; (1 0 ) s e cxta n x d x s e cx C ;
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C.
1
( 1)
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1 ) k d x k x C(k 是 常 数 ）
三、不定积分的性质
(1) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx;
(2) kf(x)dxk f (x)dx.（k 是常数，k 0)
现证(1) f(x)dxg(x)dx
f(x)dxg(x)dx f(x)g(x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
高等数学-不定积分课件
贰
请在此添加较简洁标题内容
在区间 I 上的一个原函数 .
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理.
01
存在原函数 .
02
初等函数在定义区间上连续
则
原式
例19. 求
原式
解: 原式
例20. 求
解: 原式 =
例21. 求
例22. 求
解: 令
得
原式
CONTENTS
思考与练习
壹
下列积分应如何换元才使积分简便 ?
单击此处添加文本具体内容
贰
叁
肆
第三节
由导数公式
积分得:
分部积分公式
或
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分法
第四章
解: 令
03
4.5 1,2,3,4,
05
4.2 1(1,2,4,6,7,9,12,15,16,18) 4 5
02
4.4 1,3,5,7,9,11
04
作业 P218
得 0 = 1
下述运算错在哪里? 应如何改正?
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .
第四节
有理函数的积分
第四章
一、有理函数的积分
有理函数: 时, 多项式 + 真分 式 分解 若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A
有理函数
B
相除
C
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: 用拼凑法
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
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(12)
dx co2sx
se2cxdxtaxn C;
(13)
dx sin2 x
cs2cxdxco x tC ;
(1)4sexc taxndxsexcC;
(1)5csxcoxtdxcsxcC.
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四、不定积分的性质
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由不定积分的定义知，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 的原函数，即
例
求
1 x
dx
.
解 当 x0时 ， (lnx) 1
x
故 1xdxln xC(x0)
当x0时，[( lx n )](( x ) 1
x x
故
1dx x
ln x)(C(x0)
所以
1dx x
ln x C
(x 0 )
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例 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
例如：
x 1
x
1
xdx
x
1
1
C
.
(1)
a ln
x
a
ax
axdx
a ln
x
a
C
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基本积分公式
(1) kdx kxC ( k 是常数） ;
(2) xdxx11C (1);
(3)
dx x
lnx C;
(4)
1
1x2dx
arcx t aC ;n
(5)
1 dx 1x2
二、不定积分的概念
定义2 在某区间 I 上的函数 f ( x ) ，若存在原函数，则称 f ( x ) 为可积函数，并将 f ( x ) 的全体原函数记为
即
f (x)dx
f(x ) d x F (x ) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 常 数
不定积分的几何意义:
（ 2 ） F (x 若 )f(x )则对于任意常数 C, F ( x) C 都是 f ( x)的原函数.
一个函数的原函数不是唯一的。
事实上，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 上的原函数，则
F(x)f(x)，[F (x)C ]f(x)（ C 为任意常数）。
从而，F(x) C 也是 f ( x ) 在区间 I 上的原函数。
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
y
f (x)的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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关于不定积分的概念有以下说明： 由定义知，求函数 f ( x ) 的不定积分，就是
求 f ( x ) 的全 体原函数.
在 f ( x)dx 中，积分号 表示对函数 f ( x )
lnx1 (x0),ln xC1 (x0)
x
x
（ C为任意常数）
lx n + C 是 1 在 区 间 (0 ,)内 的 原 函 数 . x
关于原函数有以下说明： （1）如果函 f(x数 )在某区间内则连 它的续原， 函数一定存在。
注：求函数 f ( x ) 的原函数，实质上就是问它是由 什么函数求导得来的，而一旦求得 f ( x ) 的一个原函 数 F ( x ) ，则其全体原函数为 F(x)C（C 为任意常数）。
该曲线的方程。为此，我们引进原函数的概念。
一,如 般 F (x 果 ) 地 f(x ). 如f果 (x)是已,F 知 (x)是 的 未.如 知 何F 的 求 (x)? 为此,先引入原函数的概念.
定义1: 设函f(数 x)在区I上 间有定 如果义 存在，
可导函F数 (x)，在区I上 间对任 x有一
解 设曲线方程为 yf(x),
根据题意知 f(x) 2 x,
即 f ( x)是2 x 的一个原函数.
2xdx x2 C f(x)x2C,
把x1,y2代入 得 C1,
所求曲线方程为 yx21.
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三、基本积分表
不定积分定义
导数或微分基本公式
不定积分的基本公式
积分和微分互逆
F ( x ) f ( x )或 d ( x ) F f ( x ) dx 则F 称 (x)是 f(x)在区 I上 间 的原一 函数个
例 six ncox,ssinx是cosx的一个原函 . 数
six n C co xs（C为任意常数）
si x + n C 也 是 cx o 的 原 s函 数 .
实行求原函数的运算 ，故求不定积分的运算实 质上就是求导（或求微分）运算的逆运算。
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例 求 x5dx. 解 x6 x5,
6
x5dxx6C.
6
例2
求
1 1 x2
dx.
解 a1 r 1xc 2d xt x a a 1n 1 rx2c,xtC a.n
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第六章 不定积分
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一、原函数的概念
从微分学知道：若已知曲线方程 y f (x) ，则可
求出该曲线在任一点 x 处的切线的斜率 k f (x) 例如，曲线 y x 2在点 x 处的切线的斜率 k 2x
现在要解决其逆问题： 已知曲线上任意一点 x 的切线的斜率，要求
（ 3）如果 F(函 x)是 f数 (x)的一个原 , 函数 G(x)是f(x)的另一个原函 ，数 则 G (x ) F (x ) C 0(C0是某一个常.)数 因此, f (x)的全体原函数F实上，设F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，则 [ F ( x ) G ( x ) ] F ( x ) G ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 即 F(x)G(x)C （ C 为任意常数）。
F(x)f(x)或 dF (x)f(x)dx 则 f ( x ) 在区间 I 内的不定积分为
f(x)dxF(x)C
易见 f ( x)dx 是 f ( x ) 的原函数，故有：
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arcxsC i;n
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(6) axdx a x C ; ln a
(7) exdx ex C; (8) coxsdxsix nC; (9) sinxdxcox sC ; （10） sec2xdxtanxC
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（11） csc2xdxcotxC ;