“九连环”中的数列递推问题

“九连环”中的数列递推关系

山西省原平市第一中学任所怀

“九连环”是一个古老的中国智力游戏，对于它的结构和玩法在人教版普通高中课程标准实验教科书《数学5》第59页有详细介绍。为了让大家能更深入了了解这一游戏，我对这一游戏进行了进一步的深入剖析，写成这一篇文章与大家共享。

初见“九连环”可能会无从下手，按照我们从简单到复杂，从特殊到一般的归纳法思路，我们不妨先从“一连环”，“二连环”，“三连环”，……入手，从中找出规律，从而得出“n连环”的一般解法。

“一连环”解法简单，只需把圆环从上面的框架上取下，然后从框架中间穿过，就可把圆环从框架上解下。把这样的移动记为一次移动，则解“一连环”需

要移动的次数为1次，记为(1)1

f=。

“二连环”解法也简单，只需按照上面的移动规则，先把第2环解下，然后

再解下第1环即可，则解“二连环”需要移动的次数为2次，记为(2)2

f=。

“三连环”的解法为：先解下第1环，（记为：下1），再解下第3环（记为：下3），再套上第1环（记为：上1），接着解一个“二连环”，就可完成。所以解“三连环”需要移动的次数为(3)111(2)5

=+++=；

f f

“四连环”的解法为：先解下前两环，（即下1，下2），再解下第4环（下4），再套上前2环（上2，上1），接着解一个“三连环”，就可完成。所以解“四连环”需要移动的次数为(4)(2)1(2)(3)2(2)(3)110

=+++=++=；

f f f f f f

由上归纳类比，可得

“n连环”（n3

≥）的解法可分为四步：第一步：先解前n-2环，需要移动

f n-次；第二步：解下第n环，需要移动1次；第三步：套上前n-2环，解

(2)

法就相当把解下过程倒过来，所以需要移动(2)

f n-次；第四步：解下前n-1环，需要移动的次数为(1)

f n-。于是解“n连环”需要移动的次数为

f n f n f n f n f n f n n

=-++-+-=-+-+≥；

()(2)1(2)(1)2(2)(1)1(3)

于是我们得到了一个数列的递推关系，即

已知数列{()}

===-+-+≥，下

f f f n f n f n n

f n，其中(1)1,(2)2,()2(2)(1)1,(3)

面我们共同探求，如何能求出该数列的通项公式？

解：由()2(2)(1)1,(3)

=-+-+≥得

f n f n f n n

+-=-+-+≥

()(1)2[(2)(1)]1,(3)

f n f n f n f n n

记(1)()n a f n f n =++，则121(2)n n a a n -=+≥且1(2)(1)3a f f =+= 由121(2)n n a a n -=+≥得112(1)n n a a -+=+

于是数列{1}n a +为等比数列，公比为2，首项为114a +=

所以111422n n n a -++=⨯=，所以121n n a +=-。

即1(1)()21n f n f n +++=- （1）

设1(1)2(1)[()2]n n f n r p f n r p ++++=-++，则

(1)()322n f n f n r p ++=-- （2）

对比（1）（2）两式可知32r -=且21p = 于是21,32

r p =-= 即12121(1)2(1)[()2]3232

n n f n f n ++-+=--+ 于是有数列21{()2}32n f n -+为等比数列，公比为-1，首项为211(1)2326

f -+=。 所以1211()2(1)326

n n f n --+=- 于是有1121()(1)2632

n n f n -=-+-。 点评：有了这一结论，我们就可轻松计算出解“九连环”需要移动的次数为(9)341f =次。

另外在上面的研究过程中，我们两次构造数列来求数列的通项公式，这是由递推推导通项的重要方法。下面我们再来看一个例子：

（人教版普通高中课程标准实验教科书《数学5》第69页）

已知数列{}n a 中，12125,2,23(3)n n n a a a a a n --===+≥，对于这个数列的通项作一研究，能否写出它的通项公式？

解：由1223(3)n n n a a a n --=+≥得

1123()(3)n n n n a a a a n ---+=+≥

设1n n n b a a +=+，则上式可化为13(2)n n b b n -=≥，且1217b a a =+= 所以数列{}n b 为等比数列，公比为3，且首项为7，所以173n n b -=⨯。 即 1*173()n n n a a n N -++=⨯∈ （3）

设113(1)(3)n n n n a r a r -++⨯=-+⨯，则1143n n n a a r -++=- （4）

对照（3）和（4）可知47r -=，于是74

r =- 即11773(1)(3)44

n n n n a a -+-=-- 所以数列17{3}4n n a --为等比数列，公比为-1，首项为177135444

a -=-=。 所以117133(1)44n n n a ---=-，于是11137(1)344

n n n a --=-+。 点评：对于上面两个由递推推导通项的过程，你会发现它们的推导过程如出一辙。先构造一个数列把相邻三项的递推关系转化为相邻两项的递推关系，然后再构造数列把相邻两项的递推关系转化为通项公式。

举一反三，下面请读者自已动手，推导著名的数列斐波那契数列的通项公式; 已知数列{}n a ，其中12121,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，求数列{}n a 的通项公式。

答案为：n n n a =-。 作者简介：任所怀，山西省原平市第一中学一级教师。1996年毕业于山西师范大学数学系，在中学任教15年，一直从事高中数学教学与研究工作。在人教网发表论文6篇。

2006年度忻州市高中数学信息技术与学科课程整合教学能手；

2011年荣获忻州地区信息技术与课堂教学“十佳教师”称号；

2012年在参与“十一五”规划课题《提高课堂教学实效性的教学策略研究》工作中，被评为;教育部课题研究先进工作者。