几种分式型递推数列的通项求法
最全的递推数列求通项公式方法
最全的递推数列求通项公式方法递推数列是指数列中的每一项都由前一项通过其中一种规律得出。
求递推数列的通项公式是数学中的重要问题，可以通过多种方法实现。
下面将介绍最常用的几种方法。
1.等差数列通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
设等差数列的第一项为a1，公差为d，则第n项为an=a1+(n-1)d。
这是等差数列的通项公式。
2.等比数列通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。
设等比数列的第一项为a1，公比为r，则第n项为an=a1*r^(n-1)。
这是等比数列的通项公式。
3.斐波那契数列通项公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和。
设斐波那契数列的第一项为a1，第二项为a2，则第n项为an=a(n-1)+a(n-2)。
但通常情况下，我们将斐波那契数列的第一项设为0，第二项设为1，此时的通项公式为an=F(n-1)，其中F(n-1)表示第n-1个斐波那契数。
4.龙贝尔数列通项公式龙贝尔数列是指数列中的每一项都是前一项与当前项索引之和。
设龙贝尔数列的第一项为a1，则第n项为an=a(n-1)+n。
这是龙贝尔数列的通项公式。
5.通项公式的递推法有些数列并没有明确的通项公式，但可以通过递推法求得通项公式。
递推法的核心思想是找到数列中的其中一种规律，通过前面的项得出后面的项。
这种方法比较灵活，可以适用于各种类型的数列。
总结起来，以上是求递推数列通项公式的几种常见方法。
在实际中，我们可以观察数列的规律，推测出通项公式，然后通过数学推导证明其正确性。
对于复杂的递推数列，我们可能需要运用更多的数学知识和技巧，如离散数学、线性代数等。
九类常见递推数列求通项公式方法
九类常见递推数列求通项公式方法递推数列通项求解方法类型一：an1panq（p1）思路1（递推法）：anpan1qp(pan2q)qpppan3qqq……pn1a1q(1pp2…pn2qqn1。
)a1pp11p思路2（构造法）：设an1pan，即p1q得qp1，数列an是以a1为首项、p为公比的等比数列，则anqn1qana1pp11pqn1a1p，即p1p1q例1已知数列an满足an2an13且a11，求数列an的通项公式。
解：方法1（递推法）：an2an132(2an23)3222an3333……2n13(122…22n23n13n1)1223。
2112方法2（构造法）：设an12an，即3，数列an3是以a134n1n1n1为首项、2为公比的等比数列，则an3422，即an23。
类型二：an1an思路1（递推法）：f(n)anan1f(n1)an2f(n2)f(n1)an3f(n3)f(n2)f(n1)…a1f(n)。
i1n1思路2（叠加法）：anan1f(n1)，依次类推有：an1an2f(n2)、n1an2an3f(n3)、…、a2a1f(1)，将各式叠加并整理得ana1i1f(n)，即n1ana1i1f(n)。
例2已知a11，anan1n，求an。
解：方法1（递推法）：anan1nan2(n1)nan3(n2)(n1)nn……a1[23…(n2)(n1)n]i1nn(n1)2。
方法2（叠加法）：anan1n，依次类推有：an1an2n1、an2an3n2、…、nnna2a12，将各式叠加并整理得ana1i2n，ana1i2ni1nn(n1)2。
类型三：an1f(n)an思路1（递推法）：anf(n1)an1f(n1)f(n2)an2f(n1)f(n2)f(n3)an3…f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
anan1a2a1an1an2ana1思路2（叠乘法）：f(n1)，依次类推有：f(n2)、an2an3f(n3)、…、f(1)，将各式叠乘并整理得f(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)，即anf(1)f(2)f(3)…f(n2)f(n1)a1。
数列通项篇(分式型递推式求通项)
数列通项篇（分式型递推式求通项）分式型递推式求通项 形如：D Ca B Aa a n n n ++=+1或DCa B Aa a n n n ++=+21两种方法三种类型三条原则两种方法：减倒法：即减个数字取倒数减除法：即减个数字两式相除（两边同时减去不同的数字，相除）三种类型D Ca B Aa a n n n ++=+1或DCa B Aa a n n n ++=+21 DCx B Ax x ++=或D Cx B Ax x ++=2为其对应的特征方程 若21,x x 为对应的特征根，则有（1）当21x x =实根时，减倒法构造}1{1x a n -等差数列， （2）当21x x ≠实根时，减除法构造}{21x a x a n n --等比数列， （3）当21x x ≠复根时，减除法构造}{21x a x a n n --周期数列，例1、在数列}{n a 中，21=a ，13371+-=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。
例2、（重庆高考）在数列}{n a 中，11=a ，05216811=++-•++n n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式。
例3、已知在数列}{n a 中，41=a ，42321--=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。
例4、（湖南高考）已知在数列}{n a 中，11=a ，1331+-=+n n n a a a ，则=2009a _______________三、分式型递推式求通项的三条原则（1）选择题、填空题直接列举找规律；（2）解答题有台阶，按构造的台阶式顺势而为；（3）解答题无台阶，按减倒法和减除法直接构造； 例5、已知在数列}{n a 中，21=a ，121+=+n n a a ，12-+=n n n a a b ，则数列}{n b 的通项公式=n b _______________例6、（全国卷）已知在数列}{n a 中，21=a ，n n a c a 11-=+，若25=c ，21-=n n a b ，求数列}{n b ，}{n a 的通项公式。
根据递推关系求数列通项公式的几种方法
根据递推关系求数列通项公式的几种方法要求根据递推关系求解数列的通项公式，其实是要求找到一个能将数列的每一项都表示为n（项数）的函数的公式。
在数学中，有几种方法可以求解这类问题。
一、代数方法：对于一些简单的递推关系，可以尝试使用代数方法来求解数列的通项公式。
这种方法通过观察数列中的模式，尝试将递推关系转化为代数方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设通项公式为Fn=k1a^n+k2b^n，其中k1、k2为常数，a、b为待定数。
k1a^n+k2b^n=k1a^(n-1)+k2b^(n-1)+k1a^(n-2)+k2b^(n-2)整理得：k1a^2-k1a-k2=0。
解这个方程，可以得到a和b的值，然后将a和b的值代入通项公式中，即可求解斐波那契数列的通项公式。
二、特征根法：特征根法是求解一阶线性递推关系（如Fn=aFn-1+b）的通项公式的常用方法。
该方法的基本思想是，将递推关系转化为一个一阶线性常微分方程，然后解方程得到通项公式。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列满足的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1将递推关系转化为一阶线性常微分方程得到：y''-y'-y=0其中y=Fn。
解这个方程得到的特征根为α1=(1+√5)/2，α2=(1-√5)/2通项公式可以表示为：Fn=k1(α1)^n+k2(α2)^n其中k1、k2为常数。
利用初始条件F1=1，F2=1，可以求解出k1和k2的值，进而求解出斐波那契数列的通项公式。
三、母函数法：母函数法是一种求解递推关系的高效方法，尤其适用于求解求和问题。
该方法的基本思想是，将数列视为一个幂级数的系数列，通过构造母函数来解决递推关系。
例如，我们考虑求解斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列的递推关系为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=1，F2=1我们假设母函数为F(x)=F0+F1x+F2x^2+F3x^3+...F(x)=x(F(x)-F0)+x^2F(x)整理得：F(x)=F0+xF(x)+x^2F(x)移项得：F(x)=F0/(1-x-x^2)。
分式递推数列通项公式的几种求法
（ ㈩ （ Ｄ＝２） （ ≠ｎ， ３ Ｐ ，１， Ａ ）
难点 之一 ， 利用不 动点 、 阵 、 但 矩 特征 根来解 决分 式递 推数列问题 ，则使分式递 推数 列的求解变得 简单而且 有趣。这样 ， 就把高等数学中的某些概念和理论渗透到 了中学数学之 中，使受教 育者能准确地把握 中学数学 的本质 ，这对于理解 中学数学相关 内容 有一定的参考 价值 ， 从而有利于提高教学质量 和教学水平 。 本文考虑如下分式递推数列 ： 设数列 Ｉ的首项为 ａ） １
ｄ———— ——— ———— 一 （ ） — ——・ ——— —：— Ｉ ＝—— — —竺——— —— 二 — — —— ±— — — — 二 — ］ — Ｉ Ｉ
：
定义１ 方程 ） 的根（ 假设存在 ） 函 叫做
的不 动点 。
）
（ 。 — ｃ １（一 ）ｄ ａ ＋ｚ ． ａ ｎ １ （— ）ｏ ＋
Ｘ 等数 ， 比 列且 ） 为
一
（＋ ） （ｃ ｃ ｌ ａ ｄｘ＋ ６ — ）
１２ ５—
【 探索与实践 】 ，
简论 大学生确立远 大理想 的逻辑起点
（ 电子科技大学
丁 科 马克思 主义教育学院 ， 四川 成都
６０ ５ ） １０ ４
摘 要： 大学生理想教育ｉ ￣ ｑ ， 解决培 育学生有理 想这一根 本 问题 ， 在 ｚ ，要 就需要解决如何找 到培育大学生理 想的逻辑起点这一客观现 实问题 。 培育犬学生确立理想的逻辑起 点就是 实践 。 实践过程 中， 育大学生理想 ， 在 培 是
众所周知 ， 对于递推数列Ｘ 】 （ 的通项公式的求 ＝ ｘ） ｆ 法问题 已有许多讨论 。其 中关 于线性递推 问题 用一些 初等数学方法 （ 如不完全归纳 、 定系数法 、 法等 ） 待 消元 就可求出其通项公式 。对于非线性递归 问题 ， 本文不作 般性的讨论 ，而仅就其 中一种特例——分式 递推数
分式型递推数列通项公式的求法
分式型递推数列通项公式的求法步骤一：观察数列的前几项，寻找规律。
首先，观察数列的前几项，尝试找出数列之间的关系和规律，看看能否从中找到一些线索。
特别地，注意每一项与其前一项之间的关系，这可能是我们找到递推关系的关键。
例如，给定数列的前几项为：2,5/2,13/5,34/13,...可以观察到每一项的分子和分母都与前一项有关，于是可以猜测数列的递推关系可能是以前一项的分子和分母为基础。
步骤二：列出递推关系式。
基于观察到的规律，我们可以将递推关系表示为一个等式。
通常，在分式型递推数列中，递推关系可以表示为：an = (an-1 ) * f(n)其中，an表示第n项，an-1表示前一项，f(n)表示与前一项相关的一个函数。
例如，对于给定的数列，我们可以猜测递推关系为：an = (an-1 ) * (2n+1) / (n+1)步骤三：证明递推关系。
一旦我们猜测出递推关系，我们需要证明它的正确性。
这可以通过数学归纳法来完成。
首先，我们将递推关系带入前两项，看看是否能够成立。
例如，对于给定的数列，我们将递推关系带入前两项，得到：a2=(a1)*(2*2+1)/(2+1)=(5/2)*5/3=25/6确实，对于数列的前两项是符合递推关系的。
步骤四：求解递推数列的通项公式。
一旦我们证明了递推关系的正确性，我们可以继续求解数列的通项公式。
为了简化计算，我们可以将递推关系展开：an = a1 * f(2) * f(3) * ... * f(n)在猜测的递推关系的情况下，我们可以得到：an = a1 * (2/1) * (3/2) * (4/3) * ... * (n+1/n)化简后，可以得到：an = a1 * (n+1)因此，数列的通项公式为：an = a1 * (n+1)总结：上述步骤提供了求解分式型递推数列通项公式的一般方法。
关键是观察数列的规律，并尝试猜测递推关系，然后通过数学归纳法来证明递推关系的正确性，并最终确定数列的通项公式。
求数列通项公式的七种模型
一、高考数列求通项公式模型【简便记忆】二．高考数列求通项公式【详细解读】1．【归纳法】 适用于：列举法给出的数列模型即1234,a a a a ,,···； 【模型特征】：给出数列的前几项，通过归纳、猜想、找规律。
【求解方法】根据1(2)34⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（）相邻项的特征分式中分子、分母的特征（）拆项后的特征（）各项的序号与项之间的变与不变特征例1.根据数列前几项，写出下列各数列的一个通项公式。
（1）—1，7，—13，19，···； （2）0.8, 0.88，0.888，···； （3）115132961,,,,,248163264--，···； ●点评：该法属于不完全归纳法，仅用来解选择、填空题，对于大题，用此法还要用数学归纳法进行证明，另外求得的通项公式一定要代值检验，以防出错。
2．【累加法】 适用于：1()n n a a f n +=+模型（先累后求和） 【模型特征】：1()n n a a f n +、系数相同，作差，是关于n 的函数。
【求解方法】221()(()()-=()()()1()()(1)n n f n pn q f n pn qn r a a f n f n pq r f n n n +=+⇒⎧⎪=++⇒⎪⎪=+⇒⎨⎪⎪=⇒+⎪⎩一次型）等差求和二次型分组求和指数型等比求和分式型裂项求和化为例2． 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
（一次型） 答案：等差求和2n a n =例3. 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
（指数型） 答案：等比求和31n n a n =+-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且写*12()n n a a n n N +=+∈出数列{}n a 的通项公式. （一次型）答案：等差求和21n a n n =-+练习2.已知数列}{n a 满足13a =，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-，求此数列的通项公式.答案：裂项求和12n a n=-3．【累乘法】 适用于： 1()n n a f n a += 模型（先累后求商）【模型特征】1()n n a a f n +、系数相同，作商，是关于n 分式型的函数。
分式线性递推数列
s−1X
=
r s P1
+
P2
=
tP1
+
P2,
(sλ2)−1F (X)
=
rλ1 sλ2
P1
+
P2
=
tλP1
+
P2.
(
)
实际计算时, 可以在第2步直接计算得 f (u) = f tα + β = tλ1α + λ2β .
t+1
tλ1 + λ2
再约分得到
f (u) =
t λ1
λ2
α
+
β
t λ1
λ2
+
1
=
tλα + β tλ + 1
2
因为 F (X) = (f1(X), f2(X)) 的两个分量
f1(X) = ax + by = (a, b) · (x, y) = A1 · X f2(X) = cx + dy = (c, d) · (x, y) = A2 · X 分别由常向量 A1 = (a, b), A2 = (c, d) 点乘 X 得到. 先用点乘分配律展开, 再提出 系数 r, s 得
也可以将
u=
rα + sβ r+s
分子分母同除以
s,
f (u)
的分子分母同除以
sλ2,
并且
令
t=
r ,
λ=
λ1 ,
化为
s
λ2
(
)
tα + β tλα + β
f (u) = f
=
t+1
tλ + 1
⇒
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几种分式型递推数列的通项求法李云皓(湖北省宜昌市夷陵中学，湖北 宜昌 443000)1.1 引言数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。
数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。
本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。
2.1 基本概念设数列{a n }的首项为a 1，且a n+1=α1a n +β1α2a n +β2(n =1,2,⋯) ①其中αi 、βi (i =1,2,⋯)为常数，同时α2≠0,α1α2≠β1β2，我们称这个递推公式为分式递推式，而数列{a n }称为由分式递推式给定的数列。
显然，该数列的递推式也可写成a n+1a n +αa n+1+βa n +γ=0 (n =1,2,⋯) ②2.2 递推式的特征方程与特征根我们先来看一个引例：首项为a 1，由递推式a n+1a n +αa n+1+βa n =0 (n =1,2,⋯)给定的数列{a n }的通项公式我们是会求的：a n+1a n +αa n+1+βa n =0∴1+αa n +βa n+1=0即1a n+1=−αβa n +1β 为常系数等比差数列（由递推式a n+1=αa n +β给定的数列，其中α、β为常数），该数列的通项是熟知的，为a n =αn−1(a 1−β1−α)+β1−α于是考虑能不能变型后让②中的γ没有，即让①中的β1没有。
我们可以利用递推式的特征方程来解决这个问题。
下面给出特征方程推导过程： 数列的递推式为a n+1=α1a n +β1α2a n +β2两边同时减去x 得a n+1−x =α1a n +β1α2a n +β2−x通分后得a n+1−x =(α1−xα2)a n +β1−xβ2α2a n +β2∴a n+1−x =(α1−xα2)(a n −x )+β1−xβ2+x (α1−xα2)α2(a n −x)+β2+xα2令β1−xβ2+x (α1−xα2)=0即α1x +β1−x (α2x +β2)=0∴x =α1x +β1α2x +β2③方程③保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，x 为特征根。
3.1 例题（第一部分）下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。
[例1]在数列{a n }中，a 1=4，且a n+1=3a n +2a n +4，求数列{a n }的通项公式。
解：特征方程x =3x +2x +4有两个不等根：x 1=1，x 2=−2{ a n+1−1=3a n +2a n +4−1=2a n −2a n +4a n+1+2=3a n +2a n +4+2=5a n +10a n +4两式相除得a n+1−1a n+1+2=2(a n −1)5(a n +2)由此可见，数列{a n −1a n +2}是以12为首项，25为公比的等比数列。
∴a n −1a n +2=(25)n−1·a 1−1a 1+2=(25)n−1·2 ∴a n =2n−1+5n−15n−1−2n−2(n =1,2,⋯)故当方程③有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。
[例2]在数列{a n }中，a 1=3，且a n+1=2a n −19a n +8，求数列{a n }的通项公式。
解：特征方程x =2x −19x +8有两个重根：x 1=x 2=−13a n+1+13=2a n −19a n +8+13=5(3a n +1)3(9a n +8)两边同乘3得3a n+1+1=5(3a n+1)9a n+8=5(3a n+1)3(3a n+1)+5两边取倒数13a n+1+1=35+13a n+1∴13a n+1=35(n−1)+13a1+1=6n−510∴a n=5−2n6n−5(n=1,2,⋯)故当方程③有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。
[例3]在数列{a n}中，a1=3，且a n+1=22−a n，求数列{a n}的通项公式。
解：特征方程x=22−x有两个虚数根：x1=1+i，x2=1−i{a n+1−(1+i)=22−a n−(1+i)=(1+i)a n−2i2−a n=(1+i)·a n−(1+i)2−a na n+1−(1−i)=22−a n−(1−i)=(1−i)a n+2i2−a n=(1−i)·a n−(1−i)2−a n两式相除得a n+1−(1+i) a n+1−(1−i)=1+i1−i·a n−(1+i)a n−(1−i)∴a n−(1+i)a n−(1−i)=(1+i1−i)n−1·a1−(1+i)a1−(1−i)=i n−1·2−i2+i ∴a n=1+3i−i n−1+3·i n2+i−2·i n−1+i n(n=1,2,⋯)由此，当方程③有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。
3.2 例题（第二部分）下面我们来看另一类型的分式递推式。
[例4]在数列{a n}中，a1=a1，且a n+1=a n22a n+a，求数列{a n}的通项公式。
解：两边取倒数有：1 a n+1=2a n+aa n2=2a n+aa n2=a(1a n2+2·1a·1a n) 1a n+1+1a=a(1a n2+2·1a·1a n+1a2)1a n+1+1a=a(1a n+1a)21 a n +1a=a(1a n−1+1a)2=⋯=a2n−1−1(1a1+1a)2n−1∴1a n=a2n−1−1(1a1+1a)2n−1−1a(n=1,2,⋯)还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简[例5]在数列{a n}中，a1=a1，且a n+1=a n2+b2a n+a，求数列{a n}的通项公式。
解：两边同乘2a n+a，整理得：2a n+1a n+aa n+1−a n2−b=0令b n=a n−x∴a n=b n+x2(b n+1+x)(b n+x)+a(b n+1+x)−(b n+x)2−b=02(b n+1+x)(b n+x)+a(b n+1+x)−(b n+x)2−b=02b n+1b n+(2x+a)b n+1−b n2+2x2+ax−x2−b=0令2x2+ax−x2−b=0即x=x2+b2x+a，解出xb n+1=b n22b n+2x+a1 b n+1=2b n+(2x+a)1b n2=(2x+a)(1b n2+2·12x+a·1b n)1 b n+1+12x+a=(2x+a)(1b n2+2·12x+a·1b n+1(2x+a)2) 1b n+1+12x+a=(2x+a)(1b n+12x+a)2下面的递推请读者自己完成4.1 练习[练习1]a1=0，a n+1a n−3a n+1+a n+1=0[练习2]a1=1，2a n+1a n−7a n+1+2a n=3[练习3]a1=−23，a n+1a n+2a n+1+1=0[练习4]a1=1，a n+1a n+3a n+1−2a n−2=0 [练习5]a1=1，a n+1a n−4a n+1−2a n+9=0[练习6]a1=1，a n+1=5a n−2 3a n−2[练习7]a1=1，a n+1=a n−1 a n+1[练习8]a1=1，a n+1=1+1 a n[练习9]a1=12(a+1a)，a n+1=a n2+12a n。