10物理理论物理期中考试试卷

《理论物理导论》期中考试试卷
一、 填空题
1、光具有粒子性是通过 黑体辐射 、 光电效应 、 康普顿散射 等实验而被证实。

2、德布罗意波的波长和频率分别为=/h p λ、=/E h ν.
3、波函数满足的标准条件为： 有限性 、 单值性 、 连续性 .
4、定态波函数可写为-()E
i t r e
ϕ
5、动量算符ˆ=p
-i ∇ . 6、厄米算符的本征值必为 实数 .
7、力学量A 和B 在态()r ψ
中同时有确定值的条件是 两力学量对应的算符对易 .
8、坐标x 和动量p x 的测不准关系是/2x
x p ∆⋅∆≥ .
9、一维线性谐振子的零点能为1
2
ω .
10、设算符ˆ=z L i ϕ
∂∂ 的本征函数为33()sin i f r e ϕθ，
则相应的本征值为-3
二、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共15分）. 1、当能量为5.0eV 的光子射向某金属表面时，从金属表面逸出的电子的最大初动能为1.5eV .为使该金属能产生光电效应，入射
光的最低能量必须是多少？ （ C ）
（A ）1.5eV ; （B ）2.5eV ; （C ）3.5eV ; （D ）5.0eV . 2、 不确定关系指的是（ C ）
A 、任何物理量都不确定;
B 、任何物理量之间都不能同时确定;
C 、某些物理量能不能同时确定, 取决于这些物理量之间的关系;
D 、只有动量与位置、时间与能量之间不能同时确定.
3、如果ˆA 和ˆB 是厄米算符，则下列一定是厄米算符的（ C/D ）
(A) ˆˆAB
; (B) ˆˆBA ; (C) ˆˆA B +; (D) ˆˆˆˆAB BA -. 4、一定态波函数为()
ix x ψ=，其几率流密度为 （ C ）
（A ）3μ
- ; （B ）0; （C ）3μ
; （D ）12
.
5、设粒子处于态
102120CY ψ=
+，ψ为归一化波函数，lm Y 为归一化的球谐函数，则系数C 和z L ∧
的平均值为.( A )
（A ）61
， 3 （B ）31，6 （C ）21，3
（D ）61，
三、简答题（每小题5分，共20分）
1、什么是隧穿效应？
当微观粒子的能量低于势垒高度时,由于微观粒子具波粒二象性,仍然可以穿过势垒的效应
2、什么是态叠加原理，它与经典波叠加原理的不同？ 若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加n n n
c ψψ=∑ 也是体系的一个可能状态。

与经典波的不同：当粒子处于叠加态Ψ时，测量某一力学量一般不具有确定值，确定的是每个值出现的几率。

或者可以这样说：对经典波：+=2ψψψ ，ψ和2ψ描述的是不同状态； 对量子波：+=2ψψψ，ψ和2ψ描述的是同一状态； 3、简述波函数的物理意义？
波函数本身没有物理意义，而2
ψψψ*=表示微观粒子在t 时刻出现在
r 处单位体积内的几率
4、波函数ψ与k ψ、i e αψ是否描述同一状态？请说明理由.
是。

ψ与k ψ、i e αψ描述的相对概率分布完全相同，如对空间1
x 和2x 两点的相对概率
212
2()()
x x ψψ=
212
2()()
k x k x ψψ=
212
2()()
i i e x e x αα
ψψ，故ψ与k ψ、
i e αψ均描述同一态。

四、证明题（每小题10分，共20分）
（1）证明算符2
2d dx
为厄密算符.
（2）证明222ˆˆˆˆˆˆ[,]==0x x x L L L L L L 五、本题满分15分
一维运动的粒子处于-,0
()=0,
<0x Axe x x x λψ⎧≥⎨⎩的状态，λ>0，求：
（1）归一化因子A ；（2）粒子出现在何处的几率最大？（3）粒子坐标x
的平均值.( 利用 2-2301
=4∞⎰x x e dx λλ
)
（1）2++2
-22-230
1===4x x
A Axe
dx A x e dx λλλ
∞
∞
⎰
⎰
3
2
2A λ⇒=
（2）32-2=4
x P x e λλ
3-2=8(1)=0x
dP e x x dx
λλλ- 1=0x λ⇒∞或或
（3）++2
3-20
==x x x
dx A x e dx λψψ∞
∞
*
⎰⎰
+2
3-2
1=()2x A
x d e
λλ
∞
-
⎰
2
+2-20
3=2x
A x e
d x λλ
∞
⎰
3
=2λ
六、本题满分15分
设一体系的哈密顿量为 0ˆˆˆH H H '=+，其中1020ˆ0E H E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ˆa b H b c ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，,,1a b c 的实数，求该体系能量本征值的一级修正值和二级修正值..
解：1
112
22,
E H a E H c ''''==== 2
=()-nk
k n
k n
H E n k E E ''''
≠∑
22
2111212
==
--n
H b E E E E E ''''∑
22
12
22121==
--n
H b E E E E E ''''
∑。