《运筹学》之线性规划

运筹学线性规划基本性质线形规划基本性质目录线性规划（概论）线性规划问题:生产计划问题例1.1 生产计划问题（资源利用问题）例1.1生产计划问题分析例1.1生产计划问题模型例1.1生产计划问题表格描述例1 .2 营养配餐问题各种食物的营养成分表各种食物的营养成分表（转置）例1 .2 营养配餐问题求解用于成功决策的实例线形规划的一般模型:特点线形规划的一般模型:数学模型线性规划问题隐含的假定比例性假定可加性假定连续性假定确定性假定线形规划的图解法线形规划解的可能结果线形规划的标准形式1线形规划的标准形式2非标准型LP的标准化:目标函数非标准型LP的标准化:约束函数1非标准型LP的标准化:约束函数2非标准型LP的标准化:决策变量线形规划解的概念：可行解线形规划解的概念：最优解线形规划解的概念：基本解线形规划解的概念：最优基本解线形规划的应用模型生产计划问题生产计划问题：表格分析生产计划问题：模型产品配套问题产品配套问题：工时分析产品配套问题：配套分析产品配套问题：模型结束放映线性规划（概论）线形规划是研究解决有限资源最佳分配的运筹学方法，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的利用，以便最充分地发挥资源的效能去获得最佳经济效益。

线性规划问题:生产计划问题1、如何合理使用有限的人力、物力和资金，实现最好的经济效益。

2、如何合理使用有限的人力、物力和资金，以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。

例1.1 生产计划问题（资源利用问题）胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。

桌子售价50元/张，椅子销售价格30元/把，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。

生产一张桌子需要木工4小时，油漆工2小时。

生产一把椅子需要木工3小时，油漆工1小时。

该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。

问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？解：将实际问题转化为线性规划模型有以下几个步骤：1．确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量2．确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2（1）3．确定约束条件：4x 1+3x2≤120（木工工时限制)（2）2x1+x2≤50（油漆工工时限制）（3）4．变量取值限制：一般情况，决策变量只取正值（非负值）x1≥0,x2≥0（4）数学模型max S=50x1+30x2（1）s.t.4x1+3x2≤120（2）2x1+x2≤50（3）x 1，x2≥0（4）线性规划数学模型三要素：1、决策变量：X1,X22、目标函数：（1）3、约束条件：（2、3、4）注：s.t.–Subject to例1.1生产计划问题表格描述桌子椅子总工时木工43120漆工2150单价5030生产量X1X2例1 .2 营养配餐问题假定一个成年人每天需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的钙。

如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分和市场价格见各种食物的营养成分表。

问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？各种食物的营养成分表序号食品名称热量（千卡）蛋白质（克）钙（毫克）价格（元）1猪肉10005040014 2鸡蛋800602006 3大米900203003 4白菜200105002各种食物的营养成分表（转置）猪肉鸡蛋大米白菜营养要求热量（千卡）10008009002003000蛋白质（克）5060201055钙（毫克）400200300500800价格（元）14632食品需要量X1X2X3X4例1 .2 营养配餐问题求解设X为第j种食品每天的购入量，则配餐j问题的线性规划模型为：min S=14x1+6x2+3x3+2x4s.t.1000x1+800x2+900x3+200x4≥3000 50x1+60x2+20x3+10x4≥55400x1+200x2+300x3+500x4≥800x1，x2，x3，x4≥0用于成功决策的实例1、美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些机组人员被安排于哪架飞机的决策；2、美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运送海湾战争所需要的人员和物资的决策；3、北美长途运输公司关于每周如何调度数千辆货车的决策。

线形规划的一般模型:特点系统需要求解待定方案，方案必须满足指定的条件，而且需要实现指定的目标。

1、决策变量：表示待定方案，一组取值代表一个方案，决策变量需要满足一定条件；2、约束条件：用等式或不等式表示；3、期望目标：用确定的数量方法表示。

线形规划的一般模型:数学模型max z=c1x1 +c2x2 +… +c nxns.t.a11x1 +a12x2 +… +a1n x n ≤b1a21x1 +a22x2 +… +a2n x n ≤b2……………………………………………a m1x1 +a m2x2 +… +a mn x n ≤b mx j ≥0 (j = 1,2,…,n)线性规划问题隐含的假定•比例性假定•可加性假定•连续性假定•确定性假定决策变量变化引起的目标函数的改变量和决策变量的改变量成比例，同样，每个决策变量的变化引起约束方程左端值的改变量和该变量的改变量成比例。

每个决策变量对目标函数和约束方程的影响是独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和。

连续性假定线性规划问题中的决策变量应取连续值。

确定性假定线性规划问题中的所有参数都是确定的参数。

线性规划问题不包含随机因素。

X 1X 2线形规划的图解法2X 1+X 2=504X 1+3X 2=120Z=50X 1+30X 2确定可行域目标函数等值线X 2X 1最优点的确定最优解在凸多边形的顶点(15,20)线形规划解的可能结果唯一解多重解无解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥=+++≥=+++≥=++++++=0...,,0,0)0(............................................................)0(...)0(........max :)(212211222221211121211122111n mn mn m m n n n n nn x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s x c x c x c z M ⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a t s x c z M jnj i j ij nj jj ,...,2,1,0,...2,1,..max :)(112⎩⎨⎧≥==0..max :)(3X b AX t s XC z M T{},|max :)(4≥==X b AX X C z M T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==m n mn m m n n n Tb b b b x x x X a a a a a a a a a Ac c c C 212121222211121121,.........),...,(min z = C T X易知-max(-z) = min(z) = C T X 即max(-z) = -C T X令z’ = -z，得max z’ = -C T X1、bi<0:x1-2x2= -1⇒-x1+ 2x2= 12、约束“≤”的形式：x1≤8⇒x1+ x’ = 8 (x’≥0)称x’为松弛变量，它不影响目标函数，所以在目标函数的系数为零例：max z = 3x1+ 5x2s.t x1≤ 8 （1）2x2≤ 12 （2）3x1+ 4x2≤ 36 （3）x1, x2≥0为约束不等式左边分别添加松弛变量x3、x4、x5, 约束变为等式x1+ x3= 82x2+ x4= 123x1+ 4x2+ x5= 36x1, x2≥03、约束“≥”的形式min z = 3x1+ 2x2s.t. 12x1+ 3x2≥ 4 (1) s.t 12x1+ 3x2–x3= 4 2x1+ 3x2≥ 2 (2) 2x1+ 3x2–x4= 23x1+ 15x2≥ 5 (3) 3x1+ 15x2–x5= 5x1+ x2= 1 (4) x1+ x2= 1x1≥0, x2≥0 x1≥0, x2≥0称x3、x4、x5为剩余变量，它们不影响目标函数。

非标准型LP的标准化:决策变量≤0决策变量xj= -x j设x’j≥0则x’j满足线形规划问题所有约束条件的向量X称为可行解，所有可行解的集合称为可行域，记为R。

X2X1满足目标要求的可行解称为最优解，记为X*；它所对应的目标函数值称为最优值，记为z*。

有时称（X*,z*）为最优解，简称为解。

X2X1X*=(15,20)Z*=1350线形规划解的概念：基本解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=++=0,,,,36431228..53max 54321521423121x x x x x x x x x x x x t s x x z ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3612810043010200010154321A x x x x x 为非基本变量。

为基本变量，其中，一个基本解称该解为约束方程组的得方程组特解当得通解自由变量，令为为基本变量，中单位矩阵对应的变量取方程组有无穷多个解故：又因：易知：2154302121524132211221121543,,,)36,12,8,0,0(,043362128,,,,533)()(x x x x x x c c c c x cx c x c x c x c x c x x x x x x A nr m r A R A R T===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-=-======<=====参考约束函数标准化线形规划解的概念：最优基本解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3612810043010200010154321A x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+=++=0,,,,36431228..53max 54321521423121x x x x x x x x x x x x t s x x z 一个最优基本解故称该解为规划问题的可知目标不能继续改善由目标函数得方程组特解当得通解令目标函数：，解出，自由变量，从约束方程为为基本变量，取max 0545434254155445544max 544254154321)0,0,4,6,4(,031324216,31324,,)(21422163132432,,,f x c c c c x c x c c x c x c x c x c x f x x z x x x x x x x x x x T ===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-=-+=====--=-=-+=线形规划的应用模型生产计划问题食谱问题产品配套问题下料问题配料问题生产计划问题某企业使用m 种资源生产n 种产品，已知第i 种资源的数量是b i ，其单价为p i ，每生产一个单位第j 种产品所提供的产值是v j ，所消耗第i 种资源的数量是a ij 。