单因素方差分析的计算步骤

一、 单因素方差分析的计算步骤
假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值()m j n i ,2,1;,2,1==。

结果如下表3.1： 表3.1 单因素方差分析数据结构表
为了考察因素A 对实验结果是否有显著性影响，我们把因素A 的m 个水平m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而()m j n i x ij ,2,1;,2,1==看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设(
)
m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2
==σ。

可以认为j j j a εεμ,+=是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。

因此检验因素A 的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验：
μ====m a a a H 210:或者 0:210====m H εεε
具体的分析检验步骤是： （一） 计算水平均值
令j x 表示第j 种水平的样本均值，
j
n i ij
j n x
x j
∑==
1
式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数 （二）计算离差平方和
在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。

首先，总离差平方和，用SST 代表，则，
2)(∑∑-=x x SST ij
其中,n
x
x ij
∑∑=
它反映了离差平方和的总体情况。

其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为：
()∑∑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=j i j ij x x SSE 2
其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。

最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为：
()
()
2
2
∑∑∑-=-=x x n x x SSA j j j
用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。

可以看出，它所表现的是组间差异。

其中既包括随机因素，也包括系统因素。

根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在：
SSA SSE SST +=
因为：
()
()()[]
2
2
∑∑∑∑-+-=-x x x x x x
j j ij ij
()()
()()
x x x x x x x x j j ij j j ij --+-+-=∑∑∑∑∑∑22
2
在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有，
222)()()(∑∑∑∑∑∑-+-=-x x x x x x
j j ij ij
即 SSA SSE SST +=
（三）计算平均平方
用离差平方和除以各自自由度即可得到平均平方。

对SST 来说，其自由度为1-n ，因为它只有一个约束条件，即
0)(=-∑∑x x
ij。

对SSA 来说，其自由度是1-m ，这
里m 表示水平的个数，SSA 反映的是组间的差异，它也有一个约束条件，即要求：
0)(=-∑x x n
j j
对SSE 来说，其自由度为m n -，因为对每一种水平而言，其观察值个数为j n ，该水平下的自由度为1-j n ，总共有m 个水平，因此拥有自由度的个数为m n n m j -=-)1(。

与离差平方和一样，SSE SSA SST ,,之间的自由度也存在着关系，即
)()1(1m n m n -+-=-
这样对SSA ，其平均平方MSA 为：
1
-=
m SSA
MSA 对于SSE ，平均平方MSE 为：
m n SSE
MSE -=
（四）方差分析表
由F 分布知，F 值的计算公式为：
MSE
MSA
F ==
组内方差组间方差
为了将方差分析的主要过程表现的更加清楚，通常把有关计算结果列成方差分析表如下表3.2：
表3.2 方差分析表
（五）作出统计判断
对于给定的显著性水平α，由F 分布表查出自由度为),1(m n m --的临界值αF ，如果αF F >，则拒绝原假设，说明因素对指标起显著影响；如果αF F ≤，则接受原假设，说明因素的不同水平对试验结果影响不显著。

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