中考复习教案图形与图形的变换
图形的变换(复习)优秀教案
图形的变换（复习）教学目标：1.通过复习与整理，使学生一步掌握对称、平移、旋转等图形变换的特征;学会运用对称、平移、旋转的特征进行图形的变换。
2.通过不同的图形，让学生从不同的角度来描述图形的变换方式，沟通知识间的联系与区别。
3、整理已学过的平面图形的轴对称性，加深对这些图形的认识。
4.在观察、操作、想象、设计图案等活动中，发展空间观念。
教学重点：整理完善知识结构，形成知识网络。
教学难点：综合运用对称、平移、旋转的特征进行图形的变换，进一步发展学生空间观念。
教学准备：课件教学课时：1课时教学过程：一、开门见山，揭示课题：我们在以前就已经初步感知生活中的轴对称、平移和旋转现象。
认识轴对称图形，能在方格纸上画简单的轴对称图形和沿水平或垂直方向画平移后的图形。
这一期又进一步认识轴对称，掌握图形成轴对称的特征和性质。
能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。
认识了旋转，能在方格纸上把简单图形旋转90°。
初步学会用平移、对称和旋转的方法设计图案。
我们在六年级要学习圆的对称性。
今天，这节课整理和复习图形与变换的知识。
二、回忆整理，再现旧知1、整理、复习轴对称、旋转、平移的意义、性质以及特征。
（1）轴对称的意义：把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。
这条直线就是对称轴。
（2）轴对称的性质：对称点到对称轴的距离相等。
（3）轴对称的特征：沿对称轴对折，对称点、对称线段、对称角度重合。
（4）旋转的意义：物体绕着某一点或轴运动，这种运动现象称为旋转。
（5）旋转的性质：图形绕着某一点旋转一定的度数，图形的对称点、对称线段都旋转相应的度数，对应点到旋转点的距离相等，对应的线段、对应的角都相等。
（6）旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没有发生变化，只是位置变化了。
（7）平移的性质：对应点所连接的线段平行且相等。
2、复习旋转的三要素以及意义的区别。
（1）旋转三要素：旋转点（或旋转中心）、旋转方向、旋转角度（2）轴对称是沿着一条直线对折后，两个图形能够完全重合；而轴对称图形是指一个图形沿着一条直线对折后，图形的两部分之间能够完全重合。
中考一轮复习教案之图形及其变换
第四篇 图形及其变换专题十五 视图与投影一、考点扫描1、会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图．能根据三视图描述基本几何体或实物原型2、了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
3、了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
4、观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。
5、通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎样形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光或灯火下，观察手的阴影或人的身影）。
6、了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。
7、通过实例了解中心投影和平行投影。
二、考点训练1、在同一时刻，身高1．6m 的小强的影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ，则旗杆高为2、一天上午小红先参加了校运动会女子100m 比赛，过一段时间又参加了女子400m 比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（ ）3、小明从正面观察图1所示的两个物体，看到的是下图中的（ ）4、将如图所示放置的一个直角△ABC( ∠C=90°)，绕斜边AB 旋转一周所得到的几何体的主视图是图中四个图形中的_________（只填序号）．5、如图4，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB 、DC 重合，则所围成的几何体图形是图中的（ ）6、如图，是由一些相同的小立方块搭成的立体图形的三种视图，则搭成这个立体图形的小立方块的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87、如图6，阳光通过窗口照到仓库内，在地上留下2．7m 宽的亮区，如图6，已知亮区一边到窗下的墙角的距离为CD=8．7m ，窗口高AB=1．8m ，那么窗口底边高地面的高BC=_________9、一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形.那么另外一个为( )A.正三边形B.正四边形C.正五边形 D ．正六边形三、例题剖析1、如图所示，说出下列四个图形各是由哪些立体图形展开得到的？2、4.如图所示，画出该物体的三视图3、如图，住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m ，两楼间的距离AC=24cm ，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况，当太阳光与水平线的夹角为30”时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？4、由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图所示．（1）请你画出这个几何体的一种左视图；（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，请你写出n 的所有可能值．四、综合应用1、如图，某大厅一面墙的整个墙面上装着玻璃，镜子前的地面上有一盆花和一个木架，大厅天花板上有一盏电灯，晚上，镜子反射灯光形成了那盆花的影子，木架的影子是电灯光形成的，请你确定此时电灯光源的位置．C'ABC专题十六 轴对称一、考点扫描1、轴对称及轴对称图形的联系：轴对称及轴对称图形可以相互转化区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系，而轴对称图形一个图形自身的性质；轴对称只有一条对称轴，轴对称图形可能有几条对称轴。
图形与变换初中数学教案
图形与变换初中数学教案教学目标：1. 理解图形变换的概念，掌握平移、旋转、轴对称等基本变换的性质和特点。
2. 能够运用图形变换解决实际问题，提高空间思维能力和逻辑思维能力。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和创新能力。
教学重点：1. 图形变换的概念和性质。
2. 运用图形变换解决实际问题。
教学难点：1. 图形变换的性质和特点。
2. 运用图形变换解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 图形变换的相关教具，如拼图、模型等。
3. 练习题和实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的几何知识，如点、线、面的基本概念。
2. 提问：同学们，你们认为图形可以进行哪些变换呢？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解图形变换的概念，介绍平移、旋转、轴对称等基本变换的定义和性质。
2. 通过示例和教具演示，让学生直观地感受图形变换的过程和效果。
3. 讲解图形变换的性质，如变换前后图形的形状和大小不变，对应点、对应线段、对应角相等等。
4. 引导学生总结图形变换的特点，如平移是沿直线移动，旋转是绕某点旋转等。
三、课堂练习（15分钟）1. 给出练习题，让学生独立完成，巩固对图形变换的理解和应用。
2. 选取部分学生的作业进行点评，讲解正确答案和解题思路。
四、实际问题解决（10分钟）1. 给出一个实际问题，如设计一个平面布局，让学生运用图形变换知识进行解决。
2. 引导学生分组讨论，合作完成问题。
3. 选取部分学生的解题结果进行展示和讲解。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结图形变换的概念、性质和特点。
2. 提问：同学们，你们认为图形变换在实际生活中有哪些应用呢？教学延伸：1. 布置课后作业，让学生巩固图形变换的知识。
2. 开展图形变换的主题活动，如制作拼图、设计变换图案等。
教学反思：本节课通过讲解图形变换的概念、性质和特点，让学生掌握了图形变换的基本知识。
在实际问题解决环节，学生能够运用所学知识进行问题分析和解答，提高了空间思维能力和逻辑思维能力。
初四中考数学图形的变换二轮复习教案设计与反思
【回顾与思考】总结轴对称：位置、方向变化，图形大小、角度不变；平移：位置变而大小、方向、形状不变：旋转：大小、形状不变，位置、方向变化；相似：大小、方向、位置变化，形状不变。
例题精讲（大屏幕展示）例1．4根火柴棒形成如图所示的象形“□”字，平移火柴棒后，原图形能变成的象形汉字是( )．”答案：B8．在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形座垫，座垫的图案如右图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模式． ( )答案：C例2.如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，…个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了( )．(A)5 5米 (B)5 5．5米 (C)5 6米 (D)5 6．5米答案：C例3下面4张扑克牌中，属于中心对称的是 ( )答案：D例4.一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形.那么另外一个为( )A.正三边形B.正四边形C.正五边形 D．正六边形答案：B例5.将一个底面半径为2cm高为4cm的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积为__________________cm2；答案：16a例6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，把这个三角形在平面内绕点C 顺时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是cm．(不取近似值)答案：π例7.将如图所示图案绕点O按顺时针方向旋转900，得到的图案是………………( )A B. C. D.第5例8.△ABC平移到△DEF的位置，（即点A与点D，点B与点E，点C与点F，是对应点）有下列说法：①AB=DE;②AD=BE;③BE=CF;④BC=EF其中说法正确个数有……( )A.1个B.2个C.3个D.4个例9.下列现象中，不属于旋转变换的是( )A. 钟摆的运动B.大风车传动C. 方向盘的转动D. 电梯的升降运动【例题经典】（大屏幕展示）例1如图，四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（）【评析】从题目中所给的四个图形来看，图A有2条对称轴；图B有4条对称轴；图C不是轴对称图形，•它没有对称轴；图D只有一条对称轴，所以图B的对称轴条数最多．旋转、平移作图、设计图案例2 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，•请你运用旋转变换的方法，在坐标系上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的平面图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果．【分析】先确定每个三角形的顶点绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°后的位置，然后连线，涂上相应的阴影即可．【解析】所画的图形如图所示．练习：1、将直角边长为5cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后,得到ΔAB’C’,则图中阴影部分的面积是cm22、在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．（1）在边CD上找．一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分）（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．①求证：点B平分线段AF；（3分）②△P AE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）【作业设集锦必做：1选做：2【回顾与思考】板书设计教学后记或反思（主要记录课堂设计理念，实际教学效果及改进设想等）精心备好课。
中考图形变换复习课教案
中考图形变换复习课教案教案标题：中考图形变换复习课教案教学目标：1. 理解图形变换的基本概念，包括平移、旋转、翻转和放缩。
2. 掌握图形变换的基本操作方法和规律。
3. 运用图形变换解决与中考相关的数学问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、教学PPT、练习题、实物模型等。
2. 学生准备：教材、课堂笔记、练习册、作业本等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过展示一些实物模型，引导学生回顾图形变换的基本概念。
2. 教师提问学生，让学生回答图形变换的种类和基本操作方法。
二、概念讲解（15分钟）1. 教师通过教学PPT或黑板，详细讲解平移、旋转、翻转和放缩的定义和特点。
2. 教师通过示例，演示不同种类图形在平移、旋转、翻转和放缩过程中的变化规律。
三、操作演练（20分钟）1. 教师提供一些练习题，让学生在纸上进行图形变换的操作。
2. 教师引导学生分组合作，共同解决一些图形变换问题，并进行讨论和交流。
四、巩固与拓展（15分钟）1. 教师提供一些中考相关的图形变换问题，让学生运用所学知识解答。
2. 教师鼓励学生提出自己的问题，并进行解答和讨论。
五、小结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行小结，并强调学生需要掌握的关键点。
2. 教师鼓励学生对本节课的学习进行反思，提出自己的意见和建议。
教学延伸：1. 学生可以通过在线资源或教材中的习题，进一步巩固和拓展图形变换的知识。
2. 学生可以在日常生活中观察和记录图形变换的实际应用，提高对图形变换的理解和认识。
教学评价：1. 教师通过观察学生在操作演练中的表现，评价学生对图形变换的掌握程度。
2. 教师可以布置一些作业或小测验，检验学生对图形变换的理解和应用能力。
《图形和变换》数学教案
《图形和变换》数学教案
标题：《图形和变换》数学教案
一、教学目标：
1. 学生能够理解和掌握图形的基本概念和分类。
2. 学生能够掌握图形变换的基本方法，包括平移、旋转和反射。
3. 通过实际操作，提高学生的空间观念和几何思维能力。
二、教学内容：
1. 图形的基本概念和分类
- 点、线、面的概念
- 常见的二维图形（如圆形、正方形、长方形等）和三维图形（如球体、立方体等）
2. 图形的变换
- 平移：定义、特点和操作方法
- 旋转：定义、特点和操作方法
- 反射：定义、特点和操作方法
三、教学过程：
1. 引入新课：教师可以通过实物或者图片展示各种图形，引导学生观察并提问：“这些图形有什么共同点？我们可以怎样将它们进行分类？”以此引入图形的基本概念和分类。
2. 新知讲解：在讲解图形变换时，教师可以先让学生观察一个图形经过平移、旋转或反射后的变化，然后引导学生总结出每种变换的特点和操作方法。
3. 实践操作：设计一些实践活动，如让学生用纸片制作一个简单的图形，然后尝试对其进行平移、旋转和反射。
4. 巩固练习：设计一些习题，让学生通过解答来巩固所学的知识。
四、教学评价：
1. 过程评价：在实践操作环节，教师可以通过观察学生的表现，了解他们对图形变换的理解程度。
2. 结果评价：通过检查学生的作业和测试成绩，评估他们的学习效果。
五、教学反思：
1. 对于学生在课堂上的反应和反馈进行分析，找出教学中的问题和不足，以便改进教学方法。
2. 对于学生的学习成果进行评估，看看是否达到了预期的教学目标。
图形变换专题复习教案
B 2图形变换专题复习教案【标准要求】通过图形的变换(平移、旋转、对称)，探索、发现和认识图形的一些性质；探索、发现某些图形之间的关系；将图形进行分解、组合，为解决问题寻求可行的途径。
【题型分析】1、 以选择题的形式考察“图形变换”的性质。
2、以解答题的形式考察学生作图，对“图形变换”基本运用水平，以及计算能力。
2、 以创新探索题的形式考察学生的逻辑推理能力。
【中考趋势】图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。
【内容提要】平移: 上下平移 横坐标不变,纵坐标改变 左右平移 横坐标改变,纵坐标不变对称: 关于x 轴对称 横坐标不变,纵坐标改变 关于y 轴对称 横坐标不变,纵坐标不变关于中心对称 横坐标、纵坐标都互为相反数 旋转： 改变图形的位置，不改变图形的大小和形状旋转角 旋转半径 弧长公式L=n πR ／180考点一 “图形变换”的基本性质例1 在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).⑴画出△ABC 向下平移4个单位后的△A 1B 1C 1;⑵画出△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2,并求出A 旋转到A 2所经过的路线长.解:⑴画出△A 1B 1C 1;⑵画出△A2B 2C 2, ,连接OA 1、OA 2点A 旋转到A2,所经过的路线长为:ι=点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次连接这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要明确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关于某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称轴的距离相等。
2020年中考总复习：图形的变换-- 教案
2020年中考总复习：图形的变换–教案一、教学目标1.了解图形的基本属性和种类；2.掌握图形的平移、旋转和翻转变换方法；3.能够应用图形的变换方法解决相关问题；4.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和创新思维能力。
二、教学重点1.图形的变换方法；2.图形变换在解决问题中的应用。
三、教学内容1. 图形的基本属性图形是由点、线段和线条等元素组成的形状。
在图形中，点是最基本的元素，线段是由两个不同点确定的直线段，而线条则是由多个线段组成的。
2. 图形的种类根据不同的属性和特点，图形可以分为以下几类： - 几何图形：如直线、射线、线段、平行线、垂直线等； - 二维图形：如圆、三角形、矩形、正方形、梯形、平行四边形等； - 三维图形：如立方体、圆柱体、圆锥体、球体等； - 不规则图形：如椭圆、心形、五角星等。
3. 图形的平移变换平移变换是指将图形在平面内沿着某个方向上移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移变换的要点是确定平移的方向和距离。
4. 图形的旋转变换旋转变换是指围绕某个点或某个轴心将图形旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换的要点是确定旋转的中心点和旋转的角度。
5. 图形的翻转变换翻转变换是指将图形沿着某个轴线翻转，使得图形的对称部分对称于轴线上的另一部分。
翻转变换的要点是确定翻转的轴线。
四、教学方法1.演示法：通过投影仪或电子白板展示图形变换的过程，帮助学生更直观地理解和掌握图形变换的方法。
2.实践操作：让学生利用纸张、游标卡尺等工具进行手工实践操作，并观察变换后的图形特点。
3.探究式学习：引导学生通过观察和思考，探索图形变换的规律和特点，培养学生的创新思维能力。
五、教学步骤步骤一：引入通过展示一些具有变换特点的图形，引起学生对图形变换的兴趣，并与学生进行互动讨论。
步骤二：图形的基本属性和种类介绍图形的基本属性和种类，并结合示例进行说明和概括。
步骤三：图形的平移变换通过示范操作和学生实践操作，讲解图形的平移变换方法和要点。
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中考复习教案图形与图形的变换
1.图形的初步认识
直观认识立体图形、视图、展开图。
直观认识平面图形，了解图形的分割与组合。
正确理解两点间的距离和含义，掌握点、线段、直线、射线的表达方式。
学会比较线段的大小，理解“线段的和差也是线段”这一事实。
理解角的两种定义，正确认识角与角之间的数量关系，学会比较角的大小，理解角的和、差及角平分线的概念。
正确认识互为余角和补角的概念以及它们之间的数量关系。
理解垂线的概念并能用三角尺、量角器过一点画已知直线的垂线；理解点到直线的距离，并能度量点到直线的距离。
理解同位角，内错角和同旁内角的概念，并学会识别它们。
理解平行线的概念，认识平行线的特征，会用三角尺、直尺过已知直线外一点画这条已知直线的平行线，并会识别实际生活与数学图形中的平行线。
2.轴对称
通过生活中的具体实例认识轴对称的概念。
理解并熟练应用线段、角、圆等图形的轴对称性。
能按要求画出简单平面图形的轴对称图形。
能利用轴对称进行图案的设计。
能运用等腰三角形的两底角相等，三线合一进行简单证明和计算。
熟练掌握并能运用等边三角形的性质解题。
3.平移和旋转
通过实例认识图形的平移变换，掌握基本性质。
能按要求作出简单的平面图形平移后的图形，注意平移的方向和距离。
通过具体实例认识图形的旋转变换，掌握基本性质。
认识旋转对称图形，并能按要求作出简单的平面图形旋转后的图形，注意旋转中心，旋转角度，旋转方向。
通过实例认识中心对称，并掌握基本性质。
灵活应用轴对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计。
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的惯与能力。
课时分布】
图形与图形的变换在第一轮复时大约需要5个课时，其中包括单元测试。
下表为内容及课时安排（仅供参考）：
课时1：图形的初步认识（1）
课时2：图形的初步认识（2）
课时3：图形的初步认识（3）
课时4：轴对称和平移（1）
课时5：轴对称和平移（2）+ 旋转（1）
基本图形的认识
轴对称与轴对称图形
平移与旋转
图形与图形的变换测试与析评
知识回顾】
1、知识脉络
初步认识图形、形、立体图形、点和线、角、相交线、平行线、轴对称图形、平移的变换、旋转、旋转对称、中心对称关系等。
2、基础知识
在平面上，两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
视图有正视图、俯视图、侧视图（左视图、右视图）。
平行线间的距离处处相等。
平移是由移动的方向和距离决定的。
平移的特征是：对应线段平行（或共线）且相等；连结对应的线段平行（或共线）且相等；对应角分别相等；平移后的图形与原图形全等。
图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定。
旋转的特征是：对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对
应角相等；每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；旋转后的图形与原图形全等。
3、能力要求
例1．如图1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为540平方米，则道路的宽应是多少米？
分析】尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图形，问题就迎刃而解了。
解】将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方，设道路宽为x米，则有32x+(20-x)×x=32×20-540，整理，得x²-52x+100=0，∴(x-50)(x-2)=0，∴x=2.
变式】如图是___为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是1，则图中阴影部分的面积是多少？答案为5.
例2．如图是一个台球桌，（1）若击球者想通过击打E 球，让E球先撞上AB边，反弹后再撞击F球，他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图中画出这一点，并说明是如何确定的？（2）若击球者想让___先撞AB边，再撞AD边，反弹后撞上G球，他应将E球打在AB边上的哪一点？
解】（1）作E球关于AB的对称点E'，连结E'F交AB 于P，则P为所求的点，如图（1）。
2）分别作球关于AB的对称点E'，球G关于AD的对称点G'，连结E'G'交AB于P，交AD于Q，点P、Q即为所求的点（如图（2））。
___所示，一只蚂蚁要从A点爬到B'点，求最短路程及最短路径。
长方体的长为2cm，宽为1cm，高为4cm。
首先，我们可以发现，蚂蚁只能在长方体的表面爬行，因此最短路径一定是长方体的表面上的一条线段。
其次，我们可以利用两点之间线段最短的原理来求解。
由于长方体的表面是由多个矩形构成的，因此我们只需要求出从
A点到B'点的线段在每个矩形上的投影，并求出它们的和即可得到最短路径。
具体来说，我们可以先将长方体展开成如图所示的平面图形，然后在图中找到从A点到B'点的最短路径，如图中的红色线段所示。
可以发现，最短路径分别经过了长方体的两个侧面和一个底面，因此最短路径的长度为2+4+1=7（单位：cm）。
最后，我们可以利用中垂线的性质来验证得到的最短路径是否正确。
具体来说，我们可以在长方体的底面上找到A点和B'点的中点C，然后在长方体的侧面上找到AC和B'C的中点D和D'，如图所示。
可以发现，从A点到B'点的最短路径AD'DB'恰好与我们之前求得的最短路径重合，因此得到的最短路径是正确的。
而图（2）和图（3）所示方案的线路总长为2a a2，显然图（2）和图（3）所示方案的线路最短，且两者等效，故可以任选一种方案．
说明】本题需要考虑最优解，即最短路径，需要运用数学知识进行建模和求解，同时需要综合考虑成本和效益，体现了数学在实际问题中的应用价值。