2022年河北省石家庄市衡水中学高三数学理模拟试卷含解析
河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷(一)数学试题(高频考点版)
一、单选题1. 已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为（）A．B．C．D．2.已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值范围是A．B．C．D．3. 已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E 的左､右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ）①点P的横坐标为②的周长为③的内切圆半径为1④的内切圆圆心横坐标为4A ．②③④B ．①②④C ．①②③D ．①②4. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则A．B．C．D．5. 已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D ．36. 齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为A．B．C．D．7.如图，正方体的棱长为1，为的中点，在侧面上，有下列四个命题：①若，则面积的最小值为；②平面内存在与平行的直线；③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个；④过作面与面平行，则正方体在面的正投影面积为．则上述四个命题中，真命题的个数为河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（一）数学试题(高频考点版)河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（一）数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题四、解答题A ．1B ．2C ．3D ．48. 最近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮着的水葫芦便会迅速增长，严重影响了市容景观，为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关，下图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦面积与时间的函数关系图像，假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法:①此指数函数的底数为；②在第个月时，水葫芦的面积会超过；③设水葫芦面积蔓延至所需的时间分别为，则有；其中正确的说法有（ ）A．B．C．D．9. 已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10.设实数满足，则（ ）A．B．C．D．11. 有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80％，乙批种子10粒，能发芽的占70％，则下列说法正确的有（ ）．A．从甲批种子中任取两粒，至少一粒能发芽的概率是B．从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是C．从甲乙两批中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是D．如果将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为12. 下列函数中最大值为1的是（ ）A．B．C．D．13. 过点可作曲线的两条切线，则实数的取值范围是_____________．14. 已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为______．15. 如图，在等边三角形ABC 中，，点N 为AC 的中点，点M 是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为___________.16. 某小学认真贯彻教育部门“双减”工作的精神，执行相关措施一段时间后，为了解“双减”工作的实际效果，在该校1200名学生中随机抽取了100名小学生，调查他们周末完成作业的时间（以下简称作业时间，单位：)，将统计数据按[0，0.5)，[0.5，1)，，[4，4.5]分组，得到如图所示的频率分布直方图，(1)求直方图中的值；(2)估计全校学生作业时间不低于2的人数；(3)按照分层抽样的方法，从全校学生作业时间不低于2和低于2的学生中抽取5人组成核心素养考察团，若从考察团中选取2人作为团长和副团长求这2人都来自作业时间低于2的学生的概率．17. 已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点共线，求.18. 设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，若，且(S n+1+λ)a n=(S n+1)a n+1对一切n∈N*都成立．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式;（2）求λ的值，使数列{a n}是等差数列．19. 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点且长轴长为4．求椭圆E的方程：Ⅱ若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线1与椭圆E交于C，D两点，求与的面积之差的绝对值的最大值为坐标原点20. 某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：（1）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在之间的概率；（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．21. 已知动圆过点（0，1），且与直线：相切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)点一动点，过作曲线E两条切线，，切点分别为，，且，直线与圆相交于，两点，设点到直线距离为．是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．。
2022年河北省衡水中学高考数学模拟试卷及答案解析
2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝{x ||x ﹣2|＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，3）B ．（1，2）C ．（﹣∞，3）D ．（0，2）2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种3．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．√104B ．√53C ．√64D ．√1534．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →=4FQ →，则|QF |＝（ ） A ．72B ．3C ．52D ．25．（5分）已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，点P 在直线y ＝x +3上．线段AB 为圆C 的直径，则PA →•PB →的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．726．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．10300B ．10400C ．10500D ．106007．（5分）已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．设a ＝f（32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ →•AB →=AQ →•FB →，且BQ →=3FQ →，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．√5−1C ．√5D ．2+√53二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届河北省衡水中学高三开学二调考试(数学理)(word版)
2022届河北省衡水中学高三开学二调考试（数学理）（word版）（数学理）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合A{，1},B{，1},则“∈A且A。
-1-1D。
-18。
已知f()是定义在(0,)上的单调函数，且对任意的∈(0,)都有f(f()3)2，则方程f()f()2的一个根所在的区间是（）A。
（0,1）B。
（1,2）C。
（2,3）D。
（3,4）9。
若函数f()e为（）e2e221B2loga(a0)在区间（0,2）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围2”成立的充要条件是（）332、曲线f()2在=1处的切线倾斜角是（）3A。
B。
C。
D。
3、下列命题中的假命题是（）A。
0,32B。
(0,),e1C。
0(0,),0in0D。
0R,lg002123,0,若f(a)=4,则实数a的值为（）4、设函数f()1log2,0,A。
(2,2)B。
(0,2]C。
(2,210。
已知函数f()]D。
(2,232e44)A。
[1,)B。
(0,)C。
(,0)D。
(,1]11、f()2bc，若方程f()=无实根，则方程f(f())=()A。
有四个相异实根B。
有两个相异实根C。
有一个实根D。
无实数根12、已知函数f()e1e1，则满足f(1)ee1的取值范围是（）A。
1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知命题p:R,21m；命题q:f()(3m)是增函数。
若“pq”为假命题且“pq”为真命题，则实数m的取值范围为。
14、A。
11111B。
C。
或D。
282816mn5、设m,n∈R，已知mloga2,nlogb2，且ab22(a1,b1)，则的最大值是（）mnA。
1B。
2C。
12D。
226。
已知f()是定义在[-2b,1+b]上的偶函数，且在[-2b,0]上为增函数，则f(-1)≤f(2)的解集为（）A。
河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷+答案解析(附后)
河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（二）数学试题1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 如果复数其中为虚数单位，b为实数为纯虚数，那么( )A. 1B. 2C. 4D.3. “”是命题p：，成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设直线与圆：交于A，B两点，若圆的圆心在线段AB上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧AB上，则圆的半径的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 在平行四边形ABCD中，，点M在AB边上，且，则等于( )A. B. C. 1 D. 26.设，，且，则当取最小值时，__________.7.已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为A，上顶点为B，以线段为直径的圆交线段的延长线于点P，若且线段AP的长为，则该椭圆方程为( )A. B. C. D.8. 已知函数，，直线与函数，的图象分别交于N，M两点，记，函数的极大值为( )A. B. C. D.9. 已知，，则( )A. 若，则B. 若，则C. 的最小值为5D. 若向量与向量的夹角为钝角，则10. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为( )A. B. 2 C. 3 D. 411. 如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是( )A. 的最大值为B. 的最小值为C. D.平面平面12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则( )A.B.C. 取得最小值时n等于5D. 设，为的前n项和，则13. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为__________.14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，则__________.15.如图，在长方体中，，，，则点到平面的距离为__________16. 已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，则__________；方程在区间内的解的个数是__________.17. 随机抽取某电子厂的某种电子元件400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6元、2元、1元，而1件次品亏损2元.设1件产品的利润单位：元为求1件产品的平均利润即X的数学期望；经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为，如果此时要求1件产品的平均利润不小于元，则三等品率最多是多少？18.已知数列的前n项和为，且设，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角A的大小；若，求面积的最大值及此时边b，c的值.20. 如图所示的多面体是由三棱锥与四棱锥对接而成，其中平面AEB，，，，，，G是BC的中点．求证：；求平面DEG与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．21. 已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，求抛物线C的方程；设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．22. 已知函数的图象在处的切线为若函数，求函数的单调区间；设函数图象上存在一点处的切线为直线l，若直线l也是曲线的切线，证明：实数存在，且唯一.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合交集，属于基础题.根据给定条件结合交集的定义直接计算即可判断作答.【解答】解：因集合，，所以，故选2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的基本概念，复数的除法运算，属于基础题.根据给定条件利用复数的除法运算化简复数，再结合复数的分类即可作答.【解答】解：，因复数为纯虚数，于是得且，解得，所以故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查对数函数的应用，属于一般题.根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答】解：当时，在上单调递增，而此时，所以，成立，因此“”是命题p：，成立的充分条件；若，，则可知，且时，，因此，从而可得，故必要性成立.故选4.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，韦达定理的应用，属于中档题.先根据圆的方程找出圆心坐标与半径R的值，由题可知当圆的圆心为线段AB的中点时，圆与圆相切，切点在圆的劣弧AB上，此时圆的半径r的最大，利用距离公式求出两圆心的距离等于1，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆的半径最大值.【解答】解：由圆，可得圆心，半径，设圆的半径为r，则即故当最小时，r取最大值如图，当圆心为线段AB的中点时，取最小值且圆与圆相切，切点在圆的劣弧AB上，设切点为P，联立直线与圆的方程得，消去y得到，设，，则，线段AB的中点的横坐标为，把代入直线方程中解得，，两圆心之间的距离，圆的最大半径故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算，向量加法运算的应用，属于一般题.作于E，于F，用，进行转化，运算即可.【解答】解：如图，作于E，于F，易得，，则故选6.【答案】12【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于中档题．当取最小值时，取最小值，变形可得，由基本不等式和等号成立的条件可得．【解答】解：，，当取最小值时，取最小值，，，，，，，当且仅当即时取等号，当取最小值时，即，时，则，，故答案为7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程，属于一般题.推导出、是等腰直角三角形，可得出以及，可求出a、c的值，进而可求得b的值，由此可得出该椭圆的方程.【解答】解：设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段为直径的圆上，所以又因为，所以又因为，所以是等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形，，，，得，解得，，得，所以椭圆方程为故选8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数求函数极值，属于中档题．由题意可设，则，利用函数的性质可求函数的极大值即可.【解答】解：设，，，，由，，，，解得，或，由，得，，，解得，当时，函数有极大值为故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查向量的坐标运算，向量平行、垂直和向量的夹角，属于基础题．直接利用向量的共线，向量的模，向量的数量积，向量的夹角的应用判断各选项的正误．【解答】解：由，得，A不正确;由，，，B正确;，当时，取得最小值5，C正确;当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量的夹角为钝角，则或，D不正确.10.【答案】AB【解析】【分析】本题考查正弦型函数单调性的应用，函数图象变换，属于中档题.根据给定条件求出函数的解析式，进而求出的含有数0的单调递增区间，再借助集合的包含关系列式作答.【解答】解：依题意，，由，得：，于是得的一个单调递增区间是，因为在上为增函数，因此，，即有，解得，所以，选项C，D不满足，选项A，B满足.故选11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，空间位置关系的判定，属较难题.当时，为钝角，A错误；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，可知B正确，利用平面，可得，C正确;利用平面平面，得出平面平面，D正确.【解答】解：设，则，，，当时，，即为钝角，错误；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在上图中，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，正确；由正方体的结构特征可知，，，且平面，平面，又平面，，C正确；平面即为平面，平面即为平面，且平面，平面，平面平面，平面平面，正确.故选：12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式及求和，属于中档题.根据给定条件求出等差数列的公差d，再逐项分析计算即可判断作答.【解答】解：在等差数列中，因，，则公差，则，，A，B正确；，当且仅当，即时取“=”，因，且，，，则取最小值时，n等于6，C不正确；因，则，D正确.故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，属于基础题.根据离心率为2，得到的值，从而得到两条渐近线方程，进而可得结果.【解答】解：，，故，所以，两条渐近线方程为：，故两条渐近线对应的倾斜角分别为和，两条渐近线所成的锐角为故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式、诱导公式的应用，属于一般题.利用正弦定理化边为角，再逆用两角和的正弦公式化简，结合三角形的内角和以及诱导公式即可求解.【解答】解：因为，由正弦定理可得：，即，所以，在中，因为，所以，即，所以，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题考查等体积法求点到面的距离，属基础题．利用，可求点到平面的距离．【解答】解：设点到平面的距离为d，由，可得，又，，解得故答案为：16.【答案】11【解析】【分析】本题考查求函数值，方程根的个数，属于中档题.根据得；根据题意作出和的图象，数形结合即可得答案.【解答】解：，…；在同一坐标系中画出满足条件：①定义域为R；②，有；③当时，的函数与函数的图象：观察图象可得：两个函数的图象在区间内共有11个交点，则方程在区间内的解的个数是：故答案为；17.【答案】解：的所有可能取值有6，2，1，，，，，故X的分布列为X621P设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得，三等品率最多为【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于一般题.的所有可能取值有6，2，1，，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．设技术革新后的三等品率为x，求出此时1件产品的平均利润为，由此能求出三等品率的最大值．18.【答案】证明：由，①则当时，有②①-②得两边同除以，得，即，即，所以数列是等差数列.由，得则，所以，，故公差，所以是以为首项，为公差的等差数列.解：由可知数列是首项为，公差为的等差数列.，即，，③，④③-④得…【解析】本题考查等差数列的判定与通项公式，利用错位相减法求数列的和，数列的递推关系，属于中档题.由已知数列的递推关系可得，与原递推式相减可得，两边同除以，得，即可证得数列是等差数列；由求出数列的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法可得数列的前n项和19.【答案】解：在中由正弦定理得：，为外接圆半径，，，化简得：即，，，，由余弦定理得，又，，，又，，则，当且仅当时，的面积取得最大值为【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于一般题.结合正弦定理化简已知条件，求得，从而求得A的大小.利用余弦定理列方程，结合基本不等式，三角形面积公式求解即可.20.【答案】解：证明：平面AEB，平面AEB，，又，，EB，平面BCFE，平面过D作交EF于H，则平面平面BCFE，，，四边形AEHD为平行四边形，，，又，，四边形BGHE为正方形，，又，平面BHD，平面BHD，平面平面BHD，解：平面BCFE，平面AEFD，平面平面BCFE由可知，平面AEFD平面AEFD，取DE的中点M，连接MH，MG ，如图四边形AEHD是正方形，，平面GHM，平面GHM，平面GHM，是二面角的平面角，在中，，，，，平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为【解析】本题考查线线垂直，考查面面角，属于中等题.证明，只需证明平面BHD，证明，即可；先证明是二面角的平面角，再在中，可求平面DEG与平面DEF 所成锐二面角的余弦值.21.【答案】解：因为，在抛物线方程中，令，可得于是当直线与x轴垂直时，，解得所以抛物线的方程为由题意知直线AB的方程为，因为抛物线的准线方程为，所以由，消去x得设，，则，若点满足条件，则，即，因为点P，A，B均在抛物线上，所以代入化简可得，将，代入，解得将代入抛物线方程，可得于是点为满足题意的点．【解析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题.由题意可得，即可求出抛物线的方程.由题意知直线AB的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标.22.【答案】解：函数定义域为，求导得：，因的图象在处的切线为，则有，解得，即，因此，，且，，所以函数的单调递增区间为和，无单调递减区间.证明：由函数得，，，则切线l的方程为，即，设直线l与曲线相切于点，由求导得：，则直线l的方程也为，即，因此有：，即，整理得：，由知，在区间上递增，又，，于是得方程必在区间上有唯一的根，即方程在上有唯一的根，因，，因此，方程在上唯一的根就是，而，所以存在，且唯一.【解析】本题考查导数的应用，导数的几何意义，属于难题.根据给定条件结合导数的几何意义求出函数，再借助导数求出函数的单调区间.利用导数的几何意义求出直线l，设出l与曲线相切的切点，写出由该切点所得的切线l，再借助函数性质，结合函数的零点即可推理作答.。
2022届河北省石家庄市高三模拟演练数学试题 word版含答案详解
第1页 共26页 ◎ 第2页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前 河北省石家庄市2022年高三模拟演练注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）1. 已知集合A ＝{x|1≤x <4}，集合B ＝{x|log 2x <1}，则A ∩B ＝（ ） A.（0.2] B.[−1，2] C.[0.2] D.（−1，2]2. 设复数z 满足|z −2i|=|z +1|，z 在复平面内对应的点为(x,y )，则( ) A.2x −4y −3=0 B.2x +4y −3=0 C.4x +2y −3=0 D.2x −4y +3=03. 已知a ∈(0,+∞)，则“a >1”是“a +1a >2”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 抛物线C:x 2=4ay 过点(−4,4)，则C 的准线方程为（ ） A.y =1 B.y =−1 C.x =1 D.x =−15. 将函数f (x )=sin (3x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移m （m >0）个单位长度，得到函数g (x )的图象．若g (x )为奇函数，则m 的最小值为( ) A.π18B.π9C.π6D.π36. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12（√5−12≈0.6，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是0.6．若某人满足上述两个黄金分割比例（用0.6代替），且腿长为100cm ，头顶至咽喉的长度为24cm ，则其身高可能是（ ） A.168cmB.171cmC.173cmD.178cm7. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=n 1+√a n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A.32<S 100<3B.3<S 100<4C.4<S 100<92D.92<S 100<58. 已知a ，b ∈R ，ab >0，函数f (x )=ax 2+b (x ∈R )．若f (s −t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s,t )的轨迹是（ ） A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）9. 给出以下结论正确的序号为（ ）A.若向量a →=(−2, 3)，b →=(3, m)，且a →⊥b →，则m ＝2 B.|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角是120∘，则|a →+b →|＝4√3 C.已知向量a →=(1, √3)，b →=(√3, 1)，则a →与b →夹角的大小为π6 D.向量m →=(a, −2)，n →=(1, 1−a)，且m → // n →，则实数a ＝0．10. 下列四个解不等式，正确的有( )A.不等式2x 2−x −1>0的解集是(−∞, 1)∪(2, +∞)B.不等式−6x 2−x +2≤0的解集是{x|x ≤−23或x ≥12}C.若不等式ax 2+8ax +21<0的解集是{x|−7<x <−1}，那么a 的值是3D.关于x 的不等式x 2+px −2<0的解集是(q, 1)，则p +q 的值为−111. 已知实数a ，b 满足a >0，b >0，a ≠1，b ≠1，且x =a lgb ，y =b lga ，z =a lga ，w =b lgb ，则( ) A.存在实数a ，b ，使得x >y >z >w B.存在a ≠b ，使得x =y =z =w C.任意符合条件的实数a ，b 都有x =y D.x ，y ，z ，w 中至少有两个大于112. 有下列说法其中正确的说法为（ ） A.若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B.若2OA →+OB →+3OC →=0→，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC :S △ABC ＝1:6第3页 共26页 ◎ 第4页 共26页外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※※※内※※答※※题※※内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…C.两个非零向量a →，b →，若|a →−b →|=|a →|+|b →|，则a →与b →共线且反向 D.若a →∥b →，则存在唯一实数λ使得a →=λb →卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）13. 已知函数f (x )={log 3(1−x ),x <11+3x−1,x ≥1,则f (−8)+f (log 315)=14. 已知sinθ+cosθ=√23，则cos （2θ+5π2）的值为________.15. 已知多项式(x −1)3+(x +1)4=x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4，则a 1=________，a 2+a 3+a 4=________．16. 袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m −n =________，E (ξ)=_________． 四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）17.(10分) △ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，D 是AC 的中点．已知平面向量m →、n →满足m →=(sinA −sinB,sinB −sinC ),n →=(a +b,c )，m →⊥n →（1）求A ；（2）若BD =√3, b +2c =4√3，求△ABC 的面积．18.(12分) 已知数列{a n }满足a 1=154，a n+1=a n +1+√1+4a n ,n ∈N ∗.(1)设b n =√1+4a n ，n ∈N ∗，求证：数列{b n }为等差数列；(2)求证：1a 1+1a 2+⋯+1a n<34，n ∈N ∗.19.(12分) 在某医院，因为患心脏病而住院的600名男性病人中，有200人秃顶，而另外750名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有150人秃顶．(1)填写下列秃顶与患心脏病列联表：据表中数据估计秃顶病患中患心脏病的概率P 1和不秃顶病患中患心脏病的概率P 2，并用两个估计概率判断秃顶与患心脏病是否有关.(2)能够以99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关吗？请说明理由． 注：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ).20.(12分) 如图，两个直角梯形ABCD ，ACFE 所在的平面相互垂直，其中AD//BC,AE//CF,AB ⊥AD,AE ⊥AC,AE =BC =2AB =2AD =2.(1)求证：平面EBD ⊥平面CDF ；(2)若二面角E −BD −F 的余弦值为13，求直线FB 与平面ABCD 所成角的正切值．21.(12分) 已知抛物线F:x 2=2py (p >0)的准线l 被圆x 2+y 2=2所截得弦长为2.第5页 共26页 ◎ 第6页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………(1)求抛物线Γ的方程；(2)设准线l 与y 轴的交点为M ，过M 的直线l 1,l 2与抛物线Γ分别交于点A ，B 和点C ，D ，直线AC ，BD 与准线l 分别交于E ，G 两点，求证：|ME|=|MG|.22.(12分) 已知f (x )=lnx +ax +1(a ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数． (1)若对任意x >0都有f (x )≤0，求a 的取值范围；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意常数a ，存在唯一的x 0∈(x 1,x 2)，使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2成立．第7页共26页◎第8页共26页参考答案与试题解析2022年4月28日高中数学一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】略2.【答案】B【考点】复数的模复数的代数表示法及其几何意义【解析】本题考查复数的几何意义【解答】解：∵|z−2i|=|z+1|，∴x2+(y−2)2=(x+1)2+y2，解得2x+4y−3=0．故选B.3.【答案】A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】A4.【答案】B【考点】抛物线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】B5.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：将函数f(x)=sin(3x+π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到y=sin(12x+π6)的图象，再将图象得到函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，第9页 共26页 ◎ 第10页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………可得g(x)=sin[12(x −m)+π6]=sin(12x +π6−m2)，因为g(x)是奇函数， 所以π6−m 2=kπ,k ∈Z ，解得m =π3−2kπ，k ∈Z . 因为m >0， 所以m 的最小值为π3.故选D . 6. 【答案】 B 【考点】黄金分割法—0.618法进行简单的合情推理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 B 7. 【答案】 A 【考点】 数列的求和 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为数列{a n }满足a 1=1， a n+1=n 1+√a n ∈N ∗)，所以a n >0， 所以a 2=12，a 3=1−√22， S 100>a 1+a 2=32，0<a n+1<a n ≤1， 由a n+1=n 1+√a ，可得1a n+1=1a n√a =(√a 12)2−14，所以√a <√a 12，又0<a n+1<a n ≤1， 所以√a ≤1+n−12=n+12，当且仅当n =1时，等号成立．所以a n ≥(2n+1)2，即√a n ≥2n+1， 所以a n+1=n 1+√a ≤a n1+2n+1=n+1n+3a n ，所以a n+1a n≤n+1n+3，则a n+1a n ⋅a na n−1⋅a n−1a n−2⋅a n−2a n−3⋯a 3a 2⋅a 2a 1≤n+1n+3⋅nn+2⋅n−1n+1⋅ n−2n⋯35×24，即a n+1a 1≤3×2(n+3)(n+2)，所以a n ≤6(n+2)(n+1)=6(1n+1−1n+2)，所以S 100≤6(12−13+13−14+⋯+1100−1101+1101−1102) =6×(12−1102)<6×12=3. 故选A ． 8. 【答案】 C 【考点】 轨迹方程 等比数列的性质 双曲线的标准方程 【解析】此题暂无解析第11页共26页◎第12页共26页【解答】解：因为f(s−t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，所以f(s−t)×f(s+t)=[f(s)]2，即[a(s−t)2+b]×[a(s+t)2+b]=(as2+b)2，对其进行整理变形：(as2+at2−2ast+b)(as2+at2+2ast+b)=(as2+b)2，(as2+at2+b)2−(2ast)2−(as2+b)2=0，(2as2+at2+2b)at2−4a2s2t2=0，−2a2s2t2+a2t4+2abt2=0，t2(at2+2b−2as2)=0，所以t=0或at2+2b−2as2=0，当t=0时，平面上点(s,t)的轨迹为直线；当at2+2b−2as2=0时，即s2ba −t22ba=1，平面上点(s,t)的轨迹为双曲线．综上所述，平面上点(s,t)的轨迹为直线和双曲线．故选C．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,B,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用向量的共线的充要条件的应用，向量垂直的充要条件的应用，向量的模的应用，向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】①因为a⊥b，所以a⋅b＝−2×3+3m＝0，解得m＝2，故A正确；②因为|a+b|2＝a2+2a⋅b+b2＝16+2×(−16)+64＝48，所以|a+b|＝4√3．故B正确；③因为cos<a，b>=a⋅b|a||b|=1×√3+√3×12×2=√32，所以a与b夹角的大小为π6故C正确，④D显然不正确，10.【答案】B,C,D【考点】其他不等式的解法一元二次不等式的解法【解析】对A，B直接解一元二次不等式，对C，D根据一元二次不等式的与对应方程根的关系判断即可．【解答】解：A，∵2x2−x−1=(2x+1)(x−1)>0，解得x>1或x<−12，∴不等式的解集为(−∞,−12)∪(1, +∞)，故A错误；B，∵−6x2−x+2≤0，即6x2+x−2≥0，∴(2x−1)(3x+2)≥0，解得x≥12或x≤−23，故B正确；C，∵−7和−1为方程ax2+8ax+21=0的两个根，∴−7×(−1)=21a，解得a=3，故C正确；D，∵q，1是方程x2+px−2=0的两根，∴q+1=−p，即p+q=−1，故D正确．故选BCD.11.【答案】C,D【考点】指数式、对数式的综合比较指数式与对数式的互化【解析】这里既有指数，又有对数．要善于找到两者之间的关系．【解答】解：设lga=p，lgb=q，则有10p=a，10q=b，则x=a lgb=(10p)q=10pq，y=(10q)p=10pq，z=(10p)p=10p2，w=(10q)q=10q2，第13页 共26页 ◎ 第14页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………所以任意符合条件的a ，b 都有x =y ，故C 正确，A 错误； 若a ≠b ，则p ≠q ，则x ≠z ，故B 错误； 因为a ≠1，b ≠1，所以p ≠0，q ≠0，所以p 2>0，q 2>0，故z >1，且w >1，故D 正确． 故选CD . 12. 【答案】 B,C 【考点】平面向量的基本定理向量的数量积判断向量的共线与垂直 向量的共线定理 【解析】b →=0→，a →，c →可以不共线，可判断A ；运用三角形的重心向量表示和性质，以及三角形的面积的求法，即可判断B ；由向量的模的性质，即可判断C ；由向量共线定理，即可判断D ． 【解答】A ，若a → // b →，b → // c →，则a → // c →不成立，比如b →=0→，a →，c →可以不共线； B ，若2OA →+OB →+3OC →=0→，延长OA 到A ′， 使得OA ′＝2OA ，延长OC 到C ′，使得OC ′＝3OC ， 可得O 为三角形BA ′C ′的重心，可设△AOC 、△BOC 、△COA 的面积分别为x ，y ，z ，则△A ′OB 的面积为2y ，△C ′OB 的面积为3z ，△A ′OC ′的面积为6x ，由三角形的重心的性质可得2y ＝3z ＝6x ，则S △AOC :S △ABC ＝x ：(x +y +z)＝1:6，正确； C ，两个非零向量a →，b →，若|a →−b →|＝|a →|+|b →|，则a →与b →共线且反向，正确；D ，若a → // b →，则存在唯一实数λ使得a →=λb →，不正确，比如a →≠0→，b →=0→，不存在实数λ． 三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13. 【答案】 8 【考点】函数的求值 分段函数的应用 对数的运算性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 8 14. 【答案】 79 【考点】 三角函数值的符号二倍角的正弦公式 同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 79 15. 【答案】 5,10 【考点】 二项式定理的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(x −1)3=x 3−3x 2+3x −1， (x +1)4=x 4+4x 3+6x 2+4x +1， 所以a 1=1+4=5，a 2=−3+6=3，第15页 共26页 ◎ 第16页 共26页a 3=3+4=7，a 4=−1+1=0， 所以a 2+a 3+a 4=3+7+0=10． 故答案为：5；10． 16. 【答案】1,89 【考点】古典概型及其概率计算公式 离散型随机变量的期望与方差 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为取出的两个球都是红球的概率为16， 所以C 42C 4+m+n2=16，则(m +n +4)(m +n +3)=72， 解得m +n =5，又因为一红一黄的概率为13， 所以C 41⋅C m 1C 4+m+n2=13，解得m =3， 则n =5−3=2， 所以m −n =3−2=1，所以袋中有4个红球，3个黄球，2个绿球． 则P (ξ=0)=C 52C 92=518，P (ξ=1)=C 41⋅C 51C 92=59，P(ξ=2)=C 42C 92=16，分布列为： 所以E (ξ)=0×518+1×59+2×16=89．故答案为：1；89．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ） 17.【答案】解：（1）∵ m →=(sinA −sinB,sinB −sinC ) ，n →=(a +b,c ),m →⊥n →∴ (sinA −sinB )(a +b )+(sinB −sinC )c =0∴ (a −b )(a +b )+(b −c )c =0，即b 2+c 2−a 2=bc ∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc =12∵ 0<A <π，∴ A =π3（2）在△ABD 中，由BD =√3， A =π3和余弦定理，得BD 2=3=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcosA =AB 2+AD 2−AB ⋅AD ． ∵ D 是AC 的中点，∴ AD =b2∴ c 2+(b 2)2−c ×b2=3，化简得4c 2+b 2−2bc =12，即(b +2c )2−6bc =12 ∵ b +2c =4√3，∴ (4√3)2−6bc =12，解得bc =6． ∴ S △ABC =12bcsinA =12bcsin π3=√3bc4=3√32∴ △ABC 的面积为3√32． 【考点】 余弦定理 正弦定理数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】 此题暂无解析【解答】第17页 共26页 ◎ 第18页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………解：（1）∵ m →=(sinA −sinB,sinB −sinC ) ，n →=(a +b,c ),m →⊥n →∴ (sinA −sinB )(a +b )+(sinB −sinC )c =0∴ (a −b )(a +b )+(b −c )c =0，即b 2+c 2−a 2=bc ∴ cosA =b 2+c 2−a 22bc=12∵ 0<A <π，∴ A =π3（2）在△ABD 中，由BD =√3， A =π3和余弦定理，得BD 2=3=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcosA =AB 2+AD 2−AB ⋅AD ． ∵ D 是AC 的中点，∴ AD =b2∴ c 2+(b 2)2−c ×b2=3，化简得4c 2+b 2−2bc =12，即(b +2c )2−6bc =12∵ b +2c =4√3，∴ (4√3)2−6bc =12，解得bc =6． ∴ S △ABC =12bcsinA =12bcsin π3=√3bc4=3√32∴ △ABC 的面积为3√32．18.【答案】证明：(1)因为b n =√1+4a n ，所以a n =14(b n 2−1)， 因此14(b n+12−1)=14(b n2−1)+1+b n ，即b n+12=b n2+4b n +4，于是b n+12=(b n +2)2，注意到b n >0, b n+1>0，则b n+1=b n +2，即b n+1−b n =2， 所以数列{b n }是公差为2的等差数列．(2)因为b 1=√1+4a 1=4，且数列{b n }是公差为2的等差数列， 所以b n =4+2(n −1)=2n +2，因此√1+4a n =2n +2，即a n =n 2+2n +34>n 2+2n =n (n +2)， 于是1a 1+1a 2+⋯+1a n<11×3+12×4+⋯+1n (n+2)=12(1−13+12−14+⋯+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)<12(1+12)=34. 【考点】数列递推式 等差数列 数列的求和 【解析】此题暂无解析 【解答】证明：(1)因为b n =√1+4a n ，所以a n =14(b n 2−1)， 因此14(b n+12−1)=14(b n 2−1)+1+b n ，即b n+12=b n 2+4b n +4，于是b n+12=(b n +2)2，注意到b n >0, b n+1>0，则b n+1=b n +2，即b n+1−b n =2， 所以数列{b n }是公差为2的等差数列．(2)因为b 1=√1+4a 1=4，且数列{b n }是公差为2的等差数列， 所以b n =4+2(n −1)=2n +2，因此√1+4a n =2n +2，即a n =n 2+2n +34>n 2+2n =n (n +2)，于是1a 1+1a 2+⋯+1a n<11×3+12×4+⋯+1n (n+2)=12(1−13+12−14+⋯+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)<12(1+12)=34. 19. 【答案】 解：(1)P 1≈200350=47, P 2≈4001000=25,由于P 1远大于P 2，所以判断秃顶与患心脏病有关． (2)由题可知K 2的观测值k =1350×(200×600−150×400)2350×1000×600×750=2167≈30.86>10.828，所以能够以99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关． 【考点】第19页 共26页 ◎ 第20页 共26页装…………○…………订…………○…………线…………○…※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※装…………○…………订…………○…………线…………○…离散型随机变量及其分布列 独立性检验 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)P 1≈200350=47, P 2≈4001000=25,由于P 1远大于P 2，所以判断秃顶与患心脏病有关． (2)由题可知K 2的观测值 k =1350×(200×600−150×400)2350×1000×600×750=2167≈30.86>10.828，所以能够以99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关． 20. 【答案】解：（1）∵ 平面ABCD ⊥平面ACFE ，平面ABCD ∩平面ACFE =AC,AE ⊥AC ，∴ AE ⊥平面ABCD ， ∵ AE//CF ，∴ CF ⊥平面ABCD ， ∵ BD ⊂平面ABCD ，∴ CF ⊥BD ，在Rt △BAD 中，AB =AD =1,BD =√AB 2+AD 2=√2 在△BDC 中，由余弦定理得CD =√BD 2+BC 2−2BD ⋅BCcos∠DBC =√2+4−2×2×√2×√22=√2，∵ BD 2+DC 2=BC 2，∴ BD ⊥CD ， 又∵ FC ∩CD =C ，∴ BD ⊥平面CDF ， 又BD ⊂平面EBD ，∴ 平面EBD ⊥平面CDF ．(2)如图，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AE →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0)，E(0,0,2)，设CF =ℎ(ℎ>0)，则F (1,2,ℎ)． 设m →=(x,y,z )为平面BDF 的法向量，则{BD →⋅m →=0BF →⋅m →=0即{−x +y =02y +ℎz =0不妨令y =1，可得m →=(1,1,−2ℎ)．同理可得平面BDE 的一个法向量为n →=(2,2,1)， 由题意，有 |cos(m →,n →⟩|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=13 ，解得ℎ=87．∴ CF =87，∵ CF ⊥平面ABCD ，∴ ∠FBC 为直线FB 与平面ABCD 所成角， ∴ tan∠FBC =CFBC =47． 【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面所成的角 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）∵ 平面ABCD ⊥平面ACFE ，平面ABCD ∩平面ACFE =AC,AE ⊥AC ，∴ AE ⊥平面ABCD ， ∵ AE//CF ，∴ CF ⊥平面ABCD ， ∵ BD ⊂平面ABCD ，∴ CF ⊥BD ，在Rt △BAD 中，AB =AD =1,BD =√AB 2+AD 2=√2 在△BDC 中，由余弦定理得第21页 共26页 ◎ 第22页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………CD =√BD 2+BC 2−2BD ⋅BCcos∠DBC =√2+4−2×2×√2×√22=√2，∵ BD 2+DC 2=BC 2，∴ BD ⊥CD ， 又∵ FC ∩CD =C ，∴ BD ⊥平面CDF ， 又BD ⊂平面EBD ，∴ 平面EBD ⊥平面CDF ．(2)如图，以A 为原点，分别以AB →，AD →，AE →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0)，E(0,0,2)， 设CF =ℎ(ℎ>0)，则F (1,2,ℎ)． 设m →=(x,y,z )为平面BDF 的法向量， 则{BD →⋅m →=0BF →⋅m →=0 即{−x +y =02y +ℎz =0不妨令y =1，可得m →=(1,1,−2ℎ)．同理可得平面BDE 的一个法向量为n →=(2,2,1)， 由题意，有 |cos(m →,n →⟩|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=13，解得ℎ=87．∴ CF =87，∵ CF ⊥平面ABCD ，∴ ∠FBC 为直线FB 与平面ABCD 所成角， ∴ tan∠FBC =CFBC =47． 21. 【答案】解：（1）抛物线Γ：x 2=2py (p >0)的准线l 的方程为y =−p2， ∵ 准线l 被圆x 2+y 2=2所截得弦长为2，∴ 圆心(0,0)到准线l 的距离d =p2,(p 2)2+12=(√2)2， 解得 p =2，故抛物线Γ的方程为 x 2=4y ．(2)准线l 与y 轴的交点为M (0,−1)，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),E (s,−1),G (t,−1) ．则{x 12=4y 1①x 22=4y 2②，②{x 32=4y 3③x 42=4y 4④， 设直线l 1:y =k 1x −1,l 2:y =k 2x −1,k 1k 2≠0联立l 1和抛物线Γ的方程{y =k 1x −1x 2=4y,’消去y 得x 2−4k 1x +4=0则x 1+x 2=4k 1,x 1x 2=4， 同理x 3+x 4=4k 2,x 3=4．∵ A ，C ，E 三点共线，∴ EA →//EC →,(x 1−s )(y 3+1)=(x 3−s )(y 1+1)， 得x 1y 3−x 3y 1+x 1−x 3=s (y 3−y 1) 将①③代入，x 1x 324−x 3x 124+x 1−x 3=s (x 324−x 124)，化简得s =x 1x 3−4x 1+x 3．同理t =x 2x 4−4x 2+x 4.∵ s +t =x 1x 3−4x 1+x 3+x 2x 4−4x 2+x 4=(x 1x 3−4)(x 2+x 4)+(x 2x 4−4)(x 1+x 3)(x 1+x 3)(x 2+x 4)=x 1x 2(x 3+x 4)+x 3x 4(x 1+x 2)−4(x 1+x 2+x 3+x 4)(x 1+x 3)(x 2+x 4)=0．∴ |ME|=|MG|．【考点】 抛物线的标准方程圆锥曲线的综合问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）抛物线Γ：x 2=2py (p >0)的准线l 的方程为y =−p2，∵ 准线l 被圆x 2+y 2=2所截得弦长为2，∴ 圆心(0,0)到准线l 的距离d =p2,(p 2)2+12=(√2)2， 解得 p =2，故抛物线Γ的方程为 x 2=4y ． (2)准线l 与y 轴的交点为M (0,−1)，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),E (s,−1),G (t,−1) ．第23页 共26页 ◎ 第24页 共26页则{x 12=4y 1①x 22=4y 2②，②{x 32=4y 3③x 42=4y 4④， 设直线l 1:y =k 1x −1,l 2:y =k 2x −1,k 1k 2≠0联立l 1和抛物线Γ的方程{y =k 1x −1x 2=4y,’消去y 得x 2−4k 1x +4=0则x 1+x 2=4k 1,x 1x 2=4， 同理x 3+x 4=4k 2,x 3=4．∵ A ，C ，E 三点共线，∴ EA →//EC →,(x 1−s )(y 3+1)=(x 3−s )(y 1+1)， 得x 1y 3−x 3y 1+x 1−x 3=s (y 3−y 1) 将①③代入，x 1x 324−x 3x 124+x 1−x 3=s (x 324−x 124)，化简得s =x 1x 3−4x 1+x 3．同理t =x 2x 4−4x 2+x 4.∵ s +t =x 1x 3−4x 1+x 3+x 2x 4−4x 2+x 4=(x 1x 3−4)(x 2+x 4)+(x 2x 4−4)(x 1+x 3)(x 1+x 3)(x 2+x 4)=x 1x 2(x 3+x 4)+x 3x 4(x 1+x 2)−4(x 1+x 2+x 3+x 4)(x 1+x 3)(x 2+x 4)=0．∴ |ME|=|MG|． 22. 【答案】(1)解：因为f ′(x )=1x +a =ax+1x(x >0)，所以，当a ≥0时，f (1)=a +1>0不符合题意． 当a <0时，令f ′(x )<0，得x >−1a；令f ′(x )>0，得0<x <−1a ，所以f (x )在区间(0,−1a )上单调递增，在区间(−1a ,+∞)上单调递减，由题得f (−1a )=ln (−1a )≤0，解得a ≤−1． 所以a ≤−1， 综上所述a ≤−1． (2)证明：设g (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2，问题转化为g (x )在区间(x 1,x 2)上有唯一的零点，由g (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x +a −lnx 1+ax 1−lnx 2−ax 2x 1−x 2，易知g (x )在区间(x 1,x 2)上单调递减，故函数g (x )在区间(x 1,x 2)上至多有1个零点， 由g (x 1)=f ′(x 1)−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1+a −lnx 1+ax 1−lnx 2−ax 2x 1−x 2=1x 1−lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1x 1−x 2(1−x 2x 1+ln x 2x 1) 同理，得g (x 2)=1x 1−x 2(x 1x 2−1+ln x2x 1)，由（1）知，当a =−1时， lnx −x +1≤0，当且仅当x =1时取等号， 因为0<x 1<x 2，所以x 2x 1>1，所以ln x 2x 1−x2x 1+1<0，又因为x 1−x 2<0，即1x 1−x 2<0，所以g (x 1)>0，因为0<x 1<x 2，所以0<x1x 2<1，所以ln x 1x 2−x 1x 2+1<0，即ln x 2x 1+x1x 2−1>0，又因为x 1−x 2<0，即1x1−x 2<0，所以g (x 2)<0，由函数零点存在定理知g (x )在区间(x 1,x 2)上有唯一的零点，即存在唯一的x 0∈(x 1,x 2)，使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2成立．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】此题暂无解析 【解答】(1)解：因为f ′(x )=1x +a =ax+1x(x >0)，所以，当a ≥0时，f (1)=a +1>0不符合题意． 当a <0时，令f ′(x )<0，得x >−1a ；令f ′(x )>0，得0<x <−1a ，所以f (x )在区间(0,−1a )上单调递增，在区间(−1a ,+∞)上单调递减，由题得f (−1a )=ln (−1a )≤0，解得a ≤−1． 所以a ≤−1， 综上所述a ≤−1． (2)证明：设g (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2，问题转化为g (x )在区间(x 1,x 2)上有唯一的零点，由g (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x +a −lnx 1+ax 1−lnx 2−ax 2x 1−x 2，第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………易知g (x )在区间(x 1,x 2)上单调递减，故函数g (x )在区间(x 1,x 2)上至多有1个零点， 由g (x 1)=f ′(x 1)−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1+a −lnx 1+ax 1−lnx 2−ax 2x 1−x 2=1x 1−lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1x 1−x 2(1−x 2x 1+ln x 2x 1) 同理，得g (x 2)=1x 1−x 2(x 1x 2−1+ln x2x 1)，由（1）知，当a =−1时， lnx −x +1≤0，当且仅当x =1时取等号， 因为0<x 1<x 2，所以x2x 1>1，所以lnx 2x 1−x 2x 1+1<0，又因为x 1−x 2<0，即1x 1−x 2<0，所以g (x 1)>0， 因为0<x 1<x 2，所以0<x 1x 2<1， 所以lnx 1x 2−x 1x 2+1<0，即lnx 2x 1+x 1x 2−1>0，又因为x 1−x 2<0，即1x1−x 2<0，所以g (x 2)<0，由函数零点存在定理知g (x )在区间(x 1,x 2)上有唯一的零点，即存在唯一的x 0∈(x 1,x 2)，使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2成立．第27页共2页◎第28页共2页。
2022衡水中学高考模拟调研卷数学试题(一)
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(一)本试卷总分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}22150A x x x =+-<，{}44B x x =∈-<<Z ，则A B ⋂= A.{}43x x -<<B.{}54x x -<<C.{}3,2,1,0,1,2---D.{}2,1,0,1,2,3-- 2.已知复数1421i z i +=--，则z 的共轭复数为 A.7522i -- B.7522i + C.1522i - D.1522i + 3.已知正四面体P ABC -的四个顶点均在球O 的表面上，若球O 的半径为3，则正四面体的表面积为A. B. C. D.4.已知tan 2θ=，则cos2sin2θθ-= A.15 B.75 C.15- D.75- 5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}1n S +是等比数列，13a =，24a =，则n a =A.2n +B.3,12,2n n n =⎧⎪⎨≥⎪⎩C.13,14,2n n n -=⎧⎪⎨≥⎪⎩D.13,124,2n n n +=⎧⎪⎨-≥⎪⎩6.幼儿园的3位教师和6位小朋友站成一排合影留念，为防止小朋友乱跑，每位教师左、右各牵着一个小朋友，则不同排法的种数是A.360B.1080C.4320D.86407.某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为23，34，45，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为A.110B.12 C.34 D.458.已知函数2(1),0()1,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(())1y f f x =-的所有零点之和为 A.22+ B.2 C.0 D.22-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市2022年高三数学高中毕业班第一次高考模拟考试（理）人教版
试卷类型：A2022年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数 学理科说明：1．本试卷共4页，包括三道大题．22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么342x 4x 22a 232a 9102a )()(x g x f 313131313131312222321053103043772π是BC 的中点，3π212173535222a x 22b y 12π4π222236362223i i ++130652≥--x x 3π2π从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经 过其它兰个顶点后回到出发点，则动点M 经过的最短距离为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤r 17．本小题满分0分如图，已知平面四边形ABCD 中，BCD 为正三角形，AB ＝AD=1，∠BAD=，记四边 形ABCD 的面积为SI 将S 表示为的函数；Ⅱ求S 的最大值及此时的大小． 18．《本小题满分12分已知公比q 为正数的等比数列{}的前n 项和为，且4245s s =． I 求q 的值；Ⅱ若()*-∈≥+=N n n S q b n n ,2,1且数列{}也为等比数列，求数列{2n 一1}的前n 项和．19本小题满分2分为提高某篮球运动员的投篮水平，教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录：每 次投中记分，投不中记一1分，统计平时的数据得如图所示频率分布条形图．若在某场训练中，该运动员前n 次投篮所得总分司为，且每次投篮是否命中相互之间没有影响．I 若设3S =ξ，求的分布列及数学期望； Ⅱ求出现28=S 且()3,2,10=≥i S i 的概率。
20．本小题满分12分如图，平行六面体ABCD —1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=3π 其中AC 与BD 交于点G ，点在面ABCD 上的射影0恰好为线段AD 的中点。
河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷(一)数学试题
一、单选题1. 已知函数其图象的相邻两条对称轴之间的距离为．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的周期为B．函数的图象关于点对称C ．函数在上有且仅有1个零点D ．函数在上为减函数2. 被誉为我国“宋元数学四大家”的李冶对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献.我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“”，数字0通常用“○”表示.按照李冶的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一次幂.如图2所示表示方程为.根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为（）A ．和B ．和C ．和D ．和3. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品数为（ ）A ．2件B ．4件C ．6件D ．8件4. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 已知双曲线C ：的左、右焦点分别为、，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若，则的面积为 （ ）A．B．C．D．6. 若函数在上是增函数，则（ ）.A．B．C．D．7.函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（）A．B．河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（一）数学试题河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（一）数学试题二、多选题三、填空题四、解答题C．D．8.数列满足且对任意，，则（ ）A ．3027B ．3030C ．2018D ．20209. 已知一组样本数据为不全相等的个正数，其中，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（ ）A ．极差B ．平均数C ．中位数D ．标准差10. 若､､是互不相同的空间直线，､是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是A ．若，，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则11. 已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D ．当时，12. 如图的六面体中，CA ＝CB ＝CD ＝1，AB ＝BD ＝AD ＝AE ＝BE ＝DE＝，则（）A ．CD ⊥平面ABCB ．AC 与BE所成角的大小为C．D ．该六面体外接球的表面积为3π13. 已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球.第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为________.14. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则a 的最小值为_________.15. 已知直线是曲线的切线，则___________.16.已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和17.如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为菱形，，E ，F 分别是PA ，PD 的中点，过E ，F 作平面交线段PB ，PC 分别于点G ，H，且(1)求证：；(2)若PD⊥平面ABCD，且二面角为，二面角的正弦值为，求t的值．18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，的面积为，求的值．19. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为矩形，平面平面ABE，，，，F为棱CE的中点，P为棱AB上一点（不含端点）．(1)求证：平面ACE；(2)若平面PCE和平面ACE所成锐二面角的余弦值为，求AP的长．20. 已知多面体ABCDPQ如图所示，其中底面ABCD为菱形，对角线AC与BD交于点O，，且P，Q在平面ABCD的同侧，，AQ⊥平面ABCD．(1)求证：OP⊥平面BDQ；(2)求直线BQ与平面DPQ所成角的正弦值．21. 已知等差数列中，，，（1）求数列的通项公式；（2）若将数列的项重新组合，得到新数列，具体方法如下：，，，，，依此类推，第项由相应的中项的和组成.（i）求数列的通项公式；（ii）求数列的前项和.。
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2022年河北省石家庄市衡水中学高三数学理模拟试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）．
A．B．C．D．
参考答案：
D
：的，在区间上先减后增；
：的，在区间上为增函数；
：的，在区间上为减函数；
：符合，且在区间上为减函数．
∴选择．
2. 复数的共轭复数为，若，则a=
A.±1
B. ±3
C. 1或3
D. －1或－3
参考答案：
A
3. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差（）
A．2 B．1 C．D．
参考答案：
C
试题分析：每次取球时，取到红球的概率为、黑球的概率为，所以取出红球的概率服
从二项分布，即,所以，故选C.
考点：二项分布.
4. 以下判断正确的是
A．函数为R上的可导函数，则“”是“为函数极值点”的充要条件
B．命题“存在x∈R，<0”的否定是“任意x∈R，>0”．
C．命题“在ABC中，若A>B，则sinA>sinB”的逆命题为假命题．
D．“b=0”是“函数是偶函数”的充要条件．
参考答案：
D
5. 已知为第三象限角，且，则的值为
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
6. 在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：
且最后发现，两个分类变量X和y没有任何关系，则m的可能值是
A．200 B．720 C．100
D．180
参考答案：
B
7. 若将正方体(如图4－1)截去两个三棱锥，得到如图4－2所示的几何体，则该几何体的侧视图是
图4-1 图4-2
A．B．C．
D．
参考答案：
B
8. 已知数列的前n项和，且，猜想等于
A. B. C. D.
参考答案：
B
9. 已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB
的中点为M,O为坐标原点与的夹角为,且，则b=( )
A．1 B． C. D．
参考答案：
B
本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力
设,M,则，
两式作差得.
因为,所以.即.
设直线的倾斜角为，则或，.
又,由，解得,即.
10. 已知集合A={1,2,3},集合B={x|x2－5x+4＜0},则集合A∩B的子集的个数为( )
A. 4
B.3
C. 2
D. 1
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 平面向量的夹角为60°，
13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cos A＝a cos C，则cos A＝ .
参考答案：
略
12. （不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .
参考答案：
.
不等式可以表示数轴上的点到点和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点到点和点1的距离之和最小时即是在点和点1之间时，此时距离和为，要使不等式有解，则，解得.
13. 已知，，，
则x．y．z的大小关系为；
参考答案：
14. 若函数有零点，则k的取值范围为_______.
参考答案：
； 12 .
15. 公差不为0的等差数列的前n项和，若成等比数列，则
.
参考答案：
19
16. 正三棱锥A－BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为
____ ．
参考答案：
如图3，设三棱锥的外接球球心为O，
半径为r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，
，M为正的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以
，解得，所以.
17. 某同学为研究函数的性质，构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的零点的个数是.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上的最大值为，求的值．
参考答案：
解：函数的定义域为，
，
（1）当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）当时，
所以在上单调递增，故在上的最大值为，因此．
19. 设是公比为q的等比数列.
(Ⅰ) 推导的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列.
参考答案：
（I）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和S n=a1+ a1q+…. a1q n-1
将（1）式两边分别乘以q得
qS n=a1q+ a1q2+…a1q n
当q≠0时或
当q=1时，a1= a2=…. a n 所以S n=na
（II）∵q≠1 假设数列{a n+1}为等比数列，那么
即或q=1，均与题设矛盾，故数列
吧可能为等比数列。
20. （本小题满分分）
已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点．①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．
参考答案：
解：（Ⅰ）因为满足，，…………2分。
解得，则椭圆方程为……………4分
（Ⅱ）（1）将代入中得
……………………………………………………6分
……………………………………………………………7分
因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分（2）由（1）知，
所以……………11分
………………………………………12分
略
21. (本小题满分13分)
已知函数.
(1) 若函数的定义域和值域均为，求实数的值；
(2) 若在区间上是减函数，且对任意的，
总有，求实数的取值范围；
(3) 若在上有零点，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）；（2）；（3）。
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22. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足A=45°，cos B=．（Ⅰ）求sin C的值；
（Ⅱ）设a=5，求△ABC的面积．
参考答案：
（Ⅰ）∵∴ (2)
∴ (6)
（Ⅱ）
由正弦定理得， (9)
∴ (12)。