高中数学(人教A版)必修一课后习题：任意角(课后习题)【含答案及解析】
人教版高中数学必修一精品讲义5.1 任意角和弧度制(精练)(解析版)
5.1 任意角和弧度制【题组一 基本概念的辨析】1．（2020·河南林州一中高一月考）已知集合A ＝{α|α小于90°},B ＝{α|α为第一象限角},则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角} D ．以上都不对【正确答案】D【详细解析】∵A ＝{α|α小于90°},B ＝{α|α为第一象限角}, ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角},对于A :小于90°的角不一定是第一象限的,不正确,比如﹣30°;对于B :小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角,不正确,例如﹣300°; 对于C :第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角,不正确,例如380°, 故选D ．2．（2020·浙江高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）． A ．第一象限角一定不是负角 B ．小于90°的角一定是锐角 C ．钝角一定是第二象限角 D ．终边和始边都相同的角一定相等 【正确答案】C【详细解析】300︒-为第一象限角且为负角,故A 错误;5090-︒<︒,但50︒-不是锐角,故B 错误;终边与始边均相同的角不一定相等,它们可以相差360,k k Z ︒⋅∈,故D 错误．钝角一定是第二象限角,C 正确． 故选:C ．3．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））下列结论中正确的是( ) A ．小于90°的角是锐角 B ．第二象限的角是钝角 C ．相等的角终边一定相同 D ．终边相同的角一定相等 【正确答案】C【详细解析】对于A,小于90︒可能是负角,不是锐角;对于B,第二象限的角可能是负角,不是钝角;对于C,两个角相等,始边一致,则终边一定相同;对于D,终边相同的角,可能相差360°的倍数,不一定相等.故选C.4．（2020·全国高一课时练习）（1）给出下列说法: ①锐角都是第一象限角; ②第一象限角一定不是负角;③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.( 把正确说法的序号都写上) （2）将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________. 【正确答案】② 120-︒【详细解析】（1）①锐角的范围为()0,90︒︒是第一象限的角,命题①正确;②第一象限角的范围为()()360,90360k k k Z ⋅︒︒+⋅︒∈,故第一象限角可以为负角,故②错误; ③根据任意角的概念,可知小于180°的角,可以为负角,故③错误; 故正确答案为:②（2）将时针拨快20分钟,则分针顺时针转过120︒,即转过的度数为120-︒ 故正确答案为:120-︒5．（2020·全国高一课时练习）给出下列说法: ①锐角都是第一象限角; ②第一象限角一定不是负角;③小于180°的角是钝角或直角或锐角．其中正确说法的序号为________．( 把正确说法的序号都写上) 【正确答案】①【详细解析】锐角指大于0°小于90°的角,都是第一象限角,所以①对;由任意角的概念知,第一象限角也可为负角,小于180°的角还有负角、零角,所以②③错误．故正确答案为:① 6．（2020·全国高一课时练习）下列命题正确的是____________( 填序号). ①－30°是第一象限角; ②750°是第四象限角; ③终边相同的角一定相等; ④－950°12′是第二象限的角. 【正确答案】④【详细解析】①30-︒是第四象限的角度,故①错误;②750°的终边与30︒的终边相同,故其为第一象限的角度,故②错误; ③终边相同的角度不一定相等,故③错误;④－950°12′与－950°12′108012948+︒=︒′的终边相同,其为第二象限的角,故④正确. 故正确答案为:④.【题组二 角度与弧度转换】1．（2019·伊美区第二中学高一月考）300-化为弧度是（ ） A ．43π-B ．53π-C ．23π-D ．56π-【正确答案】B【详细解析】300530023603ππ-=-⨯=- 2．（2020·全国高一课时练习）把85π化为角度是( )A ．270°B ．280°C ．288°D ．318°【正确答案】C【详细解析】因为1801rad π⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭,故8818028855πππ︒︒⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选:C. 3．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）320-︒化为弧度是（ ） A ．43π-B ．169π-C ．76π-D ．56π-【正确答案】B【详细解析】320-︒化为弧度是16320=1809ππ-︒⨯-.故选:B 4．（2020·金华市江南中学高一期中）1500︒转化为弧度数为（ ） A ．253B ．163πC ．163D ．253π【正确答案】D【详细解析】由1180rad π︒=,所以15001550002318ππ︒=⨯=rad 故选:D 5．（2019·长沙铁路第一中学高一月考）将300o 化为弧度为（ ） A ．43πB ．53π C ．76π D ．74π 【正确答案】B【详细解析】53003001803ππ︒=⨯=．故选:B ． 6．（2020·通榆县第一中学校高一期末）512π=（ ）A ．70°B ．75°C ．80°D ．85°【正确答案】B【详细解析】因为1801rad π⎛⎫=︒⎪⎝⎭,故512π=51807512ππ⎛⎫⨯︒=︒ ⎪⎝⎭.故选:B. 7．（2020·全国高一课时练习）将下列角度与弧度进行互化. （1）20°;（2）－15°;（3）712π（4）－115π. 【正确答案】（1）20°＝9π;（2）－15°＝－12π;（3）712π＝105°;（4）－115π＝－396°.【详细解析】（1）20°＝20180π＝9π.（2）－15°＝－15180π＝－12π.（3）712π＝712×180°＝105°.( 4)－115π＝－115×180°＝－396°.【题组三 终边相同】1．（2020·浙江高一课时练习）与405°角终边相同的角是（ ）． A ．45360,k k Z ︒︒-+⋅∈ B ．405360,k k Z ︒︒-+⋅∈ C ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈【正确答案】C【详细解析】由于40536045︒︒︒=+,故与405°终边相同的角应为45360,k k Z ︒︒+⋅∈．故选:C 2．（2020·永州市第四中学高一月考）在0360~︒︒的范围内,与510︒-终边相同的角是（ ） A ．330︒ B ．210︒C ．150︒D ．30︒【正确答案】B【详细解析】因为510720210︒-=-+,则在0360~︒︒的范围内,与510︒-终边相同的角是210︒,故选:B. 3．（2020·合肥市第八中学高一月考）下列各个角中与2020°终边相同的是( ) A ．150︒- B ．680°C ．220°D ．320°【正确答案】C【详细解析】由题,20202205360︒=︒+⨯︒,故选:C4．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））在0°~360°范围内,与-1050°的角终边相同的角是（ ）A ．30°B ．150°C ．210°D ．330°【正确答案】A【详细解析】因为1050336030-︒=-⨯︒+︒所以在0°~360°范围内,与-1050°的角终边相同的角是30故选:A5．（2020·北京延庆·高一期末）与角196π终边相同的角为（ ） A ．6π-B ．6π C ．56π-D ．56π 【正确答案】C 【详细解析】与角196π终边相同的角可写成192,6παπ=+∈k k Z 令2k =-,则56πα=-故选:C6．（2020·辉县市第二高级中学高一期中） 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°( k ∈Z)B ．k ·360°＋π( k ∈Z)C ．k ·360°－315°( k ∈Z)D ．k π＋( k ∈Z)【正确答案】C 【详细解析】与的终边相同的角可以写成2k π＋( k ∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有正确答案C 正确.故正确答案为C7．（2020·陕西大荔·高一月考）已知角2α是第一象限角,则α的终边位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第一或第二象限或y 轴的非负半轴上【正确答案】D 【详细解析】∵由角2α是第一象限角,∴可得π2π2π,22k k k α<<+∈Z ,∴4π4ππ,k k k α<<+∈Z .即α的终边位于第一或第二象限或y 轴的非负半轴上.故选:D.8．（2020·宁县第二中学高一期中）已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）,那么α∈________.【正确答案】{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z . 【详细解析】在0360范围内,终边落在阴影内的角α满足:30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为:{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅{}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅{}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅,k Z ∈,n Z ∈本题正确结果:{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈ 【题组四 象限的判断】1．（2020·广东高一期末）下列各角中,与2019°终边相同的角为（ ） A ．41° B ．129°C ．219°D ．﹣231°【正确答案】C【详细解析】因为20195360219=⨯+,所以219与2019°终边相同.故选:C. 2．（2020·湖南隆回·高一期末）下列各角中,与60终边相同的角为（ ）A ．30B ．120C ．420D ．300【正确答案】C【详细解析】与60终边相同的角的集合是{}60360,k k Z αα=+⋅∈,当1k =时,420α=.故选:C 3．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）设2α是第一象限角,且cos cos αα=-,则α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二C ．三D ．四【正确答案】B【详细解析】∵2α是第一象限角,∴360903602k k α︒<<︒+︒,k Z ∈,∴720180720k k α︒<<︒+︒,k Z ∈,∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角, ∵cos cos αα=-,∴cos 0α<,∴α是第二象限角.故选:B .4．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）角–2α=弧度,则α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【详细解析】角–2α=弧度,2(,)2ππ-∈--,∴α在第三象限,故选:C .5．（2020·全国高一课时练习）若θ＝－5,则角θ的终边在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限【正确答案】D【详细解析】2π－5与－5的终边相同,∵2π－5∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,∴2π－5是第一象限角,则－5也是第一象限角. 故选:D6．（2020·浙江高一课时练习）若θ是第四象限角,则角2θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第一或第三象限 C ．第四象限D ．第二或第四象限【正确答案】D【详细解析】取80θ=-︒,则402θ=-︒,在第四象限;取320θ=︒,则1602θ=︒,在第二象限.故选:D .7．（2020·浙江高一课时练习）试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．【正确答案】222,34k k k Zππβπβπ⎧⎫-++∈⎨⎬⎭⎩．【详细解析】因为42233πππ+=,所以43π的终边与23π-的终边相同,则终边在题图所示阴影区域内的角的集合为222,34k k k Zππβπβπ⎧⎫-++∈⎨⎬⎭⎩．8．（2020·上海高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合:（1）（2）【正确答案】（1）222,43k k k Zπαπαππ⎧⎫+<+∈⎨⎬⎩⎭;（2）,6k k k Zπαπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭【详细解析】（1）边界对应射线所在终边的角分别为222,() 43k k k Zππππ++∈，所以终边在阴影部分的角的集合为222,43k k k Zπαπαππ⎧⎫+<+∈⎨⎬⎩⎭（2）边界对应射线所在终边的角分别为222,2,()667k k k k k Z πππππππ+++∈，， 所以终边在阴影部分的角的集合为722,22,66k k k Z k k k Z ππαπαπαππαπ⎧⎫⎧⎫≤+∈⋃+≤+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=,6k k k Z παπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭【题组五 扇形】1．（2020·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为4cm ,圆心角为2rad ,则此扇形的面积为（ ） A ．232cm B ．216cmC ．28cmD ．24cm【正确答案】B【详细解析】由题意,某扇形的半径为4cm ,圆心角为2rad , 根据扇形的面积公式,可得22211241622S r cm α==⨯⨯= 所以此扇形的面积为216cm .故选:B. 2．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°,面积为53π,则该扇形半径为（ ）A ．4B ．1C D ．2【正确答案】D【详细解析】圆心角为51506πα==,设扇形的半径为R ,2215152326S R R ππα=⋅⇒=⨯, 解得2R =.故选:D3．（2020·武威第八中学高一期末）已知扇形的周长为8cm ,圆心角为2弧度,则该扇形的面积为（ ） A ．24cm B ．26cmC ．28cmD ．216cm【正确答案】A【详细解析】设此扇形半径为r ,扇形弧长为l=2r 则2r +2r ＝8,r=2,∴扇形的面积为12l r=224r cm =故选A 4．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）已知扇形的圆心角为2,周长为8,则扇形的面积为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【正确答案】B【详细解析】设该扇形的半径为r ,弧长为l ,则2lr =,且28l r +=,所以有42l r =⎧⎨=⎩,所以,该扇形的面积为142S lr ==.故选:B. 5．（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为1S ,圆面中剩余部分的面积为2S ,当1S 与2S 的比值为12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．(3πB ．1)πC ．1)πD ．2)π【正确答案】A【详细解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ,则αβ=,又2αβπ+=,解得(3απ=- 故选:A6．（2020·永昌县第四中学高一期末） 如图,已知扇形AOB 的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB 的面积．【正确答案】12π-【详细解析】∵120°＝π＝π,∴l ＝6×π＝4π,∴AB 的长为4π.∵S 扇形OAB ＝lr ＝×4π×6＝12π,如图所示,作OD ⊥AB ,有S △OAB ＝×AB ×OD ＝×2×6cos 30°×3＝9.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9.∴弓形ACB 的面积为12π－9.【题组六 生活中实际】 1．（2020·全国高一课时练习）将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________．【正确答案】－120°【详细解析】将时针拨快20分钟,则分针顺时针转过120︒,即转过的度数为120-︒故正确答案为:120-︒ 2．（2020·全国高一课时练习）已知α＝30°,将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________.【正确答案】1110°【详细解析】一个角为30,其终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为:3603301110︒⨯+︒=︒． 故正确答案为:1110︒．3．（2020·全国高一课时练习）写出下列说法所表示的角.（1）顺时针拧螺丝2圈;（2）将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角．【正确答案】（1）－720°;（2）900°.【详细解析】（1）顺时针拧螺丝2圈,即旋转了2360=720⨯︒︒,顺时针旋转得到的角为负角,故转过的角是720-︒; （2）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,时针拨慢2小时30分,是2.5周角,角度数是2.5360900⨯︒=︒;又分针是逆时针旋转,转过的角是900︒．4．（2020·浙江高一课时练习）在一昼夜中,钟表的时针和分针有几次重合?几次形成直角?时针、分针和秒针何时重合?请写出理由．【正确答案】正确答案见详细解析.【详细解析】时针每分钟走0.5°,分针每分钟走6°,秒针每分钟走360°,（1）一昼夜有24601440⨯=（分钟）, 时针和分针每重合一次间隔的时间为36060.5-分钟, 所以一昼夜时针和分针重合14402236060.5=-（次）．（2）假设时针不动,分针转一圈与时针两次形成直角,但一昼夜时针转了两圈,则少了4次垂直,于是时针和分针一共有242444⨯-=（次）形成直角．（3）秒针与分针每重合一次间隔的时间为3603606-分钟,由3603606-和36060.5-的“最小公倍数”为720,而720分钟=12小时,所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻“三针”重合．。
人教A版高中数学必修第一册 同步学案5-1-1 任意角
第五章三角函数5．1 任意角和弧度制5．1.1 任意角1．了解任意角的概念及角的分类．2．理解象限角的概念．3．理解终边相同的角的概念,并能熟练写出终边相同的角的集合表示．1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图,射线的端点是圆心O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP,形成一个角α,射线OA,OP分别是角α的始边和终边．“角α”或“∠α”可以简记成“α”．(3)角的分类(4)相等角与相反角①设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α＝β.②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.③设α,β是任意两个角．我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α＋β.④角的减法可以转化为角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和．温馨提示：对终边相同的角的理解(1)α为任意角,“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接,如k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．1．在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°,这种说法是否正确？[答案]不正确．在坐标系中,将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时,是按顺时针方向旋转的,故它形成的角为－90°2．初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α,β是否相等？[答案]不相等．角α为逆时针方向形成的角,α为正角；角β为顺时针方向形成的角,β为负角3．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当角的始边和终边确定后,这个角就确定了．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)钝角是第二象限的角．( )(4)终边相同的角一定相等．( )(5)第一象限的角是锐角．( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)×(5)×题型一任意角的概念【典例1】下列命题正确的是( )A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[思路导引] 对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．[解析]终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与－330°,故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,C正确；小于90°的角可以是0°,也可以是负角,故D错误．[答案] C理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可．[针对训练]1．若将钟表拨慢10分钟,则时针转了______度,分针转了________度．[解析] 由题意可知,时针按逆时针方向转了10×360°12×60＝5°,分针按逆时针方向转了10×360°60＝60°.[答案] 5° 60°题型二 终边相同的角的表示【典例2】 已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角；(2)求θ,使θ与α终边相同,且－360°≤θ<720°.[思路导引] 解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．[解] (1)由2020°除以360°,得商为5,余数为220°.∴取k ＝5,β＝220°,α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角,∴α为第三象限角．(2)与2020°终边相同的角为k·360°＋2020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2020°<720°(k∈Z),解得－6109180≤k<－31118(k ∈Z)． 所以k ＝－6,－5,－4.将k 的值代入k·360°＋2020°中,得角θ的值为－140°,220°,580°.(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k 的值．(2)求终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在0°～360°范围内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定要合并,使结果简洁．[针对训练]2．如图所示,求终边落在直线y＝3x上的角的集合．[解]终边落在射线y＝3x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z},终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z},于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°,k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°,k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°,k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°,n∈Z}.题型三象限角的判断【典例3】已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[思路导引] 作出图形,根据象限角的定义确定．[解]作出各角,其对应的终边如图所示．(1)由图①可知－75°是第四象限角．(2)由图②可知855°是第二象限角．(3)由图③可知－510°是第三象限角．象限角的判断方法 (1)根据图形判定,在直角坐标系中作出角,角的终边落在第几象限,此角就是第几象限角；(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°～360°范围内,转化后的角在第几象限,此角就是第几象限角．[针对训练]3．已知α是第二象限的角,则180°－α是第________象限的角．[解析] 由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z),则180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)(k∈Z),即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k ∈Z),所以180°－α是第一象限的角．[答案] 一题型四 角αn,nα(n∈N *)所在象限的确定 【典例4】 若α是第二象限角,则α2是第几象限的角？ [思路导引] 已知角α是第几象限角,判断αn所在象限,主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论,考查角的终边位置．[解] ∵α是第二象限角,∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z),∴45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°(k∈Z)． 解法一：①当k ＝2n(n ∈Z)时,45°＋n·360°<α2<90°＋n·360°(n∈Z),即α2是第一象限角； ②当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时,225°＋n·360°<α2<270°＋n·360°(n∈Z),即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角．解法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角,90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角, ∴45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角． [变式] (1)若本例条件不变,求角2α的终边的位置．(2)若本例中的α改为第一象限角,则2α,α2分别是第几象限角？ [解] (1)∵α是第二象限角,∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．(2)因为α是第一象限角,所以k·360°<α<90°＋k·360°,k ∈Z.所以2k·360°<2α<180°＋2k·360°,k ∈Z.所以2α是第一或第二象限角,或是终边落在y 轴的正半轴上的角． 同理,k·180°<α2<45°＋k·180°,k ∈Z. 当k 为偶数时,α2为第一象限角, 当k 为奇数时,α2为第三象限角．分角、倍角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限,确定αn终边所在的象限用分类讨论法,要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2,…,k 被n 除余n －1.然后方可下结论．(2)已知角α终边所在的象限,确定nα终边所在的象限,可依据角α的范围求出nα的范围,再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．[针对训练]4．已知α是第一象限角,则角α3的终边可能落在________．(填写所有正确的序号) ①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限[解析] ∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°＋90°,k ∈Z, ∴k 3·360°<α3<k 3·360°＋30°,k ∈Z. 当k ＝3m,m ∈Z 时,m·360°<α3<m·360°＋30°, ∴角α3的终边落在第一象限． 当k ＝3m ＋1,m ∈Z 时,m·360°＋120°<α3<m·360°＋150°, ∴角α3的终边落在第二象限． 当k ＝3m ＋2,m ∈Z 时,m·360°＋240°<α3<m·360°＋270°, ∴角α3的终边落在第三象限,故选①②③. [答案] ①②③课堂归纳小结1．对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．把任意角化为α＋k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(α的绝对值较小),也可以用除法．3．已知角的终边范围,求角的集合时,先写出边界对应的一个角,再写出0°～360°内符合条件的角的范围,最后都加上k·360°,得到所求.1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角一定是第一、二象限角B ．钝角不一定是第二象限角C ．终边与始边重合的角是零角D ．钟表的时针旋转而成的角是负角[解析] A 错,若一内角为90°,则不属于任何象限；B 错,钝角一定是第二象限角；C 错,若角的终边作了旋转,则不是零角；D 对．[答案] D2．－215°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由于－215°＝－360°＋145°,而145°是第二象限角,故－215°也是第二象限角,选B.[答案] B3．已知α为第三象限角,则α2所在的象限是( ) A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限[解析] 由于k·360°＋180°<α<k·360°＋270°,k ∈Z,得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°,k ∈Z. 当k 为偶数时,α2为第二象限角； 当k 为奇数时,α2为第四象限角． [答案] D4．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°,k ∈Z)的形式是________．[解析] 因为－885°÷360°＝－3…195°,且0°≤α<360°,所以k ＝－3,α＝195°,故－885°＝195°＋(－3)·360°.[答案] 195°＋(－3)·360°5．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°,k ∈Z}中,(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°,则集合中的α共有多少个？[解] (1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种,分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k·90°＋45°<360°,得－92<k<72. 又∵k ∈Z,∴k ＝－4,－3,－2,－1,0,1,2,3,∴满足条件的角共有8个．课后作业(三十七)复习巩固一、选择题1．下列是第三象限角的是( )A ．－110°B ．－210°C ．80°D ．－13°[解析] －110°是第三象限角,－210°是第二象限角,80°是第一象限角,－13°是第四象限角．故选A.[答案] A2．与600°角终边相同的角可表示为( )A．k·360°＋220°(k∈Z)B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z)D．k·360°＋260°(k∈Z)[解析]与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°,n∈Z,k∈Z.[答案] B3．设A＝{小于90°的角},B＝{锐角},C＝{第一象限角},D＝{小于90°而不小于0°的角},那么有( )A．B?C?A B．B?A?CC．D?(A∩C) D．C∩D＝B[解析]显然第一象限角不是都小于90°,且小于90°的角不都在第一象限,故A,B错；0°不属于任何象限,故C错；锐角为小于90°而大于0°的角,∴C∩D＝B,选D.[答案] D4．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋135°,k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°,k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°,k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°,k∈Z}[解析]因为直线y＝－x为二、四象限角平分线,所以角终边落到第四象限可表示为k·360°－45°＝2k·180°－45°,k∈Z；终边落到第二象限可表示为k·360°－180°－45°＝(2k－1)·180°－45°,k∈Z,综上可得终边在直线y＝－x上的所有角的集合为{α|α＝k·180°－45°,k∈Z}．[答案] D5．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角,其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°,因为115°为第二象限角,所以475°也为第二象限角,正确；④中－315°＝－360°＋45°,因为45°为第一象限角,所以－315°也为第一象限角,正确．[答案] D二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合,把其终边按顺时针方向旋转3周,所得的角是________．[解析]顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1080°,又50°＋(－1080°)＝－1030°,故所得的角为－1030°.[答案]－1030°7．已知角α＝－3000°,则与角α终边相同的最小正角是________．[解析]设与角α终边相同的角为β,则β＝－3000°＋k·360°,k∈Z,又因为β为最小正角,故取k＝9,则β＝－3000°＋360°×9＝240°.[答案]240°8．若角α与β的终边在一条直线上,则α与β的关系是______________________．[解析]因为α与β的终边在一条直线上,所以α与β相差180°的整数倍．[答案]α＝β＋k·180°,k∈Z三、解答题9．在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.[解](1)∵－120°＝240°－360°,∴在0°～360°范围内,与－120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限的角．(2)∵660°＝300°＋360°,∴在0°～360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限的角．(3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°,∴在0°～360°范围内,与－950°08′终边相同的角是129°52′,它是第二象限的角．10．如图,分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°,k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°,k∈Z}．综合运用11．若角α,β的终边相同,则α－β的终边在( )A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴[解析]∵角α,β终边相同,∴α＝k·360°＋β(k∈Z),∴α－β＝k·360°(k∈Z),故α－β的终边在x轴的非负半轴上．[答案] A12．已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是( )A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四角限角[解析]由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z),故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z),按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时,n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z),∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时,180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z),∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C13．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称,则角α＝____________________.[解析]－690°＝－720°＋30°,则角α的终边与30°角的终边关于y轴对称,而与30°角的终边关于y轴对称的角可取150°,故α＝k·360°＋150°,k∈Z.[答案]k·360°＋150°,k∈Z14．已知－990°<α<－630°,且α与120°角的终边相同,则α＝________.[解析]∵α与120°角终边相同,故有α＝k·360°＋120°,k∈Z.又∵－990°<α<－630°,∴－990°<k·360°＋120°<－630°,即－1110°<k·360°<－750°.当k＝－3时,α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.[答案]－960°15．已知α,β都是锐角,且α＋β的终边与－280°角的终边相同,α－β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小．[解]由题意可知,α＋β＝－280°＋k·360°,k∈Z,∵α,β都是锐角,∴0°<α＋β<180°.取k＝1,得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°,k∈Z.∵α,β都是锐角,∴{0°<α<90°－90°<－β<0°, ∴－90°<α－β<90°.取k＝－2,得α－β＝－50°.②由①②,得α＝15°,β＝65°.。
【课件】任意角课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
“角α”或“ ∠α”可以
简记成“α”
概念引入（1）
图5.1-3（1）中的角是一个正角，它等于750°；图5.1-3（2）中，
正角α=210°，负角β=-150°，γ=-660°.正常情况下，如果以零
时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是
负角.
图5.1-3
概念理解（1）
都有着循环往复、周而复始的规
律，这种变化规律称为周期性，
例如：地球自转引起的昼夜交替
变化和公转引起的四季交替变化，
月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀
速圆周运动时的位置变化，物体
做简谐运动时的位移变化，交变
电流变化等，这些现象都可以用
三角函数刻画.
复习引入
初中所学的角是如何定义的?角的取值范围如何?
角可以看成平面内
角的加法：设α，β是任意两个角，我们规
定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对
应的角是a+β.
相反角：类似于实数a的相反数是-a，我
们引入任意角α的相反角的概念.
如图，我们把射线OA绕端点0按不同方向旋
转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，
概念的理解（1）
两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于
第二象限
O
第三象限
第一象限
x
第四象限
270°+k·360°
(-90°+k·360°)
k·360°
深化与思考
思维升华
表示区间(域)角的三个步骤
第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的
5.1.1 任意角(新教材高中数学必修第一册)课件
四、运用新知 巩固内化
第四章第五指数章函三数角与函对数数函数
五、回顾反思 拓展问题
第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角
轴线角
第四章第五指数章函三数角与函对数数函数
正角
角
负角
零角
终边相 同的角
3、角的运算 类比实数，思考下列问题
第四章第五指数章函三数角与函对数数函数
1、你认为相等的两个角应该怎样规定？
2、两角相加又是怎样规定的？
3、你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？ 类似于实数a的相反数是 -a，我们引入任意角α的相反角的概念.
三、猜想验证 得出结论
3、角的运算 通过作图比较比较关系
正角
一条射线绕其端点按逆 时针方向旋转形成的角
角
负角
一条射线绕其端点按顺 时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋 转(始边与终边重合)
三、猜想验证 得出结论
2、角的表示与作图
第四章第五指数章函三数角与函对数数函数
你能分别作出750°、210°、-150°、-660°吗？
角 旋转量 旋转方向
三、猜想验证 得出结论
第四章第五指数章函三数角与函对数数函数
30°与-30°
30°+120°与150°
30°-120°与-90°
三、猜想验证 得出结论
4、象限角 角的范围扩充后，为了讨论的方便， 我们通常在直角坐标系中研究角.
第四章第五指数章函三数角与函对数数函数
顶点与原点重合 始边与x轴重合
初中所学角 0~360°可以怎么分类？ 锐角 直角 钝角 平角 周角
高中数学第五章三角函数5-1任意角和蝗制5-1-1任意角课时作业新人教A版必修第一册
5.1.1 任意角必备知识基础练1．下列命题中正确的是( )A．第一象限角小于第二象限角B．锐角一定是第一象限角C．第二象限角是钝角D．平角大于第二象限角2．440°角的终边落在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．终边在第四象限的角α的集合是( )A．{α|－90°<α<0°)B．{α|270°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z}C．{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}D．{α|k·180°－90°<α<k·180°，k∈Z}4．已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于( ) A．－60° B．－30°C．60° D．30°5．下列各角中，与－30°终边相同的角为( )A．210° B．－390°C．390° D．30°6．[2022·广东韶关田家炳中学高一期末](多选)下列四个角为第二象限角的是( ) A．－200°B．100° C．220°D．420°7．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，共获得9枚金牌，列金牌榜第三名，创造了冬奥会上新的辉煌．在冬奥会的比赛中有一位滑雪运动员做了一个空中翻腾五周的高难度动作，那么“空中翻腾五周”等于________度(不考虑符号).8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正确的是________(填序号).关键能力综合练1．已知角α为锐角，则下列各角中为第四象限角的是( )A．α＋90° B．α＋180°C．α－90° D．α－180°2．与－525°角的终边相同的角可表示为( )A．525°－k·360°(k∈Z)B．185°＋k·360°(k∈Z)C．195°＋k·360°(k∈Z)D．－195°＋k·360°(k∈Z)3．[2022·山东枣庄高一期末]与－390°角的终边相同的最小正角是( )A．－30°B．30° C．60° D．330°4．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上C．x轴上 D．y轴的非负半轴上5．若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )A．第二或第三象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限6．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°7．自行车大链轮有36齿，小链轮有24齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________度．8．若角α＝2 022°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．9．在区间[0°，360°)内找出与下列各角终边相同的角α，并判断它是第几象限角：(1)－165°；(2)1 390°；(3)－567°26′.10．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．核心素养升级练1．终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是( )A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}2．若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合为________．3．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上．5．1.1 任意角必备知识基础练1．答案：B解析：390°为第一象限角，120°为第二象限角，故A错误；因为0°<锐角<90°，所以锐角一定是第一象限角，故B正确；因为90°<钝角<180°，平角＝180°，480°为第二象限角，故C、D错误．2．答案：A解析：因为440°＝360°＋80°，所以440°角的终边与80°角的终边相同，所以440°角的终边落在第一象限．3．答案：C解析：终边在第四象限的角α的集合是{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}或{α|k·360°＋270°<α<360°＋k·360°，k∈Z}．4．答案：A解析：∵点P在圆O上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转30°，∴2秒钟后，OP转过的角等于2×(－30°)＝－60°.5．答案：B解析：与－30°终边相同的角的集合为：{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－1时，得α＝－390°.6．答案：AB解析：对于A选项，－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角；对于B选项，100°是第二象限角；对于C选项，220°是第三象限角；对于D选项，420°＝60°＋360°，故420°为第一象限角．7．答案：1 800解析：“空中翻腾五周”等于5×360°＝1 800°.8．答案：③解析：当k＝0时，集合{α|45°≤α≤90°}，当k＝1时，集合{α|225°≤α≤270°}，则可得出角所表示的取值范围为③.关键能力综合练1．答案：C解析：因为角α为锐角，所以90°<α＋90°<180°，α＋90°为第二象限角；180°<α＋180°<270°，α＋180°为第三象限角；－90°<α－90°<0°，α－90°为第四象限角；－180°<α－180°<－90°，α－180°为第三象限角．2．答案：C解析：－525°＝195°－2×360°，所以－525°角的终边与195°角的终边相同，所以与－525°角的终边相同的角可表示为195°＋k·360°(k∈Z).3．答案：D解析：与－390°角终边相同角的集合为{α|α＝－390°＋k·360°，k∈Z}，当k＝2时，取得最小正角为330°.4．答案：A解析：因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．5．答案：B解析：当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，则α＝225°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第三象限角；当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，则α＝45°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第一象限角．6．答案：AC解析：假设α，β为0°～180°内的角，如图所示：由α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝180°，根据终边相同角的概念，可得α＋β＝k ·360°＋180°＝(2k ＋1)180°，k ∈Z ，所以满足条件的为A 、C.7．答案：540解析：因为大链轮转过一周时，小链轮转36齿．而小链轮有24齿，故小链轮转3624＝32周，一周为360°，故小链轮转过的角度为360°×32＝540°. 8．答案：222° －138°解析：∵2 022°＝5×360°＋222°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝222°＋k ·360°，k ∈Z }，∴最小正角是222°，最大负角是－138°.9．解析：(1)与－165°终边相同的角为－165°＋k ·360°，k ∈Z ，当k ＝1时，为195°，∴在[0°，360°)内，与－165°终边相同的角是195°，它是第三象限角；(2)与1 390°终边相同的角可以表示为1 390°＋k ·360°，k ∈Z ，当k ＝－3时，为310°，∴在[0°，360°)内，与1 390°终边相同的角是310°，它是第四象限角；(3)与－567°26′终边相同的角为－567°26′＋k ·360°，k ∈Z ，当k ＝2时，为152°34′，∴在[0°，360°)内，与－567°26′终边相同的角是152°34′，它是第二象限角．10．解析：(1)依题意，角β的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }．(2)在S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }中，取k ＝－2，得β＝－300°，取k ＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.核心素养升级练1．答案：B解析：终边为第一象限的平分线的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z} ①，终边为第三象限的平分线的角的集合是{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z} ②，由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．2．答案：{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}解析：函数y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，在0°～360°范围内，以第二象限平分线为终边的角为135°，以第四象限平分线为终边的角为315°，∴α的集合为{α|α＝k·360°＋135°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．3．解析：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角为α＝30°＋k·360°或α＝210°＋k·360°，k∈Z，即α＝30°＋2k·180°或α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z，所以终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．。
2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数1.1任意角训练含解析新人教A版必修第一册
任意角A级——基础过关练1．－215°是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B 【解析】由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．(2021年白银高一期中)下列选项中叙述正确的是( )A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．锐角一定是第一象限的角C．小于90°的角一定是锐角D．终边相同的角一定相等【答案】B 【解析】A中，当三角形的内角为90°时，不是象限角，A错误．B中，锐角的范围是(0°，90°)，是第一象限角，B正确．C中，0°＜90°，但0°不是锐角，C 错误．D中，终边相同的角不一定相等，比如45°和360°＋45°的终边相同，但两个角不相等，D错误．故选B．3．(2021年杭州模拟)下列说法：①第二象限的角必大于第一象限的角；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限．则( )A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误【答案】D 【解析】①第二象限的角不一定大于第一象限的角，如120°是第二象限角，390°是第一象限角，故①错误；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故②错误．故选D．4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C 【解析】可以给α赋一特殊值，如－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．(多选)下列四个选项中正确的有( )A．－75°角是第四象限角B．225°角是第三象限角C．475°角是第二象限角D．－315°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A，如图1所示，－75°角是第四象限角；对于B，如图2所示，225°角是第三象限角；对于C，如图3所示，475°角是第二象限角；对于D，如图4所示，－315°角是第一象限角．故选ABCD．6．已知α为第三象限角，则α2是__________________，2α是____________________________．【答案】第二或第四象限角第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴的角．7．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.【答案】270°【解析】因为5α＝α＋k·360°，k∈Z，所以α＝k·90°，k∈Z.又因为180°<α<360°，所以α＝270°.8．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．【答案】－75°或285°【解析】如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°＜α＜360°，令k＝0或k＝1，得α＝－75°或α＝285°.9．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角α的集合．解：(1){α|k·360°＋135°＜α＜k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．B级——能力提升练10．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上【答案】A 【解析】因为α＝β＋k·360°，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以其终边在x轴的非负半轴上．11．与－468°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}【答案】B 【解析】因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z.故选B．12．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．【答案】{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z} 【解析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得终边在阴影部分内的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．13．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．【答案】一或三【解析】由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．C 级——探究创新练14．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、N 之间的关系为( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅【答案】B 【解析】对集合M ：x ＝(2k ±1)·45°，k ∈Z ，即为45°的奇数倍；对于集合P ：x ＝(k ±2)·45°，k ∈Z ，即为45°的整数倍．所以M N .故选B ．15．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角α的集合，并指出2α，α2分别是第几象限的角．解：由题意可知k ·360°＋135°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z ， 所以k ·720°＋270°＜2α＜k ·720°＋300°，k ∈Z ，是第四象限角，k ·180°＋67.5°＜α2＜k ·180°＋75°，k ∈Z ，是第一或第三象限的角．。
人教版高中数学-任意角(共15张PPT)教育课件
课堂练习
课本P5练习
课后作业
课本P9习题A组1，2，3,4,5
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凡 事都 是 多棱 镜 ，不 同 的角 度 会看 到 不同 的 结果 。 若能 把 一些 事 看淡 了 ，就 会 有个 好 心境 ， 若把 很 多事 看开 了 ，就 会 有个 好 心情 。 让聚 散 离合 犹 如月 缺 月圆 那 样寻 常 ，
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之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
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人教A版(2019)高中数学必修第一册第五章5.1.1 任意角课件
整体感知
问题1 请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如 下问题： （1）本章将要学习的函数是什么？ （2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具 体例子吗？ （3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？
（1）本章将要学习的函数是三角函数；
整体感知
问题1 请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如 下问题： （1）本章将要学习的函数是什么？ （2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具 体例子吗？ （3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？ （2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆 运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；
（1）
（2）
（3）
新知探究
追问：对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？
如果α＞β，则α－β＞0°； 如果α＝β，则α－β＝0°； 如果α＜β，则α－β＜0°．
从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β＞0°，则顺时针旋转 │β│；若β＜0°，则逆时针旋转│β│；若β＝0°，则不作旋转），这 时终边所对应的角是α－β．
新知探究
问题2 如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，
如何刻画点P的位置变化呢？
P
通过角的变化进行刻画．
A O
新知探究
问题3 我们以前所学角都在0°~360°的范围内，生活中 有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明．
“
“
生 活 中 的 实 例
（1）
720 ”
后前 空空 翻翻 转转 体体
新知探究
问题6 在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？ 有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式 将它们表达出来？将－32°推广到一般角 ，结论应该是什么？
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第五章三角函数任意角和弧度制任意角课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西太原高一期末)475°角的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限475°=360°+115°,又因为115°是第二象限角,而475°与115°终边相同,故475°角的终边所在的象限是第二象限.故选B.2.若θ是第四象限角,则90°+θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.3.(2021广东潮州高一期末)下列角中终边与340°相同的角是()A.20°B.-20°C.620°D.-40°340°角终边相同的角的集合为{x|x=340°+k·360°,k∈Z},当k=-1时,可得x=-20°.故选B. 4.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z},终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.5.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.30°+k·360°,k∈Z-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.6.与-2 020°角终边相同的最小正角是;最大负角是.°-220°-2 020°=-6×360°+140°,140°-360°=-220°,所以最小正角为140°,最大负角为-220°. 7.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,故所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.等级考提升练8.(2021北京西城高一期末)下列各角中,与27°角终边相同的是()A.63°B.153°C.207°D.387°27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°.故与27°角终边相同的是387°.故选D.9.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为()A.逆时针,270°B.顺时针,270°C.逆时针,30°D.顺时针,30°,∠AOB=120°,设∠BOC=θ,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=-150°,解得θ=-270°,故需要射线OB绕端点O顺时针旋转270°.10.已知集合M={x|x=k·180°2±45°,k∈Z},P={x|x=k·180°4±90°,k∈Z},则M,P之间的关系为() A.M=P B.M⊆PC.M⊇PD.M∩P=⌀M,x=k·180°2±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z,对于集合P,x=k·180°4±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴M⊆P.11.(多选题)(2020海南临高高一期末)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是()A.B=A∩CB.B∪C=CC.B∩A=BD.A=B=CA,A∩C除了锐角,还包括其他角,比如-330°角,所以A选项错误.对B,锐角是小于90°的角,故B选项正确.对C,锐角是第一象限角,故C选项正确.对D,A,B,C中角的范围不一样,所以D选项错误.12.(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,则有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z.故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α为第三象限角.故选AC.13.终边落在直线y=-√33x上的角的集合是.β|β=150°+k·180°,k∈Z}0°~360°范围内,终边落在直线y=-√33x上的角有两个,即150°角与330°角(如图),又所有与150°角终边相同的角构成的集合S1={β|β=150°+k·360°,k∈Z},所有与330°角终边相同的角构成的集合S2={β|β=330°+k·360°,k∈Z},于是,终边落在直线y=-√33x上的角的集合S=S1∪S2={β|β=150°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}={β|β=150°+k·180°,k∈Z}.14.若α与288°角终边相同,则在0°~360°内终边与角α4终边相同的角是 .°,162°,252°,342°,得α=288°+k ·360°(k ∈Z ),α4=72°+k ·90°(k ∈Z ).又α4在0°~360°内,所以k=0,1,2,3,相应地有α4=72°,162°,252°,342°.15.已知α=-1 910°.(1)把α写成β+k ·360°(k ∈Z ,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.设α=β+k ·360°(k ∈Z ),则β=-1 910°-k ·360°(k ∈Z ).令-1 910°-k ·360°≥0,解得k ≤-1 910360=-51136.k 的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+n ·360°(n ∈Z ),取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°. 新情境创新练16.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.,α+β=-280°+k ·360°,k ∈Z .∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.取k=1,得α+β=80°.① α-β=670°+k ·360°,k ∈Z .∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.取k=-2,得α-β=-50°.② 由①②,得α=15°,β=65°.。