上海市崇明区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案)
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崇明区2018学年第一次高考模拟考试试卷
数 学
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1~6题每题4分,7~12题每题5分)
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】
1.计算:20
lim
31
n n n →∞+=+ ▲ .
2.已知集合{}12x x A =-<<,{1,0,1,2,3}B =-,则A B =∩ ▲ . 3.若复数z 满足232z z i +=-,其中i 为虚数单位,则z = ▲ .
4.8
21x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中含7x 项的系数为 ▲ (用数字作答).
5.角θ的终边经过点(4,)P y ,且3
sin 5
θ=-,则tan θ= ▲ .
6.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5,则点P 的横
坐标是 ▲ .
7.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 ▲ . 8.设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则此圆锥的体积等于 ▲ . 9.若函数2
()log 1
x a
f x x -=+的反函数的图像过点(3,7)-,则a = ▲ . 10.2018年上海春季高考有23所高校招生,如果某3位同学恰好被其中2所高校录取,那么
不同的录取方法有 ▲ 种.
11.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[0,1]上单调递减,且满足()1f π=,
(2)2f π=,则不等式组12
1()2x f x ⎧⎨
⎩≤≤≤≤的解集为 ▲ . 12.已知数列{}n a 满足:①10a =,②对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>成立.
函数1
()sin ()n n f x x a n =-,1[,]n n x a a +∈满足:对于任意的实数[0,1)m ∈,()n f x m =总有
两个不同的根,则{}n a
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
【每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.】
13.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是
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(A)
11a b
> (B)a b -> (C)22a b > (D)33a b <
14.“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
15.已知向量a b c ,,满足0a b c ++=,且2
2
2
a b c <<,则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是
(A)a b ⋅
(B)b c ⋅
(C)a c ⋅
(D)不能确定的
16.函数()f x x =,2()2g x x x =-+.若存在129,,...,0,2n x x x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,使得
1()f x +2()...f x ++1()n f x -+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x -+()n f x ,则n 的最大值是
(A) 11 (B) 13 (C) 14 (D) 18
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分) 如图,设长方体1111B ABC A C D D -中,2AB BC ==,直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4
π. (1)求三棱锥1A A BD -的体积;
(2)求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.
18.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分)
已知函数23()cos sin 3cos 2
f x x x x =⋅+-
. (1)求函数()f x 的单调递增区间;
(2)在锐角ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若1
()2
f A =
,3,4a b ==, 求ABC △的面积.
19.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得25万元~1600万元的投资收益. 现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)
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的增加而增加,奖金不超过75万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
(即:设奖励方案函数模型为()y f x =时,则公司对函数模型的基本要求是:当[25,1600]x ∈
时,①()f x 是增函数;②()75f x ≤恒成立;③()5x
f x ≤恒成立.)
(1)判断函数()1030
x
f x =
+是否符合公司奖励方案函数模型的要求,并说明理由; (2
)已知函数()5g x =(1)a ≥符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a 的取值范围.
20.(本题满分16分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小
题满分7分)
已知椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>,1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点;1F 是椭圆的
左焦点,P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点,112B F B △是边长为4的等边三角形.
(1)写出椭圆的标准方程;
(2)当直线1PB 的一个方向向量是1,1()
时,求以1PB 为直径的圆的标准方程; (3)设点R 满足:11RB PB ⊥,22RB PB ⊥.求证:12PB B △与12RB B △的面积之比为定值.
21.(本题满分18分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小
题满分8分)
已知数列{}n a ,{}n b 均为各项都不相等的数列,n S 为{}n a 的前n 项和,11()n n n a b S n *
+=+∈N .